Sistemi di Sistemi di riferimentoriferimentoLa retta orientata e La retta orientata e piano cartesianopiano cartesiano

ContenutiContenuti

• Breve ripasso: gli insiemi numerici

• Che cosa è un sistema di riferimento:la retta orientata e il piano cartesiano (sistema di assi cartesiani ortogonali)

• Rappresentazione degli insiemi numerici su una retta orientata

• Il piano cartesiano

Gli insiemi numericiGli insiemi numerici• I numeri naturali: N

N={0; 1; 2; 3; …}• I numeri interi: Z

Z={0; ±1; ± 2; ± 3; …}• I numeri razionali: Q

Sono tutti quei numeri che possono essere scritti sotto forma di frazione.Sono i numeri decimali limitati e illimitati periodici, infatti ad esempio: 3,4 = 34/10; 5,1(7)=466/90

• I numeri irrazionali: ISono tutti quei numeri che non sono razionali, cioè che non possono essere scritti sotto forma di frazione.Sono i numeri decimali illimitati non periodici come ad esempio:3,023024025026…; π= 3,14159265358979323846264…

• I numeri reali: RDato dall’unione dei due insiemi: razionali e irrazionali

Numeri REALI

Numeri RAZIONALI

mn

2

Numeri IRRAZIONALI

RiassumendoRiassumendo

Numeri INTERI Numeri NATURALI

{…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}

Sistemi di riferimentoSistemi di riferimento• Un sistema di riferimento è l’insieme degli

elementi utili ad individuare la posizione di un oggetto nello spazio.A seconda del numero di riferimenti usati si può parlare di:– Sistema di riferimento monodimensionale

(ad esempio la retta orientata)

– Sistemi di riferimento bidimensionale(ad esempio coordinate cartesiane nel piano)

– Sistemi di riferimento tridimensionale (3D)(ad esempio coordinate cartesiane nello spazio)

La retta orientataLa retta orientataLa retta orientata è una retta su cui viene fissato:

– Un verso di percorrenzaserve a dare un ordine ai punti della retta

– Un punto di riferimento detto Originerispetto al quale è possibile stabilire dove si trova un determinato punto

– Una unità di misuraserve a stabilire a che distanza dall’origine si trova un determinato punto

1 +4

A

-2

B

Il numero -2 è l’ascissa del punto B, +4 è l’ascissa del punto A e si scrive B(-2), A(+4).

Dunque ad ogni numero x corrisponde un punto P sulla retta orientata ed ad ogni punto P corrisponde un numero x: P(x)Dunque il numero x indica la posizione, rispetto all’origine, del punto P di ascissa x

u

u1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

0

I Numeri interi positivi o Naturali sulla retta orientata: la retta è in realtà una semiretta costituita da un numero discreto di punti.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 …0-1-2-3-4-5-6…

u Numeri interi con segno o Relativi sulla retta orientata (costituita da un numero discreto di punti)

u

12 1

2134

32

Numeri esprimibili come frazioni o Razionali rappresentati sulla Retta orientata : la retta presenta ancora “buchi” determinati dai numeri Irrazionali

1 2 30-1-2-3 2 e

12 1

2134

32 1 2 30-1-2-3 2 e

Numeri Reali: Razionali ed Irrazionali sulla retta Numeri Reali: Razionali ed Irrazionali sulla retta reale; i numeri Reali “coprono”, in modo continuo, reale; i numeri Reali “coprono”, in modo continuo, tutti i punti della retta orientata.tutti i punti della retta orientata.

u

Misura di un segmentoMisura di un segmentoUn segmento sulla retta è individuato dai suoi punti estremi.

O

0 +632

A B r

+

Il segmento AB è individuato

dai punti B(+6) e A(+ )32

Nel nostro esempio per trovare la misura di AB(si indica con AB):

AB = OB – OA = (+6) – (+ ) = 6 − = 3

23

2

9

2

ascissadi B

ascissadi A

u

Misura di un segmentoMisura di un segmento

ESEMPI

La misura di un segmento AB si determina calcolando la differenza fra le ascisse dei suoi punti estremi A e B, presi in un ordine qualsiasi, e considerandone poi il valore assoluto in modo da garantire la positività del risultato. Se A(xA) e B(xB), la misura di AB è data dalla relazione

AB = |xA – xB| = |xB – xA|

Se A(+4) e B(−2), allora AB = |(+4) – (-2)| = |+4 +2| = |+6|= 6

Se A(−3) e B(−8), allora AB = |−3 – (−8)| = |−3 +8| = |+5|= 5

oppure AB = |(−2) – (+4)| = |-2 -4| = |-6|= 6

oppure AB = |−8 – (−3)| = |−8+3| = |−5|= 5

Punto medio di un segmentoPunto medio di un segmentoIl punto medio M di un segmento è il punto per il quale si verifica che AM ≅ MB.

M

xM xB

A B r

xA

Se A(xA) e B(xB) si ha che: AM = xM – xA e MB = xB − xM

Possiamo allora concludere che l’ascissa del punto medio di un segmento AB è data dalla semisomma delle ascisse dei suoi estremi.

ESEMPIO

Se A(+2) e B(−7), allora+2 − 7

2xM = = −

5

2

Quindi xM − xA = xB − xM , cioè risolvendo rispetto a xM

xA + xB

2xM =

RiassumendoRiassumendoDate le ascisse xA e xB di due punti A e B di una retta avremo:– La misura del segmento AB è:

– L’ascissa xM del punto medio M del segmento AB è:

2BA

M

xxx

ABBA xxxxAB

OSSL’ascissa del punto medio di un segmento risulta pertanto pari alla L’ascissa del punto medio di un segmento risulta pertanto pari alla media aritmetica delle ascisse degli estremi.media aritmetica delle ascisse degli estremi.

Sistema di assi cartesianiSistema di assi cartesiani• È costituito da una

coppia di rette orientate aventi la stessa origine. Ad esempio:

• Noi ci occuperemo di un sistema di assi cartesiani ortogonali monometrico (stessa unità di misura su entrambe le rette orientate).

Piano cartesianoPiano cartesiano

4° Quadrante

• Il piano cartesiano è suddiviso da 2 assi (asse x delle ascisse e asse y delle ordinate) in 4 angoli retti chiamati quadrantiPartendo dall’angolo in alto a destra e seguendo il verso antiorario sono chiamati 1°,2°,3° e 4° quadrante

x (Asse delle ascisse)

1° Quadrante

3° Quadrante

2° Quadrante

y (Asse delle ordinate)

1 3 4 52-1-2-3-5 -4

(origine)

O

Unità di misura

-3

-2-1

+4

+2

+1

+3

Piano cartesianoPiano cartesiano