1.Elemente introductive de topologia circuitelor electrice1.1. Definiii Se numete element multipolar de circuit (sau multipol) de ordinul m un domeniu spaial a crui conexiune cu exteriorul se realizeaz prin intermediul a m borne de acces. Elementul multipolar n care m = 2 se numete dipol, elementul multipolar n care m = 3 se numete tripol, iar elementul multipolar n care m = 4 se numete cuadripol. Prin circuit electric (sau reea electric) se nelege un ansamblu de elemente multipolare de circuit, interconectate prin intermediul bornelor lor de acces, ntr-un anumit mod, n vederea realizrii unui anumit scop. O reea care nu posed conexiuni cu exteriorul se numete izolat. Se numete nod o born comun a cel puin trei elemente multipolare de circuit. Se numete latur o cale conductoare ntre dou noduri, cale coninnd elemente dipolare de circuit. Se numete bucl o mulime de laturi mpreun cu nodurile aferente lor n care mulimea laturilor alctuiete un contur nchis i n care fiecare latur i fiecare nod sunt coninute o singur dat n conturul respectiv. Pentru o reea izolat cu L laturi i N noduri, o mulime de noduri n numr de Nf =N1 formeaz sistemul de noduri fundamentale (independente), iar o mulime de bucle n numr de Bf=LN+1 care acoper toate laturile reelei formeaz sistemul de bucle fundamentale (independente) ale acesteia. Remarcm c pentru o reea dat alegerea nodurilor independente i a buclelor independente este opional, fapt care va fi utilizat n rezolvarea problemelor. Se numete graf neorientat (pe scurt graf) al unui circuit o reprezentare grafic G a acestuia, n care nodurile sunt simbolizate prin puncte, iar laturile sunt simbolizate prin arce de curb (fcndu-se abstracie de elementele de circuit de pe laturi). Un graf S se numete subgraf al grafului G dac mulimea laturilor i a nodurilor grafului S este inclus n mulimea laturilor i nodurilor grafului G. Pentru o reea izolat cu L laturi i N noduri, de graf G, un subgraf A al grafului G care conine R=N1 laturi mpreun cu nodurile aferente acestora, cele N1 laturi neformnd un contur nchis, poart numele de arbore. Cele R laturi ale arborelui se numesc ramuri.1

Subgraful C al grafului G care conine mulimea laturilor, numite corzi, care nu intr n componena arborelui, se numete coarbore. Graful orientat al curenilor se obine din graful neorientat al circuitului pe care se orienteaz laturile conform unor sensuri de referin (alese arbitrar) pentru curenii ce strbat laturile. Graful orientat al tensiunilor se obine din graful neorientat al circuitului pe care se orienteaz laturile conform unor sensuri de referin (alese arbitrar) pentru tensiunile la bornele laturilor. Pe acest graf pot fi evideniate i tensiunile la bornele diverselor elemente de circuit, precum i tensiunile ntre oricare dou puncte ale reelei.

1.2. Elemente dipolare de circuitElementele dipolare de circuit se caracterizeaz prin mrimile la borne (n general variabile n timp) tensiune electric u(t) i intensitate a curentului electric pe scurt curent electric i(t), mrimi care pot fi i (t ) i (t ) asociate ca sensuri de referin n numai dou moduri, i anume cele ilustrate n figura 1.2.1. u (t ) u (t ) Se spune c asocierea se face dup convenia (regula) de la (a ) ( b) generatoare (vezi figura 1.2.1,a) i, respectiv, dup convenia (regula) Figura 1.2.1 de la receptoare (vezi figura 1.2.1,b). Relaiile de calcul ale puterii electromagnetice p(t) primite pe la bornele sale de un element dipolar de circuit sunt: n cazul adoptrii conveniei de la generatoare

p (t ) = u (t ) i (t ) ;2

(1.1)

n cazul adoptrii conveniei de la receptoare p (t ) = +u (t ) i (t ) . (1.2)

Semnul mrimii p(t), semn obinut dup efectuarea calculelor oricare ar fi convenia utilizat, evideniaz sensul real al transferului de putere: la momentul de timp t dipolul primete putere electromagnetic pe la borne dac p(t) > 0 i, respectiv, cedeaz putere electromagnetic pe la borne dac p(t) < 0. Se numete ecuaie de funcionare a unui element dipolar de circuit relaia matematic ce d dependena ntre mrimile u(t) i i(t), cu precizarea obligatorie a conveniei de asociere a sensurilor lor de referin. Printr-un element ideal de circuit se nelege un element n care se reine un singur proces energetic (cel considerat a fi esenial). Rezistorul ideal liniar, cu simbolul ilustrat n figura 1.2.2,a, este caracterizat prin mrimea pozitiv i constant R numit rezistena rezistorului i are ecuaia de funcionare

u (t ) = R i (t ) ,

(1.3)

asocierea sensurilor de referin pentru mrimile la borne u(t) i i(t) corespunznd conveniei de la receptoare.i (t ) R(G )u (t )R=0G=0

u (t ) = 0

i (t ) = 0

Figura 1.2.2

Prin definiie conductana G a rezistorului este

G = R 1astfel nct ecuaia de funcionare (1.3) poate fi scris i sub forma

(1.4)

i (t ) = G u (t ) .

(1.5)

3

n orice moment de timp t puterea electromagnetic p(t) primit pe la borne de rezistor este pozitiv:

p(t ) = +u (t ) i (t ) = R i 2 (t ) = G u 2 (t ) 0 ,

(1.6)

deci este efectiv primit de rezistor pe la bornele sale i corespunde efectului electrocaloric de transformare ireversibil a energiei electromagnetice n energie caloric. Rezistorul este un element pasiv disipativ. Rezistorul care are rezistena nul se numete scurtcircuit (sau conductor perfect), are simbolul prezentat n figura 1.2.2,b i ecuaia sa de funcionare este u (t ) = 0 . (1.7)

Valoarea i sensul curentului care strbate scurtcircuitul (purtnd numele de curent de scurtcircuit) sunt univoc determinate de configuraia reelei n care acesta este plasat. Rezistorul care are conductana nul se numete gol (sau ntrerupere), are simbolul prezentat n figura 1.2.2,c i ecuaia sa de funcionare este i (t ) = 0 . (1.8)

Valoarea i sensul tensiunii la bornele golului (purtnd numele de tensiune de mers n gol) sunt univoc determinate de configuraia reelei n care acesta este plasat.Bobina ideal liniar, cu simbolul ilustrat n figura 1.2.3, este caracterizat prin mrimea pozitiv i constant L numit inductivitatea bobinei i are ecuaia de funcionarei (t )L

u (t )

u (t ) = L

d i (t ) , dt

(1.9)

Figura 1.2.3

asocierea sensurilor de referin pentru mrimile la borne u(t) i i(t) corespunznd conveniei de la receptoare.

Integrnd relaia (1.9) ntre momentele de timp 0 i t se obine1 t i (t ) = u (t ) d t + i(0 ) , L 0 (1.10)

4

ceea ce arat c pentru orice moment de timp t ulterior momentului iniial curentul i(t) prin bobin depinde i de curentul i(0) existent la momentul t = 0. n orice moment de timp t, puterea electromagnetic p(t) primit pe la borne de o bobin este d L i 2 (t ) p(t ) = +u (t ) i(t ) = dt 2 0, (1.11)

relaia (1.11) punnd n eviden expresia energiei magnetice nmagazinate n bobin la momentul de timp t :L i 2 (t ) Wm (t ) = . 2

(1.12)

Condensatorul ideal liniar, cu simbolul ilustrat n figura 1.2.4, este caracterizat prin mrimea pozitiv i constant C numit capacitatea condensatorului i are ecuaia de i (t ) C funcionare

u (t )Figura 1.2.4

i (t ) = C

d u (t ) , dt

(1.13)

asocierea sensurilor de referin pentru mrimile la borne u(t) i i(t) corespunznd conveniei de la receptoare. Integrnd relaia (1.13) ntre momentele de timp 0 i t se obine1 t u (t ) = i(t ) d t + u (0 ) , C 0 (1.14)

ceea ce arat c pentru orice moment de timp t ulterior momentului iniial tensiunea u(t) la bornele condensatorului depinde i de tensiunea u(0) existent la momentul t = 0. n orice moment de timp t puterea electromagnetic p(t) primit pe la borne de un condensator este d C u 2 (t ) p(t ) = +u (t ) i(t ) = dt 2 5

0

(1.15)

relaia (1.15) punnd n eviden expresia energiei electrice nmagazinate n condensator la momentul de timp t :We (t ) = C u 2 (t ) . 2

(1.16)

Bobina i condensatorul sunt elemente pasive acumulatoare de energie.Sursa ideal de tensiune, cu simbolul ilustrat n figura 1.2.5, este caracterizat prin mrimea e(t) numit tensiune electromotoare i are ecuaia de funcionare e(t )

i (t )

Sursa ideal de tensiune asigur la bornele sale o tensiune u(t) = e(t) cu sensul din figur, oricare ar fi Figura 1.2.5 valoarea i sensul curentului i(t) care o strbate. n funcie de sensul curentului i(t) i de semnele valorilor instantanee ale mrimilor u(t) = e(t) i i(t), pot exista momente de timp pentru care puterea electromagnetic p(t) dat de relaiile de calcul (1.1) i (1.2) este pozitiv sau negativ, deci sursa ideal de tensiune poate funciona att n regim de generator, ct i n regim de receptor de putere.Sursa ideal de curent, cu simbolul ilustrat n figura 1.2.6, este caracterizat prin mrimea is(t) numit curent electromotor i are ecuaia de funcionare ig (t )i (t ) = ig (t )

u (t ) = e(t )

u (t ) = e(t ) .

(1.17)

i(t ) = is (t ) .

(1.18)

Sursa ideal de curent asigur prin latura de circuit n care este plasat un curent i(t) = is(t) cu sensul din Figura 1.2.6 figur, oricare ar fi valoarea i sensul tensiunii us(t) la bornele sale. n funcie de sensul tensiunii us(t) i de semnele valorilor instantanee ale mrimilor i(t) = is(t) i us(t), pot exista momente de timp pentru care puterea electromagnetic p(t) dat de relaiile de calcul (1.1) i (1.2) este pozitiv sau negativ, deci i sursa ideal de curent poate funciona att n regim de generator, ct i n regim de receptor de putere. Menionm c unii autori prefer pentru curentul electromotor notaia ig (t )

6

n loc de is (t ) (respectiv, u g (t ) n loc de us (t ) pentru tensiunea la bornele sale), motiv pentru care n continuare se vor folosi ambele notaii. Schema echivalent a unei surse reale de tensiune (SRT) este o schem echivalent serie care conine o surs ideal de tensiune (de tensiune electromotoare e(t)) i un rezistor ideal (de rezistenta Ri' numit rezisten intern). Dac mrimile la borne tensiune u(t) i curent i(t) sunt asociate ca sensuri de referin dup convenia de la generatoare (vezi figura 1.2.7), atunci ecuaia de funcionare a sursei este

Ri

u (t ) = e(t ) Ri' i(t ) .Figura 1.2.7

(1.19)

Schema echivalent a unei surse reale de curent (SRC) este o schem echivalent paralel care conine o surs ideal de curent (de curent electromotor is (t ) ) i un rezistor ideal (de rezistenta Ri' ' numit rezisten intern). Dac mrimile la borne tensiune u(t) i curent i(t) sunt asociate ca sensuri de referin dup convenia de la generatoare (vezi figura 1.2.8), atunci ecuaia de funcionare a sursei este

Ri

i (t ) = is (t ) Figura 1.2.8

u (t ) Ri"

.

(1.20)

Sursele de tensiune i de curent sunt elemente active.7

1 . 3 . Te o r e m e l e l u i K i r c h h o f fPrima teorem a lui Kirchhoff ,,Pentru orice nod (n) al unei reele electrice suma algebric a curenilor ik (t ) ai laturilor care concur n acel nod este nul:k (n )

A ik (t ) = 0 .

(1.21)

Caracterul algebric al sumei este impus de atribuirea semnului plus pentru curenii care ies din nodul (n) i, respectiv, semnul minus pentru curenii care intr n acel nod.

A dou teorem a lui Kirchhoff ,,Oricare ar fi un contur nchis [], suma algebric a tensiunilor u k (t ) de-a lungul acelui contur este nul:k [ ]

A u k (t ) = 0 .

(1.22)

Caracterul algebric al sumei este impus de necesitatea parcurgerii conturului ntr-un anumit sens (arbitrar) i atribuirea semnului plus pentru tensiunile al cror sens coincide cu sensul de parcurgere i, respectiv, semnul minus pentru tensiunile al cror sens este opus sensului de parcurgere. Cum o bucl este un contur nchis, se poate formula cea de-a doua teorem a lui Kirchhoff pentru acest caz: ,,Suma algebric a tensiunilor u k ,lat (t ) la bornele tuturor laturilor care alctuiesc o bucl [b], oricare, a unei reele este nul:A uk , lat k[b ]

(t ) = 0 .

(1.22)

Observaie: n relaiile de mai sus (ca i n cele care vor urma) sumele algebrice sunt marcate cu ajutorul simbolului A plasat n vecintatea semnului de sum.8

2. Circuite n regim staionar (de curent continuu)Circuitele de curent continuu sunt acele circuite n care sursele de tensiune i de curent furnizeaz la bornele lor mrimi invariabile n timp. n aceste condiii, dup stingerea regimurilor tranzitorii toate mrimile de circuit (cureni, tensiuni, poteniale) sunt de asemenea invariabile n timp. Aceste mrimi vor fi notate cu majuscule. 2.1. Comportarea n curent continuu a elementelor dipolare ideale de circuit Rezistorul ideal liniar are ecuaia de funcionare

U = RI sau I = G U

(2.1)

(2.2)

mrimile la borne U i I fiind asociate conform conveniei de la receptoare (vezi figura 2.1.1).IR(G )

UFigura 2.1.1

n orice moment de timp rezistorul primete pe la bornele sale puterea electromagnetic P = R I 2 = G U 2 0 .Bobina ideal liniar are ecuaia de funcionare

(2.3)

U = 0, care rezult din particularizarea n regim invariabil n timp a ecuaiei (1.9).

(2.4)

9

n regim permanent de curent continuu bobina ideal se comport ca un scurtcircuit (vezi figura 2.1.2) acumulator de energie magnetic constant n timpR=0U =0Figura 2.1.2

LI2 Wm = , 2

(2.5)

I fiind valoarea curentului care strbate bobina ntr-o configuraie de reea dat.Condensatorul ideal liniar are ecuaia de funcionare

I = 0,

(2.6)

care rezult din particularizarea n regim invariabil n timp a ecuaiei (1.13). n regim permanent de curent continuu bobina ideal se comport ca un gol (vezi figura 2.1.3) acumulator de energie G=0 electric constant n timpI =0Figura 2.1.3

C U 2 , We = 2

(2.7)

U fiind valoarea tensiunii care se stabilete la bornele condensatorului ntr-o configuraie de reea dat.Sursa ideal de tensiune (vezi figura 2.1.4,a) are ecuaia de funcionare

U =E

(2.8)

oricare ar fi valoarea i sensul curentului I care o strbate. Cele dou situaii posibile pentru sensul real al curentului care strbate sursa (i, corespunztor, pentru sensul real al puterii transferate pe la borne, sens evideniat cu ajutorul sgeilor haurate) sunt prezentate n fig. 2.1.4,b i 2.1.4,c.

Figura 2.1.4 10

Sursa ideal de curent (vezi figura 2.1.5,a) are ecuaia de funcionare

I = Ig

(2.9)

oricare ar fi valoarea i sensul tensiunii U g la bornele sale. Cele dou situaii posibile pentru sensul real al tensiunii la bornele sursei (i, corespunztor, pentru sensul real al puterii transferate pe la borne, sens evideniat i de aceast dat cu ajutorul sgeilor haurate) sunt prezentate n figurile 2.1.5,b i 2.1.5,c.

Figura 2.1.5

2.2.

Te o r e m e u t i l i z a t e n s t u d i u l c i r c u i t e l o r de curent continuu

Prima teorem a lui Kirchhoff: ,,Pentru orice nod (n) al unei reele electrice suma algebric a curenilor Ik ai laturilor care concur n acel nod este nul:k (n )

A I k = 0 .

(2.10)

Caracterul algebric al sumei este impus de atribuirea semnului plus pentru curenii care ies din nodul (n) i, respectiv, semnul minus pentru curenii care intr n acel nod. A doua teorem a lui Kirchhoff: ,,Oricare ar fi un contur inchis [], suma algebric a tensiunilor Uk de-a lungul acelui contur este nul:AUk k [ ]

= 0 .

(2.11)

n cazul particular al unei bucle [b], cea de-a doua teorem a lui Kirchhoff ia forma:k [b ]

A Rk I k

+

k [b ]

A U s k = A Ek ,k [b ]

(2.12)

11

relaie care arat ca suma algebric a tensiunilor la bornele rezistoarelor i surselor ideale de curent este egal cu suma algebric a tensiunilor electromotoare ale surselor ideale de tensiune. Caracterul algebric al celor trei sume din relaia (2.12) este impus de necesitatea parcurgerii buclei [b] ntr-un anumit sens (arbitrar) i atribuirea semnului plus tensiunilor RkIk la bornele tuturor rezistoarelor de rezistene Rk strbatute de curenii Ik n sensul de parcurgere, tensiunilor U s k (la bornele tuturor surselor de curent) al cror sens coincide cu sensul de parcurgere i tensiunilor electromotoare Ek (ale tuturor surselor de tensiune) ale cror sgei sunt orientate n sensul de parcurgere (respectiv minus n caz contrar).Teorema de echivalen ntre un dipol alctuit dintr-un rezistor (de rezisten R) n serie cu o surs ideal de tensiune ( avnd tensiuneaIg = E Ri

RiRiE = Ri I gFigura 2.2.1

electromotoare E) i un dipol alctuit din acelai rezistor (de rezisten R) n paralel cu o surs ideal de curent (avnd curentul electromotor Is): ,,Cei doi dipoli activi sunt echivaleni dac sensurile sgeilor mrimilor E i Is sunt asociate ca n figura 2.2.1 i dac este satisfacut relaia

R=

E . Is

(2.13)

Aceast teorem va fi numit n continuare teorema de echivalen ntre un dipol activ E , R serie i un dipol activ Is , R paralel.Teorema de echivalen a rezistoarelor conectate n serie: ,,n rezistoare de rezistene R1, R2,, Rn conectate n serie n raport cu dou borne admit n raport cu acele dou borne un rezistor echivalent de rezistenRes =

k =1

Rk .

n

(2.14)

12

Teorema de echivalen a rezistoarelor conectate n paralel: ,,n rezistoare de rezistene R1, R2,, Rn conectate n paralel n raport cu dou borne admit n raport cu acele dou borne un rezistor echivalent de rezisten

Rep =

1 1 R k =1 kn

.

(2.15)

Teorema divizorului pasiv de tensiune: ,,Dac R1 i R2 sunt rezistenele rezistoarelor care alctuiesc un dipol pasiv serie alimentat cu tensiunea U (vezi figura 2.2.2),

Figura 2.2.2

atunci tensiunile U1 i U2 la bornele fiecruia dintre cele dou rezistoare sunt date de relaiile R1 U U1 = R1 + R2 U = R2 U 2 R1 + R2

(2.16) .

Teorema divizorului pasiv de curent: ,,Dac R1 i R2 sunt rezistenele rezistoarelor care alctuiesc un dipol pasiv paralel care absoarbe un curent I (vezi figura 2.2.3),

Figura 2.2.3 13

atunci curenii I1 i I2 care strbat fiecare dintre cele dou rezistoare sunt dai de relaiile R2 I I1 = R1 + R2 I = R1 I 2 R1 + R2

(2.17) .

Teoremele de transfigurare stea triunghi i triunghi stea (vezi figura 2.2.4):

,,Orice tripol pasiv alctuit din rezistoarele de rezistene R1, R2 i R3

R31

R12

R23Figura 2.2.4

conectate n stea admite un tripol pasiv echivalent alctuit din rezistoarele de rezistene R12, R23 i R31 conectate n triunghi care au valorile: R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R12 = R3 R2 R3 + R3 R1 + R1 R2 R23 = R1 R3 R1 + R1 R2 + R2 R3 R31 = R2

(2.18) .

La rndul su, orice tripol pasiv alctuit din rezistoarele de rezistene R12, R23 i R31 conectate n triunghi admite un tripol pasiv echivalent alctuit din rezistoarele de rezistene R1, R2 i R3 conectate n stea care au valorile:14

R12 R31 R1 = R + R + R 12 23 31 R23 R12 R2 = R12 + R23 + R31 R31 R23 . R3 = R12 + R23 + R31 Teorema superpoziiei:

(2.19)

,,Intensitatea curentului electric prin orice latur a unei reele liniare i active (reea coninnd rezistoare liniare i surse ideale de tensiune i de curent) este suma algebric a intensitilor curenilor pe care i-ar stabili n acea latur fiecare dintre surse dac s-ar gsi doar ea n circuit, celelalte surse fiind pasivizate.Operaiunea de pasivizare a unei surse const n substituirea acesteia cu un rezistor avnd rezistena egal cu rezistena intern a sursei. ntruct rezistena intern a unei surse ideale de tensiune este zero, iar rezistena intern a unei surse ideale de curent este infinit, operaiunea de pasivizare a unei surse ideale de tensiune const n substituirea acesteia cu un scurtcircuit, n timp ce operaiunea de pasivizare a unei surse ideale de curent const n substituirea acesteia cu un gol. Teorema lui Vashy pentru surse de tensiune (prima teorem a lui Vashy): ,,Distribuia de cureni i de tensiuni pentru toate elementele dipolare ale unui circuit nu se modific dac se introduc n serie cu toate elementele conectate la un nod, oricare, al circuitului, surse ideale de tensiune avnd tensiuni electromotoare egale i la fel orientate fa de nodul respectiv. Teorema lui Vashy pentru surse de curent (a doua teorem a lui Vashy): ,,Distribuia de cureni i de tensiuni pentru toate elementele dipolare ale unui circuit nu se modific dac se introduc n paralel cu toate laturile ce alctuiesc un ochi, oricare, al circuitului, surse ideale de curent injectnd cureni egali i la fel orientai n raport cu un sens arbitrar de parcurgere a ochiului respectiv.

Subliniem ns faptul c prin utilizarea primei teoreme a lui Vashy se modific tensiunile laturilor afectate de sursele ideale de tensiune nou introduse, iar prin utilizarea celei de-a doua teoreme a lui Vashy se modific curenii laturilor afectate de sursele ideale de curent nou introduse.15

Teorema generatorului echivalent de tensiune (teorema HelmholtzThvenin) permite calculul curentului IAB ce strbate un rezistor de rezisten RAB conectat ntre dou borne (A) i (B), oricare, ale unei reele liniare i active, cu ajutorul relaieiI AB = U AB gol RAB + RAB0

.

(2.20)

n aceast relaie RAB 0 reprezint rezistena echivalent a reelei pasivizate n raport cu bornele (A) i (B) dup eliminarea rezistorului de rezisten RAB , iar U AB gol reprezint tensiunea de mers n gol, adic tensiunea care se stabilete ntre bornele (A) i (B) atunci cnd rezistorul de rezisten RAB este scos (sau cnd curentul prin el este nul), restul reelei active nefiind modificat.Teorema generatorului echivalent de curent (teorema lui Norton) permite calculul tensiunii U AB la bornele rezistorului de rezisten RAB cu ajutorul relaiei

U AB =

I AB sc , GAB + GAB0

(2.21)

1 (deci GAB0 = RAB0 ), iar I AB sc reprezint curentul de scurtcircuit (curentul care strbate un scurtcircuit realizat ntre bornele (A) i (B) cnd restul reelei active rmne nemodificat.

1 n care GAB = RAB , GAB0 reprezint conductana echivalent a reelei pasivizate n raport cu bornele (A) i (B) dup eliminarea rezistorului de rezisten RAB

Teorema substituiei

,,Orice element dipolar de circuit, strbtut de un current I i avnd la borne o tensiune U cu valori i sensuri precizate, poate fi substituit fie cu o surs ideal de tensiune, fie cu o surs ideal de curent (figura 2.2.5) care s asigure ecuaiile de funcionare E = U i, respectiv, I g = I i s nu modifice regimul energetic al acestuia.

16

Figura 2.2.5

Se remarc faptul c aceast teorem d posibilitatea substituirii surselor ideale de tensiune i de curent ntre ele, ns substituia nu se poate efectua dect ntr-o reea dat i pentru un punct de funcionare (I, U) precizat.Teorema de conservare a puterilor

,,Pentru orice reea activ i izolat, suma algebric a puterilor furnizate de toate sursele ideale de tensiune i de curent este egal cu suma aritmetic a puterilor disipate n toate rezistoarele reelei:( j)

A E j I j + A U g i I g i = Rk I k2 .(i ) (k )

(2.22)

n sumele algebrice din membrul stng al egalitii (2.22) produsele E j I j i U g i I g i se iau cu semnul plus sau minus dup cum sensurile de referin ale mrimilor tensiuni i cureni la bornele surselor corespund asocierii acestora dup convenia de la generatoare sau dup convenia de la receptoare (vezi figura 2.2.6).

Figura 2.2.6 17

n continuare, se vor adopta notaiile:Pgen = A E j I j + A U g i I g i( j) (i )

(2.22 ' )

pentru membrul stng al egalitii (2.22) i2 Prez = Rk I k (k )

(2.22 ' ' )

pentru membrul drept al egalitii (2.22).Teorema puterilor ncruciate: ,,n orice reea de curent continuu izolat care poate funciona n dou regimuri distincte (marcate prin indicii (1) i, respectiv, (2)), ntre mrimile tensiuni electromotoare E j , cureni I j ce strbat

sursele ideale de tensiune, injecii de curent I g j i tensiuni U g j la bornele surselor ideale de curent exist relaia:( ( ( ( A E (j1) I (j2) + A U g1j) I g2j) = A E (j2) I (j1) + A U g2j) I g1j) .

( j)

( j)

( j)

( j)

(2.23)

Atribuirea semnului plus ori minus pentru fiecare dintre termenii sumelor algebrice corespunde asocierii ncruciate a sensurilor reale ale mrimilor la bornele surselor ideale din cele dou regimuri dup convenia de la generatoare ori dup convenia de la receptoare.

2.3. Metode sistematice de analiz a circuitelor de curent continuuPresupunnd c avem de-a face cu o reea izolat cu L laturi (dintre care Ls conin surse ideale de curent) i N noduri, printr-o metod sistematic de analiz a acestei reele se nelege o metod aplicabil oricare ar fi configuraia sa topologic i oricare ar fi valorile i orientrile sgeilor tensiunilor electromotoare E k ale surselor ideale de tensiune, valorile i orientrile sgeilor curenilor electromotori I s k ai surselor ideale de curent i valorile rezistenelor Rk ale rezistoarelor, n scopul determinrii curenilor I k ai laturilor i tensiunilor U s k la bornele surselor ideale de curent. Numrul mrimilor necunoscute este L; dintre acestea LLs sunt curenii I k ai laturilor care nu conin surse de curent, iar Ls sunt tensiunile U s k la bornele surselor de curent.18

Metoda teoremelor lui Kirchhoff const n rezolvarea unui sistem de ecuaii independente de forma

A Ik = 0 k (n ) A Rk I k + A U s k = A Ek , k [b ] k [b ] k [b ] n necunoscutele I k i U s k .Observaii

(2.24)

1. O parte dintre curenii I k (i anume cei Ls cureni I s k ) sunt cunoscui conform ecuaiilor de funcionare ale surselor de curent. 2. Numrul de ecuaii independente de tip Kirchhoff I este Nf =N1, n timp ce numrul de ecuaii de tip Kirchhoff II este Bf =LN+1 i corespunde unui sistem de bucle fundamentale ales opional.Aplicaia 2.1 Folosind teoremele lui Kirchhoff, s se determine intensitile curenilor care strbat laturile i tensiunile la bornele generatoarelor de curent. S se calculeze tensiunea ntre punctele (A) i (B) i s se verifice bilanul puterilor pentru circuitul din figura A.2.1,a. Soluie. Vom prezenta n continuare un algoritm de rezolvare sistematic a unei reele de curent continuu izolate, avnd N noduri i L laturi (dintre care Lg conin surse ideale de curent). Apelnd la conceptele prezentate n paragraful 1.1, se remarc faptul c ataarea cte unei corzi la arbore conduce la apariia cte unei bucle. Cum numrul de corzi este C=LN+1=B se poate utiliza urmtorul algoritm de generare a unui sistem de bucle fundamentale: se numr laturile (L) i nodurile (N) reelei se calculeaz numrul de ramuri ale arborelui cu relaia R=N1 se alege configuraia arborelui Figura A.2.1,a se completeaz arborele cu cte o coard, formndu-se cte o bucl. Buclele generate n acest mod asigur ambele cerine impuse de definiia unui sistem de bucle fundamentale: numrul lor i acoperirea tuturor laturilor reelei.19

Cu ajutorul ecuaiilor (2.24) ne propunem s determinm cei LLg cureni Ik ce strbat laturile care nu conin generatoare ideale de current i cele Lg tensiuni Ug k la bornele generatoarelor ideale de curent. Unicitatea soluiei problemei n condiiile liniaritii ecuaiilor lui Kirchhoff n necunoscutele Ik i Ug k (necunoscute al cror numr total este L) este asigurat de scrierea unui numr de L de ecuaii independente. Euler a demonstrat c numrul ecuaiilor independente de tip Kirchhoff I este N1, iar numrul ecuaiilor independente de tip Kirchhoff II este LN+1. Dac renunarea la unul dintre nodurile reelei nu prezint nicio dificultate oricare ar fi gradul de complexitate al configuraiei topologice a circuitului, n schimb alegerea celor B=LN+1 bucle distincte care s acopere toate laturile reelei poate fi foarte laborioas. Remarcnd ns faptul c un sistem de bucle fundamentale asigur cerinele de independen a acestora i c generarea lor se poate realiza relativ simplu (folosind algoritmul prezentat anterior), se poate merge i mai departe cu organizarea sistemului de L ecuaii cu L necunoscute (dintre care LLg cureni Ik i Lg tensiuni Ug k), dup cum urmeaz. Se alege configuraia arborelui de aa manier nct s nu conin laturiramuri cu generatoare de curent i apoi se completeaz arborele pe rnd cu cte o coard, ncepnd cu acelea care nu conin surse de curent. n acest fel sistemul de L ecuaii independente va cuprinde un prim set de LLg ecuaii (dintre care N1 de tip Kirchhoff I i LLgN+1 de tip Kirchhoff II) n care apar numai cele LLg necunoscute curenii Ik i un al doilea set de Lg ecuaii (numai de tip Kirchhoff II) n care apar i necunoscutele tensiuni Ug k. Primele LLg ecuaii dau valorile celor LLg necunoscute cureni Ik, iar acetia, odat determinai, devin cunoscute ale celorlalte Lg ecuaii n care rmn ca necunoscute doar tensiunile Ug k. Mai mult, fiecare dintre aceste ultime Lg ecuaii conine doar cte una dintre neconoscutele Ug k, ceea ce uureaz considerabil efortul de calcul. Sistematiznd cele prezentate anterior, recomandm parcurgerea urmtoarelor etape ale algoritmului de rezolvare a unei reele de curent continuu utiliznd teoremele lui Kirchhoff: se numr nodurile (N) i laturile (L) reelei, laturi dintre care Lg conin generatoare ideale de curent; se numeroteaz laturile, ncepnd cu acelea care nu conin surse ideale de curent, atribuind indicele laturii mrimilor ce caracterizeaz elementele de circuit de pe acea latur; se calculeaz numrul de ramuri cu relaia R=N1 i se alege configuraia acestuia astfel nct s nu conin laturi-ramuri cu generatoare de curent, dar s conin laturi posednd un numr minim de rezistoare;20

se completeaz arborele, pe rnd, cu cte o coard (formndu-se n acest fel cte o bucl), operaiunea ncepnd cu corzile care nu conin surse ideale de curent; se aleg (arbitrar) sensuri de referin pentru cei LLg cureni necunoscui i pentru cele Lg tensiuni necunoscute; se scriu ecuaiile corespunztoare primei teoreme a lui Kirchhoff pentru N1 dintre cele N noduri ale reelei; se scriu ecuaiile corespunztoare celei de-a doua teoreme a lui Kirchhoff, n ordinea n care au fost generate buclele fundamentale, cu meniunea c, odat ales sensul de parcugere al fiecrei bucle, este util parcurgerea acesteia de trei ori, urmrindu-se pe rnd rezistoarele, sursele ideale de curent i apoi sursele ideale de tensiune; se rezolv sistemul format din primele LLg ecuaii care conin numai cele LLg necunoscute cureni; se introduc valorile curenilor (determinate n etapa anterioar) n ultimele Lg ecuaii ale sistemului i se determin tensiunile (la bornele surselor ideale de curent) necunoscute; se verific i se interpreteaz rezultatele obinute prin realizarea grafurilor orientate de cureni i de tensiuni; graful orientat al curenilor se obine din graful neorientat al circuitului pe care se orienteaz laturile conform unor sensuri de referin alese arbitrar pentru curenii ce strbat laturile; graful orientat al tensiunilor se obine din graful neorientat pe care se orienteaz laturile conform unor sensuri de referin arbitrare pentru tensiunile la bornele laturilor (pe acesta pot fi evideniate, prin utilizarea ecuaiilor de funcionare ale elementelor dipolare de circuit, i tensiunile la bornele tuturor elementelor i apoi se pot determina tensiuni ntre oricare dou puncte ale reelei folosindu-se teorema a doua a lui Kirchhoff n form topologic); se verific bilanul puterilor. Circuitul propus n figura A.2.1,a are N = 3 noduri, L = 5 laturi i Lg = 2 laturi cu surse ideale de curent, iar arborele ataat are R = 2 ramuri. Arborele ales (neconinnd laturi cu generatoare de curent), marcat pe graful neorientat al circuitului cu linie ngroat (figura A.2.1,b), se completeaz pe rnd cu cte o coard, ncepnd cu corzile care nu conin surse de curent. Se generez astfel, n ordine, buclele fundamentale [b1], [b2] i [b3], crora li se atribuie cte un sens arbitrar de parcurgere.

21

Figura A.2.1

ntruct pentru rezolvarea problemei este necesar atribuirea unor indici mrimilor necunoscute, este util ca alegerea acestora s se fac n aa fel nct niciunul dintre indicii tensiunilor la bornele surselor de curent s nu coincid cu vreunul dintre indicii curenilor laturilor care nu conin surse de curent. O facilitate suplimentar o poate constitui atribuirea unor simboluri literale i mrimilor cunoscute astfel nct indicii acestora s sugereze numerele de ordine ale laturilor, de exemplu E1 = 12 V, E2 = 16 V, R1 = 3 , R2 = 2 , R3 = 5 , R4 = 1 , I g4 = 2 A i I g5 = 4 A . n aceste condiii mrimile necunoscute vor fi notate I1, I2, I3, U g4 i U g 5 , iar sensurile lor de referin sunt opionale. Odat alese aceste sensuri de referin (figura A.2.1,c) se scriu cele cinci ecuaii ale sistemului, dou de tip Kirchhoff I (pentru nodurile (n1) i (n2), evitndu-se n general unul dintre nodurile la care concur cele mai multe laturi) i trei de tip Kirchhoff II (n ordinea n care au fost generate): (n1 ) + I1 + I 3 + I g4 = 0 (n 2 ) I 2 I 3 I g5 = 0 [b1 ] + R1 I1 + R2 I 2 R3 I 3 = + E1 E2 [b 2 ] + R1 I1 R3 I 3 U g5 = + E1 [b3 ] + R1 I1 R4 I g4 + U g4 = + E1 Rezolvarea sistemului alctuit din primele trei ecuaii d soluia pentru cureni: I1 = 1 A, I2 = 3 A, I3 = 1 A. Cu aceste valori introduse n ultimele dou ecuaii se determin i valorile tensiunilor la bornele generatoarelor ideale de curent: U g4 = 17 V i U g5 = 10 V .22

Figura A.2.1

n figurile A.2.1,d i A.2.1,e sunt prezentate grafurile orientate de cureni i, respectiv, de tensiuni ataate grafului neorientat din figura A.2.1,b. n figura A.2.1,f sunt evideniate i tensiunile la bornele fiecrui element dipolar. Tensiunea UAB ntre punctele (A) i (B) este calculat cu ajutorul teoremei a doua a lui Kirchhoff scris n form topologic pe conturul marcat punctat: U AB 16 V + 17 V = 0 , rezultnd UAB = 1 V. Pentru ca suma algebric a tensiunilor s conin un numr ct mai mic de termeni, este util s se Figura A.2.1,f aleag unul dintre contururile cele mai scurte din punct de vedere al numrului de tensiuni pe care l cuprinde. Din examinarea grafurilor orientate ale curenilor i ale tensiunilor se constat c sursele E1 i I g4 genereaz putere, n timp ce sursele E2 i I g5 absorb putere pe la bornele lor. Ca atare, suma algebric a puterilor debitate de surse este:

23

Ps =

A Ej I j +j =1

2

AUg j Ig j =j =1

2

= + E1 I1 E2 I 2 + U g4 I g4 + U g5 I g5 = 30 W , iar suma puterilor disipate n rezistoare este: Pr =2 2 R j I 2 = R1 I12 + R2 I 2 + R3 I 32 + R4 I g4 = 30 W . j j =1 4

Bilanul puterilor este aadar verificat.

Metoda curenilor ciclici utilizeaz un set de necunoscute primare auxiliare curenii ciclici (care se mai numesc i cureni de bucl sau de contur) care sunt nite cureni de calcul (fictivi) ataai cte unul pentru fiecare dintre cele Bf = L N+1 bucle fundamentale ale reelei. Ei sunt definii ca avnd proprietatea de a strbate cu o aceeai valoare toate laturile care alctuiesc bucla respectiv. n acest fel, prin superpoziie, un curent prin oricare dintre laturile circuitului este suma algebric a curenilor ciclici care trec prin acea latur i, ca atare, n cazul particular n care o latur este parcurs de un singur curent ciclic acesta este egal cu curentul acelei laturi. Dac reeaua studiat nu conine surse de curent, atunci sistemul de ' ' ' ecuaii pe care l satisfac curenii de bucl, notai I1 , I 2 , , I L N +1 , este' ' ' ' R1,1 I1 + R1, 2 I 2 + K + R1, L N +1 I L N +1 = E1 ' ' ' ' R2,1 I 2 + R2, 2 I 2 + K + R2, L N +1 I L N +1 = E2 M ' ' ' ' RL N +1,1 I1 + RL N +1, 2 I 2 + K + RL N +1, L N +1 I L N +1 = E L N +1 , 1 n care, pentru orice p, q { , 2,K, L N + 1}:

(2.25)

coeficienii Rp,p reprezint suma rezistenelor rezistoarelor de pe laturile care formeaz bucla cu numrul de ordine p (ntotdeauna Rp,p > 0 ); coeficienii Rp,q = Rq,p reprezint suma rezistenelor rezistoarelor de pe laturile comune buclelor avnd numerele de ordine p i q, sum luat cu semnul ' plus sau minus dup cum curenii ciclici I 'p i I q strbat acele laturi n acelai sens sau n sensuri opuse; dac buclele cu numerele de ordine p i q nu au laturi24

comune ori dac laturile comune conin doar surse ideale de tensiune, atunci Rp,q = Rq,p = 0; coeficienii E 'p reprezint suma algebric a tensiunilor electromotoare corespunztoare surselor ideale de tensiune de pe laturile aparinnd buclei cu numrul de ordine p (luate cu semnul plus dac sensurile sgeilor tensiunilor electromotoare coincid cu sensul arbitrar ales pentru curentul ciclic I 'p i, respectiv, cu semnul minus n caz contrar).Dac reeaua conine i Ls laturi cu surse de curent atunci se va alege sistemul de bucle independente astfel nct niciuna dintre aceste bucle s nu conin mai mult dect o latur cu surs de curent. n acest fel oricare dintre cele Bf =LN+1 bucle fundamentale se va ncadra n una dintre urmtoarele dou categorii: categoria buclelor care nu conin laturi cu surse de curent (numrul acestora fiind LLsN+1) i categoria buclelor care conin cte o singur latur cu surs de curent (numrul acestora fiind Ls).

Ecuaia corespunztoare unei bucle cu numrul de ordine k din prima categorie va fi de tipul (2.25), adic' ' ' ' Rk ,1 I1 + Rk , 2 I 2 + K + Rk , L N +1 I L N +1 = Ek ,

(2.25)

n timp ce ecuaia corespunztoare unei bucle cu numrul de ordine j din cea de-a doua categorie va fi I 'j = I s h (2.26)

dac se alege curentul ciclic I 'j cu sensul coinciznd prin latura cu numrul de ordine h cu sensul curentului electromotor I s h . Dup determinarea curenilor ciclici se calculeaz prin superpoziie curenii tuturor laturilor, iar apoi se gsesc cele Ls tensiuni U s h la bornele surselor de curent cu ajutorul celei de-a doua teoreme a lui Kirchhoff: ecuaiile de tip Kirchhoff II vor fi scrise pe rnd pentru cele Ls bucle din cea de-a doua categorie i vor conine fiecare numai cte una dintre tensiunile U s h .Aplicaia 2.3

Pentru circuitul din figura A.2.2,a s se determine intensitile curenilor care strbat laturile i tensiunile la bornele surselor de curent, utilizndu-se metoda curenilor ciclici. S se verifice apoi corectitudinea rezultatelor obinute25

cu ajutorul bilanului de puteri. Se cunosc valorile R1 = 3 , R2 = 2 , R3 = 4 , R4 = 5 , R5 = 1 , E1 = 8 V, E2 = 30 V, E3 = 3 V, Ig5 = 2 A, Ig6 = 2 A.Soluie. n expunerea teoretic sa artat algoritmul de rezolvare a unei reele de curent continuu prin folosirea metodei curenilor ciclici, atunci cnd reeaua (avnd L laturi i N noduri) nu conine laturi cu surse ideale de curent. Dac acesta conine i laturi cu surse ideale de curent (fie Lg numrul acestora), se poate proceda n unul din urmtoarele moduri. 1) Se genereaz buclele fundamentale optndu-se pentru un Figura A.2.2,a arbore care s nu conin laturiramuri cu generatoare de curent. Prin completarea acestuia, pe rnd, cu cte o coard, ncepnd cu acele corzi care nu conin generatoare de curent, ultimele Lg ecuaii ale sistemului iau formule particulare ' I k = I g j ; j = 1, 2, ... , Lg fiecare dintre laturile cu surse de curent fiind parcurs de cte un singur curent ' ciclic I k a crui orientare este n sensul injeciei de curent I g j . Introducnd' cele Lg valori cunoscute I k n primele BLg ecuaii ale sistemului, efortul de calcul scade n mod simitor. Mai rmn de determinat cele Lg necunoscute tensiunile la bornele generatoarelor ideale de curent care, dup aflarea curenilor care strbat laturile, se gsesc fr dificultate, utilizndu-se pe contururi nchise convenabil alese teorema a doua a lui Kirchhoff. 2) Se utilizeaz teorema substituiei, nlocuindu-se sursele ideale de curent cu surse ideale de tensiune. n acest fel apar Lg necunoscute suplimentare (tensiunile electromotoare ale noilor surse ideale de tensiune, care nu reprezint altceva dect tensiunile la bornele generatoarelor ideale de curent substituite), dar i Lg noi ecuaii corespunztoare laturilor cu generatoare de curent:

k =1

A I k'

B

= I g j ; j = 1, 2, ... , Lg ,

oricare ar fi alegerea sistemului de bucle fundamentale. i n acest caz este recomandabil s se opteze pentru un arbore care s nu aib laturi-ramuri care nainte de substituie conineau surse ideale de curent. Prin aceast alegere, n26

cele Lg noi ecuaii, n locul sumelor algebrice ale curenilor ciclici va aprea un singur termen: ' I k = I g j ; j = 1, 2, ... , Lg ,' dac sensul curentului ciclic I k coincide prin latura cu numrul de ordine j cu sensul injeciei I g j .

Ilustm n continuare utilizarea acestor dou modaliti de abordare a problemei pentru circuitul ilustrat n figura A.2.2,a. 1) Constatnd c circuitul supus analizei conine laturi cu surse de curent, cele B=LN+1=4 bucle independente vor fi alese astfel nct niciuna dintre aceste bucle s nu conin mai mult dect o latur cu surs de curent. Un exemplu de alegere a sistemului de bucle fundamentale i a curenilor ciclici corespunztori este prezentat n figura A.2.2,b. Acestei configuraii i corespunde urmtorul sistem de ecuaii:

I2 I3

I1

I4

Figura A.2.2,b' ' ' ' ' R11 I1 + R12 I 2 + R13 I 3 + R14 I 4 = E1 ' ' ' ' ' R21 I1 + R22 I 2 + R23 I 3 + R24 I 4 = E2 ' I 3 = I g5 ' I 4 = I g6 ,

cu R11 = R2 + R4 = 7 , R22 = R1 + R4 + R3 = 12 , R12 = R21 = R4 = 5 , R13 = R4 = 5 , R14 = 0 , R23 = (R4 + R3) = 9 , R24 = R3 = 4 , ' ' E1 = E2 = 30 V, E2 = E1 + E3 = 11 V.27

Rezolvarea sistemului de mai sus se face rezolvnd de fapt un sistem de ' ' dou ecuaii cu dou necunoscute, obinndu-se soluia I1 = 5 A, I 2 = 1 A,' ' I 3 = 2 A, I 4 = 2 A . Verificarea bilanului puterilor arat c Ps = Pr = 173 W.

Metoda potenialelor nodurilor utilizeaz i ea un set de necunoscute primare auxiliare potenialele V1, V2, , VN1 ale celor Nf =N1 noduri independente ale reelei, poteniale raportate la cel de-al Nlea nod al reelei ales ca referin (VN = 0). Odat aflate aceste poteniale, se determin mai nti tensiunile la bornele laturilor avnd ca extremiti nodurile (nk) i (nj) cu relaiile

U kj = Vk V j ,

(2.27)

iar apoi curenii laturilor i tensiunile la bornele surselor de curent ntr-o succesiune dictat de configuraia concret a circuitului studiat.Dac reeaua analizat nu are laturi care s conin numai surse ideale de tensiune, atunci sistemul de ecuaii pe care l satisfac potenialele V1, V2, , VN1 este

G1,1 V1 + G1, 2 V2 + K + G1, N 1 VN 1 = I sc1 G2,1 V1 + G2, 2 V2 + K + G2, N 1 VN 1 = I sc2 (2.28) M G N 1,1 V1 + G N 1, 2 V2 + K + G N 1, N 1 VN 1 = I sc N -1 , 1 n care, pentru orice j , k { , 2,K, N 1}:

Figura 2.3.1

28

coeficienii G j , j reprezint suma conductanelor laturilor care concur n nodul cu numrul de ordine j (ntotdeauna G j , j > 0 ); coeficienii G j ,k = Gk , j reprezint suma conductanelor laturilor care leag nodurile cu numerele de ordine k i j, sum luat cu semnul minus; coeficienii I sc j reprezint injecia total de curent n nodul cu numrul de ordine j i se calculeaz ca sum algebric a curenilor de scurtcircuit ai laturilor care concur n acel nod, cureni de scurtcircuit luai cu semnul plus atunci cnd intr n nod i, respectiv, cu semnul minus atunci cnd ies din nod (contribuiile diverselor laturi la injecia total de curent ntr-un nod se determin prin cte o izolare fictiv a fiecreia dintre aceste laturi i scurtcircuitarea bornelor sale). n cazul nodului (nj) din figura 2.3.1, valorile parametrilor G j , j i I sc j sunt: 1 1 1 + + + 0 + 0 = G1 + G2 + G3 > 0 R1 R2 R3

G j, j =

(2.29)

(ntruct conductanele interne ale surselor ideale de curent sunt nule) i, respectiv, I sc j = 0 + E 2 E3 + I sc4 I sc5 = G2 E2 G3 E3 + I sc4 I sc5 . R2 R3 (2.30)

Aplicaia 2.3

Utiliznd metoda potenialelor nodurilor s se determine intensitile curenilor laturilor i tensiunile la bornele surselor de curent pentru circuitul ilustrat n figura A.3.2. S se verifice apoi corectitudinea rezultatelor obinute cu ajutorul bilanului de puteri. Se cunosc valorile: R1 = 2 , R2 = 1 , R3 = 12 , R4 = 1 , R5 = 1 , E1 = 9 V, E2 = 1 V, Ig5 = 2 A, i Ig6 = 4 A.Soluie. Se utilizeaz algoritmul de rezolvare a unui circuit de curent continuu folosind metoda potenialelor nodurilor prezentat n prezentarea teoretic (reeaua nu are laturi care s conin numai surse ideale de tensiune).

Alegnd unul dintre cele patru noduri ale reelei ca origine a potenialelor (de exemplu V4 = 0 V) sistemul de ecuaii pe care l satisfac potenialele V1, V2 i V3 ale celorlalte trei noduri este:29

G11 V1 + G12 V2 + G13 V3 = I sc1 G21 V1 + G22 V2 + G23 V3 = I sc 2 G V + G V + G V = I , 32 2 33 3 sc3 31 1I1 R1 Ig6 (n2) I3 R3 E2 R5 Ig5 Ug5FiguraA.3.2 n care (cu notaiile Gk = Rk 1 ): G11 = G2 + G3, G22 = G1 + G3, G33 = G2 + G4,

E1

(n3) Ug6 I2 R2 I4 R4

(n1)

(n4)

G12 = G21 = G3,

G23 = G32 = 0,

G31 = G13 = G2,

Isc1 = Ig5 + G2 E2,

Isc2 = Ig6 G1 E1, Isc3 = Ig6 G2 E2. Cu valorile numerice propuse, soluia acestui sistem este V1 = 15 V, V2 = 3 V, V3 = 5 V. Curenii I1, I2, I3 i I4 i tensiunile Ug5 i Ug6 se determin din ecuaiile de funcionare ale laturilor dup cum urmeaz: I1 = V V1 + E2 V2 E1 V V2 = 3 A, I 2 = 3 = 1 A, I 3 = 1 = 1 A, R2 R1 R3 I4 = V3 = 5 A, U g5 = R5 I g5 V1 = 17 V i U g 6 = V2 V3 = 2 V. R4

Verificarea bilanului de puteri conduce la obinerea valorilor egale Ps = Pr = 70 W.

30

Dac reeaua studiat are una sau mai multe laturi coninnd numai cte o surs ideal de tensiune i toate aceste laturi converg ntr-un acelai nod, atunci se alege ca referin a potenialelor acel nod comun. n acest fel, potenialele celorlalte noduri extremiti ale acelor laturi vor fi cunoscute, fiind dictate de ecuaiile de funcionare ale surselor.Vj(n j )

(n k )Vk

E1(n N )

E2

VN = 0

Figura 2.3.2

n exemplul ilustrat n figura 2.3.2 V j = + E1 , iar Vk = E 2 . (2.32) (2.31)

Ca atare, n sistemul (2.28) ecuaiile corespunztoare nodurilor cu numerele de ordine j i k vor fi nlocuite cu ecuaiile (2.31) i, respectiv, (2.32). Dac reeaua analizat are dou sau mai multe laturi coninnd numai cte o surs ideal de tensiune, dar nu toate converg ntr-un acelai nod, atunci pentru rezolvarea problemei se utilizeaz alte metode. n finalul prezentrii metodelor sistematice de analiz a circuitelor de curent continuu vom reine c, pentru o reea cu L laturi i N noduri, numrul de necunoscute cu care lucreaz metoda teoremelor lui Kirchhoff (i, n consecin, ordinul sistemului liniar care trebuie rezolvat) este L, n timp ce metoda curenilor de bucl lucreaz cu Bf =LN+1 necunoscute, iar metoda potenialelor nodurilor lucreaz cu Nf =N1 necunoscute. Numerele naturale L, Bf i Nf satisfac relaiaL=Bf +Nf ,

(2.33)

ceea ce arat c metoda curenilor ciclici i metoda potenialelor nodurilor sunt mai comode dect metoda teoremelor lui Kirchhoff ntruct sistemele liniare care trebuie rezolvate au grade mai mici dect L.31

Mai mult, aa dup cum s-a artat anterior, dac reeaua studiat conine laturi cu surse ideale de curent i/sau laturi avnd n componen numai surse ideale de tensiune, o parte dintre necunoscutele aferente acestor dou metode se gsesc direct, celelalte rmnnd de determinat prin rezolvarea unor sisteme liniare: de ordinul c.b. (cu c.b. Bf ) n metoda curenilor de bucl i, respectiv, de ordinul p.n. (cu p.n. Nf ) n metoda potenialelor nodurilor. Pentru o reea dat, o comparaie ntre cele dou metode din punct de vedere al efortului de calcul se poate face aadar prin calcularea numerelor naturale c.b. i p.n. , apreciindu-se ca fiind mai eficient metoda care necesit rezolvarea unui sistem liniar de ordinul

= min{ c.b. ; p.n. }.

(2.34)

2.4.

Surse dependente (comandate)

Sursele comandate sunt acele surse la care mrimile furnizate de acestea depind (sunt comandate) de alte mrimi cureni sau tensiuni din circuit.

Figura 2.4.1

Din acest motiv o surs comandat admite ca model un multipol cu patru borne de acces, numit cuadripol diport (notat CD n figura 2.4.1). Cele patru borne sunt grupate n dou pori: poarta de intrare, la care mrimile la borne U1 i I1 sunt asociate ca sensuri de referin conform conveniei de la receptoare, i poarta de ieire, la care mrimile la borne U2 i I2 sunt asociate ca sensuri de referin conform conveniei de la generatoare. Dup cum poarta de intrare este un scurtcircuit (U1 = 0) sau un gol (I1 = 0), iar poarta de ieire este un generator ideal de tensiune sau un generator ideal de curent, sursele comandate se clasific n urmtoarele patru categorii (vezi figura 2.4.2):

32

E = t U1

E = rt I1

I g = t I1

I g = g t U1

Figura 2.4.2

(a) Sursa de tensiune comandat n tensiune, care are ecuaiile de funcionare U 2 = E = t U 1 ; I1 = 0 (2.35)

(b) Sursa de tensiune comandat n curent, care are ecuaiile de funcionare U 2 = E = rt I1 ; U1 = 0 (2.36)

(c) Sursa de curent comandat n curent, care are ecuaiile de funcionare I 2 = I s = t I1 ; U 1 = 0 (2.37)

(d) Sursa de curent comandat n tensiune, care are ecuaiile de funcionare

I 2 = I s = g t U 1 ; I1 = 0

(2.38)

Constantele t , rt , t i g t sunt mrimi de transfer ntre poarta de intrare i poarta de ieire i au urmtoarele semnificaii:33

t =

U2 U1

se numete factor (adimensional) de transfer n tensiuneI1 =0

rt =

U2 I1

se numete rezisten de transferU1 = 0

t = gt =

I2 I1 U I2 U1

se numete factor (adimensional) de transfer n curent1

=0

se numete conductan de transfer.I1 = 0

Sunt de reinut urmtoarele chestiuni n legtur cu sursele comandate:

Sursele comandate sunt surse ideale; Sursele comandate modeleaz existena unor fenomene de cuplaj electromagnetic ntre mrimile ce caracterizeaz poarta de intrare i mrimile ce caracterizeaz poarta de ieire, care pot conduce la scheme echivalente rezistive neconexe; Rezolvarea circuitelor cu surse comandate cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff, metodei curenilor ciclici i metodei potenialelor nodurilor, se face la fel ca n cazul n care nu exist surse comandate. Ecuaiilor corespunztoare fiecrei metode li se adaug relaiile care exprim mrimile care comand n funcie de necunoscutele metodei, iar apoi aceste relaii se nlocuiesc n expresiile surselor comandate. n acest fel, n cazul rezolvrii circuitelor cu surse comandate cu ajutorul metodei curenilor ciclici sau a metodei potenialelor nodurilor, matricile coeficienilor necunoscutelor nu vor mai fi simetrice dup rescrierea ecuaiilor. Generatoarele comandate se comport diferit fa de generatoarele independente referitor la teoremele Thvenin, Norton i superpoziiei, n sensul c sursele comandate nu se pasivizeaz ntruct ele nu pot exista n absena unei mrimi (curent sau tensiune) de comand. Calculul parametrilor RAB0 i GAB0 (necesari n teoremele generatoarelor echivalente) se poate face prin una din urmtoarele metode: Se determin mai nti mrimile U AB gol i I AB sc , iar apoi se calculeaz RAB0 i, respectiv, GAB0 cu relaiile34

RAB0 =

U AB gol I AB sc

;

GAB0 =

1RAB0

=

I AB sc U AB gol

(2.39)

Se utilizeaz metoda de determinare a rezistenei (conductanei) de intrare a unui circuit electric (vezi problema 3.13), fr a pasiviza sursele comandate. Atragem atenia c, pentru circuitele care conin generatoare comandate, mrimile RAB0 i GAB0 pot rezulta i negative.

n cazul reelelor cu generatoare comandate, teorema superpoziiei afirm c un curent printr-o latur, oricare, a unui circuit liniar este suma algebric a curenilor pe care i stabilete n acea latur fiecare dintre sursele independente, dar de fiecare dat n prezena surselor comandate (care nu se pasivizeaz).

35