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L’equazione della retta
Una retta su un piano cartesiano è sempre rappresentata da un’equazione di primo grado nelle lettere x e y (o anche solo la x o solo la y)
Le coordinate di un punto appartenente ad una retta devono soddisfare l’equazione della retta stessa.
Rette parallele all’asse delle y
Inseriamo nel piano cartesiano i punti A(2,1), B(2,-3), C(2,-½), D(2,3).
Osserviamo che hanno tutti la prima coordinata (la x) uguale a 2
Rette parallele all’asse delle y
A
B
C
D
x
y
O
Rette parallele all’asse delle y
Osserviamo che sono tutti allineati
Rette parallele all’asse delle y
A
B
C
D
x
y
O
Rette parallele all’asse delle y
Ma se prendessimo un qualunque altro punto, chiamiamolo E, sulla retta appena disegnata avrebbe sicuramente prima coordinata uguale a 2
Rette parallele all’asse delle y
A
B
C
D
x
y
O
?)E(2,
?)E(2,
?)E(2,
Rette parallele all’asse delle y
Quindi a quella retta appartengono tutti e solo i punti che hanno la prima coordinata, la x, uguale a 2.Pertanto l’equazione della retta è:
2x
Rette parallele all’asse delle y
Ovviamente se avessimo preso dei punti aventi prima coordinata, anziché 2, ad esempio -1 e li avessimo uniti con una retta, tale retta avrebbe avuto equazione:
1x
Rette parallele all’asse delle y
Possiamo quindi concludere che una retta parallela all’asse y ha sempre equazione
numerox
Esercizi
Determinare l’equazione della retta parallela all’asse y passante per il punto A(-3,1).Sappiamo che una retta parallela all’asse y ha equazioneDal momento che tale retta passa per il punto A avente prima coordinata uguale a -3 , la sua equazione è
numerox
3x
Esercizi
Determinare l’equazione dell’asse y
Sappiamo che una retta parallela all’asse y ha equazioneDal momento che tale retta passa per l’origine che ha prima coordinata uguale a 0, l’equazione dell’asse y è
numerox
0x
Esercizi
Disegnare la retta di equazione
Sappiamo che una retta di equazione
È una retta parallela all’asse y. Scegliamo allora un qualunque punto avente ascissa 1, ad esempio A(1,0) e disegniamo una retta verticale passante per tale punto risolvendo il problema
numerox
1x
Rette parallele all’asse delle y
x
y
O )0,1(A
Rette parallele all’asse delle x
Inseriamo nel piano cartesiano i punti A(2,3), B(-1, 3), C(½,3), D(-2,3).
Osserviamo che hanno tutti la secondacoordinata (la y) uguale a 3
Rette parallele all’asse delle x
D B C A
x
y
O
Rette parallele all’asse delle x
Osserviamo che tutti i punti sono allineati
Rette parallele all’asse delle x
D B C A
x
y
O
Rette parallele all’asse delle x
Ma se prendessimo un qualunque altro punto, chiamiamolo E, sulla retta appena disegnata avrebbe sicuramente come seconda coordinata 3
Rette parallele all’asse delle x
D B C A
x
y
O
)3(?,E)3(?,E)3(?,E
Rette parallele all’asse delle x
Quindi a quella retta appartengono tutti e solo i punti che hanno la seconda coordinata, la y, uguale a 3.Pertanto l’equazione della retta è:
3y
Rette parallele all’asse delle x
Possiamo quindi concludere che una retta parallela all’asse x ha sempre equazione
numeroy
Esercizi
Determinare l’equazione della retta parallela all’asse x passante per il punto A(3,-2).Sappiamo che una retta parallela all’asse x ha equazioneDal momento che tale retta passa per il punto A avente seconda coordinata uguale a -2 , la sua equazione è
numeroy
2y
Esercizi
Determinare l’equazione dell’asse x
Sappiamo che una retta parallela all’asse x ha equazioneDal momento che tale retta passa per l’origine che ha seconda coordinata uguale a 0, l’equazione dell’asse x è
numeroy
0y
Esercizi
Disegnare la retta di equazione
Sappiamo che una retta di equazione
è una retta parallela all’asse x. Scegliamo allora un qualunque punto avente ordinata 1, ad esempio A(0,1) e disegniamo una retta orizzontale passante per tale punto risolvendo il problema
numeroy
1y
A(0,1)
x
y
O
Rette passanti per l’origine
Si consideri una qualunque retta passante per l’origine, e prendiamo su di essa due punti
e ),( AA yxA ),( BB yxB
x
y
O
A
B
Rette passanti per l’origine
Da A e da B tracciamo due segmenti che arrivano perpendicolarmente all’asse delle x, formando i triangoli OHA e OKB
x
y
O
A
B
H K
Rette passanti per l’origine
I due triangoli sono simili (perché hanno l’angolo di vertice O in comune ed un angolo retto). Quindi, per una proprietà dei triangoli simili, risulta:
Ma AH è l’ordinata del punto A e OH la sua ascissa, così come BK è l’ordinata del punto B e BK la sua ascissa. Quindi l’equazione precedentediventa:
OK
BK
OH
AH
OK
BK
OH
AH
B
B
A
A
x
y
x
y
Rette passanti per l’origine
E se scegliessimo un altro puntosulla retta risulterebbe
In altre parole, ogni punto su quella retta ha sempre lo stesso rapporto fra la sua coordinata y e la sua coordinata x. In formule:
),( CC yxC
B
B
A
A
C
C
x
y
x
y
x
y
costantex
y
Rette passanti per l’origine
Tale costante è chiamata coefficiente angolare e si indica con la lettera m (minuscola da non confondere con M che indica il punto medio).Pertanto l’equazione di una qualunque retta passante per l’origine è
Da cui si ricava, moltiplicando per x a destra e a sinistra:
mx
y
mxy
Rette passanti per l’origine
Ricapitolando: ogni retta passante per l’origine ha equazione:
Comprendiamo bene questo concetto: sappiamo che per ogni punto, e quindi anche per l’origine, passano infinite rette.
mxy
x
y
O
3m1m
2
1m
3
1m
1m
Rette passanti per l’origine
Ad ognuna delle infinite rette corrisponde unvalore di m. Quindi con l’equazione y=mx non si rappresenta una sola retta bensì le infinite rette passanti per l’origine.Appena si da un valore ad m le infinite rette diventano una soltanto
Scegliamo ad esempio m=3
La retta che rimane ha equazione y=3x
x
y
O
3m1m
2
1m
3
1m
1m
Osservazione importante
L’equazione y=mx rappresenta tutte le rette passanti per l’origine tranne una:l’asse y che ha equazione x=0.
Quindi y=mx assieme alla retta x=0, rappresentano tutte (ma proprio tutte) le rette passanti per l’origine
Esercizi
Determinare la retta passante per l’origine e per il punto (2,4).
Una retta passante per l’origine ha equazione y=mx.Bisogna trovare quel valore di m tale che la retta passi per il punto scelto. Sostituiamo nell’ equa- zione y=mx, alla x la x del punto e alla y la y delpunto mxy 24 m
Esercizi
Quindi
Trovato il valore di m lo sostituiamo nell’equazione y=mx che diventa
che è l’equazione cercata
22
4
2
242 mmm
xy 2
Esercizi
Determinare la retta passante per l’origine e per il punto (3,-5).
Una retta passante per l’origine ha equazione y=mx.Bisogna trovare quel valore di m tale che la retta passi per il punto scelto. Sostituiamo nell’ equa- zione y=mx, alla x la x del punto e alla y la y delpunto mxy 35 m
Esercizi
Quindi
Trovato il valore di m lo sostituiamo nell’equazione y=mx che diventa
che è l’equazione cercata
3
5
3
5
3
353 mmm
xy3
5
Esercizi
Determinare la retta passante per l’origine e per il punto (0,5).
Una retta passante per l’origine ha equazione y=mx.Si osserva però che il punto scelto è sull’asse y.Pertanto la retta cercata è proprio l’asse y che ha equazione
0x
Esercizi
Determinare se il punto (4,6) appartiene alla retta
Bisogna sostituire alla y e alla x le coordinate del punto e vedere se soddisfano l’equazione
xy2
3
6y
62342
3
2
3x
Esercizi
Dal momento che il primo termine coincide col secondo le coordinate del punto soddisfano l’equazione e quindi il punto (4,6) appartiene alla retta
xy2
3
Esercizi
Determinare se il punto (3,2) appartiene alla retta
Bisogna sostituire alla y e alla x le coordinate del punto e vedere se soddisfano l’equazione
xy 4
2y
12344 x
Esercizi
Dal momento che il primo termine è diverso dal secondo le coordinate del punto non soddisfano l’equazione e quindi il punto (3,2) non appartiene alla retta
xy 4
Equazione di una retta qualunque
Abbiamo visto che una qualunque retta per l’origine ha equazione y=mx. Prendiamo per esempio la retta y=2x
y=2x
x
y
O
Equazione di una retta qualunque
Ad essa appartengono tutti i punti la cui seconda coordinata, la y, è doppia della prima, la x. Ad esempio (1;2), (-3;-6); (2;4); (3/2;3) ecc. (verificalo per esercizio).Mentre ad esempio non ci appartengono (-1;2), (5;9) ecc.
I punti A(1;2) e B(2;4) appartengono alla retta
x
y
O
A
B
Alziamo adesso la retta ad esempio di 3
La nuova retta è la precedente “alzata” di 3
x
y
O
A
BC
D
E
Osserviamo che …
C ha la stessa ascissa dell’origine O (cioè zero) D ha la stessa ascissa di A (cioè 1) e E ha la stessa ascissa di B (cioè 2).
C ha la stessa ascissa di O, D la stessa di A e E la stessa di B
x
y
O
A
BC
D
E
E le ordinate?C ha la stessa ordinata di O aumentata di 3D ha la stessa ordinata di A aumentata di 3E ha la stessa ordinata di B aumentata di 3E così via per qualunque punto della retta …
Pertanto ogni punto sulla “nuova” retta ha laseconda coordinata, la y, uguale al doppio della prima più 3.Infatti C è di coordinate (0;3) (3 è il doppio di zero più 3)Infatti D è di coordinate (1;5) (5 è il doppio di 1 più 3)Infatti E è di coordinate (2;7) (7 è il doppio di 2 più 3)
Quindi l’equazione della nuova retta è:
32 xy
Ovviamente…
Se invece di “alzare la retta” di 3 l’avessimo alzata di 4 avremmo ottenuto la retta di equazione
Mentre se l’avessimo alzata di -1 (cioè abbassata) avremmo ottenuto la retta di equazione
42 xy
12 xy
Ma anche…
Se invece della retta y=2x avessimo alzato la retta y=5/2x avremmo ottenuto
oppure
o ancora
32
5 xy
42
5 xy
12
5 xy
Estendiamo al caso generale
Se prendiamo la retta y=mx e “l’alziamo” di un numero q otteniamo l’equazione di una qualunque retta del piano cartesiano che è
EQUAZIONE IN FORMA ESPLICITA DELLA RETTA
qmxy
Osservazione super importante
Come l’equazione y=mx rappresenta tutte le rette per l’origine eccetto l’asse delle y,l’equazione y=mx+q rappresenta tutte le rette del piano cartesiano eccetto le rette parallele all’asse y (che infatti hanno equazione x=numero)
Osservazione
Il fatto che con la forma
si possa rappresentare una qualunque retta (eccetto quelle parallele all’asse y) significa che posso rappresentare anche le rette per l’origine e le rette parallele all’asse x. Infatti:
qmxy
Se all’equazione
Poniamo q=0 rimane
Cioè una retta per l’origine.
qmxy mxy
mentre
Se all’equazione
Poniamo m=0 rimane
Ed essendo q un numero abbiamo l’equazione di una retta parallela all’asse x.
qmxy qy
Ricapitolando
Retta parallela all’’asse y ha equazione
Retta parallela all’’asse x ha equazione
Retta passante per l’origine (eccetto l’asse y) ha equazione Retta qualunque (eccetto le rette parallele all’asse y) ha equazione
numerox
numeroy
mxy
qmxy
