17

1.4 PROBLEME REZOLVATE

1.1.R Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.1.R-a, n care se cunosc E1= E2 =E3=6V, J=2A, R1=R4=1, R2=1/2, R3=2/3.

S se determine valoarea intensitii curentului electric prin rezistena R4 folosind metoda transfigurrilor electrice.

Fig. 1.1.R-a

Pentru a putea determina valoarea intensitii curentului electric prin rezistena R4 va

trebui s reducem schema la un singur circuit electric ce conine rezistorul respectiv. Pentru a realiza acest lucru vom folosi teoremele de echivalen dintre generatoarele de

tensiune i curent, precum i relaiile de conexiune dintre rezistenele electrice. Astfel, laturile ce conin E1 i R1, respectiv E2 i R2, pot forma o singur surs de

tensiune E12 n serie cu o singur rezisten R12 care la rndul su este nseriat cu o rezisten R3 aa cum se poate observa din figurile Fig. 1.1.R-b, respectiv Fig. 1.1.R-c:

Fig. 1.1.R-b Fig. 1.1.R-c

n baza relaiilor de echivalen a surselor reale de tensiune i a conexiunii rezistenelor,

vom avea:

18

1

31

V2 31212321

2112

21

211212 RRRRR

RRR

RR

REREE

n cele ce urmeaz vom echivala sursa de curent aflat n conexiune paralel cu latura ce

conine sursa E12 i rezistena R12 cu o surs de tensiune conform teoremelor de echivalen (ilustrat n Fig. 1.1.R-d) obinnd astfel circuitul echivalent din Fig. 1.1.R-e.

Fig. 1.1.R-d Fig. 1.1.R-e

Prin urmare, valoarea intensitii sursei de energie va fi V412123 EJREe . n aceste condiii valoarea intensitii curentului electric cutat va fi, n baza schemei

echivalente dat de Fig. 1.1.R-e:

A61234

44

RR

EEI e

1.2.R Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.2.R-a, n care se cunosc E4=100V, E5

=160V, J=10A, R2=R5=20, R3=R4=10, R6=30. Se cer: a) S se scrie ecuaiile corespunztoare teoremelor lui Kirchhoff. b) S se determine intensitile curenilor prin laturile circuitului folosind metoda curenilor

de contur (ciclici). c) S se verifice bilanul puterilor. d) S se calculeze tensiunea UBD ntre punctele B i D pe dou ci diferite i s se arate c nu

depinde de drum. e) S se rezolve circuitul utiliznd metoda potenialelor la noduri. f) S se determine elementele generatoarelor echivalente de tensiune i curent ntre punctele

B i D ale circuitului. g) Determinai curentul prin rezistorul R6 folosind teorema lui Thevenin. h) Ce valoare ar trebui s aib rezistena R6 pentru ca puterea absorbit de aceasta s fie

maxim ? Care ar fi puterea maxim transferat n acest caz?

19

Fig.1.2.R-a Fig.1.2.R-b

Circuitul prezint N= 4 noduri i L= 6 laturi. Prin urmare vom avea N-1=3 ecuaii prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. Ar trebui s avem i L-N+1 =3 ecuaii pentru teorema a doua a lui Kirchhoff, dar datorit

faptului c circuitul prezint i NJ =1, o surs ideal de curent, ecuaiile corespunztoare teoremei a doua a lui Kirchhoff vor fi numai dou (L-N+1-NJ=2).

Prin urmare I1=J=10 A. Am ales n mod arbitrar sensul de parcurgere al curentului prin fiecare latur precum i

sensul de parcurgere al celor dou bucle obinnd:

Kirchhoff I:

0)(

0)(

0)(

35

632

24

IJIC

IIIB

JIIA

Kirchhoff II

5566334II

4466224I

)(O

)(O

IRIRIRE

IRIRIRE

Ecuaiile de mai sus reprezint un sistem de 5 ecuaii cu 5 necunoscute compatibil

determinat ce are ca soluii curenii prin laturile circuitului exceptnd curentul I1 a crui intensitate este J.

Numeric se obin urmtoarele valori:

A4A;2A;6A;8A;4A;10 654321 IIIIII

Metoda curenilor ciclici Pentru a aplica metoda curenilor ciclici avem mai nti sensurile curenilor de contur ca

n Fig 1.2.R-c:

20

Fig.1.2.R-c Metoda curenilor ciclici. Fig.1.2.R-d Metoda potenialelor la noduri

Ecuaiile prin aceast metod vor fi:

'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111

EIRIRIR

EIRIRIR

EIRIRIR

Deoarece 33R , ultima ecuaie din sistemul de mai sus se nlocuiete cu

A10'3 JI . Avnd n vedere sensurile alese pentru curenii ciclici (Fig.1.2.-c) vom avea:

V.160V;100

;10;60

;20;30;60

5'24

'1

3322365322

231136211246211

EEEE

RRRRRRR

RRRRRRRRRR

Cu aceste valori se obine sistemul:

A10A2

A6

1601006030

1002003060 '3'

2

'1

'2

'1

'2

'1

I

I

I

II

II

Alegem curenii reali prin circuit ca n Fig.1.2.R-c pe care determinm n funcie de

curenii ciclici :

A.4;A2;A6

A;8;A4;A10'2

'16

'25

'14

'3

'23

'3

'12

'31

IIIIIII

IIIIIIII

21

Bilanul puterilor Pentru a putea efectua bilanul puterilor trebuie s cunoatem tensiunea la bornele sursei

de curent gU care reprezint tensiunea ntre punctele A i C.

Putem determina aceast tensiune aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff pe traseul ABCA, astfel:

V16003322 gg UIRIRU

Puterea consumat (absorbit), respectiv debitat (generat):

W1880

W1880

5544

266

255

244

233

222

JUIEIEP

IRIRIRIRIRP

gd

c

Cum dc PP , ecuaia de bilan a puterilor este satisfacut. Tensiunea ntre punctele B i D. Vom calcula tensiunea ntre punctele B i D pe cile ABDA, respectiv CBDC, folosind a

doua teorem a lui Kirchhoff:

V120

V120

5533555335

4422444224

IRIREUIRUIREABDA

IRIREUIRUIREABDA

BDBD

BDBD

Se obine aceeai valoare pentru tensiune, indiferent de calea aleas pentru calculul

acesteia. Metoda potenialelor la noduri Alegnd ca potenial de referin nodul D (Fig.1.2.R-d) vom avea:

'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111

sc

sc

sc

IVGVGVG

IVGVGVG

IVGVGVG

n care '3

'2

'1 ;; VVV reprezint potenialele electrice ale nodurilor 1, 2 i 3 fa de nodul de

referin D. Conductanele vor fi:

22

.A18;A0;A0

S203111

S;1011

S;6011111

S;01

S;2011

S;203111

5

5'3

'2

4

4'1

5333

33223

63222

31132

211242

11

R

EJII

R

EJI

RRG

RGG

RRRG

GGR

GGRR

G

scscsc

Se va obine sistemul de ecuaii n care necunoscutele reprezint potenialele nodurilor 1,

2 i 3 '3'

2'

1 ;; VVV .

V200

V120

V40

18203

201

0101

6011

201

0201

203

'3

'2

'1

'3

'2

'3

'2

'1

'2

'1

V

V

V

VV

VVV

VV

Curenii prin fiecare latur se determin aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff pe

fiecare latur cunoscndu-se potenialele ntre care este cuprins fiecare latur:

A4A;2A;6

A;8A;4A;10

6

'2

65

'35

54

'14

4

3

'3

'2

32

'2

'1

21

R

VI

R

VEI

R

VEI

R

VVI

R

VVIJI

Se poate obine acum mult mai uor tensiunea la bornele sursei de curent

V160'3'

3 VVU g .

Se pot prezenta grafurile curenilor i tensiunilor pentru circuitul dat (Fig.1.2.R-e):

Fig.1.2.R-e. Grafurile curenilor i tensiunilor.

23

Generatoarele echivalente ntre punctele B i D. Pentru a putea determina elementele generatoarelor echivalente ntre punctele B i D va

trebui mai nti s deteminm tensiunea ntre cele dou puncte. Acesta este simplu de apreciat din relaia:

V1200'266 VIRU BD

Rezistena echivalent a circuitului ntre punctele B i D se determin prin pasivizarea circuitului Fig.1.2.R-f.

Fig.1.2.R-f Fig.1.2.R-g

Rezistena echivalent este prin urmare dat de conexiunea paralel dintre: grupul R2, R4

conectate n serie, grupul R3, R5 conectate n serie i rezistena R6. RBD va fi:

10111

65342 RRRRRRBD

Generatorul echivalent de tensiune va fi compus dintr-o surs de tensiune de valoare

V120BDU n serie cu o rezisten 10BDR . Generatorul echivalent de curent este compus dintr-o surs de curent de valoare

A12 BDBDBD RUJ , n paralel cu rezistena 10BDR . Valoarea curentului prin R6 utiliznd teorema lui Thevenin Pentru a determina curentul prin rezistena R6 folosind aceast metod va trebui s

eleminm din schema circuitului rezistena R6 determinnd generatorul echivalent de tensiune ntre punctele B i D pentru noul circuit format (tensiunea 0BDU , respectiv 0BDR ).

Apoi n baza teoremei lui Thevenin se determin curentul cutat. Circuitul dup eleminarea rezistenei R6 va deveni (Fig.1.2.R-h):

24

Fig.1.2.R-h Fig.1.2.R-i

Pentru a determina tensiunea 0BDU trebuie mai nti determinai curenii 2I si

4I deoarece curentul A101 JI . Avnd n vedere noua structur a circuitului, o metod foarte uoar de rezolvare a

circuitului o reprezint metoda curenilor ciclici n care avem doar dou bucle i un curent ciclic cunoscut A10'1 JI :

'2

'222

'121

'1

'212

'111

EIRIR

EIRIR

Prima ecuaie este echivalent cu A10'1 JI

30)(60 321221543222 RRRRRRRRR V6054'2 EEE

Soluia sistemului este A4 A;10 '2

'1 II .

Deci, curenii reali prin laturile circuitului, avnd sensurile alese ca n Fig.1.2.R-h vor fi:

A.4A 6 A;10 '24'1

'22

'11 IIIIIII

Putem calcula tensiunea 0BDU aplicnd a doua teorem a lui Kirchhoff pe traseul ABDA:

V180442240440224 IRIREUIRUIRE BDBD

Rezistena echivalent 0BDR reprezint rezistena circuitului pasivizat ntre punctele B i

D. Aa cum se poate observa din Fig.1.2.R-i ea se compune din conexiunea paralel a

gruprurilor de rezistene R2 i R4 respectiv R3 i R5 aflate n serie.

15

))((

3232

32320 RRRR

RRRRRBD

25

Prin urmare, generatorul de tensiune ntre punctele B i D este format din generatorul de tensiune de valoare 0BDU n serie cu rezistena 0BDR .

Pentru a determina curentul prin rezistena R6 vom conecta aceast rezisten la bornele generatorului format: Fig.1.2.R-j.

Fig.1.2.R-j

A460

06

RR

UI

BD

BD

Prin urmare valoarea intensitii curentului ce strbate rezistena R6 este aceeai cu cea determinat prin celelalte metode. Este deci o verificare a justeii acestei valori.

Transferul maxim de putere Transferul maxim de putere se obine conform teoremei de transfer maxim a puterii, n

cazul n care valoarea rezistenei R6 are aceeai valoare ca i rezistena 0BDR , adic n

momentul n care 1506 BDRR .

n acest caz, curentul prin rezisten va fi: A62 0

00

BD

BD

R

UI , iar puterea este

W5404 0

202

00max BD

BDBD R

UIRP .

1.3.R Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.3.R-a, n care se cunosc E4=10V,

E5= E6=9V, J=1A, R1=R2=R3= R4= R5= R6=1. Se cer: a) S se scrie ecuaiile corespunztoare teoremelor lui Kirchhoff. b) S se determine intensitile curenilor prin laturile circuitului folosind metoda curenilor

de contur (ciclici). c) S se verifice bilanul puterilor. d) S se calculeze tensiunea UAC ntre punctele A i C pe dou cai diferite i s se arate c nu

depinde de drum. e) S se rezolve circuitul utiliznd metoda potenialelor la noduri. f) S se determine elementele generatoarelor echivalente de tensiune i curent ntre punctele

A i B ale circuitului. g) Determinai curentul prin rezistorul R1 folosind teorema lui Thevenin. h) Ce valoare ar trebui s aib rezistena R1 pentru ca puterea absorbit de aceasta s fie

maxim ? Care ar fi puterea maxim transferat n acest caz ?

26

Fig.1.3.R-a Fig.1.3.R-b

Circuitul prezint N= 4 noduri i L= 7 laturi. Prin urmare vom avea N-1=3 ecuaii prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. Ar trebui s avem i L-N+1 =4 ecuaii pentru teorema a doua a lui Kirchhoff, dar

datorit faptului c circuitul prezint i NJ =1, o surs ideal de curent, ecuaiile corespunztoare teoremei a doua a lui Kirchhoff vor fi numai dou (L-N+1-NJ=3).

Prin urmare, I=J=10 A. Am ales n mod arbitrar sensul de parcurgere al curentului prin fiecare latur precum i

sensul de parcurgere al celor dou bucle obinnd (Fig.1.3.R-b):

Kirchhoff I:

0)(

0)(

0)(

324

251

16

IIIC

IIIB

IIJA

Kirchhoff II

33444III

3322555II

66115565I

)(O

)(O

)(O

IRIRE

IRIRIRE

IRIRIREE

Ecuaiile de mai sus reprezint un sistem de 6 ecuaii cu 6 necunoscute compatibil

determinat ce are ca soluii curenii prin laturile circuitului exceptnd curentul I a crui intensitate este J.

Numeric se obin urmtoarele valori:

A1A0A;1A;4A;6A;2A;1 654321 IIIIIII

Metoda curenilor ciclici Pentru a aplica metoda curenilor ciclici avem mai nti sensurile curenilor de contur

ca n Fig 1.3.R-c:

27

Fig.1.3.R-c Metoda curenilor ciclici. Fig.1.3.R-d Metoda potenialelor la noduri

Ecuaiile prin aceast metod vor fi:

'4

'444

'343

'242

'141

'3

'434

'333

'232

'131

'2

'424

'323

'222

'121

'1

'414

'313

'212

'111

EIRIRIRIR

EIRIRIRIR

EIRIRIRIR

EIRIRIRIR

Deoarece 44R , ultima ecuaie din sistemul de mai sus se nlocuiete cu A1

'4 JI .

Avnd n vedere sensurile alese pentru curenii ciclici (Fig.1.3.-c) vom avea:

V.10V;9V;0

0;2

;0;1;3

1;0;1;3

4'35

'265

'1

43344333

42243322353222

6414131135211265211

EEEEEEE

RRRRR

RRRRRRRRR

RRRRRRRRRRRR

Cu aceste valori se obine sistemul:

A1

A4

A2

A1

102

93

013'4

'3

'2

'1

'3

'2

'3

'2

'1

'2

'1

I

I

I

I

II

III

II

Alegem curenii reali prin circuit ca n Fig.1.3.R-c pe care determinm n funcie de

curenii ciclici :

28

A1A;0;A1;A4

A;6;A2;A1'4

'4

'16

'2

'15

'34

'3

'23

'22

'11

IIIIIIIIII

IIIIIII

Bilanul puterilor Pentru a putea efectua bilanul puterilor trebuie s cunoastem tensiunea la bornele sursei

de curent gU care reprezint tensiunea ntre punctele A i 0.

Putem determina acest tensiune aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff, astfel:

9V666666 IREUUIRE gg

Puterea consumat (absorbit), respectiv debitat (generat):

W58

W58

665544

266

255

244

233

222

211

JUIEIEIEP

IRIRIRIRIRIRP

gd

c

Cum dc PP , ecuaia de bilan a puterilor este satisfacut. Tensiunea ntre punctele A i C. Vom calcula tensiunea ntre punctele B i D pe cile AOCA, respectiv ABCA, folosind a

doua teorem a lui Kirchhoff:

V30

V3

22112211

3366633666

IRIRUUIRIRABCA

IRIREUIRUIREAOCA

BDBD

BDAC

Se obine prin urmare aceeai valoare pentru tensiune indiferent de calea aleas pentru

calculul acesteia. Metoda potenialelor la noduri Alegnd ca potenial de referin nodul O (Fig.1.3.R-d) vom avea:

'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111

sc

sc

sc

IVGVGVG

IVGVGVG

IVGVGVG

n care '3

'2

'1 ;; VVV reprezint potenialele electrice ale nodurilor 1, 2 i 3 fa de nodul de

referin D. Conductanele corespunztoare vor fi:

29

.A10;9A;A10

3S111

1S;1

S;3111

S;01

S;11

2S;111

4

4'3

5

5'2

6

6'1

43233

23223

52122

31131

211261

11

R

EI

R

EI

R

EJI

RRRG

RGG

RRRG

GGR

GGRR

G

scscsc

Se va obine sistemul de ecuaii n care necunoscutele reprezint potenialele nodurilor 1,

2 i 3 '3'

2'

1 ;; VVV .

V6

V8

V9

103

93

102

'3

'2

'1

'3

'2

'3

'2

'1

'2

'1

V

V

V

VV

VVV

VV

Curenii prin fiecare latur se determin aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff pe

fiecare latur cunoscndu-se potenialele ntre care este cuprins fiecare latur:

A1A0A;1A;4

A;6A;2A;1

6

'16

65

'25

54

'34

4

3

'3

32

'3

'2

21

'2

'1

1

JIR

VEI

R

VEI

R

VEI

R

VI

R

VVI

R

VVI

Se poate obine acum mult mai uor tensiunea la bornele sursei de curent V9'1 VU g .

Se pot prezenta grafurile curenilor i tensiunilor pentru circuitul dat (Fig.1.2.R-e):

Fig.1.2.R-e. Grafurile curenilor i tensiunilor.

30

Generatoarele echivalente ntre punctele A i B. Pentru a putea determina elementele generatoarelor echivalente ntre punctele A i B va

trebui mai nti s determinm tensiunea ntre cele dou puncte. Acest lucru se poate aprecia din relaia:

V1'2'

111 VVIRU AB

Rezistena echivalent a circuitului ntre punctele B i D se determin prin pasivizarea circuitului Fig.1.3.R-f.

Fig.1.2.R-f Fig.1.2.R-g

Rezistena echivalent este dat de conexiunea paralel dintre R3, R4 notat cu R34 , n

serie cu R2 formnd astfel R234, care se afl n paralel cu R5 alctuind rezistena R2345; aceasta se afl n serie cu R6. Tot ansamblul este n paralel cu R1.

58

53

23

;21

62345234565234

52342345

23423442

4334

RRRRR

RRR

RRRRR

RRR

138

123456

123456

RR

RRRAB

Generatorul echivalent de tensiune va fi compus dintr-o surs de tensiune de de valoare

V120ABU n serie cu o rezisten 138ABR . Generatorul echivalent de curent este compus din o surs de curent de valoare

A813 ABABAB RUJ , n paralel cu rezistena 138BDR . Valoarea curentului prin R1 utiliznd teorema lui Thevenin Pentru a determina curentul prin rezistena R1 folosind aceast metod, va trebui s

eleminm din schema circuitului rezistena R1 determinnd generatorul echivalent de tensiune ntre punctele A i B pentru noul circuit format (tensiunea 0ABU respectiv 0ABR ).

Apoi n baza teoremei lui Thevenin se determin curentul cutat. Circuitul, dup eleminarea rezistenei R1, va deveni (Fig.1.2.R-h):

31

Fig.1.3.R-h Fig.1.3.R-I

Pentru a determina tensiunea 0ABU trebuie s determinm curentul 5I (curentul

A106 JI pentru cazul de fa) apoi aplicnd teorema lui Kirchhoff pe traseul ABOA putem evalua cu uurin tensiunea cutat.

Avnd n vedere noua structur a circuitului, o metod foarte uoar de determinare a

curentului I5, este metoda transfigurrilor electrice. Putem forma un generator echivalent de tensiune format de E4 i R4 n paralel cu

rezistena R3, care este conectat n serie cu E4, R4 i R2. Se poate determina apoi uor valoarea curentului I5:

58

21

V53425

3455

43

4334

43

3434 RRR

EEI

RR

RRR

RR

REE

Putem acum calcula tensiunea 0ABU aplicnd a doua teorema a lui Kirchhoff pe traseul

ABOA din schema din Fig.1.3.R-h.

V5

13556560550656 IRJREEUIRUJREE BDAB

Rezistena echivalent 0ABR reprezint rezistena circuitului pasivizat ntre punctele A i

B. Aa cum se poate observa din Fig.1.3.R-i ea reprezint rezistena R23456 calculat la

punctul anterior.

58

23456R

32

Generatorul de tensiune ntre punctele A i B este format din generatorul de tensiune de valoare 0ABU n serie cu rezistena 0ABR .

Pentru a determina curentul prin rezistena R1 vom conecta aceast rezisten la bornele generatorului format: Fig.1.2.R-j.

Fig.1.2.R-j

A110

06

RR

UI

AB

AB

Prin urmare valoarea intensitii curentului ce strbate rezistena R1 este aceeai cu cea determinat prin celelalte metode.

Este deci o verificare a justeii acestei valori.

Transferul maxim de putere Transferul maxim de putere se obine conform teoremei de transfer maxim a puterii, n

cazul n care valoarea rezistenei R1 are aceeai valoare ca i rezistena 0ABR , adic n

momentul n care 58

01 ABRR .

Curentul prin rezisten va fi A1613

2 0

00

AB

AB

R

UI , iar puterea este

W160169

4 0

202

00max AB

ABAB R

UIRP .

1.4.R Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.4.R-a, n care se cunosc E1=10V, E2 =4V,

E3=2V, E4 =6V, J=2A, R1=1, R2=2, R3=3, R4=4, R5 =5. Se cer: a) Curenii prin fiecare latur a circuitului utiliznd att metoda curenilor ciclici ct i

metoda potenialelor la noduri. b) Valoarea puterilor consumate i debitate de circuit.

Fig.1.4.R-a

33

Metoda curenilor ciclici Pentru a aplica metoda curenilor ciclici avem mai nti sensurile curentilor de contur

ca n Fig 1.4.R-b.

Fig.1.4.R-b Metoda curenilor ciclici. Fig.1.3.R-c Metoda potenialelor la noduri

Ecuaiile prin aceast metod vor fi:

'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111

EIRIRIR

EIRIRIR

EIRIRIR

Deoarece 33R , ultima ecuaie din sistemul de mai sus se nlocuiete cu A2'3 JI .

Avnd n vedere sensurile alese pentru curenii ciclici (Fig.1.4.-b) vom avea:

V;10V;6

;4;6

;7)(;4;8

42'2431

'1

432234222

4331134211243211

EEEEEEE

RRRRRR

RRRRRRRRRRR

Cu aceste valori se obine sistemul:

A2A3

A4

10864

61448 '3'

2

'1

'2

'1

'2

'1

I

I

I

II

II

Alegem curenii reali prin circuit ca n Fig.1.4.R-b pe care determinm n funcie de

curenii ciclici :

34

.A2;A1

A;2;A3;A4'35

'1

'3

'24

'3

'13

'22

'11

IIIIII

IIIIIII

Tensiunea la bornele sursei de curent gU se poate determina folosind teorema a doua a

lui Kirchhoff pe traseul ABCA:

V41551155111 EIRIRUUIRIRE gg

Metoda potenialelor la noduri Alegnd ca potenial de referin nodul O (Fig.1.4.R-d) vom avea:

'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111

sc

sc

sc

IVGVGVG

IVGVGVG

IVGVGVG

n care '3'

2'

1 ;; VVV reprezint potenialele electrice ale nodurilor 1, 2 i 3 fa de nodul de referin O .

Conductanele corespunztoare vor fi:

.A2

19;2A;A

322

S20

391111

S;511

S;5111

S;11

S;01

S;34111

4

4

2

2

1

1'3

'2

6

6

1

1'1

542133

53223

522

131132112

3111

R

E

R

E

R

EIJIJ

R

E

R

EI

RRRRG

RGG

RG

RGGGG

RRG

scscsc

Se va obine prin urmare sistemul de ecuaii n care necunoscutele reprezint potenialele

nodurilor 1, 2 i 3 '3'

2'

1 ;; VVV .

V2

V8

V4

19039420

9

1034

'3

'2

'1

'3

'2

'1

'3

'2

'3

'1

V

V

V

VVV

VV

VV

Curenii prin fiecare latur se determin aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff pe

fiecare latur cunoscndu-se potenialele ntre care este cuprins fiecare latur:

35

A;2A;1

A;2A;3A;4

54

'34

4

3

'13

32

'32

21

'1

'31

1

JIR

VEI

R

VEI

R

VEI

R

VVEI

Se poate obine acum mult mai uor tensiunea la bornele sursei de curent

V4'2'

1 VVU g .

Bilanul puterilor Puterea consumat (absorbit), respectiv debitat(generat):

W70

W70

44332211

255

244

233

222

211

JUIEIEIEIEP

IRIRIRIRIRP

gd

c

Cum dc PP ecuaia de bilan a puterilor este satisfacut. 1.5.R Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.5.R-a, n care se cunosc E=1V, E3 =2V,

J=3A, R1= R2= R4=1, R3=2. Se cer: c) Curenii prin fiecare latur a circuitului utiliznd att metoda curenilor ciclici ct i

metoda potenialelor la noduri. d) Valoarea puterilor consumate i debitate de circuit.

Fig.1.5.R-a

36

Metoda curenilor ciclici Pentru a aplica metoda curenilor ciclici avem mai nti sensurile curenilor de contur

ca n Fig 1.5.R-b.

Fig.1.5.R-b Metoda curenilor ciclici. Fig.1.5.R-c Metoda potenialelor la noduri

Ecuaiile prin aceast metod vor fi:

'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111

EIRIRIR

EIRIRIR

EIRIRIR

Deoarece 33R , ultima ecuaie din sistemul de mai sus se nlocuiete cu A3

'3 JI .

Avnd n vedere sensurile alese pentru curenii ciclici (Fig.1.4.-b) vom avea:

V;3V;2

;1;3

;2;3)(;5

3'23

'1

432234322

413113432112432111

EEEEE

RRRRRR

RRRRRRRRRRRRR

Se obine sistemul:

A3A1

A1

3333

2635 '3'

2

'1

'2

'1

'2

'1

I

I

I

II

II

Alegem curenii reali prin circuit ca n Fig.1.4.R-b pe care determinm n funcie de

curenii ciclici :

37

A1.A1

A;2;A1;A2

23'2

'3

'14

'1

'23

'12

'3

'11

IIIIIII

IIIIIIII

Am notat cu I intensitatea curentului electric ce strbate sursa de tensiune E; el se

determin uor aplicnd prima teorem a lui Kirchhoff n nodul C de exemplu. Tensiunea la bornele sursei de curent gU se poate determina folosind teorema a doua a

lui Kirchhoff pe traseul AOBA:

V30 44114411 IRIRUUIRIR gg

Metoda potenialelor la noduri Alegnd ca potenial de referin nodul O (Fig.1.4.R-d) vom avea:

'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111

sc

sc

sc

IVGVGVG

IVGVGVG

IVGVGVG

n care '3

'2

'1 ;; VVV reprezint potenialele electrice ale nodurilor 1, 2 i 3 fa de nodul de

referin O. Datorit alegerii potenialului de referin, valoarea potenialului din a treia ecuaie este

echivalent cu V1'3 EV . Conductanele corespunztoare vor fi:

.A1;2A;A3

S2311

S;211

S;23111

S;11

S;01

2S;111

3

3'3

3

3'2

'1

3233

33223

4322

231132112

2111

R

EIJ

R

EIJI

RRG

RGG

RRG

RGGGG

RRG

scscsc

Se va obine prin urmare sistemul de ecuaii n care necunoscutele reprezint potenialele

nodurilor 1 i 2 :; '2'

1 VV

38

V1V1

V2

221

23

312'

3'2

'1

'2

'1

V

V

V

V

V

Curenii prin fiecare latur se determin aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff pe

fiecare latur cunoscndu-se potenialele ntre care este cuprins fiecare latur:

A;1A;1

A;2A;1A;2

4

'2

4

3

3'

2'

33

2

'3

'1

21

'1

1

IR

VI

R

EVVI

R

VVI

R

VI

Se poate obine acum mult mai uor tensiunea la bornele sursei de curent

V3'2'

1 VVU g .

Bilanul puterilor Puterea consumat (absorbit), respectiv debitat (generat):

W14

W14

33

244

233

222

211

JUIEEIP

IRIRIRIRP

gd

c

Cum dc PP ecuaia de bilan a puterilor este satisfacut.