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Stefano Lagomarsino: laboratorio 1, costruire e usare ipertesti. L’ellisse come luogo di punti. Nell’ultima lezione abbiamo presentato le coniche, e in particolare l’ellisse, come sezioni di un cono circolare retto - PowerPoint PPT Presentation
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L’ellisse come luogo di punti
• Nell’ultima lezione abbiamo presentato le coniche, e in particolare l’ellisse, come sezioni di un cono circolare retto
• l’ellisse infatti si ottiene sezionando un cono con un piano che forma con il suo asse un angolo minore di 90°, ma maggiore della semiapertura del cono.
Stefano Lagomarsino: laboratorio 1, costruire e usare ipertesti
Stefano Lagomarsino: laboratorio 1, costruire e usare ipertesti
• Ora dimostreremo che l’ellisse può essere definita anche in un altro modo:
• Nel piano di un’ellisse, infatti, esistono due punti per i quali la somma delle loro distanze da un qualsiasi punto dell’ellisse è sempre la stessa.
• Questi due punti si chiamano “fuochi dell’ellisse”.
• Ma torniamo, per ora, al nostro cono.
• Supponiamo di inserire, all’interno del cono, una sfera tangente al piano dell’ellisse ed al cono stesso, nel modo mostrato nella figura.
• Secondo te, in quanti punti si toccano cono e sfera?
Due punti
Infiniti punti
Hai risposto: due punti
• Probabilmente ti ha confuso il disegno.
• In realtà, se una sfera tocca un cono in due punti, lo tocca anche in infiniti altri punti che stanno tutti su una circonferenza il cui piano è perpendicolare all’asse del cono.
• Nota anche un’altra cosa: le semirette giacenti sul cono e che partono dal vertice sono tutte tangenti alla sfera, ed i segmenti che vanno dal vertice al punto di tangenza sono tutti uguali.
• Un’altra domanda: ci sono altre sfere che sono tangenti al cono e al piano?
Si No
Hai risposto: infiniti punti
• Infatti. Il cono tocca la sfera su infiniti punti che stanno tutti su una circonferenza di raggio più piccolo del raggio della sfera.
• Il piano della circonferenza è perpendicolare all’asse del
cono.
Hai risposto: No
• Non nella parte di spazio compresa fra il vertice ed il piano dell’ellisse,
• però, nell’altra parte dello spazio ce n’è un’altra, più grande della prima.
• Ovviamente, anche questa circonferenza tocca il cono in infiniti punti.
• Altra domanda: in quanti punti si toccano la sfera e il piano dell’ellisse?
Uno infiniti
Hai risposto: Si
• Infatti, ce n’è un’altra nella parte di spazio illimitata che si trova dall’altra parte del vertice, rispetto al piano.
• Ora si chiede: in quanti punti si toccano la sfera e il piano dell’ellisse?
Uno
Infiniti
Hai risposto: uno
• Infatti fra una sfera ed un piano ad essa tangente ci può essere un solo punto di intersezione, quello più vicino alla sfera stessa.
• Da notare che ogni retta del piano che passa per tale punto è anch’essa tangente alla sfera.
Hai risposto: infiniti
• Questo era vero per il cono, ma non può essere vero per il piano.
• Infatti se ci fossero più punti di tangenza fra piano e sfera, il segmento che unisce tali punti (che per forza appartiene al piano) sarebbe interno alla sfera.
• Il piano quindi sarebbe in parte interno, in parte esterno alla sfera (e quindi non sarebbe tangente)
• Fra le due sfere ed il piano dell’ellisse ci sono quindi 2 punti di intesezione.
• Chiamiamo tali punti “fuochi dell’ellisse” (e indichiamoli con F1 ed F2).
F1
F2
• Scegliamo ora, a caso, un punto dell’ellisse (chiamiamolo “punto P”)
• tracciamo anche la semiretta che parte dal vertice del cono e passa per il punto dell’ellisse che abbiamo scelto.
PF1
F2
• Indichiamo poi con A e B i punti di contatto fra tale semiretta e le sfere tangenti al piano dell’ellisse.
• A proposito, secondo te, la distanza fra A e B dipende dalla scelta di P oppure no?
Non dipende dalla scelta di P
dipende dalla scelta di P
PF1
F2
B
A
Hai risposto: non dipende dalla scelta di P
• Infatti il segmento AB è la differenza fra il segmento VB ed il segmento VA, che non dipendono dalla scelta della semiretta. B
A
B’
A’
V
Hai risposto: dipende dalla scelta di P
• Guarda bene: prendi due punti P e P’ sull’ellisse, e considera i corrispondenti punti A’ e B’.
• I segmenti VA e VA’ sono uguali
• e sono uguali anche VB e VB’
• Allora AB e A’B’ non possono che essere uguali.
• Quindi la lunghezza di AB non dipende dalla scelta di P.
B
A
B’
A’
P’
P
V
• Unisci ora il punto P con i due fuochi
• sta attento perché questo passaggio è cruciale:
• Secondo te, il segmento PF1 ed il segmento PA sono uguali o diversi?
Sono uguali
sono diversi
PF1
F2
B
A
Hai risposto: sono diversi
• Bisogna ammettere che qui la prospettiva è veramente fuorviante.
• Pero pensaci un attimo:
• i due segmenti sono entrambi tangenti alla sfera
• inoltre passano entrambi per P. Giusto?
PF1
F2
B
A
• Ora, una sfera stacca segmenti uguali su tutte le tangenti che passano per un punto P (vedi disegno).
• Di conseguenza i segmenti, anche se sembrano diversi, per un effetto di prospettiva, in realtà sono uguali. P
Hai risposto: sono uguali
• Giusto, questo era proprio difficile.
• In effetti i segmenti di tangente condotti da un punto ad una sfera sono tutti uguali fra loro.
P
• Quindi il segmento PA ed il segmento PF1 sono fra loro uguali.
• E analogamente anche PB è uguale a PF2 (questo dal disegno si vede ancora meno, ma è sempre vero).
• Ora fa attenzione
• Se PA=PF1 e PB=PF2 allora:
PF1 + PF2 =AB
PF1 + PF2 =PA+PB
PF1
F2
B
A
Hai risposto: PF1 + PF2 =PA+PB
• Questo è vero, ovviamente, ma pensaci, A, P e B stanno sulla stessa retta, e sono consecutivi, quindi la somma dei due segmenti PA e PB è proprio uguale al segmento AB, non ti pare?
V
A
P
B
Hai risposto: PF1 + PF2 =AB
• Giustissimo, finalmente siamo arrivati all’ultimo passaggio ...
• Allora, abbiamo concluso che per ogni punto P dell’ellisse, la distanza PF1, sommata alla distanza PF2, è uguale al segmento AB
• Ora, come abbiamo visto, la lunghezza di AB è indipendente dalla scelta di P
• Ma allora, la somma delle distanze del punto P dai due fuochi F1 ed F2 è indipendente dalla scelta di P.
PF1
F2
B
A
P’
A’
B’
Conclusione
• Questo significa che per ogni ellisse esistono due punti (i due fuochi) per i quali è costante la somma delle loro distanze da un qualsiasi punto dell’ellisse.
• Questo è proprio quello che si voleva dimostrare.