INDICE DEGLI ARGOMENTI - · PDF fileProf. I. Savoia PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO p. Bologna, maggio 2012. Seconda edizione 1 PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO Prof. I

Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.

Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione

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PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO

Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia

INDICEINDICEINDICEINDICE DEGLIDEGLIDEGLIDEGLI ARGOMENTIARGOMENTIARGOMENTIARGOMENTI

§§§§ 1111 PROPRIETA'PROPRIETA'PROPRIETA'PROPRIETA' p.p.p.p. 2222

1.11.11.11.1 ParabolaParabolaParabolaParabola comecomecomecome luogoluogoluogoluogo geometrico.geometrico.geometrico.geometrico. p.p.p.p. 2222

1.21.21.21.2 ParabolaParabolaParabolaParabola comecomecomecome funzione.funzione.funzione.funzione. p.p.p.p. 3333

§§§§ 2222 PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA TRASLATATRASLATATRASLATATRASLATA EDEDEDED EQUAZIONEEQUAZIONEEQUAZIONEEQUAZIONE GENERALE.GENERALE.GENERALE.GENERALE. p.p.p.p. 5555

2.12.12.12.1 IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni conconconcon gligligligli assi.assi.assi.assi. p.p.p.p. 6666

2.22.22.22.2 ParaboleParaboleParaboleParabole conconconcon equazioniequazioniequazioniequazioni incomplete.incomplete.incomplete.incomplete. p.10p.10p.10p.10

ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon verticeverticeverticevertice sull'assesull'assesull'assesull'asse Y.Y.Y.Y. p.10p.10p.10p.10

ParabolaParabolaParabolaParabola passantepassantepassantepassante perperperper l'origine.l'origine.l'origine.l'origine. p.12p.12p.12p.12

§§§§ 2222 PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA ADADADAD ASSEASSEASSEASSE ORIZZONTALEORIZZONTALEORIZZONTALEORIZZONTALE p.14p.14p.14p.14

§§§§ 3333 MUTUAMUTUAMUTUAMUTUA POSIZIONEPOSIZIONEPOSIZIONEPOSIZIONE FRAFRAFRAFRA PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA EEEE RETTARETTARETTARETTA p.15p.15p.15p.15

3.13.13.13.1 ParabolaParabolaParabolaParabola eeee rettarettarettaretta obliqua.obliqua.obliqua.obliqua. p.15p.15p.15p.15

3.23.23.23.2 ParabolaParabolaParabolaParabola eeee rettarettarettaretta verticale.verticale.verticale.verticale. p.17p.17p.17p.17

3.3.3.3. 3333 TangentiTangentiTangentiTangenti adadadad unaunaunauna parabolaparabolaparabolaparabola condottecondottecondottecondotte dadadada unununun punto.punto.punto.punto. P.18P.18P.18P.18

3.43.43.43.4 TangenteTangenteTangenteTangente inininin unununun puntopuntopuntopunto delladelladelladella parabola.parabola.parabola.parabola. p.21p.21p.21p.21

§§§§ 4444 STUDIOSTUDIOSTUDIOSTUDIO DELDELDELDEL SEGNOSEGNOSEGNOSEGNO DELDELDELDEL TRINOMIOTRINOMIOTRINOMIOTRINOMIO ccccxxxxbbbbxxxxaaaa ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ 2222 p.24p.24p.24p.24

§§§§ 5555 PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA SOGGETTASOGGETTASOGGETTASOGGETTA AAAA CONDIZIONICONDIZIONICONDIZIONICONDIZIONI p.26p.26p.26p.26

5.15.15.15.1 ParabolaParabolaParabolaParabola passantepassantepassantepassante prepreprepre tretretretre puntipuntipuntipunti noti.noti.noti.noti. p.26p.26p.26p.26

5.25.25.25.2 FuocoFuocoFuocoFuoco eeee direttricedirettricedirettricedirettrice p.27p.27p.27p.27

5.35.35.35.3 ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon fuocofuocofuocofuoco eeee direttricedirettricedirettricedirettrice assegnatiassegnatiassegnatiassegnati p.28p.28p.28p.28

5.45.45.45.4 ParabolaParabolaParabolaParabola didididi verticeverticeverticevertice eeee intersezioneintersezioneintersezioneintersezione asseasseasseasse YYYY noti.noti.noti.noti. P.29P.29P.29P.29

5.55.55.55.5 ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon verticeverticeverticevertice VVVV eeee unununun unununun puntopuntopuntopunto PPPP qualsiasi.qualsiasi.qualsiasi.qualsiasi. p.30p.30p.30p.30

5.65.65.65.6 ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon assegnateassegnateassegnateassegnate intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni lungolungolungolungo gligligligli assi.assi.assi.assi. p.30p.30p.30p.30

5.75.75.75.7 LegameLegameLegameLegame frafrafrafra intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni eeee verticeverticeverticevertice p.31p.31p.31p.31

5.85.85.85.8 FormaFormaFormaForma alternativaalternativaalternativaalternativa dell'equazione.dell'equazione.dell'equazione.dell'equazione. p.p.p.p. 32323232

5.95.95.95.9 ValoriValoriValoriValori interiinteriinteriinteri delledelledelledelle ascisseascisseascisseascisse delledelledelledelle intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni conconconcon l'assel'assel'assel'asse XXXX. p.33p.33p.33p.33

5.105.105.105.10 FasciFasciFasciFasci didididi paraboleparaboleparaboleparabole conconconcon intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni asseasseasseasse XXXX prefissateprefissateprefissateprefissate eeee verticeverticeverticevertice variabilevariabilevariabilevariabile. p.34p.34p.34p.34



2

§§§§ 1111 PROPRIETA'PROPRIETA'PROPRIETA'PROPRIETA'

1.11.11.11.1 ParabolaParabolaParabolaParabola comecomecomecome luogoluogoluogoluogo geometrico.geometrico.geometrico.geometrico.

LaLaLaLa parabolaparabolaparabolaparabola èèèè ilililil luogoluogoluogoluogo deideideidei puntipuntipuntipunti deldeldeldel piano,piano,piano,piano, eeee solosolosolosolo essi,essi,essi,essi, equidistantiequidistantiequidistantiequidistanti dadadada unununun puntopuntopuntopunto FFFFdettodettodettodetto fuocofuocofuocofuoco eeee dadadada unaunaunauna rettarettarettaretta dettadettadettadetta direttrice.direttrice.direttrice.direttrice.

Per comodità di rappresentazione scegliamo l'origine O equidistante dal fuoco F(0; k)posto lungo l'asse Y e dalla retta direttrice di equazione y=-k , parallela all'asse X.La distanza fra un qualsiasi punto P(x; y) e la retta direttrice vale

(((( )))) kkkkyyyykkkkyyyyPHPHPHPH ++++====−−−−−−−−==== mentre la distanza fra lo stesso punto P ed il fuoco F sicalcola con la formula della distanza fra due punti:

(((( )))) (((( )))) 22222222222222222222 22220000 kkkkkykykykyyyyyxxxxkkkkyyyyxxxxPFPFPFPF ++++−−−−++++====−−−−++++−−−−==== . In base alla definizione si ha la

relazione PHPHPHPHPFPFPFPF ==== o, equivalentemente,22222222 PHPHPHPHPFPFPFPF ==== . Pertanto sostituendo le

espressioni abbiamo: 2222222222222222 2222 kkkkyyyykkkkyyyyxxxxkkkkyyyy +⋅−+=+ ; sviluppiamo ora il quadrato al

secondo membro : 22222222222222222222 22222222 kkkkyyyykkkkyyyyxxxxkkkkyyyykkkkyyyy +⋅−+=+⋅+ quindi semplifichiamo eisoliamo la lettera y al primo membro: 22222222 444422222222 xxxxyyyykkkkxxxxyyyykkkkyyyykkkk =⋅⇒=⋅+⋅ e infine :

2222

44441111 xxxxkkkk

yyyy ⋅= .Se poniamokkkk

aaaa44441111

= l'equazione della parabola diventa: 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== .

La figura illustra il grafico della parabola per 0000>>>>aaaa (fuoco sopra l'origine).

xxxx

yyyy

FFFF

HHHHy=-ky=-ky=-ky=-k0000

P(x; y)P(x; y)P(x; y)P(x; y)



3

1.1.1.1. 2222 ParabolaParabolaParabolaParabola comecomecomecome funzione.funzione.funzione.funzione.L'equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== , con {{{{ }}}}0000\\\\RRRRaaaa∈∈∈∈ , corrisponde alla funzione paraboladescritta da una curva simmetrica rispetto all'asse verticale, al variare dei valoridella variabile xxxx con ∈∈∈∈xxxx R. La curva, che passa sempre per l'origine degli assi, per

0000>>>>aaaa si trova sopra l'asse X e rivolge la sua concavità verso l'alto mentre per0000<<<<aaaa si colloca sotto l'asse X e rivolge la sua concavità verso il basso. Il termine aaaa

è detto "apertura della parabola".Data una equazione, ad esempio 222255550000 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅==== , possiamo tabularne alcuni valori alvariare della xxxx da valori positivi a negativi, per tracciarne il grafico:

x -3 -2 -1 0 +1 +2 +3

222255550000 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅====4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5

Notiamo che, per valori di x opposti fra loro come + 2 e - 2 la funzione assume lostesso valore 2. Questo è dovuto al quadrato: (((( )))) (((( )))) (((( ))))xxxxyyyyxxxxaaaaxxxxaaaaxxxxyyyy ====⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− 22222222 .Possiamo ripetere la costruzione di tabelle rispetto a qualunque altra funzione con

0000>>>>aaaa oppure con 0000<<<<aaaa , come 222255551111 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅−−−−==== :x -3 -2 -1 0 +1 +2 +3

222255551111 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅−−−−====-13.5 -6 -1.5 0 -1.5 -6 -13.5

-8-8-8-8 8888

-14-14-14-14

14141414

xxxx

yyyyy=0.5 xy=0.5 xy=0.5 xy=0.5 x2222

y=-1.5xy=-1.5xy=-1.5xy=-1.5x2222

Il significato del parametro apertura aaaa dell'equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== è il seguente:tanto più piccolo è il suo valore assoluto e tanto più la parabola è aperta; viceversa,tanto più è grande tale valore e tanto più stretta è la parabola. La figura seguentemostra, al variare del parametro aaaa come varia la forma della curva.



4

xxxx

yyyy

a=0.5a=0.5a=0.5a=0.5

a=0.05a=0.05a=0.05a=0.05

a=1a=1a=1a=1 a=2a=2a=2a=2 a=4a=4a=4a=4

a=-1.5a=-1.5a=-1.5a=-1.5

a=-0.75a=-0.75a=-0.75a=-0.75

a=-0.1a=-0.1a=-0.1a=-0.1

a=-5a=-5a=-5a=-5

0000

Notiamo che, data una equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== , tanto più grande è il valore assolutodel parametro aaaa e tanto più vicino all'origine è il fuoco della parabola: infatti la

relazionekkkk

aaaa44441111

==== equivale aaaaa

kkkk44441111

==== . Se, ad esempio a=0.025 è k=10 per cui il

fuoco è in F(0; 10) ; invece se a=2.5 allora k=0.1 e il fuoco è in F(0; 0.1).

Tracciatura dei grafici: per disegnare i grafici delle parabole è opportuno, dopoaverne calcolato dei valori in una tabella, predisporre delle scale opportune di unitàdi misura lungo i due assi cartesiani. Non occorre, in generale, che il sistema debbaessere monometrico ma può, al contrario, essere formato da due diverse unità, unaper ciascun asse. In questo modo possiamo garantire al grafico di rappresentarecorrettamente tutti i numeri, dal minimo al massimo presenti nella tabella, comecoordinate dei suoi punti.



5

§§§§ 2.2.2.2. PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA TRASLATATRASLATATRASLATATRASLATA EDEDEDED EQUAZIONEEQUAZIONEEQUAZIONEEQUAZIONE GENERALEGENERALEGENERALEGENERALESupponiamo di effettuare una traslazione della parabola di equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅====che sposti l'origine in un punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxVVVV detto vertice.Dobbiamo ora determinare l'equazione della parabola traslata e, per questo scopo,consideriamo due nuovi assi cartesiani X' e Y' paralleli ai vecchi assi X e Y, e passantiper il vertice. Dette x' e y' le coordinate di un qualsiasi punto della parabola P(x'; y'')misurate rispetto al nuovo sistema di riferimento X'VY', deve valere sempre la stessaequazione (((( ))))2222''''xxxxaaaa''''yyyy ⋅⋅⋅⋅==== poichè la forma e le caratteristiche delle figure noncambiano a seguito della traslazione. La legge della trasformazione che lega lecoordinate dei due sistemi di riferimento è:

0000xxxxxxxx''''xxxx −−−−==== , 0000yyyyyyyy''''yyyy −−−−====Sostituendo queste relazioni otteniamo l'equazione cercata:

(((( )))) (((( ))))2222000000002222 xxxxxxxxaaaayyyyyyyy''''xxxxaaaa''''yyyy −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅==== .

XXXX

YYYY

VVVV

OOOO xxxx0000

yyyy0000 X'X'X'X'

Y'Y'Y'Y'y=a xy=a xy=a xy=a x2222 y=a xy=a xy=a xy=a x2222+b x+c+b x+c+b x+c+b x+c

Sviluppiamo il quadrato del binomio ed isoliamo la variabile dipendente yyyy :(((( )))) 0000

222200000000

22220000

222200000000

2222 22222222 yyyyxxxxaaaaxxxxaxaxaxaxxxxxaaaayyyyyyyyxxxxxxxxxxxxxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒++++++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅==== .Denominiamo i coefficienti degli ultimi due termini con nuove lettere:

ccccyyyyxxxxaaaabbbbaxaxaxax ====++++⋅⋅⋅⋅====−−−− 00002222

000000002222 , ; sostituendoli si ha l'equazione della parabola:

ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , dove 0000≠≠≠≠aaaa e cccc,,,,bbbb numeri reali.Le coordinate del vertice VVVV si ottengono dalla relazioni sopra scritte:

; aaaa

bbbbxxxxbbbbaxaxaxax2222

2222 00000000 −−−−====⇒⇒⇒⇒====−−−− ⇒⇒⇒⇒⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅

22222222

0000000000002222

0000 2222aaaabbbbaaaaccccxxxxaaaaccccyyyyccccyyyyxxxxaaaa

aaaaacacacacbbbbyyyy

aaaabbbbacacacac

aaaabbbbcccc

aaaabbbbaaaaccccyyyy

44444444

44444444

44444444

2222

0000

22222222

2222

2222

0000−−−−

−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−

====−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====

Ricordando che il discriminante di una equazione di secondo grado è

acacacacbbbb 44442222 −−−−====∆∆∆∆ , il vertice si può scrivere come ⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ ∆∆∆∆

−−−−−−−−aaaa

;;;;aaaa

bbbbVVVV44442222

.



6

Ad esempio, se trasliamo la parabola di equazione 222255551111 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅==== in modo che il nuovovertice sia nel punto V(3,V(3,V(3,V(3, 2)2)2)2) determiniamone l'equazione:

(((( )))) (((( )))) 99996666555511112222555511113333 22222222222200000000 ++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− xxxxxxxx....yyyyxxxx....yyyyxxxxxxxxaaaayyyyyyyy .

xxxx

yyyy

y=1.5 xy=1.5 xy=1.5 xy=1.5 x2222 - 6x +9 - 6x +9 - 6x +9 - 6x +9

y=1.5 xy=1.5 xy=1.5 xy=1.5 x2222 V(2; 3)V(2; 3)V(2; 3)V(2; 3)

OOOO

Come si nota dal grafico sopra riportato la parabola traslata mantiene:-la stessa forma e la stessa apertura;-la stessa concavità , verso l'alto se a>0 oppure verso il basso se a<0.

Viceversa, data una parabola di eq.ne 55552222222255550000 2222 ....xxxxxxxx....yyyy −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== determiniamo VVVV:

2222555500002222

222222220000 −−−−====

⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====

....aaaabbbbxxxx ; (((( )))) (((( ))))

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====222299992222

22229999

555500004444555522225555000044442222

4444

2222

0000 ;;;;VVVV....

........aaaa

yyyy

2.12.12.12.1 IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni conconconcon gligligligli assi.assi.assi.assi.

I punti nei quali il grafico attraversa gli assi sono detti intersezioni. I valori dellecoordinate delle intersezioni si ricavano ponendo a zero, in un sistema, le variabilicorrispondenti all'altro asse.

IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni asseasseasseasse XXXX. Data una parabola di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , siricavano annullando la variabile y ed il loro numero dipende dal segno deldiscriminante del trinomio di secondo grado associato, ccccaaaabbbb ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ 44442222 :



7

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))0

0

vertice del ascissa

neintersezio nessuna

;;;;xxxxBBBBxxxx;;;;xxxxAAAAxxxx

aaaabbbbxxxx

VVVVaaaa

bbbbxxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaa

yyyy

ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

yyyy

,,,,22222222

1111111122221111

000022222222

22220000

22220000

0000

0000

00000000

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

====⋅⋅⋅⋅

∆∆∆∆±±±±−−−−====⇒⇒⇒⇒>>>>∆∆∆∆

−−−−====⇒⇒⇒⇒====∆∆∆∆

⇒⇒⇒⇒<<<<∆∆∆∆

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

====

ProprietProprietProprietProprietàààà deldeldeldel verticeverticeverticevertice nel caso di due soluzioni con 0000>>>>∆∆∆∆ .L'ascissa del vertice, è sempre data dalla media aritmetica delle ascisse delle due

intersezioni con l'asse X:2222

22221111 xxxxxxxxxxxxVVVV++++

====

DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione: ricordando la relazioneaaaa

bbbbxxxxVVVV 2222−−−−==== , basta sostituire nella

semisomma scritta sopra le soluzioni della equazione di secondo grado:

(((( ))))aaaa

bbbbaaaabbbb

aaaabbbbbbbb

aaaabbbb

aaaabbbbxxxxxxxxxxxxxxxx

222244442222

222222221111

2222222222221111

22221111

2222 2222111122221111 −−−−====

−−−−====⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛ ∆∆∆∆++++−−−−∆∆∆∆−−−−−−−−====⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛ ∆∆∆∆++++−−−−++++

∆∆∆∆−−−−−−−−====++++====

++++

IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni asseasseasseasse Y.Y.Y.Y.

Ne esiste sempre una sola: (((( ))))cccc;;;;CCCCccccyyyy

xxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

xxxx 0000

000000002222 ⇒⇒⇒⇒

⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

========

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

====.

DisegnoDisegnoDisegnoDisegno deideideidei graficigraficigraficigrafici di parabole di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 .Oltre al vertice e alle intersezioni con gli assi cartesiani è buona norma calcolare lecoordinate di qualche altro punto prendendo, come valori dati alla xxxx , dei numeri siaminori che maggiori dell'ascissa del vertice. In questo modo siamo sicuri che ilgrafico abbia una efficacia rappresentativa. I valori attribuiti, inoltre, dovrebberorispettare criteri di ragionevolezza ottenendo, possibilmente, dei numeri interi osemi interi, o frazioni, tali da poterli rappresentare facilmente.L'ampiezza delle scale lungo gli assi deve poi contenere ogni valore calcolato.

ESEMPI.ESEMPI.ESEMPI.ESEMPI.

I grafici che seguono mostra delle coppie di parabole, sia con 0000>>>>aaaa (concavitàverso l'alto) che con 0000<<<<aaaa (concavità verso il basso) nei tre casi possibili con

0000<<<<∆∆∆∆ , 0000====∆∆∆∆ e 0000>>>>∆∆∆∆ . Per ognuno dei grafici vengono calcolati i valori relativi alvertice e alle intersezioni con gli assi. Ulteriori punti, collocati a sinsitra e a destradei vertici, sono visualizzati lungo le curve.

EsempioEsempioEsempioEsempio 1.1.1.1. 0000<<<<∆∆∆∆a) 44443333757575750000 2222 ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxx....yyyy ; 33334444757575750000444433334444 22222222 −−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ....ccccaaaabbbb .

22227575757500002222

33332222

−−−−====⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−====....aaaa

bbbbxxxxVVVV . Per il calcolo di VVVVyyyy si può procedere in due modi:



8

con la formula 11117575757500004444

33334444

====⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====....aaaa

yyyyVVVV , oppure sostituendo VVVVxxxx nella

funzione (((( )))) (((( )))) (((( )))) 11114444222233332222757575750000 2222 ====++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅⋅======== ....xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. asse Y: (((( ))))44440000 ;;;;CCCC .

b) 3333222255550000 2222 −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== xxxxxxxx....yyyy ; (((( )))) (((( )))) 2222333355550000444422224444 22222222 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ....ccccaaaabbbb .

Vertice: (((( )))) 2222555500002222

22222222

====−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−====....aaaa

bbbbxxxxVVVV ; (((( )))) 1111555500004444

22224444

−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====....aaaa

yyyyVVVV ;

(((( )))) 1111333322222222222255550000 2222 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−======== ....xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV Int. asse Y: (((( ))))33330000 −−−− ;;;;CCCC

xxxx

yyyya: y=0.75 xa: y=0.75 xa: y=0.75 xa: y=0.75 x2222 +3 x + 4 +3 x + 4 +3 x + 4 +3 x + 4

b: y= -0.5xb: y= -0.5xb: y= -0.5xb: y= -0.5x2222 + 2 x - 3 + 2 x - 3 + 2 x - 3 + 2 x - 3

CCCC2222

VVVV2222

VVVV1111

CCCC1111

OOOO

EsempioEsempioEsempioEsempio 2.2.2.2. 0000====∆∆∆∆

a) ; 44442222252525250000 2222 −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== xxxxxxxx....yyyy (((( )))) (((( )))) (((( )))) 00004444252525250000444422224444 22222222 ====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ....ccccaaaabbbb .

Vertice: (((( )))) 44442525252500002222

22222222

−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====−−−−====....aaaa

bbbbxxxxVVVV ; (((( )))) 00002525252500004444

00004444

====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====....aaaa

yyyyVVVV

(((( )))) (((( )))) (((( )))) 00004444444422224444252525250000 2222 ====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−======== ....xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. Asse Y: (((( ))))44440000 −−−− ;;;;CCCC .

b) 55554444333355550000 2222 ....xxxxxxxx....yyyy ++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅==== ; (((( )))) 00005555444455550000444433334444 22222222 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ........ccccaaaabbbb ;

Vertice: 3333555500002222

33332222

====⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====−−−−====....aaaa

bbbbxxxxVVVV ; 0000555500004444

00004444

====⋅⋅⋅⋅

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====....aaaa

yyyyVVVV ;

(((( )))) 00005555444433333333333355550000 2222 ====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅======== ........xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. Asse Y: (((( ))))555544440000 ....;;;;CCCC



9

xxxx

yyyy

a: y=-0.25 xa: y=-0.25 xa: y=-0.25 xa: y=-0.25 x2222 - 2 x - 4 - 2 x - 4 - 2 x - 4 - 2 x - 4

b: y=0.5 xb: y=0.5 xb: y=0.5 xb: y=0.5 x2222 - 3 x + 4.5 - 3 x + 4.5 - 3 x + 4.5 - 3 x + 4.5

CCCC2222

VVVV2222

VVVV1111

CCCC1111

OOOO

EsempioEsempioEsempioEsempio 3.3.3.3. 0000>>>>∆∆∆∆

a) 6666444455550000 2222 ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxx....yyyy ; 4444666655550000444444444444 22222222 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ....ccccaaaabbbb .

Vertice: 4444555500002222

44442222

−−−−====⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−====....aaaa

bbbbxxxxVVVV ; 2222555500004444

44444444

−−−−====⋅⋅⋅⋅

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====....aaaa

yyyyVVVV ;

(((( )))) (((( )))) (((( )))) 2222666644444444444455550000 2222 −−−−====++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅⋅======== ....xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. Asse Y: (((( ))))66660000 ;;;;CCCCIntersezioni asse X:

(((( )))) (((( ))))(((( ))))000022222222

00006666666655550000222222224444

2222000066664444555500000000

2222

11112222

;;;;BBBBxxxx;;;;AAAAxxxx

....aaaabbbbxxxxxxxxxxxx....xxxxyyyy

−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

====⋅⋅⋅⋅±±±±−−−−

====∆∆∆∆±±±±−−−−

====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒==== .Pr

oprietà del vertice: (((( )))) 44442222

222266662222

22221111 −−−−====−−−−++++−−−−

====++++

====xxxxxxxxxxxxVVVV .

b) 75757575111155551111252525250000 2222 ....xxxx....xxxx....yyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== ; (((( )))) 44447575757511112525252500004444555511114444 22222222 ====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ............ccccaaaabbbb .

Vertice: (((( )))) 33332525252500002222

555511112222

====−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−====....

....aaaa

bbbbxxxxVVVV ; (((( )))) 44442525252500004444

44444444

====−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====....aaaa

yyyyVVVV ;

(((( )))) 44447575757511113333555511113333252525250000 2222 ====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−======== ............xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. Asse Y: (((( ))))7575757511110000 ....;;;;CCCC .Intersezioni asse X:

(((( )))) (((( ))))(((( ))))000077777777

0000111111112525252500002222

22227575757511112222

00007575757511115555111125252525000000002222

11112222

;;;;BBBBxxxx;;;;AAAAxxxx

........

aaaabbbbxxxx....xxxx....xxxx....xxxxyyyy

++++⇒⇒⇒⇒++++====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

====⋅⋅⋅⋅

±±±±−−−−====

∆∆∆∆±±±±−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒====

Proprietà del vertice: 33332222

777711112222

22221111 ====++++−−−−

====++++

====xxxxxxxxxxxxVVVV .



10

xxxx

yyyy

y=0.5 xy=0.5 xy=0.5 xy=0.5 x2222 + 4 x + 6 + 4 x + 6 + 4 x + 6 + 4 x + 6 a: a: a: a:

b: y= -0.25 xb: y= -0.25 xb: y= -0.25 xb: y= -0.25 x2222 + 1.5 x + 1.75 + 1.5 x + 1.75 + 1.5 x + 1.75 + 1.5 x + 1.75

OOOOAAAA2222 BBBB2222

CCCC2222

VVVV2222

AAAA1111 BBBB1111

VVVV1111

CCCC1111

2.2.2.2. 2222 ParaboleParaboleParaboleParabole conconconcon equazioniequazioniequazioniequazioni incomplete.incomplete.incomplete.incomplete.

ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon verticeverticeverticevertice sull'assesull'assesull'assesull'asse YYYY : caso ⇒⇒⇒⇒≠≠≠≠∧∧∧∧==== 00000000 ccccbbbb ccccxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 .

Nel caso di b=0 il vertice si trova sull'asse Y: 000022220000

2222====−−−−====−−−−====

aaaaaaaabbbbxxxxVVVV .

(((( ))))cccc;;;;VVVVccccaaaa

ccccaaaaaaaa

yyyyccccaaaaccccaaaa VVVV 000044444444

44444444444400002222 ⇒⇒⇒⇒====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆

−−−−====⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ .

Le intersezioni con l'asse X possono esistere oppure no a seconda dei segni dei duecoefficienti per cui, in base al segno del loro prodotto, abbiamo:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛−−−−++++⇒⇒⇒⇒−−−−++++====

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−====

====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒<<<<

⇒⇒⇒⇒<<<<

⇒⇒⇒⇒>>>>⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒>>>>

⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅

0000

0000

00000000

0000

00000000

2222

1111

22222222

X assel' sotto parabola

X assel' sopra parabola X assel' con neintersezio nessuna

;;;;aaaaccccBBBB

aaaaccccxxxx

;;;;aaaaccccAAAA

aaaaccccxxxx

xxxxaaaaccccxxxxccccxxxxaaaa

aaaa

aaaa

ccccaaaa



11

ESEMPI.ESEMPI.ESEMPI.ESEMPI.

Si riportano di seguito degli esempi, relativi al caso trattato che, oltre a riportare neigrafici il vertice e le intersezioni con gli assi, visualizzano anche altri punti dispostiattorno al vertice.

EsempioEsempioEsempioEsempio 1111 ....

a) ⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅==== 000075757575000033332525252500003333252525250000 2222 ........ccccaaaaxxxx....yyyy 0 intersezioni asse X.Vertice ed intersezione asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; 3)3)3)3) .

b) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== 00001111222255550000222255550000 2222 ....ccccaaaaxxxx....yyyy 2 intersezione asse X.(((( ))))(((( ))))00002222

000022222222

555500002222

;;;;BBBB;;;;AAAA

....aaaaccccxxxx

++++−−−−

⇒⇒⇒⇒±±±±====−−−−

−−−−±±±±====−−−−±±±±==== ; Vertice e int. asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; 2)2)2)2) .

xxxx

yyyy

a: y = 0.25 xa: y = 0.25 xa: y = 0.25 xa: y = 0.25 x2 2 2 2 + 3+ 3+ 3+ 3

b: y = -0.5 xb: y = -0.5 xb: y = -0.5 xb: y = -0.5 x2222 + 2 + 2 + 2 + 2

OOOO

VVVV1111

VVVV2222

AAAA BBBB

EsempioEsempioEsempioEsempio 2222.

a) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== 0000555500002222125125125125000022221251251251250000 2222 ........ccccaaaaxxxx....yyyy 2 int. Asse X:(((( ))))(((( ))))00004444

000044444444

12512512512500002222

;;;;BBBB;;;;AAAA

....aaaaccccxxxx

++++−−−−

⇒⇒⇒⇒±±±±====−−−−

−−−−±±±±====−−−−±±±±==== . Vertice e int. Asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; 2)2)2)2) .

b) (((( )))) ⇒⇒⇒⇒>>>>++++====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== 000055550000111155550000111155550000 2222 ........ccccaaaaxxxx....yyyy 0 intersezioni asse X.Vertice e intersezione asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; -1)-1)-1)-1) .



12

xxxx

yyyy

AAAA BBBB

VVVV1111

VVVV2222

b: y=-1.25xb: y=-1.25xb: y=-1.25xb: y=-1.25x2222-1-1-1-1

a: y=-0.125xa: y=-0.125xa: y=-0.125xa: y=-0.125x2222+2+2+2+2

OOOO

ParabolaParabolaParabolaParabola passantepassantepassantepassante perperperper l'origine.l'origine.l'origine.l'origine. Caso xxxxbbbbxxxxaaaayyyyccccbbbb ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====∧∧∧∧≠≠≠≠ 222200000000 .

L' origine (((( ))))00000000 ;;;;OOOO appartiene alla parabola: (((( )))) 0000000000000000 2222 ====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== bbbbaaaayyyy .

Vertice:aaaa

bbbbxxxxVVVV 2222−−−−==== ; 22222222 00004444 bbbbaaaabbbb ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ; ⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆

−−−−====aaaa

bbbb;;;;aaaa

bbbbVVVVaaaa

bbbbaaaa

yyyyVVVV 4444222244444444

22222222 .

Intersezioni asse X:

(((( ))))(((( ))))

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

0000

00000000000000000000

2222

11112222

;;;;aaaabbbbAAAA

aaaabbbbxxxx

; ; ; ; OOOOxxxxbbbbxxxxaaaaxxxxxxxxbbbbxxxxaaaa .

ESEMPIESEMPIESEMPIESEMPI

Si riportano di seguito degli esempi di parabole passanti per l'origine che, oltre ariportare nei grafici il vertice e le intersezioni con gli assi, ne visualizzano anche altripunti disposti attorno al vertice.

EsempioEsempioEsempioEsempio 1:1:1:1: xxxxxxxxyyyy ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 555544445555 2222 .

Intersezioni asse X: (((( ))))00000000 ;;;;OOOO , (((( ))))00004444444444445555

5555 ;;;;AAAAaaaabbbbxxxx −−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−====−−−−==== .

Vertice: 2222444455552222

55552222

−−−−====⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−====aaaa

bbbbxxxxVVVV ; (((( ))))555522225555444455554444

55554444

22222222−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−==== ;;;;VVVV

aaaabbbbyyyyVVVV



13

xxxx

yyyy

AAAA

y = 1.25 x y = 1.25 x y = 1.25 x y = 1.25 x2222 + 5 x + 5 x + 5 x + 5 x

OOOO

VVVV

EsempioEsempioEsempioEsempio 2:2:2:2: xxxxxxxxyyyy ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== 333322221111 2222 .

Intersezioni asse X: (((( ))))00000000 ;;;;OOOO , (((( ))))00006666666622221111

3333 ;;;;AAAAaaaabbbbxxxx ⇒⇒⇒⇒====

−−−−−−−−====−−−−==== .

Vertice: (((( )))) 3333222211112222

33332222

====−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−====aaaa

bbbbxxxxVVVV , (((( )))) (((( ))))5555444433335555444422229999

2222111144443333

4444

22222222....;;;;VVVV....

aaaabbbbyyyyVVVV ⇒⇒⇒⇒========

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====

xxxx

yyyy

y= - 0.5 xy= - 0.5 xy= - 0.5 xy= - 0.5 x2 2 2 2 + 3 x+ 3 x+ 3 x+ 3 x

OOOO

VVVV

AAAA

EsempiEsempiEsempiEsempi 3333 eeee 4444: il grafico è riportato in figura ma ne lasciamo per esercizio losvolgimento dei calcoli per ricavare intersezioni e vertici come sopra.

xxxx

yyyy

VVVV 1111

a : y = -0 .25 xa : y = -0 .25 xa : y = -0 .25 xa : y = -0 .25 x 2222 - 2 x - 2 x - 2 x - 2 x

AAAA1111

OOOO

b : y = xb : y = xb : y = xb : y = x2222 - 4 x - 4 x - 4 x - 4 x

AAAA2222

VVVV 2222



14

2. 3 PARABOLA AD ASSE ORIZZONTALE.

Data una parabola di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , se si scambiano lelettere si ottiene una equazione (non una funzione) che rappresenta la curvasimmetrica rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (eq. y=x) ed il suoasse di simmetria è orrizzontale: ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 .Essendo state scambiate le posizioni delle lettere vengono scambiate anche le

coordinate delle intersezioni del vertice: ⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−

∆∆∆∆−−−−

aaaabbbb;;;;

aaaa''''VVVV

22224444

xxxx

yyyy

x = a yx = a yx = a yx = a y2222 + b y + c + b y + c + b y + c + b y + c

y = a xy = a xy = a xy = a x2222 + b y + c + b y + c + b y + c + b y + c

V'V'V'V'

y = xy = xy = xy = xVVVV

AAAA BBBB

A'A'A'A'

B'B'B'B'

OOOO

L'equazione ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 non rappresenta però una funzione in quanto perqualche valore attribuito alla variabile indipendente, kkkkxxxx ==== ,esistono due distintivalori della variabile dipendente 22221111 ,,,,yyyyyyyy ==== , come mostra la figura .

xxxx

yyyy

x = a yx = a yx = a yx = a y 2222 + b y + c + b y + c + b y + c + b y + c

x = kx = kx = kx = k

y= yy= yy= yy= y1111

y= yy= yy= yy= y2222

OOOO

a sse d i sim m et ria a sse d i sim m et ria a sse d i sim m et ria a sse d i sim m et ria



15

§ 3 MUTUA POSIZIONE FRA PARABOLA E RETTA

3.13.13.13.1 ParabolaParabolaParabolaParabola eeee rettarettarettaretta obliqua.obliqua.obliqua.obliqua.I punti di intersezione fra una parabola di equazione ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 ed unaretta di equazione qqqqxxxxmmmmyyyy ++++⋅⋅⋅⋅==== possono essere al massimo due e si determinanorisolvendo il sistema algebrico delle loro equazioni:

(((( ))))⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅========−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅========−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

qqqqxxxxmmmmyyyyqqqqccccxxxxmmmmbbbbxxxxaaaa

qqqqxxxxmmmmyyyyqqqqxxxxmmmmccccxxxxbbbbxxxxaaaa

qqqqxxxxmmmmyyyyccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy 00000000 222222222222

Ill discriminante dell'equazione di secondo grado è: (((( )))) ccccaaaammmmbbbb ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 444422221111 ;

distinguiamo i 3 casi possibili in base al segno del discriminante:

secante retta :neintersezio di punti due per distinti e reali valori 2 tangente retta : punto solo un in icoincident soluzioni e reale valore 1

esterna retta :comune in punto nessun e reali valori 0

1 ⇒⇒⇒⇒>>>>∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒<<<<∆∆∆∆

000000000000

1111

1111

La figura riporta qualitativamente i tre casi possibili:

xxxx

yyyy

RRRReeeettttttttaaaa ttttaaaannnnggggeeeennnntttteeee iiiinnnn

PPPPRRRReeeettttttttaaaa eeeesssstttteeeerrrrnnnnaaaa

RRRReeeettttttttaaaa sssseeeeccccaaaa nnnn tttteeee iiiinnnn AAAA eeee BBBB

OOOO

PPPP

AAAA

BBBB

Nel caso specifico di retta orizzontale (m=0 ed equazione qqqqyyyy ==== ) la retta tangente algrafico della parabola ha necessariamente, come punto di contatto, il vertice . Inquesto caso, se invece la retta è secante, il vertice si deve trovare sopra di essa nelcaso di concavità rivolta verso l'alto oppure, se la concavità è verso il basso, il verticesi trova più in basso della retta.EsempioEsempioEsempioEsempio 1111 .... Determinare la posizione delle tre rette di equazioni a:a:a:a: y=-2x+8y=-2x+8y=-2x+8y=-2x+8 ,

bbbb :::: y=-x-6y=-x-6y=-x-6y=-x-6 eeee c:c:c:c: y=x-4y=x-4y=x-4y=x-4 rispetto alla parabola di eq. 4444333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy .

a)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−−−−−====

====++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

88882222

0000444422221111

88882222

888822224444333322221111

88882222

4444333322221111 222222222222

xxxxyyyy

xxxxxxxx

xxxxyyyy

xxxxxxxxxxxx

xxxxyyyy

xxxxxxxxyyyy



16

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 0000777744442222111144441111 2222

aaaa nessuna soluzione (retta esterna).

b)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−−−−−====

====++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−−−−−====

====++++++++−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

6666

00002222222222221111

6666

000066664444333322221111

6666

4444333322221111 222222222222

xxxxyyyy

xxxxxxxx

xxxxyyyy

xxxxxxxxxxxx

xxxxyyyy

xxxxxxxxyyyy

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 000022222222111144442222 2222

bbbb 1 soluzione (retta tangente):

2222222211112222

2222====

⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====PPPPxxxx ; 888866662222 −−−−====−−−−−−−−====PPPPyyyy ; (((( ))))88882222 −−−− ;;;;PPPP .

c)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====

========

⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−====

====++++−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−====

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====

444488880000

0000444422221111

4444

000044444444333322221111

4444

4444333322221111

2222

1111222222222222

xxxxyyyyxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxyyyy

xxxxxxxxxxxx

xxxxyyyy

xxxxxxxxyyyy

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 00001616161600002222111144444444 2222

cccc due soluzioni (retta secante) in A(0; -4) e B(8; 4).

Grafico dell'esempio 1.

xxxx

yyyy

c : y=x-4c : y=x-4c : y=x-4c : y=x-4

b: y=-x-6b: y=-x-6b: y=-x-6b: y=-x-6

a : y=-2x-8a : y=-2x-8a : y=-2x-8a : y=-2x-8

OOOO

4444333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy

AAAA

BBBB

PPPP


Determinare la posizione delle tre rette di equazioni a:a:a:a: y=x-1.5y=x-1.5y=x-1.5y=x-1.5 ,

bbbb :::: y=2x+1y=2x+1y=2x+1y=2x+1 eeee c:c:c:c: y=4x-2.5y=4x-2.5y=4x-2.5y=4x-2.5 rispetto alla parabola di eq. 444488882222 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy .

a)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−========++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−========++++−−−−++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−====−−−−++++−−−−====

555511110000333377772222

555511110000555544448888222255551111

555511115555444488882222 222222222222

....xxxxyyyyxxxxxxxx

....xxxxyyyy....xxxxxxxx....xxxx

....xxxxyyyy....xxxxxxxxyyyy

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 0000252525253333222244447777 2222aaaa 2 soluzioni (retta secante) di 2 intersezioni:

(((( )))) (((( ))))(((( ))))555511113333555511115555111133333333

1111555500001111555511115555000055550000222211114444

5555777722222222

25252525777722222222

11111111

....;;;;BBBB........yyyyxxxx;;;;....AAAA........yyyy....xxxx

xxxx

⇒⇒⇒⇒====−−−−====⇒⇒⇒⇒====

−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−====⇒⇒⇒⇒============

±±±±====

⋅⋅⋅⋅±±±±−−−−−−−−

==== .



17

b)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++========++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++========++++−−−−++++++++⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++====−−−−++++−−−−====

1111222200005555555566662222

111122220000555544448888222211112222

111122225555444488882222 222222222222

xxxxyyyy....xxxxxxxx

xxxxyyyy....xxxxxxxxxxxx

xxxxyyyy....xxxxxxxxyyyy

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 0000888855555555222244446666 2222 ....bbbb 0 soluzioni (retta esterna): nessun contatto.

c)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−========++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−========++++−−−−++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++====−−−−++++−−−−====

5555222244440000222244442222

55552222444400005555444488882222555522224444

111122225555444488882222 222222222222

....xxxxyyyyxxxxxxxx

....xxxxyyyy....xxxxxxxx....xxxx

xxxxyyyy....xxxxxxxxyyyy

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 00002222222244444444 2222cccc 1 soluzione (retta tangente) di 1 intersezione:

(((( )))) (((( ))))5555222211115555111155552222111144441111222222224444 ....;;;;PPPP........yyyyxxxx PPPPPPPP ⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====

⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−

==== .

xxxx

yyyy

5555444488882222 2222 ....xxxxxxxxyyyy −−−−++++−−−−====

PPPP

AAAA

BBBB

a: y = x - 1.5 a: y = x - 1.5 a: y = x - 1.5 a: y = x - 1.5

c: y = 4 x - 2.5c: y = 4 x - 2.5c: y = 4 x - 2.5c: y = 4 x - 2.5

b: y = 2 x + 1 b: y = 2 x + 1 b: y = 2 x + 1 b: y = 2 x + 1

OOOO

3.3.3.3. 2222 ParabolaParabolaParabolaParabola eeee rettarettarettaretta verticale.verticale.verticale.verticale.

Qualsiasi parabola di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 interseca sempre unaretta verticale, di equazione kkkkxxxx ==== , in un solo punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP che si ottiene inmodo immediato risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni:

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

====

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

kkkkxxxxcccckkkkbbbbkkkkaaaayyyy

kkkkxxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

0000

22220000

2222

EsempioEsempioEsempioEsempio: le rette verticali di equazioni rispettivamente 4444−−−−====xxxx e 5555====xxxx ,rapparesentate nella figura seguenete, incontrano la parabola di equazione

444444441111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy nei due punti, rispettivamente A(-4;A(-4;A(-4;A(-4; +4)+4)+4)+4) e B(+5;B(+5;B(+5;B(+5; -2.75)-2.75)-2.75)-2.75):

A: x=-4x=-4x=-4x=-4 ⇰ (((( )))) (((( )))) (((( )))) 4444444444444444444411114444 2222 ====−−−−−−−−−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−yyyy ; B: x=5x=5x=5x=5 ⇰ (((( ))))

444411111111444455555555

444411115555 2222 −−−−====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====yyyy



18

xxxx

yyyy

x=-4x=-4x=-4x=-4 x=5x=5x=5x=5

AAAA

BBBB

OOOO

3.3.3.3. 3333 TangentiTangentiTangentiTangenti adadadad unaunaunauna parabolaparabolaparabolaparabola condottecondottecondottecondotte dadadada unununun punto.punto.punto.punto.

Il fascio di rette che passa per un qualunque punto (((( ))))11111111 yyyy;;;;xxxxPPPP , di equazione(((( ))))11111111 xxxxxxxxmmmmyyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− , al variare del coefficiente in ∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− mmmm rappresenta tutte le

possibili rette escludendo la retta verticale che, come si è già visto, è sempre secante.Il sistema algebrico formato dall'equazione del fascio per (((( ))))11111111 yyyy;;;;xxxxPPPP e l'equazione

della parabola ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , determina le possibili soluzioni:

(((( ))))(((( ))))

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−⋅⋅⋅⋅++++++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

11111111

1111111111112222

11111111

111111112222

11111111

2222 00000000yyyyxxxxmmmmxxxxmmmmyyyy

yyyyxxxxmmmmccccxxxxmmmmbbbbxxxxaaaayyyyxxxxmmmmxxxxmmmmyyyy

yyyyxxxxmmmmxxxxmmmmccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyyxxxxxxxxmmmmyyyyccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

Il discriminante dell'equazione di secondo grado del sistema è dato da:(((( )))) (((( ))))11111111

22221111 4444 yyyyxxxxmmmmccccaaaammmmbbbb −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆

Supponendo noti i coefficienti b b b b ,,,,aaaa e cccc , Il segno del 1111∆∆∆∆ dipende solo dal valoredel coefficiente angolare mmmm al suo variare in ∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− mmmm : una retta del fascio ètangente, per un dato valore del suo coefficiente mmmm , se si verifica la condizione perla quale si ottiene una sola soluzione, ovvero 00001111 ====∆∆∆∆ .Esistono tre possibilità (vedi figura seguente):- Il punto P è interno alla parabola, con 00001111 <<<<∆∆∆∆ : non esistono rette tangenti.- Il punto P' appartiene alla parabola, con 00001111 ====∆∆∆∆ : 1 retta tangente nel punto P.'- Il punto P'' è esterno alla parabola, con 00001111 >>>>∆∆∆∆ : 2 rette tangenti in A e in B.

xxxx

yyyy

P ''P ''P ''P ''

AAAA

BBBB

tttt 1111tttt2222

OOOO

PPPPP'P'P'P'

tttt



19


Determinare le rette tangenti alla parabola di eq.ne 444444441111 2222 −−−−==== xxxxyyyy e passanti per il

punto P(0;P(0;P(0;P(0; -5)-5)-5)-5).

Scriviamo il sistema formato dalla parabola e dal fascio di rette nel parametro mmmm :

00005555

0000111144441111

5555

00005555444444441111

5555

888822221111

1111

222222222222====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−⋅⋅⋅⋅====

====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−⋅⋅⋅⋅====

====++++⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−⋅⋅⋅⋅====

−−−−====

xxxxmmmmyyyy

xxxxmmmmxxxx

xxxxmmmmyyyy

xxxxmmmmxxxx

xxxxmmmmyyyy

xxxxyyyy

Imponiamo la condizione di unicità della soluzione per determinare le tangenti:

(((( ))))5555111155551111

1111000011111111444411114444

22222222

111111112222222222221111 −−−−++++====⇒⇒⇒⇒++++====

−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆

xxxxyyyy::::ttttmmmmxxxxyyyy::::ttttmmmm

mmmmmmmmmmmm

Risolviamo il sistema precedente sostituendovi, uno per volta, i valori calcolati perdeterminare i punti di contatto fra le rette tangenti e la parabola:

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))33332222

33332222

3333555522225555111133335555222255551111

5555

22220000444444441111

22220000444444441111000044444444

5555

0000111144441111

2222

1111

22222222

11112222

2222

2222

−−−−++++

−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====−−−−++++====⇒⇒⇒⇒−−−−++++====⇒⇒⇒⇒++++====

−−−−====−−−−−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====

++++====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒++++====

−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−⋅⋅⋅⋅====

====++++⋅⋅⋅⋅−−−−

;;;;BBBB

;;;;AAAA

yyyyxxxxyyyymmmmyyyyxxxxyyyymmmm

xxxxmmmmyyyy

xxxxxxxxxxxxmmmm

xxxxxxxxxxxxmmmmxxxxmmmmxxxx

xxxxmmmmyyyy

xxxxmmmmxxxx

xxxx

yyyy

P (0;-5)P (0;-5)P (0;-5)P (0;-5)

444444441111 2222 −−−−==== xxxxyyyy

tttt1111::::5555−−−−−−−−==== xxxxyyyy

tttt2222::::5555−−−−==== xxxxyyyy

A(-2;-3)A(-2;-3)A(-2;-3)A(-2;-3) B(2;-3)B(2;-3)B(2;-3)B(2;-3)

OOOO



20

EsempioEsempioEsempioEsempio 2.2.2.2.

Determinare le rette tangenti alla parabola di eq.ne 333322222222 ++++++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy e passanti peril punto P(2;P(2;P(2;P(2; 7)7)7)7).

Scriviamo il sistema formato dalla parabola e dal fascio di rette nel parametro mmmm :

(((( ))))(((( )))) 0000

777722220000222244442222

7777222200003333222277772222

7777222233332222

1111

222222222222====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−++++++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++++++−−−−====

mmmmxxxxmmmmyyyymmmmxxxxmmmmxxxx

mmmmxxxxmmmmyyyyxxxxxxxxmmmmxxxxmmmm

xxxxmmmmyyyyxxxxxxxxyyyy

Imponiamo la condizione di unicità della soluzione per determinare le tangenti:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))6666888822220000

22220000222288882222222244441111444422222222

1111222222221111 −−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−

++++====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆

mmmmmmmm

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

Ret

te tangenti: : , : 19191919666633332222 22221111 ++++−−−−====++++==== xxxxyyyyttttxxxxyyyytttt

Determiniamo i punti di tangenza risolvendo il sistema precedente una voltasostituite le equazioni delle due rette tangenti al posto dell'eq. del fascio:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))555544445555191919196666

444400001616161688886666

33330000333333332222000000002222

777722220000222244442222

2222

22222222

2222

1111

11112222

11112222

−−−−⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−====⇒⇒⇒⇒++++−−−−========⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−

⇒⇒⇒⇒−−−−====

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

====⇒⇒⇒⇒++++========⇒⇒⇒⇒====

⇒⇒⇒⇒++++====

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++

;;;;BBBByyyyxxxxyyyyxxxxxxxxxxxxmmmm

;;;;AAAAyyyyxxxxyyyyxxxxxxxxmmmm

xxxxmmmmyyyymmmmxxxxmmmmxxxx

xxxx

yyyy P(2;7)P(2;7)P(2;7)P(2;7)

A(0;3)A(0;3)A(0;3)A(0;3)

B(4;-5)B(4;-5)B(4;-5)B(4;-5)

333322222222 ++++++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy

tttt1111: : : : 33332222 ++++==== xxxxyyyy

tttt2222::::191919196666 ++++−−−−==== xxxxyyyy

OOOO



21

3.43.43.43.4 TangenteTangenteTangenteTangente inininin unununun puntopuntopuntopunto delladelladelladella parabola.parabola.parabola.parabola.

Dato un punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP appartenente alla parabola di equazione

ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , vogliamo determinare l'equazione della retta tangente in talepunto. A tale scopo scriviamo e sviluppiamo di seguito il sistema algebrico formatodal fascio di rette di centro PPPP e dall'equazione della parabola:

(((( ))))⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−


xxxxmmmmxxxxmmmmyyyyccccxxxxbbbbxxxxaaaaccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

xxxxxxxxmmmmyyyyyyyy2222

000000002222

222200000000 0000

L'equazione di secondo grado associata al sistema è, raggruppandone i termini evisulizzandone le due soluzioni coincidenti nello stesso valore 0000xxxx , la seguente:

(((( ))))00002222

00001111

1111

00000000

1111

2222 0000xxxxxxxxxxxxxxxx

ccccxxxxmmmmyyyyccccxxxx

bbbbmmmmbbbbxxxxaaaa

====

====⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅

44 344 21321

Per la nota proprietà delle soluzioni dell'equazione di secondo grado, si ha anche:

0000

0000222200002222

000000000000

222211111111

00000000222211111111 22222222

xxxxccccyyyyxxxxaaaammmmxxxx

aaaayyyyxxxxmmmmccccxxxxxxxx

aaaacccc

bbbbxxxxaaaammmmxxxxaaaa

mmmmbbbbxxxxxxxxaaaabbbb

−−−−++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====

−−−−⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅====

++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====−−−−

−−−−⇒⇒⇒⇒++++====−−−−

Entrambe le equazioni determinano il valore di mmmm in funzione del punto P.P.P.P.In base all' equazione ottenuta dalla proprietà della somma delle radici ricaviamol'equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P:P:P:P:

(((( )))) (((( ))))000000000000 2222 xxxxxxxxbbbbxxxxaaaayyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−

Poichè (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP appartiene alla parabola deve essere: ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 0000222200000000 , il

sistema inziale diventa il seguente che sviluppiamo:(((( )))) (((( ))))

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−


xxxxbbbbxxxxbbbbxxxxaaaaxxxxxxxxaaaaccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyyccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

xxxxxxxxbbbbxxxxaaaayyyyyyyy

0000222200000000

00002222000000000000

22220000

0000222200000000

000000000000 222222222222

Aggiungiamo ai due membri della prima equazione il termine ccccxxxxbbbb 22222222 0000 ++++⋅⋅⋅⋅ poi,

dopo avere sostituito il termine ccccxxxxbbbbxxxxaaaa ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ 000022220000 con 0000yyyy otteniamo:

(((( ))))⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

====++++++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====++++⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++


ccccxxxxxxxxbbbbxxxxxxxxaaaayyyyyyyy


ccccxxxxbbbbxxxxbbbbxxxxxxxxaaaaccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

0000222200000000

000000000000

0000222200000000

00000000000022220000 00002222222222222222

Infine, dividiamo la prima equazione per 2 ed otteniamo l'eq. della tangente in P:P:P:P:

FormulaFormulaFormulaFormula didididi sdoppiamentosdoppiamentosdoppiamentosdoppiamento: ccccxxxxxxxxbbbbxxxxxxxxaaaayyyyyyyy++++

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

++++22222222

00000000

0000 .

La formula di sdoppiamento può ricordarsi facilmente se si pensa di sostituirenell'equazione della parabola, ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , i termini in questo modo:



22

xxxxxxxx ⋅⋅⋅⋅0000 al posto di 2222xxxx ,2222

0000xxxxxxxx ++++ al posto di xxxx e2222

0000yyyyyyyy ++++ al posto di yyyy .

Nel caso di parabolaparabolaparabolaparabola adadadad asseasseasseasse orizzontaleorizzontaleorizzontaleorizzontale , di equazione ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , calcolianaloghi ai precedenti portano alle formule della retta tangente in un suo

punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP :bbbbyyyyaaaa

mmmm++++⋅⋅⋅⋅

====00002222

1111 ed equazione (((( ))))00000000

0000 22221111 xxxxxxxx

bbbbyyyyaaaayyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅⋅====−−−− ;

La formula di sdoppiamento diventa in tal caso: ccccyyyyyyyybbbbyyyyyyyyaaaaxxxxxxxx++++

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

++++22222222

00000000

0000 .


Determinare la retta tangente alla parabola di eq. 8888333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy in P(2;-12)

Determiniamo la retta tangente in due modi:

- Calcolando il coefficiente e poi sostituendolo nell'equazione del fascio per PPPP:

1111333322222222111122222222 0000 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅==== bbbbxxxxaaaammmm ; (((( )))) (((( )))) 10101010121212122222111100000000 −−−−−−−−====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====++++−−−−⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxxyyyyxxxxxxxxmmmmyyyy .

- Usando la formula di sdoppiamento ccccxxxxxxxxbbbbxxxxxxxxaaaayyyyyyyy++++

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

++++22222222

00000000

0000 :

10101010161616166666333322221212121288882222

22223333222222221111

222212121212

−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−++++

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====−−−− xxxxyyyyxxxxxxxxyyyyxxxxxxxxyyyy .

-10-10-10-10 10101010

-10-10-10-10

10101010

xxxx

yyyy

OOOO

P ( 2; -12)P ( 2; -12)P ( 2; -12)P ( 2; -12)

t:t:t:t: 10101010−−−−−−−−==== xxxxyyyy

8888333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy

EsempioEsempioEsempioEsempio 2222. Determinare la retta tangente alla parabola di equazione333377772222 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy in P(1;2)P(1;2)P(1;2)P(1;2). Con la formula del coefficiente angolare:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) 11113333222211113333333377771111222222222222 000000000000 −−−−====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxxyyyyxxxxxxxxmmmmyyyybbbbxxxxaaaammmm .Con la formula di sdoppiamento:

111133336666777777774444222233332222

11117777111122222222

2222−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−++++++++−−−−====++++⇒⇒⇒⇒−−−−

++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====

++++ xxxxyyyyxxxxxxxxyyyyxxxxxxxxyyyy .



23

-8-8-8-8 8888

-4-4-4-4

4444

xxxx

yyyy t:t:t:t: 11113333 −−−−==== xxxxyyyy

333377772222 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyyP(1; 2)P(1; 2)P(1; 2)P(1; 2)

EsempioEsempioEsempioEsempio 3333 . Determinare la retta tangente alla parabola di equazione

3333555544443333 2222 −−−−++++−−−−==== yyyyyyyyxxxx in P(4;2)P(4;2)P(4;2)P(4;2) . Con la formula del coefficiente angolare:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) xxxxxxxxyyyyxxxxxxxxmmmmyyyybbbbyyyyaaaa

mmmm ⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅

====++++⋅⋅⋅⋅

====2222111122224444

22221111

22221111

555522224444333322221111

22221111

000000000000

Co

n la formula di sdoppiamento:

xxxxyyyyxxxxyyyyyyyyyyyyxxxxyyyyyyyyxxxx22221111222244441212121220202020101010106666888822223333

2222222255552222

44443333

22224444

====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒−−−−++++++++−−−−====++++⇒⇒⇒⇒−−−−++++

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====++++

-12-12-12-12 12121212

-8-8-8-8

8888

xxxx

yyyy

xxxxyyyy22221111

====

P(4; 2)P(4; 2)P(4; 2)P(4; 2)33335555

44443333 2222 −−−−++++−−−−==== yyyyyyyyxxxx

t:t:t:t:



24

§ 4 STUDIO DEL SEGNO DEL TRINOMIO ccccxxxxbbbbxxxxaaaa ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ 2222

Risolvere disequazioni del tipo 00002222 >>>>++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa oppure 00002222 <<<<++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaasignifica trovare gli intervalli di numeri reali della variabile xxxx per i quali lafunzione ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 assume segni rispettivamente positivo e negativo.A questo scopo si può utilizzare il grafico della parabola per determinarli: gliintervalli che risolvono la disequazione 00002222 >>>>++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa sono quelli per cui ilgrafico della parabola si trova sopra l'asse X mentre quelli che risolvono ladisequazione 00002222 <<<<++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa sono quelli per i quali il grafico si trova sotto taleasse. In base ai coefficienti si hanno i sei casi fondamentali qui illustrati .

0 <<<<∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000

y>0:y>0:y>0:y>0:∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− xxxx

1111

xxxx1111=x=x=x=x222200000000 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa

y>0:y>0:y>0:y>0:x<xx<xx<xx<x1111Ux>xUx>xUx>xUx>x2222

y(xy(xy(xy(x1,21,21,21,2)=0)=0)=0)=0

0 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000

2222

xxxx1111 xxxx2222

y>0:y>0:y>0:y>0:x<xx<xx<xx<x1 1 1 1 U x>xx>xx>xx>x2222

0 >>>>∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000

y<0:y<0:y<0:y<0: x x x x1111<x<x<x<x<x<x<x<x2222

3333

0 <<<<∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000

y<0: y<0: y<0: y<0:∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− xxxx

4444

00000000 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa

y<0:y<0:y<0:y<0: ∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− xxxx

y(xy(xy(xy(x1,21,21,21,2)=0)=0)=0)=0

0 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000

5555

xxxx1111 xxxx2222y<0:y<0:y<0:y<0:x<xx<xx<xx<x1 1 1 1 U x>xx>xx>xx>x2222

0 >>>>∆∆∆∆<<<< ,,,,aaaa 0000

y>0:y>0:y>0:y>0: x x x x1111<x<x<x<x<x<x<x<x2222

6666

IlIlIlIl metodometodometodometodo graficograficograficografico delladelladelladella parabolaparabolaparabolaparabola :è basato sull'esame dei grafici (i 6 casi illustrati sopra) delle parabole associate aitrinomi di secondo grado per cui si risolvono le relative disequazioni del tipo

00002222<<<<≥≥≥≥

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa : prima si determina il segno del discriminante ∆∆∆∆ e, dopo avere

calcolato le eventuali soluzioniaaaa

bbbbxxxx ,,,, 222222221111∆∆∆∆±±±±−−−−

==== e tracciato l'andamento delle

rispettive parabole, si determinano gli intervalli delle soluzioni.EsempiEsempiEsempiEsempi didididi disequazionidisequazionidisequazionidisequazioni risolterisolterisolterisolte conconconcon ilililil metodometodometodometodo graficograficograficografico.

1) 0 >>>>++++−−−− 1212121255552222 2222 xxxxxxxx ; (((( ))))22223333

1111222222221111555500001111333322224444555500002222 2222 ====⋅⋅⋅⋅±±±±

====⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆>>>>==== xxxxaaaa ;



25

Dal grafico si deduce la soluzione:

S:222233331111 >>>>∨∨∨∨<<<< xxxxxxxx

2) 0000111144444444 2222 ≥≥≥≥++++++++ xxxxxxxx ; 00004444 >>>>====aaaa ;22221111

44442222444400001111444444444444 22221111

2222 −−−−====⋅⋅⋅⋅

−−−−========⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ xxxxxxxx

Dal grafico risolta che la soluzioneconsiste nell'ascissa del vertice:

S:22221111

−−−−====xxxx

3) 0000222277773333 2222 ≥≥≥≥−−−−++++−−−− xxxxxxxx ; 00003333<<<<−−−−====aaaa ;2222

333311116666

5555777700002525252522223333444477772222 ====−−−−±±±±−−−−

====⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ xxxx

Graficico di 222277773333 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyyDal grafico si deduce la soluzione:

S: 222233331111 ≤≤≤≤≤≤≤≤ xxxx////

Grafico di 1212121255552222 2222 ++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy

1111 3/23/23/23/2

y>0:y>0:y>0:y>0:

Grafico di 111144444444 2222 ++++++++==== xxxxxxxxyyyy

-1/2-1/2-1/2-1/2

Grafico di 222277773333 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy

1/31/31/31/3 2222



26

§§§§ 5555 PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA SOGGETTASOGGETTASOGGETTASOGGETTA AAAA CONDIZIONICONDIZIONICONDIZIONICONDIZIONI

Oltre al problema diretto che parte dall'equazione di una parabola per determinarnetutte le caratteristiche (vertice, intersezioni, grafico, ecc..), esiste il problema inversoper il quale, dato un insieme di condizioni quali l'appartenenza di dati punti allaparabola, si tratta di determinarne la sua equazione.Esistono diverse condizioni per le quali è possibile stabilire l'equazione.

5.15.15.15.1 ParabolaParabolaParabolaParabola passantepassantepassantepassante perperperper tretretretre puntipuntipuntipunti notinotinotinoti: data l'equazione della parabola(consideriamo solo quella ad asse verticale) ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 e assegnati tresuoi punti qualsiasi, rispettivamente (((( ))))11111111 yyyy;;;;xxxxAAAA , (((( ))))22222222 yyyy;;;;xxxxBBBB e (((( ))))33333333 yyyy;;;;xxxxCCCC , lacondizione di appartenenza determina un sistema algebrico di tre equazioni diprimo grado nelle incognite i coefficienti dell'equazione:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====




3333222233333333

2222222222222222

1111222211111111

La risoluzione del sistema con un qualsiasi metodo determina l'equazione dellaparabola.Esempio: determinare la parabola passante per i punti A(1;0), B(3; -6) e C(4;-5).

(((( ))))66667777

1111777733334444

666677771111

11117777777733334444

55559999121212121616161633334444

555533331515151544443333

555566664444161616166666666633339999

6666

444444445555

333333336666

000000006666

2222

2222

2222

2222

++++−−−−====⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

====−−−−====−−−−−−−−========−−−−−−−−−−−−====

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

====⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−====−−−−−−−−====

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====−−−−−−−−−−−−−−−−====−−−−−−−−====

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====++++−−−−====++++

−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====++++++++−−−−====++++++++

====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

xxxxxxxxyyyyaaaabbbbxxxx

aaaaaaaaaaaabbbb

bbbbaaaacccc

aaaaaaaaaaaabbbb

bbbbaaaacccc

bbbbaaaabbbbaaaa

bbbbaaaacccc

bbbbaaaabbbbaaaa

cccc

ccccbbbbaaaa

ccccbbbbaaaa

ccccbbbbaaaa

-10-10-10-10 10101010

-6-6-6-6

6666

xxxx

yyyyAAAA

BBBB

CCCC



27

5.25.25.25.2 FuocoFuocoFuocoFuoco eeee direttrice.direttrice.direttrice.direttrice.Ricordiamo che data la parabola con vertice l'origine ed equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== lecoordinate del fuoco e l'equazione della direttrice sono rispettivamente:

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛

aaaa;;;;FFFF

444411110000 e

aaaayyyy

44441111

−−−−==== . A seguito delle traslazione che porta l'origine nel nuovo

vertice (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxVVVV doveaaaa

bbbbxxxx22220000 −−−−==== ,

aaaayyyy

44440000∆∆∆∆

−−−−==== con acacacacbbbb 44442222 −−−−====∆∆∆∆ , per ottenere le

coordinate del fuoco (((( ))))FFFFFFFF yyyy;;;;xxxxFFFF della parabola traslata si deve:

-mantenere la stessa ascissa del verticeaaaa

bbbbxxxxxxxx VVVVFFFF 2222−−−−======== ;

-aggiungere all'ordinata del vertice il termineaaaa4444

1111 :aaaaaaaaaaaa

yyyyFFFF 44441111

44441111

4444∆∆∆∆−−−−

====++++∆∆∆∆

−−−−====

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ ∆∆∆∆−−−−−−−−

aaaa;;;;

aaaabbbbFFFF

44441111

2222

La direttrice si trova sotto la quota del vertice di una quantità pari al termineaaaa4444

1111

per cui l'equazione della direttrice:aaaaaaaaaaaa

yyyy::::dddd4444

111144441111

4444∆∆∆∆++++

−−−−====−−−−∆∆∆∆

−−−−====

xxxx

yyyy

FFFF

VVVVaaaa4444

1111++++aaaayyyy FFFF 44441111 ∆∆∆∆−−−−====

aaaa44441111−−−−

aaaaVVVVyyyy4444∆∆∆∆−−−−====

aaaayyyy::::dddd

44441111 ∆∆∆∆++++−−−−====

OOOOaaaa

bbbbVVVVxxxx

2222−−−−====

La parabola ad asse orizzontale di equazione ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 vede scambiate lelettere delle variabili in ciascun punto ed equazione:

aaaaxxxx

aaaabbbb;;;;

aaaaFFFF

44441111

222244441111 ∆∆∆∆++++

−−−−====⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−

∆∆∆∆−−−− :d ;

Esempio:Esempio:Esempio:Esempio:

determinare fuoco e direttrice della parabola di equazione 666688881111 2222 ++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy .

(((( )))) 222266668888111144441111 2222 −−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ ; 4444

8888111122221111

====⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====VVVVxxxx ; 4444888811114444

2222====

⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====VVVVyyyy ; (((( ))))44444444 ;;;;VVVV

(((( )))) 6666888811114444222211114444 ====

⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−

============ FFFFVVVVFFFF yyyy;;;;xxxxxxxx ; (((( ))))66664444 ;;;;FFFF ; (((( )))) 222288881111444422221111

====⋅⋅⋅⋅−−−−++++

−−−−====yyyy::::dddd .



28

Nel caso invece di una parabola ad asse orizzontale, simmetrica della precedente

rispetto alla bisettrice xxxxyyyy ==== , di equazione 666688881111 2222 ++++−−−−==== yyyyyyyyxxxx , si ottiene:

(((( ))))44446666 ;;;;''''FFFF ; 2222====xxxx::::''''dddd

5.35.35.35.3 ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon fuocofuocofuocofuoco eeee diretticediretticediretticedirettice assegnati.assegnati.assegnati.assegnati.

Assegnati il fuoco (((( ))))FFFFFFFF yyyy;;;;xxxxFFFF e la retta direttrice di equazione ddddyyyyyyyy ==== , in base alleformule scritti in precedenza, per determinare i coefficienti del trinomio di secondogrado della parabola si può procedere scrivendo un sistema nelle tre incognite

∆∆∆∆ ,,,,bbbb,,,,aaaa (ricordando che acacacacbbbb 44442222 −−−−====∆∆∆∆ ) che può essere risolto, , ad esempio,sommando e sottraendo le prime due equazioni membro a membro:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

++++−−−−====

++++−−−−

====∆∆∆∆

++++−−−−====

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

⋅⋅⋅⋅−−−−====

∆∆∆∆====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

====++++⋅⋅⋅⋅−−−−

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−

∆∆∆∆++++====⋅⋅⋅⋅−−−−

FFFFdddd

FFFF

FFFFdddd

FFFFdddd

FFFFdddd

FFFF

FFFFdddd

FFFFdddd

FFFF

FFFF

dddd

yyyyyyyyxxxxbbbb

yyyyyyyyyyyyyyyy

yyyyyyyyaaaa

xxxxaaaabbbbyyyyyyyyaaaayyyyyyyyaaaa

xxxxaaaabbbbyyyyaaaayyyyaaaa 2222

1111

22222222

11112222

222211114444

11114444;;;;

aaaabbbbcccc

4444

2222 ∆∆∆∆−−−−====

a) parallela all'asse Y con fuoco in (((( ))))44448888 ;;;;FFFF e direttrice di equazione 2222−−−−====yyyy::::dddd

8888======== FFFFVVVV xxxxxxxx ; (((( )))) (((( ))))1111888811112222

22224444 ;;;;VVVVyyyyVVVV ⇒⇒⇒⇒====−−−−++++

====

(((( ))))(((( )))) (((( )))) 333319191919

4444111144443333111133334444

3333444433331111

121212121111

1616161688882222

242424242222

1616161616161616111188881111

1616161688882222444444441111

222244441111 2222====

⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−−−−−

====⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====−−−−====∆∆∆∆

====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====−−−−====∆∆∆∆

====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−========∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆++++

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆−−−−

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆++++cccc

bbbb

aaaa

aaaabbbbaaaa

aaaa

aaaabbbbaaaa

aaaa

aaaaaaaabbbbaaaa

aaaa

-12-12-12-12 -8-8-8-8 -4-4-4-4 4444 8888 12121212

-4-4-4-4

4444

xxxx

yyyy

F(8; 4)F(8; 4)F(8; 4)F(8; 4)

V(8; 1)V(8; 1)V(8; 1)V(8; 1)

33331 91 91 91 9

33334444

1 21 21 21 21111 2222 ++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy

d: y=-2d: y=-2d: y=-2d: y=-2

B) parallela all'asse X con fuoco in (((( ))))44442222 −−−− ;;;;FFFF e direttice di equazione 6666====xxxx .

(((( ))))5555444455552222

666622224444 ; ;;;;VVVV x x x xyyyyyyyy VVVVFFFFVVVV −−−−⇒⇒⇒⇒====++++

====−−−−========



29

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( )))) 1111

44441111444455552222

2222555520202020

44441111

22228888404040402222

88882222

88884444222216161616222244441111

24242424666644441111 2222====

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

========−−−−====∆∆∆∆

−−−−====

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

====−−−−====−−−−====∆∆∆∆

−−−−====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−========⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆−−−−−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆++++

ccccbbbb

aaaa

aaaa

aaaabbbbaaaa

aaaa

aaaaaaaabbbbaaaaaaaa

aaaaaaaa

1111222244441111 2222 ++++++++−−−−==== yyyyyyyyxxxx

-1 0-1 0-1 0-1 0 -5-5-5-5 5555 1 01 01 01 0

-8-8-8-8

-4-4-4-4

4444

8888

xxxx

yyyy

1111222244441111 2222 ++++++++−−−−==== yyyyyyyyxxxx

FFFF VVVV

d : x= 6d : x= 6d : x= 6d : x= 6

5.45.45.45.4 ParabolaParabolaParabolaParabola didididi verticeverticeverticevertice edededed intersezioneintersezioneintersezioneintersezione conconconcon asseasseasseasse YYYY noti.noti.noti.noti.Noti il vertice nel punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxVVVV e l'intersezione asse Y nel punto (((( ))))cccc;;;;CCCC 0000 le loro

condizioni di appartenenza alla parabola di equazione ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 sono

espresse dal sistema:⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

⋅⋅⋅⋅−−−−====

++++⋅⋅⋅⋅−−−−====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

⋅⋅⋅⋅−−−−====

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

0000

222200000000

0000

00002222

00000000

22222222 xxxxaaaabbbbccccxxxxaaaayyyy

xxxxaaaabbbbccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy , da cui la

soluzione: ccccxxxxxxxx

ccccyyyyxxxxxxxx

yyyyccccyyyy

xxxxccccyyyybbbb

xxxxyyyyccccaaaa

++++⋅⋅⋅⋅−−−−

++++⋅⋅⋅⋅−−−−

====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====

−−−−====

0000

0000222222220000

0000

0000

0000

22220000

0000

22222222

.

EsempioEsempioEsempioEsempio: determinare l'equazione della parabola avente vertice in V(-2;V(-2;V(-2;V(-2; -1)-1)-1)-1) ed

intersezione in C(0;C(0;C(0;C(0; -2)-2)-2)-2) : (((( ))))(((( ))))

(((( )))) 11112222444411112222

44441111

222211112222

2222 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====

−−−−

−−−−−−−−−−−−==== bbbbaaaa ;

-8-8-8-8 8888

-4-4-4-4

4444

xxxx

yyyy

VVVV

CCCC

222244441111 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy



30

5.55.55.55.5 ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon assegnatiassegnatiassegnatiassegnati verticeverticeverticevertice VVVV edededed unununun puntopuntopuntopunto PPPP qualsiasiqualsiasiqualsiasiqualsiasi.

Le condizioni comportano la risoluzione del seguente sistema:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅−−−−====

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====


xxxxaaaabbbbccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

1111222211111111

0000

00002222

00000000

2222

Esempio: determinare la parabola avente vertice V(2;-9)V(2;-9)V(2;-9)V(2;-9) e passante per P(1;-8)P(1;-8)P(1;-8)P(1;-8).

5555444455554444

1111

888833334444

8888333344449999

444488884444

888844449999

111111118888444422222222

2222222299992222

2222

−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====−−−−====

====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====−−−−====

−−−−++++−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

++++−−−−====−−−−−−−−====

++++−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−xxxxxxxxyyyy

ccccbbbbaaaa

aaaaccccaaaabbbb

aaaaaaaa

ccccaaaaaaaaaaaabbbb

ccccaaaaaaaa

ccccbbbbaaaaaaaaaaaabbbb

ccccbbbbaaaa

5.5.5.5.6666 ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon assegnateassegnateassegnateassegnate intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni lungolungolungolungo gligligligli assiassiassiassi.

Dato il vertice (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxVVVV e una intersezione con l'asse X in (((( ))))00001111 ;;;;xxxxAAAA , l'altro punto diintersezione (((( ))))00002222 ;;;;xxxxBBBB si può ricavare in base alla proprietà del vertice:

222222221111

0000xxxxxxxxxxxx ++++

==== da cui si ottiene 111100002222 2222 xxxxxxxxxxxx −−−−==== . Ora si consideri il parametro positivo

"ampiezza" ABABABAB definito dalla differenza fra le ascisse di A e di B:

(((( ))))111100001111000011112222 222222222222 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxABABABAB −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−====−−−−==== . Da cui si ha:2222

1111222211110000

xxxxxxxxxxxxxxxx −−−−====−−−− ..

Dall'equazione della parabola nella forma (((( ))))222200000000 xxxxxxxxaaaayyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− , sostituendovi le

coordinate di AAAA : (((( ))))(((( )))) (((( ))))222211112222

00002222

00001111

00002222000011110000

44440000xxxxxxxxyyyy

xxxxxxxxyyyyaaaaxxxxxxxxaaaayyyy

−−−−

−−−−====

−−−−

−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− .

Sostituendo questa relazione nell'equazione della parabola si ottiene:

(((( ))))(((( ))))222200002222

00001111

00000000 xxxxxxxx

xxxxxxxxyyyyyyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====−−−− e , dopo avere sviluppato il quadrato del binomio:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))222211110000

000022220000

0000222211110000

0000000022222222

11110000

0000 2222xxxxxxxxyyyyxxxxyyyyxxxx

xxxxxxxxyyyyxxxxxxxx

xxxxxxxxyyyyyyyy

−−−−−−−−++++⋅⋅⋅⋅

−−−−++++⋅⋅⋅⋅

−−−−−−−−==== ; questa equazione si può

anche scrivere così :(((( )))) (((( )))) (((( ))))222211112222

000000002222

11112222

0000000022222222

11112222

0000 444488884444xxxxxxxx

yyyyyyyyxxxxxxxxxxxxyyyyxxxxxxxx

xxxxxxxxyyyyyyyy

−−−−−−−−++++⋅⋅⋅⋅

−−−−++++⋅⋅⋅⋅

−−−−−−−−====

Esempio: dati il vertice (((( ))))222299991111 −−−−;;;;VVVV ed il punto (((( ))))00002222 ;;;;AAAA −−−− appartenenti allaparabola, determinare la sua equazione.Sostituendo i valori e , 2222222299991111 111100000000 −−−−====−−−−======== xxxxyyyyxxxx nella prima equazione della



31

parabola(((( ))))

(((( ))))22220000222200001111

00000000 xxxxxxxx

xxxxxxxxyyyyyyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====−−−− si ha:

(((( ))))(((( ))))22222222 1111

1111222222229999

22229999

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−

====++++ xxxxyyyy da cui si

ottiene (((( )))) 444422221111

22229999

22221111

2222111111112222

22221111

22229999 222222222222 −−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−++++−−−−====⇒⇒⇒⇒++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++ xxxxxxxxyyyyxxxxxxxxyyyyxxxxxxxxyyyy .

5.75.75.75.7 LegameLegameLegameLegame frafrafrafra intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni edededed ilililil vertice.vertice.vertice.vertice.

Dall'equazione si ricava il legame fra le tre le intersezioni con gli assi ed il verticescrivendo l'espressione del termine noto del trinomio di secondo grado:Notiamo, infine, come il termine entro radice quadrata sia sempre positivo (vedifigure seguenti) e che, partendo dalla consoscenza della posizione di vertice edintersezioni con asse Y si determini la distanza fra A e B: 11112222 xxxxxxxx −−−− .

XXXX

YYYY

AAAA BBBB

VVVVCCCC

cccc yyyy0000

11112222 xxxxxxxxABABABAB −−−−====

xxxx0000 XXXX

YYYY

AAAA BBBB

VVVVCCCC

ccccyyyy0000

11112222 xxxxxxxxABABABAB −−−−====

xxxx0000

Partendo dalla conoscenza del vertice e dell'intersezione con l'asse Y si possonoottenere le ascisse delle eventuali intersezioni con l'asse X, risolvendo il sistema:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛

−−−−++++⋅⋅⋅⋅====

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛

−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−⋅⋅⋅⋅++++====

−−−−====

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−

====++++

ccccyyyyyyyyxxxxxxxx

ccccyyyyyyyyxxxxxxxx

ccccyyyyyyyyxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

ccccyyyyyyyyxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

0000

000000002222

0000

000000001111

0000

0000000000002222

222200001111

0000

0000000011112222

000011112222

1111

1111

222222222222

2222

2222

2222

Si

noti che le condizioni di esistenza delle intersezioni con l'asse X sono date da:

⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

<<<<

≤≤≤≤∨∨∨∨

⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

>>>>

≥≥≥≥⇒⇒⇒⇒≥≥≥≥

−−−− 000000000000

0000

0000

0000

0000

0000

0000yyyy

ccccyyyyyyyy

ccccyyyyccccyyyy

yyyy

Le relazioni sopra scritte si traducono nel fatto che il vertice delle parabole che nonhanno intersezioni con l'asse X si trova rispetto alla intersezione con l'asse Y:

sotto se 00000000 >>>>yyyy e sopra 00000000 <<<<yyyy :

xxxx

yyyy

VVVVcccc yyyy0000 xxxx

yyyy

VVVVcccc yyyy 0000



32

EsempioEsempioEsempioEsempio: dato il vertice (((( ))))99992222 −−−−;;;;VVVV e l'intersezione (((( ))))88880000 −−−−;;;;CCCC determinare leintersezioni con l'asse X e l'equazione della parabola.

(((( )))) (((( ))))(((( ))))000088888888

000044444444333311112222

888899999999111122221111 22221111

0000

0000000022221111 ;;;;BBBB

;;;;AAAAxxxx

yyyyccccyyyyxxxxxxxx ,,,,,,,, ++++→→→→++++

−−−−→→→→−−−−====⋅⋅⋅⋅====⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛

++++−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛ −−−−⋅⋅⋅⋅==== mmm

(((( )))) 121212124444888811112222 ====−−−−−−−−====−−−−==== xxxxxxxxABABABAB ;(((( ))))

(((( ))))44441111

12121212999944444444

2222222211112222

0000 ====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

====−−−−

−−−−====

xxxxxxxxyyyyaaaa

(((( )))) (((( )))) 88884444111199992222

44441111 22222222

00002222

0000 −−−−−−−−====→→→→−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxxyyyyxxxxyyyyxxxxxxxxaaaayyyy

-15-15-15-15 15151515

-9-9-9-9

9999

xxxx

yyyy

888844441111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy

AAAA BBBB

VVVVCCCC

c=-8c=-8c=-8c=-8yyyy0000=-9=-9=-9=-9

12121212====ABABABAB

5.85.85.85.8 FormaFormaFormaForma alternativaalternativaalternativaalternativa dell'equazionedell'equazionedell'equazionedell'equazione .

Noti il vertice e intersezione con l'asse Y, sostituiamo (((( ))))ccccyyyyyyyyxxxxxxxxxxxx −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− 00000000000011112222 2222nell'esprssione del coefficiente aaaa :

(((( )))) (((( )))) 22220000

0000

0000000022220000

00002222

11112222

0000

444444444444

xxxxyyyycccc

ccccyyyyyyyyxxxxyyyy

xxxxxxxxyyyyaaaa −−−−

====−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−====

−−−−−−−−==== ; sostituiamo ora 2222

0000

0000

xxxxyyyyccccaaaa −−−−

====

Notiamo che il segno di aaaa corrisponde al segno di 0000yyyycccc −−−− .

Nell'equazione (((( )))) 00002222

0000 yyyyxxxxxxxxaaaayyyy ++++−−−−⋅⋅⋅⋅==== : (((( )))) 00002222

000022220000

0000 yyyyxxxxxxxxxxxx

yyyyccccyyyy ++++−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

====

Con i valori dell'esempio precedente determiniamo nuovamente l'equazione:

(((( )))) (((( )))) 44441111222299998888 2222222200000000 ====++++−−−−====−−−−==== xxxxyyyyccccaaaa ;

(((( )))) (((( )))) 888844441111999944444444

4444111199992222

44441111 222222222222 −−−−−−−−====−−−−++++−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyy



33

5.95.95.95.9 ValoriValoriValoriValori interiinteriinteriinteri delledelledelledelle ascisseascisseascisseascisse delledelledelledelle intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni conconconcon l'assel'assel'assel'asse XXXX.

Consideriamo nuovamente le espressioni ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛

−−−−⋅⋅⋅⋅====

ccccyyyyyyyyxxxxxxxx ,,,,

0000

0000000022221111 1111m ; supponendo

che il valore dell'ascissa del vertice sia data da un numero intero ΖΖΖΖ∈∈∈∈====mmmmxxxx0000 , lacondizione per cui le ascisse delle due intersezioni sono a loro volta espresse danumeri interi, (((( ))))nnnnmmmmxxxx ,,,, m111122221111 ⋅⋅⋅⋅==== , è data dalla condizione che il radicando vale 2222nnnn :

1111111100002222

22222222

0000

0000 ≥≥≥≥−−−−

====⇔⇔⇔⇔====−−−−

nnnnyyyynnnn

nnnnccccnnnnccccyyyy

yyyy , .

Il coefficiente di apertura vale 222222220000

22220000

0000

nnnnmmmmyyyy

xxxxyyyyccccaaaa

⋅⋅⋅⋅

−−−−====

−−−−==== .

Se fissiamo un dato vertice (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxVVVV al variare di NNNNnnnn∈∈∈∈ , otteniamo una fascio di

parabole di equazione 0000

2222

22220000 yyyy

mmmmmmmmxxxx

nnnnyyyyyyyy ++++⎟⎟⎟⎟

⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−

−−−−==== .

EsempioEsempioEsempioEsempio: determinare il fascio di parabole con ascisse intere delle intersezioni conl'asse X aventi il vertice nel punto (((( ))))22223333 −−−−;;;;VVVV .In questo caso si ha con 3333====mmmm , (((( ))))2222

22221111 11113333 nnnnxxxx ,,,, m⋅⋅⋅⋅==== e il fascio ha equazione:

22223333

33332222 2222

2222 −−−−⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−⋅⋅⋅⋅====

xxxxnnnn

yyyy .

-16-16-16-16 16161616

-10-10-10-10

10101010

xxxx

yyyy

n=1n=1n=1n=1n=2n=2n=2n=2n=3n=3n=3n=3

n=4n=4n=4n=4n=5n=5n=5n=5

V(2; -4)V(2; -4)V(2; -4)V(2; -4)



34

5.105.105.105.10 FasciFasciFasciFasci didididi paraboleparaboleparaboleparabole conconconcon intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni asseasseasseasse XXXX prefissateprefissateprefissateprefissate eeee verticeverticeverticevertice variabilevariabilevariabilevariabile.

Se fissiamo due punti lungo l'asse X, ad esempio con distinte ascisse espresse danumeri interi ppppxxxx ====1111 e qqqqxxxx ====2222 con ZZZZqqqq,,,,pppp ∈∈∈∈ e qqqqpppp<<<< la parabola avente per

intersezioni con l'asse X i punti (((( ))))0000 ;;;;ppppAAAA e (((( ))))0000 ;;;;qqqqBBBB e vertice ⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ ++++

00002222yyyy;;;;qqqqppppVVVV il

primo coefficiente è dato dalla relazione, già dimostrata in generale:

(((( ))))222200004444

qqqqppppyyyyaaaa

−−−−

−−−−====

Supponendo di considerare i valori discreti ........................,,,,,,,,,,,,................nnnn,,,,nnnnyyyy 22221111111122220000 ++++++++−−−−−−−−======== , lafamiglia delle parabole di date intersezioni (((( ))))0000 ;;;;ppppAAAA e (((( ))))0000 ;;;;qqqqBBBB si rappresenta con la

seguente formula :(((( ))))

nnnnqqqqppppxxxxqqqqppppnnnnyyyy ++++⎟⎟⎟⎟

⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ ++++

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====2222

2222 22224444 .

Si noti come per 0000====nnnn l'equazione perda di significato ( 0000====yyyy ).EsempioEsempioEsempioEsempio: determinare il fascio di parabole aventi punti fissi le intersezioni(((( ))))00003333 ;;;;AAAA −−−− e (((( ))))00007777 ;;;;BBBB ++++ e vertice di ordinata variabile {{{{ }}}}00000000 \\\\ZZZZnnnn,,,,nnnnyyyy ∈∈∈∈==== .

In questo caso si ha , , 1010101022222222

7777333377773333 0000 ====−−−−====++++−−−−

====++++====−−−−==== ppppqqqq,,,,xxxxqqqqpppp

Il fascio ha per equazione (((( ))))⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦⎦

⎤⎤⎤⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎣⎣⎣

⎡⎡⎡⎡⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−

−−−−⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====2222

22222222 5555

222211112222101010104444 xxxxnnnnnnnnxxxxnnnnyyyy e la sua

rappresentazione grafica, per alcuni valori di nnnn , è illustrata di seguito.

-10-10-10-10 -8-8-8-8 -6-6-6-6 -4-4-4-4 -2-2-2-2 2222 4444 6666 8888 10101010

-6-6-6-6-5-5-5-5-4-4-4-4-3-3-3-3-2-2-2-2-1-1-1-1

111122223333444455556666

xxxx

yyyy

n=+1n=+1n=+1n=+1

n=-1n=-1n=-1n=-1n=+2n=+2n=+2n=+2

n=-2n=-2n=-2n=-2

n=+3n=+3n=+3n=+3

n=-3n=-3n=-3n=-3

AAAA BBBB

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INDICE DEGLI ARGOMENTI - · PDF fileProf. I. Savoia PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO p. Bologna, maggio 2012. Seconda edizione 1 PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO Prof. I