INE5403 - Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação

INE5403 - Fundamentos de Matemática INE5403 - Fundamentos de Matemática Discreta para a ComputaçãoDiscreta para a Computação

2) Fundamentos2) Fundamentos

2.1) Conjuntos e Sub-conjuntos2.1) Conjuntos e Sub-conjuntos

2.2) Números Inteiros2.2) Números Inteiros

2.3) Funções2.3) Funções

2.4) Seqüências e Somas2.4) Seqüências e Somas

2.5) Crescimento de Funções2.5) Crescimento de Funções

SeqüênciasSeqüências

• Uma seqüência é uma estrutura ordenada usada Uma seqüência é uma estrutura ordenada usada para representar lista ordenada de elementos.para representar lista ordenada de elementos.

Def.Def.: uma : uma seqüênciaseqüência é uma função de um subconjunto é uma função de um subconjunto dos inteiros, {0,1,2,...} ou {1,2,3,...} para um dos inteiros, {0,1,2,...} ou {1,2,3,...} para um conjunto S.conjunto S.

• aann é a imagem do inteiro n é a imagem do inteiro n

• aann é um termo da seqüência é um termo da seqüência

• Usamos a notação {aUsamos a notação {ann} para denotar a seqüência} para denotar a seqüência

• Note que aNote que ann representa um termo da seqüência {a representa um termo da seqüência {ann} }


• Descrevemos seqüências listando os seus termos Descrevemos seqüências listando os seus termos em ordem crescente do índice.em ordem crescente do índice.

• ExemploExemplo: considere a seqüência {a: considere a seqüência {ann}, onde:}, onde:

aann = 1/n = 1/n

– A lista dos termos desta seqüência, ou seja:A lista dos termos desta seqüência, ou seja:

aa11, a, a22, a, a33, a, a44,...,...

– Começa com:Começa com:

1, ½, 1/3, ¼, ...1, ½, 1/3, ¼, ...


• ExemploExemplo: uma : uma progressão aritmétricaprogressão aritmétrica é uma é uma seqüência da forma:seqüência da forma:

– a, a+d, a+2d,..., a+nda, a+d, a+2d,..., a+nd

– Ex.: {sEx.: {snn}, onde s}, onde snn=-1+4n=-1+4n

• a lista de termos sa lista de termos s00, s, s11, s, s22, s, s33,... começa com:,... começa com:

-1,3,7,11,...-1,3,7,11,...


• ExemploExemplo: uma : uma progressão geométricaprogressão geométrica é uma é uma seqüência da forma:seqüência da forma:

– a, ar, ara, ar, ar22,..., ar,..., arnn

– Ex.: {cEx.: {cnn}, onde c}, onde cnn=343=343

• a lista de termos ca lista de termos c11, c, c22, c, c33, c, c44,... começa com:,... começa com:

10,50,250,1250,...10,50,250,1250,...


• Seqüências finitas do tipo aSeqüências finitas do tipo a11,a,a22,...,a,...,ann são muito são muito usadas na Ciência da Computaçãousadas na Ciência da Computação

– Também são chamadas de Também são chamadas de stringsstrings

– O O comprimentocomprimento de uma string é o seu nro de de uma string é o seu nro de termostermos

• ExemploExemplo: a seqüência abcd é uma string de : a seqüência abcd é uma string de comprimento 4.comprimento 4.

Seqüências especiaisSeqüências especiais

• Problema: encontrar uma Problema: encontrar uma fórmulafórmula (regra geral) para a (regra geral) para a construção dos termosconstrução dos termos de uma seqüência. de uma seqüência.

– Às vezes, apenas alguns termos são conhecidos Às vezes, apenas alguns termos são conhecidos (são solução de algum problema).(são solução de algum problema).

– Como identificar a seqüência?Como identificar a seqüência?

• Os primeiros termos Os primeiros termos não definem não definem a seqüência inteira:a seqüência inteira:

– existem infinitas seqüências que começam com os existem infinitas seqüências que começam com os mesmos termos iniciaismesmos termos iniciais

– mas eles podem ajudar a montar uma mas eles podem ajudar a montar uma conjecturaconjectura sobre a identidade da seqüênciasobre a identidade da seqüência


• Ao tentar deduzir uma regra de formação, busca-se Ao tentar deduzir uma regra de formação, busca-se um um padrãopadrão nos primeiros termos. nos primeiros termos.

• Pode-se também tentar determinar Pode-se também tentar determinar comocomo um termo é um termo é produzido a partir dos que o precedem.produzido a partir dos que o precedem.


• Algumas questões úteis:Algumas questões úteis:

– O mesmo valor O mesmo valor reaparecereaparece??

– Há termos obtidos a partir dos anteriores pela Há termos obtidos a partir dos anteriores pela adição de uma qtde fixaadição de uma qtde fixa??

• ou de uma qtde que dependa da posição?ou de uma qtde que dependa da posição?

– Há termos obtidos a partir dos anteriores pela Há termos obtidos a partir dos anteriores pela multiplicação por um valor fixomultiplicação por um valor fixo??

– Há termos obtidos a partir de uma Há termos obtidos a partir de uma combinação dos combinação dos anterioresanteriores??

– Há algum termo que Há algum termo que se repetese repete??


• ExemploExemplo: encontre fórmulas para a seqüência cujos : encontre fórmulas para a seqüência cujos 1ros termos são dados por: 1,1/2,1/4,1/8,1/161ros termos são dados por: 1,1/2,1/4,1/8,1/16

• RespostaResposta::

– os denominadores são potências de 2os denominadores são potências de 2

– opção possível: aopção possível: ann=1/2=1/2n-1n-1

– ou: PG com a=1 e r=1/2ou: PG com a=1 e r=1/2


• ExemploExemplo: encontre fórmulas para as seqüências cujos : encontre fórmulas para as seqüências cujos 1ros termos são dados por: 1,3,5,7,91ros termos são dados por: 1,3,5,7,9


– cada termo obtido pela adição de 2 ao anteriorcada termo obtido pela adição de 2 ao anterior

– opção possível: aopção possível: ann=2n-1=2n-1

– ou: PA com a=1 e d=2ou: PA com a=1 e d=2


• ExemploExemplo: encontre fórmulas para as seqüências : encontre fórmulas para as seqüências cujos 1ros termos são dados por: 1,-1,1,-1,1cujos 1ros termos são dados por: 1,-1,1,-1,1

• Resposta:Resposta:

– os termos alternam entre 1 e -1os termos alternam entre 1 e -1

– opção possível: aopção possível: ann=(-1)=(-1)n+1n+1

– ou: PG com a=1 e r=-1ou: PG com a=1 e r=-1

Formas de construçãoFormas de construção

• ExemploExemplo: como se pode produzir uma seqüência : como se pode produzir uma seqüência cujos 10 primeiros termos são dados por cujos 10 primeiros termos são dados por 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4?1,2,2,3,3,3,4,4,4,4?

– o 1 aparece uma vezo 1 aparece uma vez

– o 2 aparece duas vezes,...o 2 aparece duas vezes,...

– Possível regra de formação: “o inteiro n Possível regra de formação: “o inteiro n aparece exatamente n vezes”aparece exatamente n vezes”


• ExemploExemplo: como se pode produzir uma seqüência : como se pode produzir uma seqüência cujos 10 primeiros termos são dados por cujos 10 primeiros termos são dados por 5,11,17,23,29,35,41,47,53,59?5,11,17,23,29,35,41,47,53,59?


– cada um dos 10 primeiros termos é obtido cada um dos 10 primeiros termos é obtido pela pela adição de 6 ao anterioradição de 6 ao anterior

– possível regra de formação: “o n-ésimo termo possível regra de formação: “o n-ésimo termo pode ser produzido começando-se com 5 e pode ser produzido começando-se com 5 e adicionando-se 6 por n-1 vezes”adicionando-se 6 por n-1 vezes”

– ou seja: o n-ésimo termo é 5+6(n-1)=6n-1ou seja: o n-ésimo termo é 5+6(n-1)=6n-1


• Outra técnica: comparar os termos da seqüência Outra técnica: comparar os termos da seqüência de interesse com os termos de uma seqüência de interesse com os termos de uma seqüência bem conhecida, como:bem conhecida, como:

– termos de uma PA, PGtermos de uma PA, PG

– quadrados perfeitosquadrados perfeitos

– cubos perfeitoscubos perfeitos

Seqüências úteisSeqüências úteis

n-ésimo n-ésimo termotermo

primeiros 10 termosprimeiros 10 termos

nn22 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...

nn33 1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,...1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,...

nn44 1,16,81,256,625,1296,2401,4096,6561,1001,16,81,256,625,1296,2401,4096,6561,10000,...00,...

22nn 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,...2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,...

33nn 3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,......

n!n! 1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,36281,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800...800...


• ExemploExemplo: Deduza uma fórmula simples para a: Deduza uma fórmula simples para ann se os se os 10 1ros termos da seqüência {a10 1ros termos da seqüência {ann} são } são 1,7,25,79,241,727,2185,6559,19681,59047.1,7,25,79,241,727,2185,6559,19681,59047.

• Resposta:Resposta: as diferenças entre termos consecutivos as diferenças entre termos consecutivos não indicam nenhum padrão...não indicam nenhum padrão...

– Razão entre termos consecutivos:Razão entre termos consecutivos:

• embora variável, fica próxima de 3embora variável, fica próxima de 3

• suspeita: fórmula envolvendo 3suspeita: fórmula envolvendo 3nn

• comparando com a seqüência {3comparando com a seqüência {3nn}:}:– n-ésimo termo = 2 a menos do correspondenten-ésimo termo = 2 a menos do correspondente– ou seja: aou seja: ann = 3 = 3n n - 2- 2


• Neil Sloane:Neil Sloane:

– Enciclopédia da Seqüências de inteirosEnciclopédia da Seqüências de inteiros

– Coleção de mais de 8000 seqüências na Coleção de mais de 8000 seqüências na InternetInternet

– Também tem um programa que busca na Também tem um programa que busca na enciclopédia quais as seqüências que enciclopédia quais as seqüências que combinam com termos iniciais fornecidos..combinam com termos iniciais fornecidos..


• Exercício Exercício (seleção para a google): encontre a (seleção para a google): encontre a próxima linhapróxima linha da seqüência abaixo: da seqüência abaixo:

11

1 11 1

2 12 1

1 2 1 11 2 1 1

SomasSomas

• Notação usada para expressar a soma dos termos:Notação usada para expressar a soma dos termos:

aamm,a,am+1m+1,...,a,...,ann

– a partir da seqüência {aa partir da seqüência {ann}:}:

n

mjja

• Note que a escolha da letra “j” como índice é arbitráriaNote que a escolha da letra “j” como índice é arbitrária

SomasSomas

• ExemploExemplo: A soma dos 100 primeiros termos da : A soma dos 100 primeiros termos da seqüência {aseqüência {ann}, onde a}, onde ann=1/n, para n=1,2,3,.... é =1/n, para n=1,2,3,.... é dada por:dada por:

100

1

1

j j

SomasSomas

• ExemploExemplo: qual o valor de ?: qual o valor de ?

5

1

2

jj

– SoluçãoSolução: temos: temos

5554321 222225

1

2 j

j

Deslocamento do índiceDeslocamento do índice

• Útil quando duas somas precisam ser adicionadas, mas os Útil quando duas somas precisam ser adicionadas, mas os seus seus índices não combinamíndices não combinam..

• Importante fazer as mudanças apropriadas no somando.Importante fazer as mudanças apropriadas no somando.

• ExemploExemplo: Suponha que tenhamos a soma:: Suponha que tenhamos a soma:– mas precisamos que o índice vá de 0 a 4, em vez de 1 a mas precisamos que o índice vá de 0 a 4, em vez de 1 a

55– para isto, fazemos k=j-1para isto, fazemos k=j-1– o termo jo termo j22 se torna (k+1) se torna (k+1)22

5

1

2

jj

55)1(4

0

25

1

2

kj

kj

Somas Somas duplasduplas

• Aparecem em muitos contextos.Aparecem em muitos contextos.

– Por exemplo: na análise de loops “aninhados” em Por exemplo: na análise de loops “aninhados” em programasprogramas

• ExemploExemplo: :

4

1

3

1i j

ij

• Para Para avaliaravaliar a soma dupla, expanda a soma interna e a soma dupla, expanda a soma interna e então compute a externa:então compute a externa:

602418126

6

)32(

4

1

4

1

4

1

3

1

i

i ij

i

iiiij

Somas completasSomas completas

• Pode-se usar esta notação para adicionar todos os Pode-se usar esta notação para adicionar todos os valores de uma função ou termos de um conjunto valores de uma função ou termos de um conjunto indexado.indexado.

• Ou seja, escreve-se:Ou seja, escreve-se:

– para representar a soma dos valores f(s), para representar a soma dos valores f(s), para para todos os membros todos os membros s de S.s de S.

Ss

sf )(

Somas completasSomas completas

• ExemploExemplo: qual o valor de ?: qual o valor de ?

– SoluçãoSolução::

}4,2,0{ss

6420}4,2,0{

ss

Somas conhecidasSomas conhecidas

• Certas somas aparecem repetidamente ao longo Certas somas aparecem repetidamente ao longo da matemática discreta.da matemática discreta.

• Útil ter uma coleção de fórmulas para estas Útil ter uma coleção de fórmulas para estas somas.somas.

• Há muitas maneiras de provar/obter estas somas.Há muitas maneiras de provar/obter estas somas.

– Mas note que todas elas podem ser provadas Mas note que todas elas podem ser provadas por indução matemática.por indução matemática.

Algumas fórmulas de somas úteisAlgumas fórmulas de somas úteis

SomaSoma Forma fechadaForma fechada

)0(,0

rar

n

k

k

n

kk1

n

kk1

2

n

k

k1

3

1,0

xx

k

k

1,1

1

xkx

k

k

)1(,1

1

rr

aar n

2

1nn

6

121 nnn

4

1 22 nn

x11

21

1

x

Uso das somas conhecidasUso das somas conhecidas

• ExemploExemplo: Encontre: Encontre

100

50

2

k

k

• SoluçãoSolução: :

– primeiro note que:primeiro note que:

– então, usando a fórmula para então, usando a fórmula para (k (k22) da tabela, obtemos:) da tabela, obtemos:

49

1

2100

1

2100

50

2

kkk

kkk

2979256

995049

6

201101100100

50

2

k

k

Uso das somas conhecidasUso das somas conhecidas

• ExemploExemplo: Seja x um nro real com |x|<1. Ache : Seja x um nro real com |x|<1. Ache

0nnx

• Então, já que |x|<1, xEntão, já que |x|<1, xk+1k+1 se aproxima de zero se aproxima de zero quando k tende a infinito.quando k tende a infinito.

– portanto:portanto:

1

11

0

x

xx

kk

n

n

xxx

xx

k

kn

n

1

1

1

1

1

1lim

1

0

• SoluçãoSolução: pela primeira fórmula da tabela, com a=1 e r=x, : pela primeira fórmula da tabela, com a=1 e r=x, obtemos:obtemos:

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