La circonferenza

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ESEMPI DI LUOGHI GEOMETRICI

• tutti i punti di F, nessuno escluso, soddisfano p

Un luogo di punti è quindi una figura geometrica F i cui punti hanno le seguenti caratteristiche:

Luogo geometrico di punti: insieme di tutti e soli i punti che godono della proprietà p.

Luoghi geometrici

• non ci sono altri punti oltre a quelli di F che soddisfano p.

• L’asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.

×

×

• La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.

×

×

==

La circonferenza

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La circonferenza e il cerchio sono figure che:

hanno un centro di simmetria che è esattamente il centro della circonferenza

hanno infiniti assi di simmetria rappresentati dalle rette che passano per il centro

sono unite in ogni rotazione attorno al centro O

Definizione e proprietà

Si chiama circonferenza il luogo dei punti del piano che hanno distanza costante da un puto fisso assegnato detto centro.

Si chiama cerchio l’insieme dei punti di una circonferenza e dei suoi punti interni.

La circonferenza

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Condizioni per individuare una circonferenza

CONSEGUENZE:

due circonferenze distinte non possono avere più di due punti di intersezione; infatti se ne avessero tre sarebbero la stessa circonferenza

una circonferenza non può avere punti allineati

Per un punto del piano passano infinite circonferenze.

Per tre punti del piano non allineati passa una e una sola circonferenza.

Per due punti del piano passano infinite circonferenze.

A,B: punti base

Retta AB: asse radicale

Retta dei centri: asse centrale

La circonferenza

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Elementi della circonferenza e del cerchio

Corda: segmento che congiunge due punti della circonferenza

Diametro: corda passante per il centro

Si dice che l’arco AB sottende la corda AB.

Segmento circolare a una base: parte di cerchio delimitata da una corda e da uno dei due archi che la sottendono.

Segmento circolare a due basi: parte di cerchio delimitata da due corde parallele (AB e CD).

Caso particolare:

Arco: ciascuna delle due parti in cui due punti (A e B) dividono la circonferenza

La circonferenza

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Proprietà delle corde

In ogni circonferenza il diametro è maggiore di qualunque corda non passante per il centro.

In ogni circonferenza, a corde congruenti corrispondono archi congruenti e angoli al centro congruenti.

La retta perpendicolare ad una corda e passante per il centro della circonferenza è asse della corda, dimezza l’arco che sottende ed è bisettrice dell’angolo al centro corrispondente. =

=

La circonferenza

In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro e, viceversa, se due corde hanno uguale distanza dal centro sono congruenti.

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Proprietà delle corde

In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) se una corda è maggiore di un’altra, la prima ha minore distanza dal centro della seconda e viceversa

AB > CD OH < OK

La circonferenza

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Elementi della circonferenza e del cerchio e proprietà

Si dice che l’angolo al centro ACB insiste sull’arco AB.

Angolo al centro: ha il vertice nel centro della circonferenza

Settore circolare: parte di cerchio individuata da un angolo al centro

In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) angoli al centro congruenti insistono su archi congruenti e viceversa.

In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) se due angoli al centro sono disuguali, l’angolo maggiore insiste sull’arco maggiore e viceversa

La circonferenza

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Posizioni reciproche tra rette e circonferenze

Teorema. Una circonferenza e una retta hanno al più due punti di intersezione.

Una retta è secante rispetto a una circonferenza se e solo se la sua distanza d dal centro è minore del raggio r: d < r

Una retta è esterna ad una circonferenza se e solo se la sua distanza d dal centro è maggiore del raggio r: d > r

Una retta è tangente ad una circonferenza se e solo se la sua distanza d dal centro è congruente al raggio r: d = r

La circonferenza

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Posizioni reciproche tra rette e circonferenze

Proprietà delle rette tangenti. Se da un punto P esterno ad una circonferenza si mandano le tangenti alla circonferenza stessa, i segmenti di tangente sono congruenti e la semiretta di origine P che passa per il centro è bisettrice dell’angolo formato dalle tangenti.

PA ≅ PB

APC ≅ BPC

La circonferenza

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Posizioni reciproche tra circonferenze

Anche due circonferenze distinte non possono avere più di due punti di intersezione.

Indichiamo con d la distanza tra i centri di due circonferenze distinte e con r e r’ (con r > r’) i due raggi.

Le circonferenze sono:

In questo caso le circonferenze sono entrambe tangenti alla retta t e hanno altre due tangenti in comune (le rette in giallo in figura).

• esterne se e solo se d > r + r’

• tangenti esternamente se e solo se d ≅ r + r’

• secanti se e solo se r – r’ < d < r + r’

La circonferenza

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Posizioni reciproche tra circonferenze

In questo caso le circonferenze sono entrambe tangenti alla retta t ma non hanno altre tangenti comuni.

• concentriche se e solo se d = 0

• tangenti internamente se e solo se d ≅ r - r’

• interne se e solo se d < r − r’

La circonferenza

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Angoli alla circonferenza e angoli al centro

Si dice angolo alla circonferenza un angolo che ha il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti oppure uno secante e l’altro tangente (o entrambi tangenti) alla circonferenza.

Teorema. Ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.

AVB insiste sull’arco AB (in rosso)

EPD insiste sull’arco EP (in rosso)

All’angolo AVB alla circonferenza che insiste sull’arco AB possiamo associare l’angolo al centro ACB che insiste sullo stesso arco. Esso si costruisce tracciando le semirette che hanno origine nel centro della circonferenza e passano per A e B