1 CAPITOLO 6 L’ELLISSE NEL PIANO CARTESIANO Costruzione dell’ellisse come luogo geometrico L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante:

Un’ellisse può quindi essere tracciata fissando le estremità di un filo (distanza focale) su un piano e, tenendolo teso con una matita (somma delle distanze costante), facendo scorrere quest’ultima, ottenendo così l’ellisse cercata. AF1 = 2a è il raggio della circonferenza di centro F1 ; MP è asse del segmento AF2 ⇒ AP = PF2 ; 2a = AF1 = PF1 + AP = PF1 +PF2 . Il punto P appartiene quindi all’ellisse di fuochi F1,F2 e semiasse di lunghezza a.

2

PROPRIETA’ FOCALI DELL’ASSE MP: L’asse MP forma angoli uguali con i fuochi: - QP̂F1 = AP̂M perché angoli opposti al vertice P; - F2P̂M = AP̂M perché MP è asse del segmento AF2 . Di conseguenza, QP̂F1 = F2P̂M , come volevasi dimostrare.

Da questa costruzione notiamo che, se la distanza focale è nulla, cioè se i fuochi coincidono, l’ellisse si riduce ad una circonferenza. Possiamo quindi affermare che la circonferenza è una particolare ellisse. L’equazione dell’ellisse Per associare all’ellisse un’equazione, consideriamo come sistema di riferimento quello con l’asse x contenente i fuochi, e l’asse y passante per il punto medio del segmento avente come estremi i fuochi. Detta

€

F1F2 = 2c la distanza focale e

€

2a la somma delle distanze dai fuochi risulta

€

PF1 + PF2 = 2a

x + c( )2 + y − 0( )2 + x − c( )2 + y − 0( )2 = 2a

x + c( )2 + y − 0( )2 = 2a − x − c( )2 + y − 0( )2.

A questo punto è possibile elevare al quadrato poiché

€

PF2 < 2a ed ottenere:

€

4xc − 4a2 = −4a x − c( )2 + y − 0( )2

x 2c 2 + a4 − 2a2xc = a2x 2 + a2c 2 − 2a2xc + a2y 2

a2 − c 2( )x 2 + a2y 2 = a2 a2 − c 2( ).

Abbiamo potuto elevare al quadrato senza ulteriori discussioni poiché, essendo

€

−a ≤ x ≤ a (quando

€

P ∈ asse x la sua ascissa è a) e

€

c < a, risulta

€

a2 − xc ≥ 0. Ora, quando l’ellisse incontra l’asse y, il punto intersezione è equidistante dai due fuochi, per cui

€

PF1 = PF2 = a e, posto

€

b2 := a2 − c 2, si giunge all’equazione (detta in forma canonica) dell’ellisse centrata nell’origine con i fuochi sull’asse x:

€

x 2

a2+y 2

b2=1.

Se i fuochi si trovano sull’asse y l’equazione dell’ellisse cambia per effetto della simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante:

€

" x = y" y = x

⇒" y 2

a2+

" x 2

b2=1

$ % &

. Dall’equazione dell’ellisse in forma canonica è possibile

riconoscere l’asse focale: è quello corrispondente al semiasse maggiore.

3

Esercizio. Dimostrare l’ultima affermazione (Suggerimento: porreF1(0,c ) e F2(0,−c ) , sostituire la quantità 2a con , e procedere come nel caso esaminato sopra) Le simmetrie dell’ellisse Un’ellisse è simmetrica rispetto al centro e rispetto ai semiassi inferiore e superiore. Per provare la prima simmetria si osserva che il simmetrico di un punto P(x;y) rispetto all’origine appartiene ancora all’ellisse:

€

" x = −x" y = −y

$ % &

⇒x 2

a2+

y 2

b2=(−x)2

a2+(−y)2

b2=

" x 2

a2+

" y 2

b2. Si procede in modo analogo per la

verifica delle altre due simmetrie. Se l’ellisse è una circonferenza, è simmetrica rispetto a qualsiasi diametro. L’eccentricità dell’ellisse Si definisce eccentricità di un’ellisse il rapporto tra la misura della semidistanza focale e quella del semiasse maggiore. Nel caso di un’ellisse con i fuochi sull’asse x, l’eccentricità è data da

€

e =ca.

Il significato geometrico dell’eccentricità è legato allo “schiacciamento” dell’ellisse, nel senso che maggiore è l’eccentricità, più schiacciata sull’asse focale è l’ellisse. Per le caratteristiche geometriche dell’ellisse l’eccentricità varia da zero (circonferenza) a uno:

€

0 ≤ e <1. Notiamo che l’eccentricità non può essere uguale a uno, in quanto l’ellisse non esiste se la distanza focale coincide con la misura dell’asse maggiore (

€

c = a). Determinazione dell’equazione dell’ellisse: alcuni casi

4 1) Si determini l’equazione dell’ellisse con un fuoco nel punto

€

0;2 2( ) e passante per il

punto

€

53;2

"

# $

%

& ' .

•

€

c 2 = b2 − a2 ⇒ 8 = b2 − a259a2

+4b2

=1

$ % &

' & ⇒

8 + a2 = b2

40 + 5a2 + 36a2 = 9a4 + 72a2$ % '

9a4 + 31a2 − 40 = 0⇒ a2 =−31+ 4918

=1⇒ x 2

1+y 2

9=1

2) Si determini l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse x, di eccentricità

€

e =23

, sapendo che passa per il punto

€

− 3;− 2( ). • Le condizioni poste vengono riassunte dal sistema di equazioni

€

c 2 = a2 − b223

=c 2

a23a2

+2b2

=1

#

$

% %

&

% %

⇒b2 =

13a2 ⇒ 3

a2=1b2

1b2

+2b2

=1⇒ 1b2

=13

⇒x 2

9+y 2

3

#

$ %

& %

=1

La tangente all’ellisse in un punto: la formula di sdoppiamento Sia

€

P x0;y0( ) un punto appartenente all’ellisse di equazione

€

x 2

a2+y 2

b2=1.

Vogliamo determinare l’equazione della retta tangente all’ellisse in quel punto. Non avendo le “buone proprietà geometriche” della circonferenza, dobbiamo percorrere la via algebrica. Si parte quindi dal sistema

€

x 2

a2+y 2

b2=1

y − y0 = m(x − x0)

# $ %

& % . Sostituendo otteniamo

€

b2x 2 + a2 y0 + m(x − x0)( )2 = a2b2

b2x 2 + a2 y02 + m2x 2 + m2x0

2 − 2m2xx0 + 2my0x − 2my0x0( ) = a2b2

(b2 + a2m2)x 2 + 2ma2(y0 −mx0)x + a2y02 + a2m2x0

2 − 2ma2y0x0 = a2b2

(b2 + a2m2)x 2 + 2ma2(y0 −mx0)x + a2(y0 −mx0)2 − a2b2 = 0

(b2 + a2m2)x 2 + 2ma2(y0 −mx0)x − a2b2 + a2(y0 −mx0)

2 = 0

Arrivati a scrivere l’equazione risolvente imponiamo la condizione di tangenza uguagliando a zero il discriminante dell’equazione:

5

€

m2a4 (y0 −mx0)2 − (b2 + a2m2) −b2a2 + a2(y0 −mx0)

2[ ] = 0

b4a2 + a4m2b2 − b2a2(y0 −mx0)2 = 0

b4a2 + a2b2 m2a2 − y02 −m2x0

2 + 2mx0y0( ) = 0

b4a2 + a2b2 m2(a2 − x02) − y0

2 + 2mx0y0( ) = 0

m2(a2 − x02) + 2mx0y0 − y0

2 + b2 = 0

m =−x0y0 ± x0y0( )2 − (a2 − x02) −y02 + b2( )

(a2 − x02)

=−x0y0(a2 − x0

2)

L’equazione diventa quindi

€

y − y0 =−x0y0(a2 − x0

2)(x − x0)

y − y0 =−x0y0

a2 y02

b2

(x − x0)

y − y0 = −b2x0a2y0

(x − x0)

.

La forma standard in cui si trova l’equazione della retta tangente all’ellisse in un suo punto è data dalla cosiddetta “formula di sdoppiamento”:

€

xx0a2

+yy0b2

=1. L’equazione generale dell’ellisse Nel caso in cui il centro

€

xc;yc( ) non coincide con l’origine degli assi, l’equazione canonica dell’ellisse si modifica facilmente mediante il

cambiamento del sistema di riferimento x = X + xcy = Y + yc

!"#

$# , rispetto al quale

l’equazione dell’ellisse ha la forma canonica X2

a2+Y 2

b2=1:

x − xc( )2

a2+y− yc( )

2

b2=1

Ricordiamo che tale operazione non modifica i parametri dell’ellisse (ne lascia inalterata la forma). Quindi,

€

x = X + xcy =Y + yc

" # $

⇒XX0

a2+YY0b2

=1, dove

€

X0 = x0 − xcY0 = y0 − yc

# $ %

sono le coordinate del punto di tangenza nel nuovo sistema di riferimento. L’equazione della tangente nel vecchio sistema di riferimento si ottiene “contro-sostituendo” l’espressione delle nuove coordinate in funzione delle vecchie nell’equazione della tangente trovata:

(x − xc )(x0 − xc )a2

+( y− yc )( y0 − yc )

b2=1

6 Proprietà delle tangenti deducibili dalla sua costruzione come luogo geometrico: la direttrice dell’ellisse

Si osserva dalla figura che le rette tangenti condotte da Q, sono assi dei segmenti AF2 e A 'F2 . Infatti, il segmento QF2 è lato comune ai triangoli isosceli AQF2 e A 'QF2 , quindi QA =QA ' e, di conseguenza, il triangolo AQA ' è isoscele di altezza QF1 . Si ha quindi (QF1)2 = (QA)2 − (F1A)2 = (QF2 )2 − (2a)2 e, nel sistema di riferimento introdotto, indicate con (x, y) le coordinate di Q, (x + c )2 + ( y−0)2 = (x − c )2 + ( y−0)2 −4a2 da cui segue l’equazione della retta

(direttrice) x = − a2

c, a cui appartiene il punto Q da cui vengono condotte le

tangenti all’ellisse. Esercizi svolti

1. Scrivere l’equazione della tangente all’ellisse di equazione

€

4x 2 + y 2 = 4 nel punto di ascissa

€

12, situato nel quarto quadrante.

• Scriviamo innanzitutto l’ellisse nella forma standard:

€

x 2 +y 2

4=1. Il

punto di tangenza, trovandosi nel quarto quadrante, ha ordinata

7

negativa:

€

4 12"

# $ %

& ' 2

+ y 2 = 4⇒ y = − 3 . Applichiamo la formula di

sdoppiamento ed otteniamo

€

x 121

+y − 3( )4

=1⇒ 2x − y 3 − 4 = 0.

2. Si scrivano le equazioni delle rette tangenti all’ellisse

€

x 2 + 4y 2 = 9 condotte dal punto di coordinate

€

P(6;− 32).

•

€

x 2 + 4y 2 = 9

y +32

= m(x − 6)

# $ %

& % ⇒ x 2 + 4(m2x 2 + 36m2 −12m2x +

94− 3mx +18m) = 9⇒

(1+ 4m2)x 2 −12m(4m +1)x + 4 6m +32

(

) *

+

, -

2

+ 9 = 9⇒

0 =Δ4

= 36m2(1+16m2 + 8m) − 4(1+ 4m2) 6m +32

(

) *

+

, -

2

=

36m2 + 5/ 7 6m4 + 28 / 8 m3 −144m2 − 72m − 5/ 7 6m4 − 28 / 8 m3 =

−108m2 − 72m⇒m = 0⇒ 2y + 3 = 0

m = −23⇒ 4x + 6y −15 = 0

8 3. Un’ellisse ha un vertice nel punto di coordinate

€

( 10;0) ed è tangente alla retta di equazione

€

y = 6x − 20. Qual è l’equazione dell’ellisse? • Il dato relativo al vertice afferma che il semiasse lungo la direzione

delle ascisse è

€

a = 10 . La tangenza alla retta data porta all’equazione risolvente

€

x 2

10+6x − 20( )2

b2=1⇒ b2x 2 + 360x 2 − 2400x + 4000 −10b2 = 0 . Imponendo che il

discriminante sia uguale a zero otteniamo

€

12002 − 4000b2 +10b4 − 360 ⋅ 4000 + 3600b2 =10b2 b2 − 40( )⇒ b2 = 40⇒

x 2

10+y 2

40=1

.

4. Si determinino le equazioni delle rette tangenti all’ellisse x2

4+ y2 =1 condotte dal

puntoP 43;0

!

"#

$

%& .

• Osserviamo che a2

c=43

, quindi il punto P 43;0

!

"#

$

%&appartiene alla

direttrice dell’ellisse x = 43

. Per la proprietà delle tangenti

condotte da un punto sulla direttrice, e per la simmetria dell’ellisse rispetto all’asse focale, i punto di tangenza hanno coordinate 3,± 1

2!

"#

$

%& , di conseguenza l’equazione delle tangenti è

3x4

± y 12=1.

Come ottenere un’ellisse a partire da una circonferenza Immaginiamo di aver tracciato la circonferenza di raggio unitario e centro nell’origine di un sistema di riferimento, su un “foglio di gomma”. Se lo tiriamo in direzione orizzontale, l’unità di misura relativa viene “dilatata” di un fattore a, mentre quella riferita alla direzione verticale rimane invariata. Formalmente, abbiamo operato quella trasformazione geometrica nota come “dilatazione” di equazioni

€

" x = ax" y = y

# $ %

. L’equazione

della circonferenza unitaria

€

x 2 + y 2 =1 viene quindi mutata nell’equazione

€

" x 2

a2+ " y 2 =1, che è quella di un’ellisse.

9

In generale, quindi, l’equazione di un’ellisse può essere dedotta da quella della circonferenza di centro l’origine e raggio unitario, mediante dilatazione di equazioni

€

" x = ax" y = by

# $ %

, ovvero

€

" x 2

a2+

" y 2

b2=1.

Una conseguenza molto importante di questa costruzione è che l’unità di misura della superficie, il “quadretto di lato uno” viene mutato in un rettangolo di lati a e b. L’area dell’ellisse sarà quindi uguale a quella della circonferenza unitaria, moltiplicata per un fattore ab, ovvero πab . Questi argomenti verranno trattati più in dettaglio nel seguito del corso. Problema Scrivere l’equazione dell’ellisse con i fuochi nei punti F1 0,0( ) e F2 4,0( ) , ed

eccentricità e = 12

. Dopo aver determinato le equazioni delle tangenti

t1,t2all’ellisse nei punti di ascissa 4, si trovino le equazioni delle circonferenze tangenti alle rette t1,t2 , e passanti per il punto A 6;0( ) . Si determini, infine, l’equazione della parabola passante per l’origine, per il punto B 4,3( ) , ed avente per asse la direttrice dell’ellisse situata nel semipiano positivo delle ascisse. Soluzione

Si ha 2c = F1F2 = 4⇒ c = 2 , inoltre ca= e = 1

2⇒ a = 4⇒ b2 = a2 − c2 =16−4 =12;

di conseguenza, l’equazione dell’ellisse è x −2( )

2

16+y2

12=1. Mediante la

formula di sdoppiamento generale è possibile determinare le equazioni delle tangenti nei punti

10

P 4,3( ),Q 4,−3( ) : (x −2)(4−2)16+( y−0)(3−0)

12=1⇒ t1 : x +2 y−10 = 0 ,

(x −2)(4−2)16

+( y−0)(−3−0)

12=1⇒ t2 : x −2 y−10 = 0 . Le circonferenze hanno

centro nel punto D x,0( ) , che per ragioni di simmetria si trova sull’asse

delle ascisse, equidistante dal punto A 6;0( ) , e dalle rette tangenti. Questa condizione si traduce così:

x −6 =x −10

5⇒

x1 =6 5 +105 +1

=30−6 5 +10 5 −10

4= 5+ 5

x2 =6 5 −105 −1

=30+6 5 −10 5 −10

4= 5− 5

.

Il raggio è r = 5+ 5( )−6 = 5 −1, e le circonferenze hanno equazioni

C1 : x −5+ 5( )2

+ y2 = 6−2 5 , e C1 : x −5− 5( )2

+ y2 = 6−2 5 .

La direttrice dell’ellisse cercata, si ottiene dall’equazione x −2= a2

c⇒ x =10 .

(Le tangenti trovate si incontrano nel punto 10,0( ) . Sapresti giustificare questo risultato?). L’asse della parabola ha quindi equazione

x =10⇒−b2a

=10⇒ b = −20a , mentre il passaggio per l’origine restituisce il

coefficiente c = 0 . Resta da imporre il passaggio per il punto B 4,3( ) :

3=16a −80a⇒ a = − 364

⇒ b = 1516

, e l’equazione cercata è y = − 364x2 +15

16x .

11

Problema Scrivi l’equazione delle rette tangenti alle circonferenze di equazioni

x +1( )2+ y2 =1 e x −3( )

2+ y2 = 4 , e dell’ellisse passante per il punto 1,2( )

con i fuochi coincidenti con i centri delle circonferenze. Soluzione La similitudine tra i triangoli AGC e CBE permette di determinare le coordinate del punto C, appartenente all’asse focale e intersezione delle

tangenti: CAAG

=CBBE

⇒CA1=4−CA2

⇒CA = 43⇒ xC =

43−1= 1

3. Il fascio di

rette per C ha equazione y = m x − 13

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⇒ 3mx −3 y−m = 0 ; le tangenti sono

quindi le rette del fascio distanti dal centro una distanza uguale al raggio: −3m−m

9m2 +9=1⇒16m2 = 9m2 +9⇒ m = ± 3

7. Per quanto riguarda l’ellisse,

osserviamo che 2c = 3− −1( )⇒ c = 2 , e che il centro dell’ellisse è nel punto

di coordinate 1,0( ) ; di conseguenza il dato sul punto di appartenenza ci

dice che b = 2 , e quindi a2 = b2 + c2 = 8⇒x −1( )

2

8+y2

4=1.

12

Considerazioni di similitudine analoghe a quelle fatte in precedenza permettono di determinare le altre due rette tangenti, intersecantisi in un punto sull’asse x, a sinistra della circonferenza più piccola: CAAG

=CBBE

⇒CA1=4+CA2

⇒CA = 4⇒ xC = −4−1= −5 , da cui segue

y = m x +5( )⇒ mx − y+5m = 0 ; le tangenti sono quindi le rette del fascio distanti dal centro una distanza uguale al raggio: −m+5m

m2 +1=1⇒16m2 = m2 +1⇒ m = ± 1

15.

13

L’ellisse e le funzioni irrazionali Come nel caso della parabola, anche l’ellisse può essere utilizzata per tracciare il grafico di funzioni irrazionali, aventi per radicando un trinomio di secondo grado. Consideriamo ad esempio la funzione

€

f (x) = 2 − 1− 4x 2 . Dalle condizioni di esistenza segue innanzitutto che

€

y = 2 − 1− 4x 2 ⇒ 1− 4x 2 = 2 − y⇒ −12≤ x ≤ 1

2y ≤ 2

% & '

( ' . Elevando al quadrato ambo i

membri dell’espressione

€

1− 4x 2 = 2 − y , otteniamo l’equazione

€

4x 2 + y 2 − 4y + 3 = 0. Si tratta dell’equazione di un’ellisse

€

4x 2 + (y − 2)2 =1 con centro nel punto di coordinate

€

0;2( ). Tenendo conto delle restrizioni poste dalle condizioni relative alla funzione, otteniamo per quest’ultima il grafico:

14 Ellissi inscritte in un quadrato Vogliamo vedere se, e quindi sotto quali condizioni, un’ellisse può essere inscritta in un quadrato. Cominciamo con la descrizione analitica del quadrato come parte di piano delimitata da quattro rette perpendicolari, con i vertici sugli assi cartesiani:

€

x + y = k; x + y = −k; x − y = k; x − y = −k . Per esempio, per

€

k = 4 otteniamo il quadrato in figura.

Per trovare l’equazione di un’ellisse inscritta nel quadrato, scegliamo un punto di ascissa

€

x0 come punto di tangenza: allora questo dovrà avere coordinate

€

x0;k − x0( ), in quanto appartenente anche, per esempio, alla retta di equazione

€

x + y = k. Quest’ultima, in quanto retta tangente nel punto scelto, dovrà coincidere con l’equazione della retta tangente nel punto

€

x0;k − x0( ) ottenuta con la formula di sdoppiamento:

€

xx0a2

+yy0b2

=1. Di

conseguenza il sistema

€

xx0a2

+y(k − x0)

b2=1

xk

+yk

=1

#

$ %

& %

dovrà ammettere infinite soluzioni,

quindi

€

x0a2

=1k

k − x0b2

=1k

#

$ %

& %

⇒

1a2

=1kx0

1b2

=1

k(k − x0)

. L’equazione dell’ellisse inscritta è dunque:

€

x 2

kx0+

y 2

k(k − x0)=1. Semplici osservazioni consentono di affermare che:

a) affinché si tratti effettivamente di un’ellisse occorre che, posto

€

k > 0,

€

kx0 > 0k(k − x0) > 0# $ %

⇒ 0 < x0 < k (e questa condizione era

ragionevole aspettarcela, osservando il grafico).

15 b) Affinché si tratti di una circonferenza, occorre che, oltre che

essere positivi, i denominatori siano anche coincidenti:

€

kx0 = k(k − x0)⇒ x0 =k2

. Per esempio, con valori di

€

x0 = 3,

€

x0 =1 e

€

x0 = 2 otteniamo le seguenti 3 ellissi (di cui una circonferenza) inscritte nel quadrato definito dalle rette di cui sopra con

€

k = 4:

Possiamo dimostrare che l’ellisse di area massima inscritta nel quadrato delimitato dalle rette

€

x + y = k; x + y = −k; x − y = k; x − y = −k è la circonferenza. Infatti, dalla formula dell’area dell’ellisse applicata all’equazione

€

x 2

kx0+

y 2

k(k − x0)=1 , risulta

€

A(x0) = π kx0 k(k − x0) = πk kx0 − kx02 .

Questa espressione risulterà massima quando sarà tale il radicando, ma questo al variare di

€

x0 rappresenta una parabola con la concavità rivolta verso il basso; di conseguenza il valore di

€

x0 corrispondente all’ascissa del vertice sarà relativo all’ellisse di area massima. Poiché tale valore è

€

x0 =k2

(dalla

€

y = −x02 + kx0 = − x0 −

k2

#

$ %

&

' ( 2

+k2

), l’ellisse cercata è una circonferenza:

€

x 2 + y 2 =k 2

2.

Esercizi 1. Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C(2,0) e raggio 2.

Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza condotte dal punto (8,0). Scrivere l’equazione dell’ellisse con centro nell’origine e fuochi sull’asse x, passante per il punto di intersezione della circonferenza con la bisettrice del primo e terzo quadrante ed

avente eccentricità e = 12

. Rappresentare tutto sul piano cartesiano.

16 2. Determinare l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse x,

eccentricità

€

45 e passante per il punto

€

P(1, 6 65) .

3. Trova l’equazione della tangente all’ellisse di equazione

€

4x 2 + y 2 = 4 , nel suo punto di ascissa ½, che si trova nel quarto quadrante. Rappresentare graficamente l’ellisse e la retta tangente.

4. Scrivi l’equazione della retta tangente all’ellisse di equazione

€

x 2

8+y 2

36=1, nel suo punto di ordinata

€

3 3 che si trova nel secondo quadrante.

5. Scrivere l’equazione dell’ellisse avente eccentricità uguale a

€

32

e gli estremi dell’asse maggiore nei punti (4;0) e (-4;0), e si determini l’equazione della retta ad essa tangente nel punto di coordinate (2;

€

3 ). 6. Scrivere l’equazione dell’ellisse passante per il punto P(3,2) e ivi

tangente alla retta di coefficiente angolare

€

−38

.

7. Sono dati la circonferenza di equazione x − 2( )2 + y2 = 4 , ed il punto di coordinate P 2;k( ) , con k > 0 , da cui vengono condotte le tangenti s, t alla circonferenza nei punti A e B. Si determini il valore di k per il quale il triangolo APB è equilatero. Per k = 4 , si trovino le equazioni delle rette tangenti e le coordinate dei punti A e B. Si scriva l’equazione dell’ellisse i cui fuochi sono le proiezioni dei punti A e B sull’asse delle ascisse, il cui semiasse maggiore misura 2. Infine, si scriva l’equazione della famiglia di parabole che intersecano l’asse delle ascisse nei punti di coordinate O(0;0) e (4;0) , e tra queste s’individui quella tangente alle rette s, t. Si rappresenti tutto su un piano cartesiano.

8. Si scriva l’equazione della parabola con il fuoco nell’origine degli assi,

e direttrice la retta y = 2 . E’ possibile scrivere con un’unica espressione l’equazione della parabola e della sua simmetrica rispetto all’asse y? Si determinino le equazioni delle rette r, s tangenti alla parabola nei punti in cui questa taglia l’asse delle ascisse, e l’equazione dell’ellisse tangente alle rette r, s, con i fuochi sulla retta y = 1

2, e passante per il

vertice V della parabola. Si trovino, infine, le equazioni delle quattro circonferenze tangenti alle rette r, s, ed aventi raggio uguale all’eccentricità dell’ellisse. Si rappresentino tutti i luoghi geometrici

17 sul piano cartesiano, e si scrivano le equazioni di tutte le simmetrie presenti.

Soluzioni

1. y = ± 12 2

x −8( ) , x2

12+y2

6=1.

-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10

-5

-2,5

2,5

5

2. x

2

25+y2

9=1 .

3. 2x + 3y = 4 .

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4. 3 2x − 2 3y+ 24 = 0 . 5. x2 + 4y2 =16 , 2x + 4 3y =16 . 6. x2 + 4y2 = 25 .

7. k = 4 , ± 3x − y+ 4 2 3 = 0 , A(2− 3;1),B(2+ 3;1) , x − 2( )2

4+ y2 =1, y = ax2 − 4ax ,

y = − 14x2 + x , y = − 3

4x2 +3x .

-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10

-5

-2,5

2,5

5

8. y = − x

2

4+1 ; y = ax2 + b x + c ; A 2;0( ),B −2;0( ), r : y = −x + 2, s : y = x + 2 ;

x2

2+ 4 y− 1

2"

#$

%

&'2

=1 ;

C1,2 = ±74, 12

!

"#

$

%&⇒ x 7

4

!

"#

$

%&

2

+ y− 12

!

"#

$

%&2

=78; C3,4 = x

2 + y− 2 74

"

#$

%

&'

2

=78

.

18

-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10

-5

-2,5

2,5

5

“Liceo Scien t i f i c o Stata le “Guido Caste lnuovo”

COMPITO DI MATEMATICA Classe III sezione E

27/02/2015 Problema

1. E’ data la circonferenza di centro A −1,0( ) , raggio r = 4 , e il punto

C −1,4( ) . a) Si determini l’equazione dell’ellisse con i fuochi nei punti A −1,0( )

eB 1,0( ) , e tangente (b2xx0 + a2 yy0 = a

2b2 ) all’asse t del segmento BC . b) Indicati con D ed E i punti dell’ellisse di ascissa x = −1, calcola

l’area del triangolo CEF, essendo F il punto in cui la direttrice ( cx = −a2 ) dell’ellisse interseca l’asse delle ascisse.

c) Si determini l’equazione della circonferenza con centro in B 1,0( ) , e tangente alle rette t e r, dove r è la retta simmetrica di t rispetto all’asse x.

Quesiti

1. Un triangolo ABC ha la base delimitata dai punti A(−1,0),B(1,0) , e il vertice opposto C x, y( ) tale che il perimetro del triangolo sia uguale a 6. In quali punti del piano il vertice C definisce il triangolo di area massima?

2. Risolvere graficamente la disequazione irrazionale: 1+ x −1 ≤ x2 .

3. Perché non abbiamo parlato di direttrice di una circonferenza? Argomenta la risposta riferendoti alla sua costruzione come luogo geometrico vista nel caso dell’ellisse.

Correzione

19 Problema 1. E’ data la circonferenza di centro A −1,0( ) , raggio r = 4 , e il punto

C −1,4( ) . a) Si determini l’equazione dell’ellisse con i fuochi nei punti A −1,0( )

eB 1,0( ) , e tangente (b2xx0 + a2 yy0 = a

2b2 ) all’asse t del segmento BC .

• MBC 0,2( )⇒ t : y−2= x2

Pensando alla costruzione dell’ellisse con riga

e compasso, il punto di tangenza D si trova all’intersezione tra l’asse t

e la retta per A e per C: x = −1⇒ D −1,32

#

$%

&

'(. Poiché 2a = 4 e 2c = 2 ,

allora b2 = a2 − c2 = 3 , quindi l’equazione dell’ellisse è x2

4+y2

3=1 .

b) Indicati con D ed E i punti dell’ellisse di ascissa x = −1 ( yD > yE ) , calcola l’area del triangolo CEF, essendo F il punto in cui la direttrice ( cx = −a2 ) dell’ellisse interseca l’asse delle ascisse.

• D −1,32

"

#$

%

&' è stato ottenuto al punto precedente, di conseguenza

E si ottiene per simmetria rispetto all’asse x: E −1,−32

"

#$

%

&' . Il

punto F ha quindi coordinate F −4,0( ) , e l’area del triangolo è

Area CEF( ) = CE ⋅ AF2 =334 .

c) Si determini l’equazione della circonferenza con centro in B 1,0( ) , e tangente alle rette t e r, dove r è la retta simmetrica di t rispetto all’asse x.

• t : x −2 y+4 = 0⇒ r : x +2 y+4 = 0 . La distanza di B 1,0( ) da una delle due rette è uguale alla lunghezza del raggio della circonferenza

cercata: raggio =5

5= 5⇒ x −1( )

2+ y2 = 5 .

20

Quesiti

1. Un triangolo ABC ha la base delimitata dai punti A(−1,0),B(1,0) , e il vertice opposto C x, y( ) tale che il perimetro del triangolo sia uguale a 6. In quali punti del piano il vertice C definisce il triangolo di area massima? • Il vertice C x, y( )appartiene, per costruzione, all’ellisse di

parametri 2c = 2e 2a = 6−2⇒ a = 2⇒ b = 3 . Il valore massimo

dell’area si ha quindi per C 0,± 3( ) e vale Area =2 32

= 3 .

2. Risolvere graficamente la disequazione irrazionale: 1+ x −1 ≤ x2 .

• x −1≥ 0y ≥ 0

#$%

&%⇒

y = x2 −1x = y2 +1

#$%

&%⇒ x4 −2x2 − x +2= 0 .

Quest’equazione di quarto grado può essere risolta solo approssimativamente. Accontentiamoci della soluzione grafica.

21

3. Perché non abbiamo parlato di direttrice di una circonferenza? Argomenta la risposta riferendoti alla sua costruzione come luogo geometrico vista nel caso dell’ellisse. • Perché le rette tangenti che, nel caso dell’ellisse, toccano la

curva in punti che si corrispondono rispetto ad un fuoco, nel caso della circonferenza toccherebbero la curva in punti diametralmente opposti, e quindi sarebbero tra loro parallele; di conseguenza non potrebbero intersecarsi in alcun punto. “Liceo Scien t i f i c o Stata le “Guido Caste lnuovo”

COMPITO DI MATEMATICA Classe III sezione E

17/03/2016

Problema Stanco di dover aspettare il tuo turno al mini-golf, decidi di fare un bagno in piscina. Mancando ancora mezz’ora all’apertura dell’impianto, decidi di studiare analiticamente il bordo della vasca.

22

Facendo riferimento ai dati numerici ricavabili dalla figura (misure in m): a) Scrivi l’equazione delle circonferenze e delle parabole che formano il bordo

della vasca, evidenziando con equazioni le simmetrie presenti;

• Per costruzione, C 10 2,0( )⇒ x −10 2( )2

+ y2 =100 . La parabola di

vertice V e passante per A 5 2,5 2( ) è tale che xV = 0⇒ b = 0 e che

m = 2ax0 + b⇒ a = m− b2x0

=1−010 2

=1

10 2; l’equazione della parabola è

quindi 5 2 = 5010 2

+ c⇒ c = 5 22

⇒ y = x2

10 2+5 22

. L’altra

circonferenza e l’altra parabola, si ottengono rispettivamente per simmetria

assiale rispetto all’asse y: ʹx = −xʹy = y

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ x +10 2( )

2

+ y2 =100 , e rispetto

all’asse x:ʹx = xʹy = − y

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ y = − x2

10 2−5 22

.

b) Stima l’estensione superficiale della piscina (approssima l’arco di parabola con i segmenti AV e A’V); • L’area della piscina è data dalla somma delle aree dei settori circolari (in

senso antiorario) A 'B ' e BA , cioè 2 34π r2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=150πm2 , e dalla somma

delle aree dei trapezi CA ʹA ʹC e CB ʹB ʹC , cioè

23

220 2 +10 2( ) ⋅5 2

2

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥= 300m2 , diminuita di quella dei triangoli

AV ʹA e B ʹV B , cioè 2 10 22

⋅5 22

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= 50m2 . L’area richiesta è circa

150 π +2( )m2 ≈ 720m2 .

c) Vuoi progettare una piscina per bambini, di forma circolare di raggio r = 2m . Determina le coordinate del centro, sapendo che questo deve essere distante d = 8mdalle postazioni dei bagnini, situate in A e in A’. • Il centro si troverà all’intersezione delle circonferenze di centro A e A’, di

raggio 8:

x −5 2( )

2

+ y−5 2( )2

= 64

x +5 2( )2

+ y−5 2( )2

= 64

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇒x = 0

y = 5 2 ± 14 ≈10,8⇒ 0;10,8( )

⎧⎨⎪

⎩⎪.

Quesiti 1. Scrivi l’equazione dell’ellisse con i fuochi nei punti F1 0,0( ) e F2 4,0( ) ,

passante per P 2,1( ) . Scrivi l’equazione delle rette tangenti all’ellisse nei

punti di ascissa 1 . • 2c = 4⇒ c = 2⇒ b2 = a2 −4 ; di conseguenza

2−0( )2+ 1−0( )

2+ 4−2( )

2+ 1−0( )

2= 2 5 = 2a⇒ a2 = 5 .

L’equazione dell’ellisse è quindi x −2( )

2

5+ y2 =1. L’equazione della

tangente può essere determinata sfruttando la formula di sdoppiamento:

x −2( ) 1−2( )5

±2 y5=1⇒

t1 : x −2 5 y+3= 0

t2 : x +2 5 y+3= 0.

24