Cap. 3 Il piano Cap. 3 Il piano CartesianoCartesiano

Retta e puntoRetta e puntoConsideriamo una retta r e un Consideriamo una retta r e un punto P su di essapunto P su di essa

Se la retta è formata da un Se la retta è formata da un numero infinito ed illimitato di numero infinito ed illimitato di punti allora se inserisco un punto punti allora se inserisco un punto di fatto la divido in due partidi fatto la divido in due parti

Si viene a formare un nuovo Si viene a formare un nuovo ente che necessita di nome e ente che necessita di nome e definizione (che dipenderà definizione (che dipenderà strettamente dall’operazione strettamente dall’operazione svolta)svolta)

SemirettaSemiretta

Si definisce semiretta ciascuna

delle due parti in cui una

retta è divisa da un suo punto

Semiretta orientataSemiretta orientata

Una semiretta si dice orientatase su di essa è stato fissato un

verso positivo

O r

Verso positivo

Semiretta orientata

Semiretta orientata e graduataSemiretta orientata e graduataGraduare una semiretta orientata significa far Graduare una semiretta orientata significa far corrispondere a ciascun punto della semiretta un valorecorrispondere a ciascun punto della semiretta un valore

Assegnare il valore 0 al punto di origine è relativamente Assegnare il valore 0 al punto di origine è relativamente semplicesemplice

Ma per proseguire come si può fare, non posso mettere Ma per proseguire come si può fare, non posso mettere dei numeri a casodei numeri a caso

Mi serve un segmento da utilizzare come unità di misura Mi serve un segmento da utilizzare come unità di misura (AC =1)(AC =1)

Faccio coincidere l’estremo A con O e dove cade C Faccio coincidere l’estremo A con O e dove cade C assegno il valore 1assegno il valore 1

Si dice che il punto C è l’immagine di 1Si dice che il punto C è l’immagine di 1

Adesso ho uno strumento per assegnare a ciascun Adesso ho uno strumento per assegnare a ciascun punto della semiretta un valore ripetendo punto della semiretta un valore ripetendo consecutivamente l’unità di misuraconsecutivamente l’unità di misura

Se la ripeto 2 volte troverò il punto D che sarà Se la ripeto 2 volte troverò il punto D che sarà l’immagine di 2l’immagine di 2

3 volte il punto 3 e così via3 volte il punto 3 e così via

Corrispondenza biunivocaCorrispondenza biunivoca

La corrispondenza biunivoca è una La corrispondenza biunivoca è una relazione che fa corrispondere a relazione che fa corrispondere a ciascun elemento di un’insieme A ciascun elemento di un’insieme A (es. i punti di una semiretta) un (es. i punti di una semiretta) un elemento dell’insieme B (es. i elemento dell’insieme B (es. i numeri reali) e viceversa (a ciascun numeri reali) e viceversa (a ciascun elemento dell’insieme B elemento dell’insieme B corrisponde un solo elemento corrisponde un solo elemento dell’insieme A)dell’insieme A)

Esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti della

semiretta ed il loro valore

A ciascun punto della semiretta A ciascun punto della semiretta corrisponde un numero reale e corrisponde un numero reale e ogni numero reale ha la sua ogni numero reale ha la sua immagine in un punto della immagine in un punto della semirettasemiretta

Come ottenere la stessa cosa Come ottenere la stessa cosa sul pianosul piano

Per ottenere una corrispondenza Per ottenere una corrispondenza biunivoca fra punti delle retta ed il loro biunivoca fra punti delle retta ed il loro valore è bastata una retta orientatavalore è bastata una retta orientata

Come possiamo fare la stessa cosa su di Come possiamo fare la stessa cosa su di un piano? un piano?

Può bastare una sola retta?Può bastare una sola retta?

Pensate a quante dimensioni ha un piano Pensate a quante dimensioni ha un piano e a quante ne ha una rettae a quante ne ha una retta

Il piano cartesianoIl piano cartesianoIn realtà, visto che ci troviamo in prima media, non In realtà, visto che ci troviamo in prima media, non considereremo tutto il piano cartesiano ma solo un considereremo tutto il piano cartesiano ma solo un quadrante, più che sufficiente per i nostri scopiquadrante, più che sufficiente per i nostri scopi

Prendiamo in considerazione un piano Prendiamo in considerazione un piano e due semirette e due semirette orientate e graduate aventi un origine in comune e orientate e graduate aventi un origine in comune e perpendicolari fra loroperpendicolari fra loro

Due semirette sono perpendicolari se formano un angolo Due semirette sono perpendicolari se formano un angolo di 90°di 90°

Solitamente si indica con O l’origine delle semirette, con Solitamente si indica con O l’origine delle semirette, con x la semiretta orizzontale e con la y la semiretta verticalex la semiretta orizzontale e con la y la semiretta verticale

Pertanto il riferimento cartesiano è chiamato anche OxyPertanto il riferimento cartesiano è chiamato anche Oxy

Se le semirette sono graduate significa che è stata Se le semirette sono graduate significa che è stata fissata un’unità di misura generalmente (ma non fissata un’unità di misura generalmente (ma non necessariamente) identica per i due assinecessariamente) identica per i due assi

ox

y

Si dice Si dice asse delle ascisseasse delle ascisse l’asse x l’asse x

Si dice Si dice asse delle ordinateasse delle ordinate l’asse y l’asse y

Ma a cosa serve tutto questo?Ma a cosa serve tutto questo?

Consideriamo un punto P del pianoConsideriamo un punto P del piano

Dal punto P tracciamo la retta verticale r

Ass

e de

lle o

rdin

ate

Asse delle scisse

Questa incontra l’asse x nel punto E

E è l’immagine di 2 e prende il nome di ascissa del punto P

Come si vede hanno questo valore tutti i punti della retta r perciò il punto P non può essere individuato solo da questo valore

r

Mi serve un modo per trovare fra gli infiniti punti che Mi serve un modo per trovare fra gli infiniti punti che costituiscono la retta r che hanno ascissa E quello che a me costituiscono la retta r che hanno ascissa E quello che a me interessa cioè Pinteressa cioè P

Tracciamo ora la retta orizzontale passante per P (retta s)Tracciamo ora la retta orizzontale passante per P (retta s)

Essa incontra l’asse y nel punto FEssa incontra l’asse y nel punto F

r

Il punto F è l’immagine di 2 sull’asse delle ascisse e prende il nome di ordinata del punto P

A questo punto il gioco è fatto, il punto P risulta determinato senza equivoci dai due numeri di cui E ed F costituiscono l’immagine

E ed F prendono il nome di coordinate cartesiane del punto P e si scrive P (E;F) oppure P(2;2)

Per convenzione si mette prima il valore dell’ascissa e poi quello dell’ordinata

Una nuova corrispondenza Una nuova corrispondenza biunivocabiunivoca

Esiste una corrispondenza biunivoca Esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e una coppia di fra i punti del piano e una coppia di coordinate cartesianecoordinate cartesiane

… … ma anche gli assi hanno le loro ma anche gli assi hanno le loro coordinatecoordinate

Consideriamo il punto GConsideriamo il punto G

Anch’esso fa parte del piano perciò Anch’esso fa parte del piano perciò avrà la sua coppia di coordinateavrà la sua coppia di coordinate

L’ascissa è 1L’ascissa è 1

Ripetiamo il procedimento Ripetiamo il procedimento precedente, se tracciamo la retta precedente, se tracciamo la retta orizzontale passante per G troviamo orizzontale passante per G troviamo il punto O di coordinate (0;0) come si il punto O di coordinate (0;0) come si conviene ad un punto che costituisce conviene ad un punto che costituisce l’origine degli assil’origine degli assiQuesto ci porta alla conclusione che tutti i punti situati sull’asse delle ascisse (asse x) avranno l’ordinata 0

Il punto G avrà coordinate (1;0) – ricordiamo che per convenzione si mette prima l’ascissa e poi l’ordinata-

Consideriamo ora il punto HConsideriamo ora il punto H

Trovandosi sull’asse y avrà Trovandosi sull’asse y avrà come ascissa la stessa del come ascissa la stessa del punto cioè 0punto cioè 0

Tutti i punti che si trovano Tutti i punti che si trovano sull’ordinata hanno per sull’ordinata hanno per ascissa il valore 0ascissa il valore 0

Le coordinate del punto H Le coordinate del punto H saranno H(0;4)saranno H(0;4)

Trovare i punti conoscendo le Trovare i punti conoscendo le coordinatecoordinate

trovare il punto P (4;2)trovare il punto P (4;2)

Dal punto di Dal punto di ascissaascissa 4 (asse x) 4 (asse x) traccio una retta traccio una retta verticaleverticale

Dal punto di Dal punto di ordinataordinata 2 (asse y) 2 (asse y) traccio una retta traccio una retta orizzontaleorizzontale

Vedo che si incontrano in un Vedo che si incontrano in un puntopunto

Quello è il punto P cercatoQuello è il punto P cercato

Punto Q (3;5)Punto Q (3;5)