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TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 INTEGRALES MÚLTIPLES 1) Calcular las siguientes integrales iteradas:

a )∫0

1∫0

2( x+ y )dydx b)∫0

4∫0

2x √ ydxdy c )∫0

π2∫0

π2 sen( x+ y )dydx

d )∫1

2∫0

1( x+ y )−2dxdy e )∫0

ln 2∫0

ln 5e2 x− y dxdy

2) Calcular las siguientes integrales iteradas:

a )∫0

1∫0

x √1−x2dydx b )∫0

2∫3 y 2−6 y

2 y−y2

3 y dxdy

3) Escribir una integral para cada orden de integración y utilizando el más conveniente calcular la integral sobre R. Dibujar la región R

4) Determine el volumen de sólido dadoa) Bajo el paraboloide z=x2+ y2

y encima de la región acotada por y=x2 y

x= y2

b) Acotado por el cilindro y2+z2=4 y los planos x=2y ; x=0; z=0 en el primer

octantec) El sólido en el primer octante acotado por los planos 2x + y -4=0 y 8x+ y -

4z=0

d) El sólido acotado por los planos z=3, y=0, x=0, x=4 y el cilindro y=√x5) Evalúe la integral dada cambiando a coordenadas polares

a)∬Ry dA

donde R es la región en el primer cuadrante acotada por el círculox2+ y2=9 y las rectas y = x y=0.

b)∬Rxy dA

donde R es la región en el primer cuadrante que está entre los círculos x2+ y2=4 y x

2+ y2=256) Calcular en coordenadas polares el área de una circunferencia de radio 37) Use coordenadas polares para calcular el volumen de:

a) El sólido bajo el cono z=√ x2+ y2sobre el plano XY y encima del anillo

4≤x2+ y2≤25

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a )∬R

xydA R :rectánguloconvértices (0,0)(0,5 )(3,5)(3,0 )

b )∬R

( xy 2+ yx )dA R : {(x , y )/2≤x≤3;−1≤ y≤0 }

c )∬Rsenx⋅senydA R : [−π ,π ]×[0 , π2 ]

d )∬R

yx2+ y2 dA R :Triángulo⋅acotado⋅por⋅y=x ; y=2 x ; x=2

e )∬RyexdA R :región⋅triangular⋅con⋅vértices(0,0 )(2,4 )(0,6 )

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b) El sólido acotado superiormente por el hemisferio z=√16−x2− y2e

inferiormente por la región circular R dada por x2+ y2≤4

8) Calcular el área de la porción del plano z=2−x− y situada encima del círculo x2+ y2≤1 en el primer cuadrante.

9) Calcular el área de la porción de la superficiez= y2+4 x situada sobre la reg. triang. del plano xy con vértices(0,0),(0,2) y (2,2)

10) Calcular el área de la superficie del paraboloide z=1+x2+ y2 situado encima

del cil. x2+ y2=4 .

11) Una lámina con densidad δ ( x , y )=xy está acotada por el eje X, la recta x=8 y la curva y=x2/3

a) Calcule su masa totalb) Determine su centro de masac) Determine los momentos de inercia en torno a los ejes X,Y, Z

12) Hallar:

a) ∫0

3∫2

6∫2

4( x2+ yz )dz dy dx= b) ∫0

1∫0

x∫0

x + y(x+ y+z )dz dy dx=

c) ∫0

1∫0

1− y∫0

2−xx y z dz dx dy= d) ∫0

1∫ y

y2

∫0

ln xyez dz dx dy=

13) Escriba seis integrales triples iteradas distintas para el volumen del sólido rectangular en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos x=1, y=2 y z=3. Evalúe una de éstas integrales.

14) La siguiente es la región de integración de la integral∫−1

1∫ x2

1∫0

1− ydz dy dx . Escriba

la integral como una integral iterada equivalente en el orden:a. dy dz dxb. dy dx dzc. dx dy dzd. dx dz dye. dz dx dy

15) Determine el volumen de cada una de las siguientes integrales:a) La región del cilindro z= y2

y el plano XY que está acotada por los planos x=0, x=1 , y=-1, y=1 fig.1

b) La región del primer octante acotada por los planos coordenados y los planos x+z=1 , y + 2z=2 fig2

c) La cuña definida en el cilindro x2+ y2=1 por los planos z=-y y k z=0 fig 3

d) El tetraedro del primer octante acotado por los planos coordenados y el plano que pasa por los puntos (1,0,0), (0,2,0) y (0,0,3)

fig.1 fig.2

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fig.3 fig.4

16) Determine el volumen de la región sólida acotada por arriba por el paraboloide z=4−x2− y2

abajo por z=0 y lateralmente por y=0 y el cilindro x2+ y2=2 x

17) Evalúe en coordenadas cilíndricas las siguiente integrales:

a) ∫0

2π∫o

1∫r

√2−r 2

dz rdr dθ=

b) ∫0

π∫0

θπ∫−√4−r2

3√4−r 2

zdzrdr d θ=18) Use coordenadas cilíndricas para determinar el volumen del sólido acotado por

el paraboloide z=x2+ y2 y el plano z=4

19) Evalúe en coordenadas esféricas las siguiente integrales:

a) ∫0

π∫o

π∫r

2 senφρ2 senφdρ⋅dφ dθ=

b) ∫0

2 π∫0

π4∫0

2( ρ cosφ ) ρ2sen φdρ⋅dφ dθ=

20) Transforme a coordenadas esféricas la integral triple ∭S

√ x2+ y2+z2 dVdonde

S=¿¿21) Calcular en coordenadas esféricas el volumen de un cono de altura 10 y

amplitud π

6

22) Enuncie las integrales triples para el volumen de la esfera ρ=2en coordenadasa) Esféricasb) Cilíndricasc) Rectangulares

23) Calcule los volúmenes de los siguiente sólidos

fig.1 fig2

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z=1−r

z=−√1−r2

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