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SIMMETRIE nel piano cartesiano SIMMETRIA di due punti rispetto a un terzo.

Un punto A è simmetrico di un punto Z rispetto a un punto S sse S è punto medio del segmento AZ

Questa definizione vale sia in geometria sintetica che in geometria analitca. In particolare vediamo un esempio nel

piano cartesiano. SIMMETRIA di un punto rispetto all’origine O

degli assi Due punti P e P’ sono simmetrici rispetto ad O sse

hanno coordinate opposte. Cioè: P(x;y) e P’(-x;-y). SIMMETRIA di due punti rispetto ad una retta.

Un punto A è simmetrico di un punto Z rispetto alla retta r sse r è asse del segmento AZ

Questa definizione vale sia in geometria sintetica che in geometria analitca. In

particolare vediamo alcuni esempi nel piano cartesiano.

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SIMMETRIA di due punti rispetto all’asse y

Un punto A è simmetrico di un punto Z rispetto all’asse y sse hanno stessa ordinata e ascissa opposta; cioè: A(x;y) e Z(-x;y).

SIMMETRIA di un due punti rispetto all’asse x

Un punto A è simmetrico di un punto Z rispetto all’asse x sse hanno stessa ascissa e ordinata opposta; cioè: A(x;y) e Z (x;-y). SIMMETRIA di due punti rispetto alla bisettrice di I e III quadrante.

Un punto A è simmetrico di un punto Z rispetto alle bisettrice di I e III quadrante sse hanno ascisse e ordinate scambiate; cioè: A(x;y) e Z(y;x)

Attenzione! Le relazioni tra le coordinate contengono al loro interno il segno.

Le simmetrie si possono combinare: se di un punto P tracci il simmetrico, P’ rispetto all’asse y e di P’ tracci il simmetrico, P’’ rispetto all’asse x, P’’ sarà simmetrico di P rispetto ad O.

Questo equivale a dire che la simmetria rispetto ad O può essere ottenuta come combinazione delle simmetrie rispetto all’asse x e rispetto all’asse y.

Prova tu: quale combinazione di simmetrie ti può dare la simmetria rispetto alla bisettrice di II e IV quadrante (retta di equazione y= - x )? Soluzione a pag. 4.

La definizione che abbiamo dato per i punti, grazie al principio fondamentale della geometria analitica, si può applicare a intere curve. Rette comprese:

Della parte che segue i disegni si trovano tutti da pag 4. SIMMETRIA di due rette rispetto all’asse y L’equazione di una retta simmetrica della retta r di equazione y=mx+q rispetto all’ady si

ottiene lasciando invariata la y e sostituendo la x con –x (vedi definizione). r: y=mx+q r’: y=m(–x)+q=–mx+q

ESEMPIO numerico: r: y=2x-6 r’:y=-2x-6

SIMMETRIA di due rette rispetto all’asse x L’equazione di una retta simmetrica della retta r di equazione y=mx+q rispetto all’ady si

ottiene lasciando invariata la x, sostituendo la y con –x (vedi definizione) e poi facendo i conti necessari a riportare al primo membro la y positiva.

r: y=mx+q r’’: –y: mx+q r’’: y=–mx–q ESEMPIO numerico:

r: y=2x-6 r’’:-y=2x-6 r’’: y=-2x+6

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SIMMETRIA di due rette rispetto rispetto all’origine O degli assi L’equazione di una retta simmetrica della retta r di equazione y=mx+q rispetto all’ady si

ottiene sostituendo la x con –x e la y con –y (vedi definizione) e poi facendo i conti necessari a riportare al primo membro la y positiva.

r: y=mx+q r’’’: –y= –mx+q r’’’:y=mx–q ESEMPIO numerico:

r: y=2x–6 r’’’: –y=–2x–6 r’’’: y=2x+6 RICAPITOLANDO questi primi tre casi

Data r: y=2x–6, r’: y=–2x–6 è simmetrica di r rispetto all’asse y, r’’: y=–2x+6 è simmetrica di r rispetto all’asse x, r’’’: y=2x+6 è simmetrica di r rispetto ad O.

SIMMETRIA di due rette rispetto alla bisettrice di I e III quadrante L’equazione di una retta simmetrica della retta r di equazione y=mx+q rispetto alla

bisettrice di I e III quadrante si ottiene scambiando la x con y (vedi definizione) e poi facendo i conti necessari a riportare al primo membro la y.

s: y=mx+q s’: x= my+q s’: 푦 = 푥–

ESEMPIO numerico:

s: y= 2x-6 s’: x=2y-6 s’: 푦 = 푥 + 3

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SIMMETRIA di due rette rispetto alla bisettrice di II e IV quadrante La simmetria rispetto alla bisettrice di II e IV quadrante è data dalla combinazione fra la

simmetria rispetto alla bisettrice di I e III e alla simmetria rispetto ad O. Un punto A è simmetrico di un punto Z rispetto alle bisettrice di II e IV quadrante sse hanno ascisse e ordinate scambiate e opposte; cioè: A(x;y) e Z(-y;-x).

L’equazione di una retta simmetrica della retta r di equazione y=mx+q rispetto alla bisettrice di II e IV quadrante si ottiene scambiando la x con -y (vedi definizione) e poi facendo i conti necessari a riportare al primo membro la y.

s: y=mx+q s’: -x= -my+q s’: 푦 = 푥 +

ESEMPIO numerico:

s: y= 2x-6 s’’: -x=2(-y)-6 s’’: x=2y+6 s’: 푦 = 푥 − 3

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Osservazioni (provvisoriamente) conclusive

(tenendo conto che la simmetria è una relazione simmetrica!): Sse due rette sono simmetriche rispetto all’asse y le loro pendenze saranno opposte e le

loro quote saranno uguali Sse due rette sono simmetriche rispetto all’asse x le loro pendenze saranno opposte e le

loro quote saranno opposte Sse due rette sono simmetriche rispetto ad O le loro pendenze saranno uguali (cioè le

rette saranno parallele) e le loro quote saranno opposte Sse due rette sono simmetriche rispetto a bisettrice di I e III quadrante le loro pendenze

saranno reciproche e le loro quote saranno tali che divise tra loro danno l’opposto della pendenza.

Sse due rette sono simmetriche rispetto a bisettrice di II e IV quadrante le loro pendenze saranno reciproche e le loro quote saranno tali che divise tra loro danno la pendenza.

Da una retta r passante per O, per ottenere una retta perpendicolare passante O, puoi combinare: la simmetria rispetto a un asse (ottenendo una retta r’, con pendenza opposta di r) con la simmetria rispetto a una delle bisettrici (ottenendo una retta r’’ con pendenza reciproca di r’ e quindi antireciproca di r).

Ma non è l’unico modo: prova tu!