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QUESITI

PIANO CARTESIANO

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012)Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: a) 6 b) 13/2 c) 12 d) 13 e) 78

2. (Da Veterinaria 2010)Le coordinate dei vertici di un triangolo rispetto ad un sistema di riferimento cartesianoortonormale nel piano sono (0,0), (1,1), (2,-2). L'area del triangolo è: a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 4 e) 2√2

3. (Da Medicina 2010)Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano ortonormale nel piano le coordinate dei punti A e B sono (1,1) e (3,2). Quale dei seguenti punti è allineato con A e B? a) (-1 , 0) b) (1 , 3)c) (2 , 1)d) (2 , 3)e) (3 , 3)

RETTE

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2015)Quale delle seguenti è un’equazione di una retta perpendicolare alla retta 4 x + 6 y = 5 ? a) 6x + 4y = 17 b) 4x - 6y = 21 c) 2x + 3y = 5 d) 3x - 2y = 14 e) x + 3y = 1

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2. (Da Veterinaria 2012)Sia r la retta del piano cartesiano di equazione y=3. Determinare quale delle seguenti rette è perpendicolare a r. a) y = 1/3 b) y = -1/3 c) y = -(1/3) xd) y = -3 e) x = -√3

3. (Da Odontoiatria 2010)In un sistema di riferimento cartesiano nel piano, le rette di equazione y = 2x + 3, y = 9 - x : a) si incontrano in un punto del primo quadrante b) si incontrano in un punto del secondo quadrante c) si incontrano in un punto del terzo quadrante d) si incontrano in un punto del quarto quadrante e) non si incontrano in alcun punto del piano

4. (Da Veterinaria 2002)L'equazione ax + 3y = 0 , con a numero reale: a)  rappresenta una retta parallela all'asse delle y se a ≠ 0 b)  rappresenta una retta passante per l'origine solo se a ≠ 0 c)  rappresenta una retta che forma con l'asse delle ascisse un angolo ottuso per ogni valore di a d)  rappresenta una retta che ha come coefficiente angolare a e)  rappresenta una retta passante per l'origine per ogni valore di a

CONICHE

1. (Da Veterinaria 2014)La retta di equazione y = 2x interseca la circonferenza di equazione x2 + y2 = 20 nel punto di coordinate (a , b), dove a ≥ 0 e b ≥ 0.Qual è il valore di a + b? a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

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2. (Da Veterinaria 2006)Data la circonferenza di equazione x2 + y2 - 2x - 3 = 0, stabilire se il punto di coordinate (-1 , 1/2) è:a) il suo centro b) interno ad essa ma diversa dal centro c) esterno ad essa d) appartenente ad essa e alla retta x + 2y = 0 e) appartenente ad essa ma non alla retta x + 2y = 0

3. (Da Medicina 2004)La curva di equazione x + 3y2 - √3 = 0:a) È una circonferenza con centro sull'asse delle ordinate b) È una parabola con il vertice nel punto (0 , √3)c) È una parabola con il vertice nel punto (√3 , 0) d) Interseca la retta y = x - 3 in due punti e) Non interseca la curva x2 + y2 - 3 = 0

4. (Da Medicina 2003)Se il fuoco di una parabola ha coordinate (0,-3) e la direttrice ha equazione y = 1, la parabola: a) ha il vertice nel punto di coordinate (-2 , 0)b) ha asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse c) passa per l’origine degli assi cartesiani d) non interseca l’asse delle ascisse e) non interseca l’asse delle ordinate

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SOLUZIONIPIANO CARTESIANO

1. b)Rappresentiamo i punti assegnati in un piano cartesiano.

L’area del triangolo si calcola come:Scegliamo come base il lato OA; l’altezza relativa a OA è HB. Calcoliamo la lunghezza di OA e HB mediante la formula della distanza tra due punti:

perché O e A sono allineati lungo la verticale

perché H e B sono allineati lungo l’orizzontale

N.B.: Utilizziamo il valore assoluto per assicurarci che la lunghezza dei segmenti sia positiva. Lunghezze negative non avrebbero senso.

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x

y

O (0,0)

A (0,1)

B (13,12)H

Allora, l’area del triangolo risulta:

2. a)Si procede come nell’esercizio precedente.

Si osserva che i lati OA e OB risultano perpendicolari tra loro perché il punto A appartiene alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (y = x), mentre il punto B appartiene alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante (y = -x). Poiché le due rette sono perpendicolari tra loro, anche i due lati OA e OB saranno perpendicolari.Allora risulta conveniente scegliere come base il lato OB; l’altezza ad esso relativa è il lato OA.Calcoliamo la lunghezza di OA e HB mediante la formula della distanza tra due punti:

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y

xO (0,0)

A (1,1)

B (2,-2)

Allora l’area del triangolo è:

3. a)Possiamo risolvere il quesito graficamente. Rappresentiamo in un piano cartesiano i due punti assegnati dal problema:

Dobbiamo trovare, tra le cinque opzioni, un punto che sia allineato con A e B, cioè che giaccia sulla retta che unisce i due punti A e B.

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y

A (1,1)

xO

B (3,2)

y

B (3,2)A (1,1)

x

C (-1,0)

(3,3)

(2,3)

(1,3)

(2,1)

O

Si osserva che il punto cercato è C(-1 , 0), mentre gli altri quattro non giacciono sulla retta che unisce A e B.

RETTE

1. d)Due rette sono perpendicolari tra loro se i lori coefficienti angolari soddisfano la relazione:Determiniamo il coefficiente angolare della retta assegnata dal problema, riscrivendola in forma esplicita:Allora, per la condizione di perpendicolarità, la retta che cerchiamo sarà quella con coefficiente angolare:Riscrivendo le rette proposte nelle cinque opzioni in forma esplicita, si osserva che la retta d) è quella cercata; infatti:e risulta soddisfatta la relazione:

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2. e)Ricordiamo che le equazioni nella forma: y = k con k numero reale qualsiasi rappresentano nel piano cartesiano delle rette orizzontali.Allora, una retta perpendicolare a y = k deve essere necessariamente una retta verticale.Le rette verticali hanno tutte equazione: x = h con h numero reale qualsiasi La retta y = 3 assegnata dal problema è una retta orizzontale.Tra le cinque opzioni, l’unica retta verticale è la e): x = -√3 è, perciò, la retta cercata.

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y

x = -√3

y = 3

xO

3. a)Rappresentiamo le due rette assegnate su un unico piano cartesiano.Per aiutarci nella rappresentazione determiniamo alcuni punti per cui passa ciascuna delle due rette assegnando dei valori arbitrari alla variabile x e calcolando la y corrispondente:La prima retta passerà per i punti:

La seconda retta passerà per i punti:

Sul piano cartesiano:

Si osserva che le due rette si incontrano in un punto nel primo quadrante.

x y = 2x + 3 COORDINATE PUNTO

0 2·0 + 3 = 3 (0 , 3)

1 2·1 + 3 = 5 (1 , 5)

x y = 9 - x COORDINATE PUNTO

0 9 - 0 = 9 (0 , 9)

1 9 - 1 = 8 (1 , 8)

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-25 0 25 50 75 100

-25

25

50

y = 9 - x

y = 2x + 3

3° QUADRANTE

1° QUADRANTE2° QUADRANTE

4° QUADRANTE

4. e)Una proprietà generale, valida per qualunque curva F(x,y)=0 nel piano cartesiano, afferma che se il termine noto della curva è nullo, allora il grafico cartesiano della curva passa per l’origine degli assi coordinati, qualunque sia il valore degli altri parametri della curva.Nel nostro caso, l’equazione a seconda del parametro a, rappresenta un fascio di rette (perché i termini dell’equazione hanno grado massimo pari a 1 → curva del primo ordine). Poiché il termine noto c è nullo, tutte le possibili rette rappresentate dall’equazione passeranno per l’origine degli assi, indipendentemente dal valore di a (perciò la risposta corretta è la e) ed escludiamo la risposta b)).Ricordiamo che:• Una retta parallela all'asse delle y ha equazione: con h∈ℝ Non c’è modo, allora, che l’equazione proposta dal quesito possa rappresentare una retta verticale in quanto il coefficiente davanti al termine in y non si annulla mai. Escludiamo, perciò, la risposta a).• Il coefficiente angolare di una retta si ottiene esprimendo la retta in forma esplicita. Nel nostro caso: Allora il coefficiente angolare è: Escludiamo, perciò, la risposta d).• L’angolo di inclinazione tra la retta e la direzione positiva dell’asse x dipende dal coefficiente angolare della retta. Poiché abbiamo trovato (nel punto precedente) che il coefficiente angolare dipende da a, a seconda del valore di tale parametro la retta avrà diverse inclinazioni rispetto all’asse orizzontale. Escludiamo, perciò, la risposta c).

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CONICHE

1. d)Le coordinate dei punti di intersezione tra due o più curve possono essere determinate mettendo a sistema le equazioni delle curve.Nel nostro caso, le intersezioni tra la retta y = 2x e la circonferenza x2 + y2 = 20 si ottengono risolvendo il sistema:Utilizziamo il metodo di sostituzione:

Otteniamo, allora, due punti di intersezione:Poiché il testo del problema richiede di prendere in considerazione l’intersezione di coordinate (a ; b) con a ≥ 0 e b ≥ 0, significa che il punto cercato è P1.Allora l’espressione a + b vale:

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2. c)Per verificare se il punto (-1 ; 1/2) appartiene alla circonferenza sostituiamo le sue coordinate nell’equazione della circonferenza:

che non è un’uguaglianza verificata. Allora il punto non appartiene alla circonferenza, perciò possiamo scartare le risposte d) ed e).In generale, data una circonferenza di equazione:il centro ha coordinate: e il raggio vale:Nel nostro caso, a = - 2 e b = 0. Allora il centro della circonferenza ha coordinate:che non coincide con il punto assegnato dal testo del problema, perciò escludiamo anche la risposta a).Per verificare se il punto assegnato è interno o esterno alla circonferenza occorre calcolare la sua distanza dal centro della circonferenza: se tale distanza risulta minore del raggio, il punto è interno alla circonferenza; se è maggiore del raggio il punto è esterno alla circonferenza.Il raggio della circonferenza assegnata è:La distanza del punto (-1 ; 1/2) dal centro vale:Allora, poiché la distanza del punto dal centro è maggiore del raggio, il punto assegnato giace all’esterno della circonferenza.

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Possiamo verificare il risultato ottenuto rappresentando la circonferenza e il punto assegnato su un piano cartesiano.

3. c)La curva assegnata non può rappresentare una circonferenza perché manca il termine quadratico nella variabile x, perciò escludiamo la risposta a).Riscrivendo l’equazione della curva nella forma:si riconosce l’equazione di una parabola con asse orizzontale. Il vertice della parabola è dato da:dove ∆ = b2 - 4ac e a = -3 , b = 0 , c = √3 .

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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

Ricordiamo che per determinare la conica rappresentata da una generica equazione:è possibile ricorrere anche al calcolo di:Ci sono tre casi possibili:Nel nostro caso:quindi, l’equazione rappresenta una parabola.

4. d)Per definizione, la parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice.Questo significa che anche il vertice deve essere equidistante da F(0 ; -3) e dalla retta d: y = 1. Le sue coordinate dovranno essere da cui possiamo escludere la risposta a).

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Ricordiamo, inoltre, che l’asse di simmetria della parabola è sempre perpendicolare alla direttrice. Nel caso assegnato, la direttrice y = 1 è una retta orizzontale: ne consegue che la parabola dovrà avere asse di simmetria verticale, cioè parallelo all’asse delle ordinate. Possiamo escludere, allora, anche la risposta b).Dato che la parabola non interseca mai la direttrice, essa non potrà essere concava verso l’alto ma dovrà essere necessariamente concava verso il basso:

Si osserva, allora, che la parabola non interseca mai l’asse delle ascisse, da cui la risposta d).

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-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 12,5

-5

-2,5

2,5

5

7,5

F (0;-3)

d: y = 1

V (0;-1)

-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 12,5

-5

-2,5

2,5

5

V

F

d: y = 1