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Scuola MediaLiceo Scientifico
“Salesiani – Rainerum”
Il Piano
Cartesia
no
IlPiano Cartesiano
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“Salesiani – Rainerum”
Il Piano
Cartesia
no
Piano Cartesiano
Il PIANO CARTESIANO è una struttura matematica che permette di identificare la posizione
di un oggetto mediante numeri detti coordinate
1 2 3 4
1234
1 2 3 4
1234
2 13
1 dimensione: Es. una fila.La posizione dell’oggetto è individuabile
con UNA coordinata: (3)1 2 3 4 5
2 dimensioni: Es. battaglia navale.La posizione dell’oggetto è individuabile
con DUE coordinata: (3; 2)
3 dimensioni: Es. oggetto nello spazio.La posizione dell’oggetto è individuabile
con TRE coordinata: (3; 4; 2)
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Notazione
L’asse orizzontale è chiamataasse delle ASCISSE o X
asse delleASCISSE
X
L’asse verticale è chiamataasse delle ORDINATE o Y
asse
del
leO
RD
INA
TE
Y
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Notazione
asse delleASCISSE
X
asse
del
leO
RD
INA
TE
Y
La posizione di un oggetto nel pianocartesiano è individuata da due numeri:
COPPIA ORDINATA di COORDINATE
(3; 2)
ORDINATA perchéla prima coordinata è SEMPRE la X
la seconda coordinata è SEMPRE la Y
(X; Y)
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Rappresentazione
O X
Y
O
O
1
2
3
4
1 2 3 4
Tracciare l’asse X e l’asse Y
Mettere la freccia verso destra sull’asse XMettere la freccia verso l’alto sull’asse Y
Le frecce indicano la direzione crescente dei numeri
Tracciare sugli assi le tacche delle coordinate
Numerare le tacche
Si noti che l’intersezione (= incontro) degli assi è individuata da:coordinata X uguale a 0coordinata Y uguale a 0
Per semplicità si preferisce indicare quel punto con la lettera O e chiamarlo ORIGINE: O (0; 0)
Indicare con X l’asse delle ascisseIndicare con Y l’asse delle ordinate
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Rappresentazione di un Punto
X
Y
O
Un oggetto viene rappresentato con unPUNTO
Al quale viene associata una letteraA, B, ….
A
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Distanza tra due Punti
Distanza tra due punti posti su unsegmento VERTICALE
Due punti posti su un segmento verticalesono caratterizzati dalla stessa coordinata X
A
X
Y
O 1 2 3 4
1
2
3
4
B
La loro distanza AB
si determina attraverso la relazione
AB = YA – YB
cioè …la distanza tra due punti posti su una verticale
è la differenza trala coordinata Y del punto più alto
e la coordinata Y del punto più in bassoAB = YA – YB = 4 – 1 = 3 u
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Distanza tra due Punti
Distanza tra due punti posti su unsegmento ORIZZONTALE
Due punti posti su un segmento orizzontalesono caratterizzati dalla stessa coordinata Y
A
X
Y
O 1 2 3 4
1
2
3
4
BLa loro distanza AB
si determina attraverso la relazione
AB = XB – XA
cioè …la distanza tra due punti posti su una verticale
è la differenza trala coordinata X del punto più a destra
e la coordinata X del punto più a sinistraAB = XB – XA = 3 – 1 = 2 u
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Unità di Misura
La lettera u che compare al termine dei calcoli sta perunità di misura
Nel ‘mondo reale’ le unità di misura sono rappresentate da
metri, centimetri, chilometri, …
Nel disegno, NON essendo sempre possibile riprodurre le distanze reali,
viene utilizzata come unità di misura la distanza tra due tacche consecutive
È sempre possibile risalire alle distanze reali se si conosce a quale lunghezza
corrisponde l’unità del disegno.Es. se un segmento nel disegno risulta
lungo 5u e so che u=150m, posso affermare che la distanza reale tra i due
punti è:distanza reale = 5u = 5150= 750m
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EsercizioLa casa di Dino, rispetto alla scuola, è posta alle coordinate (4; 3).Calcolare la distanza che deve percorrere Dino per recarsi a scuola, esprimere il risultato in metri e Km sapendo che una unità equivale a 105 metri.
Comincio col disegnare il piano cartesiano
X
Y
O 1 2 3 4
1
2
3
4Faccio coincidere la scuola con l’origine, come dice il testo, e pongo la casa di Dino nel punto D(4; 3) D
Traccio un possibile percorso che Dino può percorrere per recarsi a scuola (questo sarà composto SOLO da segmenti rettilinei orizzontali e verticali perché sono i soli per i quali ho imparato a calcolare la lunghezza)
AOra calcolo le distanze DA e AO; sommandole ottengo la lunghezza del percorso espresso in unità
DA = YD - YA = 3 – 0 = 3u OA = XA – XO = 4 – 0 = 4u
Percorso = DA + OA = 4 + 3 = 7u
Calcolo la lunghezza reale trasformando le unità prima in metri e poi i metri in chilometri
Percorso = 7u = 7 x 105m = 735 m Percorso = 735m : 1000 = 0.735 Km
… Soluzione …
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EsercizioLa casa di Dino, rispetto alla scuola, è posta alle coordinate (4; 3).Sapendo che Dino per andare a scuola percorre 1.225 Km determinare a quanti metri corrisponde una unità
Comincio col disegnare il piano cartesiano
X
Y
O 1 2 3 4
1
2
3
4Faccio coincidere la scuola con l’origine, come dice il testo, e pongo la casa di Dino nel punto D(4; 3) D
Traccio un possibile percorso che Dino può percorrere per recarsi a scuola (questo sarà composto SOLO da segmenti rettilinei orizzontali e verticali perché sono i soli per i quali ho imparato a calcolare la lunghezza)
AOra calcolo le distanze DA e AO; sommandole ottengo la lunghezza del percorso espresso in unità
DA = YD - YA = 3 – 0 = 3u OA = XA – XO = 4 – 0 = 4u
Percorso = DA + OA = 4 + 3 = 7u
Calcolo a quanti metri corrisponde una unità.
1.225 Km x 1000 = 1225 m
1u = 1225 m : 7 = 175 m
… Soluzione …
Trasformo i Km in m
Calcolo la lunghezza reale di una unità
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Prima di proseguire apriamo una parentesi per rivedere alcuni
concetti riguardantiRette parallele
Rette perpendicolari.
E fornire alcuni simbolismi e notazioni che serviranno da qui in
avanti.
sono state inserite slide prese dalla presentazione
“rette e segmenti”
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Notazione
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Notazione
Punto: lettere MAIUSCOLE dell’alfabeto latino: A; B … P
Segmento:la coppia di lettere MAIUSCOLE cherappresentano gli estremi del segmento: AB; …
P
Q
Retta: lettere minuscole dell’alfabeto latino: a; b … r
Angolo: Lettere dell’alfabeto greco: a; b; … a
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RettePerpendicolari
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90°
rette PERPENDICOLARI ()
2 rette si dicono PERPENDICOLARIse intersecandosi formano
4 angoli retti
s r perché
rette incidenti formanti 4 angoli retti
90°90°
90°
w v perché
le rette incidenti NON formano 4 angoli retti
w
v
s
r
w v ?
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w è ASSE di PQ ?
w è ASSE di PQ ?
w NON è ASSE di PQperché NON passa per M
ASSE del SEGMENTO
si chiama ASSE del SEGMENTO
la retta PERPENDICOLARE al segmentopassante per il suo PUNTO MEDIO
r è ASSE di AB perché
r ABr passa per M (punto medio di AB)
r
A BM
Evidenziamo il punto medio
MP Q
w
w
MP Q
w NON è ASSE di PQ
perchè w PQ
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PH è il segmento più corto
Forma unANGOLO RETTO
con la retta
DISTANZA punto-retta
La DISTANZA di un punto da una rettaè il segmento PIÙ CORTO congiungente il punto con la retta
Quale è il segmentopiù corto ?
Cosa si può direriguardo l’angolo
formato con la retta ?
rABC
HDE
P
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PIEDE dell’ALTEZZA
Il PIEDE dell’ALTEZZAè
il punto d’intersezione Hdi r con la perpendicolare
condotta da P a r
r
H
P
piede dell’altezza
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RetteParallele
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rette PARALLELE (//)
2 rette si dicono PARALLELE
se NON si intersecano mai
2 rette sono PARALLELE
se la loro distanzaNON cambia w // v ?
r
s
P
P'
Q
Q'
R
R'
= =
w
v
w // vperché la loro distanza
CAMBIA
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Distanzatra dueRette
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Distanza tra due rette
È possibile calcolare (misurare)
la distanza tra due rette
SOLO se le due rette sono
PARALLELE
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DISTANZA tra due RETTE
Vediamo come determinare la distanza tradue rette parallele
r
s
Scegliere su una delle due rette un punto
Tracciare da questo punto la perpendicolarealla seconda retta. (chiamiamo H l’intersezionetra la perpendicolare e la seconda retta)
H
A
La lunghezza del segmento AH è la distanza tra le due rette parallele
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DISTANZA tra due RETTE
r
sH
A
La lunghezza del segmento AH è la distanza tra le due rette parallele
La distanza AH cambia sesi prende A in un’altraposizione sulla retta r ? NO
La distanza AH cambia sesi prende A sulla
retta s ?
NO
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Chiudiamo la parentesie
vediamo come applicarequesti concetti
in un piano cartesiano
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Rappresentazione di una Retta
X
Y
O
Detta ‘volgarmente’ una retta è: “una linea dritta infinita” r
In un piano cartesiano una retta può essere rappresentata in tre modi:
Perpendicolare all’asse X (oppure parallela all’asse Y)
Perpendicolare all’asse Y(oppure parallela all’asse X)
Obliqua rispetto gli assi
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Rappresentazione di una Retta
Retta perpendicolare all’asse X (oppure parallela all’asse Y)
Dal disegno si osserva che tutti i punti della retta hanno laSTESSA COORDINATA X
X
Y
O
r
È quindi possibile identificare la retta con la coordinata comune a
tutti i suoi puntiretta: X = 2
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Rappresentazione di una Retta
Retta perpendicolare all’asse Y (oppure parallela all’asse X)
Dal disegno si osserva che tutti i punti della retta hanno laSTESSA COORDINATA Y
X
Y
O
r
È quindi possibile identificare la retta con la coordinata comune a
tutti i suoi puntiretta: Y = 3
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Rappresentazione di una Retta
Retta OBLIQUA
Dal disegno si osserva che i punti della retta cambiano sia
la COORDINATA Yche la COORDINATA X
QUINDI È TROPPO DIFFICILE DESCRIVERLA ORA, LO SI FARÀ
ALLA SCUOLA SUPERIORE.
X
Y
O
r
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X
Y
O
EsercizioDescrivere la retta disegnata nel piano cartesiano
… Soluzione …
r
r
r
X = 3
X = 1
Y = 4
rY = 3
r Y = 1
rY = 0
r
X = 0
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Distanza Punto - Retta
Vediamo come determinare la distanza tra un punto e una retta
X
Y
O
Determinare la distanza tra il punto P(1; 2) e la retta r: X=3
P
1.- Rappresentiamo il problema
H
2.- Tracciamo l’altezza tra P e r, chiamiamo H il piede dell’altezza
rLa lunghezza del segmento PH è la distanza cercata
Per determinare PH dobbiamo conoscere le coordinate di H
3.- Determiniamo le coordinate di HL’ascissa di H la ricavo dalla retta: XH
= 3L’ordinata di H la ricavo è quella del punto: YH = 2
4.- Calcoliamo PH
PH = XH – XP = 3 – 1 = 2u
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Distanza Punto - Retta
Ora prova da solo
X
Y
O
Determinare la distanza tra il punto P(3; 1) e la retta r: Y=4
P
1.- Rappresentiamo il problema
2.- Tracciamo l’altezza tra P e r, chiamiamo H il piede dell’altezza
La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata
Per determinare PH dobbiamo conoscere le coordinate di H
3.- Determiniamo le coordinate di HL’ordinata di H la ricavo dalla retta: YH
= 4L’ascissa di H la ricavo è quella del punto: XH = 3
4.- Calcoliamo PH
PH = YH – YP = 4 – 1 = 3u
H
r
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Distanza Retta - Retta
X
Y
O
1.- Rappresentiamo il problema
2.- Scegliamo (a caso) un punto P su una delle due rette
La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata
4.- Calcoliamo PH
d(r,t) = PH = YH – YP = 4 – 1 = 3u
H
Nelle slides 23, 24, 25 è stato mostrato come calcolare la distanza tra due RETTE PARALLELE
r: y=4
t: y=1
3.- Tracciamo la perpendicolare tra P e l’altra retta, sia H il piede dell’altezza
P
Vediamo che i punti P e H hanno la stessa ascissa e quindi la loro distanza è data dalla differenza delle coordinate yLe coordinate y dei due punti sono date dalle equazioni delle due rette.
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Distanza Retta - Retta
X
Y
O
1.- Rappresentiamo il problema
2.- Scegliamo (a caso) un punto P su una delle due rette
La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata
4.- Calcoliamo PH
d(r,t) = PH = XH – XP = 4 – 0.5 = 3.5u
H
Prova da solo
r: x=0.5 t: x=4
3.- Tracciamo la perpendicolare tra P e l’altra retta, sia H il piede dell’altezza
PVediamo che i punti P e H hanno la stessa ordinata e quindi la loro distanza è data dalla differenza delle coordinate xLe coordinate x dei due punti sono date dalle equazioni delle due rette.
Determinare la distanza tra le rette r: x=0.5 e t: x=4
… Soluzione …
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Distanza Retta - Retta
Riassumendo
X
Y
O
H
r: x=0.5 t: x=4
P
DIFFERENZA DELLE COORDINATE NOTE
Date due rette parallele
X
Y
O
H r: y=4
t: y=1 P
d(r,t) = XH – XP
d(r,t) = YH – YP
Date due rette parallele, la loro distanza è data dalla …
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Rette perpendicolari
Le rette parallele all’asse xsono perpendicolari
alle rette parallele all’asse y
X
Y
O
t: x=3
r: y=2
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Rette perpendicolari - INTERSEZIONE
Le rette parallele all’asse x sono perpendicolari alle rette parallele all’asse y
X
Y
O
t: x=3
r: y=2 P
Determiniamo le coordinate del punto P intersezione delle due rette
P è un punto della retta verticale e quindi ha la stessa ascissa di tutti gli altri punti della retta.
Nel nostro esempio x=3
P è un punto della retta orizzontale e quindi ha la stessa ordinata di tutti gli altri punti della retta.
Nel nostro esempio y=2
Quindi le coordinate di P sonoP = (3; 2)
