LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO

Titolo unità didattica: “L’equazione della retta nel piano cartesiano”

Disciplina di appartenenza: la disciplina a cui appartiene questa unità didattica è la geometria analitica e

questa si inquadra all'interno del programma di matematica per la scuola superiore.

Classe di riferimento: Questa unità didattica è stata pensata per gli alunni di una classe seconda superiore di un

istituto professionale.

Prerequisiti: Si assume che gli alunni a cui è destinata questa unità didattica siano dotati di alcune nozioni di

geometria elementare (quali il concetto primitivo di retta e quelli di parallelismo e perpendicolarità) e conoscano

il piano cartesiano, il sistema di coordinate e il criteri dei triangoli simili.

Obiettivo: l'obiettivo di questa unità didattica è quello di introdurre gli alunni alla geometria analitica e

consentire loro di familiarizzare con essa attraverso uno studio approfondito dell'equazione della retta nelle sue

varie forme ed applicazioni. Operativamente, mira a trasmettere la capacità di disegnare una retta a partire dalla

sua equazione e scriverne l'equazione in base al suo disegno, verificare l'appartenenza di un punto ad una retta,

scrivere l'equazione della retta passante per due punti e della retta passante per un punto che sia parallela o

perpendicolare ad una seconda retta, determinare il punto di intersezione tra due rette e la distanza di un punto

da una retta, combinare tutte queste competenze nella risoluzione di problemi.

Metodologie: I metodi didattici impiegati consistono in lezioni frontali e lezioni dialogiche.

Contenuti: sono costituiti dalle equazioni in forma esplicita ed implicita dell’equazione di una retta, passaggio

dalla forma implicita a quella esplicita, equazioni in casi particolari: equazioni di rette parallele agli assi ed

equazioni degli assi e delle bisettrici; interpretazione geometrica del coefficiente angolare e dell’intercetta.

Equazione della retta passante per un punto noto m. Intersezione tra rette.

Risorse necessarie: Le risorse di cui questa unità didattica necessita sono il libro di testo, appunti e LIM e software Geogebra.

LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO

Nell'antichità classica la geometria e l'algebra erano visti come due mondi completamente separati e solo la prima delle due poteva contare su di una solida costruzione deduttiva. Nei secoli successivi l'algebra colmò questo divario acquisendo un rigore paragonabile a quello della geometria sintetica, ma restava la netta separazione tra le due discipline. Fu necessario attendere l'opera di René Descartes (Cartesio, 1596 – 1650) perché un ponte tra geometria ed algebra potesse finalmente essere gettato. In particolare, Descartes affrontò la geometria con gli strumenti dell'algebra, facendo corrispondere ai punti del piano coppie di numeri detti coordinate ed alle curve del piano le equazioni che legano le coordinate dei punti appartenenti alle curve stesse. Questa nuova scienza, in cui ogni ente geometrico ha un corrispettivo algebrico e viceversa, prese il nome di geometria analitica. In particolare le rette sono in corrispondenza biunivoca con equazioni di I grado in due incognite x e y.

Equazione di una retta passante per l’origine: y = m x

O

P1

P2

Dimostrazione: Si consideri una retta passante per l’origine O. Siano P1 e P2 due punti qualsiasi della retta di coordinate rispettivamente (x1;y1) e (x2;y2). I triangoli OP1H1 e OP2H2 sono simili, per il I criterio di similitudine, in quanto hanno congruenti tre angoli, avendo in comune un angolo e l’angolo retto, anche il terzo angolo avrà la stessa ampiezza in quanto la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto. Cio’ significa che il rapporto tra due lati del I triangolo OP1H1 sarà uguale al rapporto tra i corrispondenti lati del II triangolo OP2H2 :

H1 H2

Ed essendo P1H1 = y1 , OH1 = x1, P2H2 = y2 e OH2 = x2 mtex

y

x

y tancos

2

2

1

1

dove con m si è indicato il rapporto tra ascissa ed ordinata dei due punti selezionati, rapporto che risulta costante al variare del punto considerato. Dato che i punti selezionati sono qualunque purché appartenenti alla retta in questione, si può in generale affermare che per tutti i punti di questa particolare retta vale il vincolo:

y=mx Che è appunto l’equazione cercata.

2

22

1

11

OH

HP

OH

HP

Equazione di una retta generica del piano non passante per l’origine in forma eplicita: y = m x + q dove m e q sono numeri reali.

dove il parametro m viene detto coefficiente angolare della retta in quanto ci dà informazioni sulla pendenza della retta; Il parametro q viene detto ordinata all’origine o intercetta e rappresenta l’ordinata del punto (0;q) in cui la retta interseca l’asse delle ordinate y (ovvero la distanza di questo punto dall’origne) Se q = 0 la retta passa per l’origine. IL coefficiente m è legato all’ampiezza dell’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x: . Se m> 0, la retta forma un angolo acuto (< 90°) . Se m < 0, la retta forma un angolo ottuso (> 90°) . Se m = 1 si la la bisettrice del I e III quadrante di equazione y = x . Se m = 1 si la la bisettrice del II e IV quadrante di equazione y = − x . Se m = 0 si hanno rette di equazione y = q parallele all’asse x. . Rette parallele all’asse y hanno equazione x = h. . L’equazione dell’’asse x è y = 0 . L’equazione dell’asse y è x = 0 Osserviano che: al crescere del valore di m la pendenza aumenta.

Retta con Geogebra

Equazione implicita della retta:

a x + by + c = 0 a è il coefficiente della variabile x b è il coefficiente della variabile y c è il termine noto dell’equazione Esempio: 3 x ─ y + 1 = 0

Equazione esplicita della retta:

y = m x + q m coefficiente angolare q ordinata all’origine

Esempio: y = 3 x + 1

Se l’equazione è data in forma implicita ax + by + c = 0 allora le formule per calcolare m e q sono: m = q =

b

a

b

c

Dimostrazione con Geogebra

Fascio di rette proprio: è l’insieme di tutte le rette che passano per uno stesso punto P (x1;y1) detto CENTRO del fascio e queste rette sono infinite (dalla geometria euclidea sappiamo che per un punto passano infinite rette.

Sia P(x1;y1) il centro del fascio. Una qualsiasi retta del fascio dovrà avere equazione del tipo y = mx + q E deve passare per in punto P. Dunque essendo P un punto della retta le sue coordinate devono verificare l’equazione, cioè deve essere: y1 = m x1 + q Quindi qualsiasi sia il coefficiente angolare m devono valere le due condizioni: y = mx + q (1) y1 = m x1 + q (2) e sottraendo membro a membro: y ─ y1 = mx + q ─ mx1 ─ q da cui (q – q = 0 si elimina) y – y1 = m x – m x1 raccogliendo m al secondo membro

Si ottiene:

y –y 1 = m ( x – x1) Equazione della retta avente coefficiente angolare m e passante per il punto P(x1;y1) (*)

Osservazione: l’equazione (*) rappresenta l’equazione del fascio di rette passante per P al variare di m. Fissato m rappresenta una determinata retta del fascio.

Dati due punti della retta P1(x1;y1) e P2(x2;y2) di una retta r di equazione y = mx + q ,

Il coefficiente angolare di r è uguale al rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza tra le ascisse: m = (*)

Dove m rappresenta l’incremento dell’ordinata quando l’ascissa aumenta di uno nel passare da un punto all’altro della retta. PENDENZA DELLE RETTA GEOGEBRA

12

12

xx

yy

x

y

Formule del coefficiente angolare m note le coordinate di due punti della retta

Dimostrazione: dall’equazione della retta y –y 1 = m ( x – x1), se P2 appartiene alla retta le sue coordinate devono verificare questa equazione, quindi, mettendo al posto di y la sua ordinata y2 e al posto di x la sua ascissa x2 , risulta: y2 – y1 = m (x2 –x1) e dividendo tutte e due i membri Dell’equazione per (x2 –x1) :

Coefficiente angolare come rapporto

)(

)(

12

12

12

12

xx

xxm

xx

yy

12

12

xx

yym

Formula dell’equazione della retta passante per due punti

Dati due punti della retta P1(x1;y1) e P2(x2;y2) l’equazione di una retta passante per questi due punti è data dalla formula:

12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

equazione della retta passante per due punti

Dimostrazione: l’ equazione della retta y – y1 = m (x – x1), tenendo conto che m = , si può scrivere cos ì: da cui dividendo ambo i membri per (x-x1): 12

12

xx

yy

)( 1

12

121 xx

xx

yyyy

)(

)(

1

1

12

12

1

1

xx

xx

xx

yy

xx

yy

**

La (**) rimane dimostrata

improprio di rette: è l’insieme di tutte le rette di un piano tra loro parallele.

a) Rette parallele all’asse delle y hanno equazione del tipo x = numero. Infatti, tutti i punti della retta del grafico a) hanno la stessa ascissa e ordinata diversa. La sua equazione è: x =

2

1

2

1

b) Rette parallele all’asse delle x hanno equazione del tipo y = numero. Infatti, tutti i punti della retta del grafico b) hanno la stessa ordinata e ascissa diversa. La sua equazione è: y = ─ 4

c) Il grafico c) è una retta non parallela agli assi ed avrà equazione del tipo y = m x + q. Quindi, per determinarne l’equazione basta determinare i parametri m e q. Il parametro q lo possiamo ricavare dal grafico (è ordinata del punto di incontro con l’asse y): q = 0

Il coefficiente angolare m, individuate,osservando il grafico, le coordinate di due punti della retta, A(4; ─3) e B(4; ─ 3) si può calcolare utilizzando la formula: m =

2

3

4

6

4

33

40

)3(3

12

12

xx

yy

x

y

Quindi, l’equazione della retta è: y = ─ 3/2 x + 3

Fascio improprio di rette: è l’insieme di tutte le rette di un piano tra loro parallele.

L’equazione del fascio di rette improprio è y = mx + q, dove m è un numero fissato e invce q varia. Nel grafico accanto sono rappresentate le rette di equazione: y = 2x, y = 2x + 1, y = 2x + 2 , y = 2x-1, y= 2x – 2…………………………………………… Sono tutte rette che si ottengono dalla retta passante per l’origine y =2x aggiungendo un valore numerico …………. Quindi, tutte le rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.

Possiamo concludere che : due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare. Invece, due rette sono perpendicolari quando i loro coefficienti angolari sono l’uno l’antireciproco dell’altro:

1

2

1

mm

Esercizio 1 : determina l’equazione di una retta avente coefficiente angolare m = 2 e passante per un punto P( 3; - 1) La formula è y – y1 = m ( x – x1) dove m = 2 x1 = 3 e y 1 = - 1 e sostituendo: y – (-1) = 2 (x – 3) y + 1 = 2x – 6 y = 2x – 1 – 6 y = 2x – 7 che è l’equazione cercata.

Esercizio 2: determina l’equazione della retta r passante per i due punti P1(1;2) e P2(3;- 4). Utilizziamo sempre la formula y – y1 = m ( x – x1) e calcoliamo m: m = e prendendo P1(1;2) e sostituendo: y – 2 = ─3 ( x – 1) y = - 3x + 3 + 2 y = - 3x + 5.

32

6

13

24

12

12

xx

yy

II modo: utilizzo la formula della retta passante per due punti : 12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

13

24

1

2

x

y

2

6

1

2

x

y

Esercizio 3: data la retta di equazione y = 3 x + 1 a) Determina la retta parallela passante per il punto A(1;2) b) Determina la retta perpendicolare passante per il punto B(2;3)

a) se la retta è parallela alla retta y = 3x +1 ha lo stesso coefficiente angolare m = 3 deve passare per il punto A(1;2), quindi x1 = 1 e y1= 2 sostituendo nell’equazione y – y1 = m ( x – x1) ha: y – 2 = 3 (x – 1) y – 2 = 3x – 3 y = 3x – 3 + 2 y = 3x – 1 b) La retta deve essere perpendicolare alla retta di coefficinte angolare m = 3, quindi,

avrà coefficiente angolare (antireciproco di 3) e deve passare per il punto B(2;3) e sostituendo nell’equazione y – y1 = m ( x – x1) si ha: y – 3 = (x – 2) y – 3 = x + y = x + + 3 y = x +

3

1

3

1

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1

3

11