1

CAPITOLO 3 I VETTORI E LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO Il filosofo francese René Descartes1 (latinizzato in Cartesio) riteneva che la risoluzione di un problema con i metodi della geometria euclidea fosse troppo legata al “colpo di genio”, dettata dalla particolarità della situazione oggetto di studio. La necessità di un metodo che rendesse la risoluzione del problema geometrico quasi meccanica, ha portato Cartesio ad introdurre il cosiddetto metodo delle coordinate, di cui utilizziamo una versione tardo-settecentesca. Queste le parole del filosofo. Ho deciso di abbandonare la geometria astratta, cioè di considerazioni che servono a esercitare la mente, e questo allo scopo di studiare un altro tipo di geometria, che ha come oggetto la spiegazione dei fenomeni della natura. René Descartes Il sistema delle coordinate nel piano. Distanza tra due punti Per esempio, è di rapido calcolo la distanza tra due punti del piano se osserviamo la seguente costruzione.

La distanza tra i punti P e Q si definisce in modo “naturale” come la lunghezza del segmento che li congiunge. Se applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo PQR, otteniamo la relazione che costituisce la definizione di distanza tra i due punti:

1 René Descartes (Filosofo e matematico francese 1596-1650)

2

d (P ,Q ) = xQ − xP( )2+ yQ − yP( )

2

. Il concetto di distanza è fondamentale. Si osservi che, al variare del sistema di riferimento, il valore numerico della distanza tra due punti non cambia. Cambiano le coordinate, cioè la rappresentazione dei punti nel dato sistema di riferimento, ma non la misura del segmento che li congiunge!

Mediante il sistema delle coordinate è possibile stabilire una relazione tra i punti di una retta del piano, associandole un’equazione. Vettori Riprendiamo in considerazione le conoscenze (e le competenze) relative ai vettori acquisite durante il primo anno nel corso di Fisica. Per vettore s’intende quindi un segmento orientato la cui lunghezza detta modulo o intensità rappresenta il valore (in scala) della grandezza fisica in questione, la direzione rappresenta la retta su cui giace, mentre il verso stabilisce l’orientazione sulla retta.

3

In figura sono rappresentati due vettori aventi la stessa direzione, modulo diverso e verso opposto. Un vettore s’indica con una lettera sormontata da una freccia:

!v . Nel caso in cui il vettore rappresenta la posizione di un corpo rispetto ad un punto O, si usa anche la notazione PO

!. Il modulo del vettore s’indica con v senza

la freccia, oppure con v!

.

Operazioni con i vettori a) Moltiplicazione di un vettore per un numero reale a diverso da zero:

vaw!!

= . Il vettore w

! ha la stessa direzione del vettore

!v , stesso verso se a è positivo, verso opposto se a è negativo e modulo av (prodotto del modulo di v per il numero a). Esempi:

L’ultimo vettore rappresenta il vettore opposto del vettore v! : stesso modulo, stessa direzione, verso opposto.

b) Somma di vettori:

la somma di due (o più) vettori si esegue con la cosiddetta “regola del parallelogramma” o con il cosiddetto metodo “punta-coda”. I due sistemi sono equivalenti. Vediamo di cosa si tratta:

4

c) Differenza di vettori: se scriviamo opportunamente la differenza tra i vettori !d = !v − !w = !v + −

!w( ) , ci accorgiamo che la differenza in realtà la possiamo definire come la somma del vettore !v con il vettore − !w :

d) Scomposizione di un vettore lungo due direzioni perpendicolari: introdotti i versori2

!i e !j , il vettore !v si scompone come segue.

2 Sono vettori di lunghezza uguale a uno, e possono essere considerati come una sorta di “guida” lungo le direzioni del sistema di riferimento.

5

Se attribuiamo alle direzioni perpendicolari x e y il ruolo di assi cartesiani, è immediato osservare che esiste una corrispondenza biunivoca tra vettori e punti del piano. Questo ci permette di poter scrivere il vettore

!v = !vx +!vy ,

come se la punta del vettore !v fosse un punto del piano di coordinate vx,vy( ) . L’utilità di questa rappresentazione dei vettori è immediata se

pensiamo alle operazioni di addizione o sottrazione. Dati due vettori, !v = vx,vy( ) e !w = wx,wy( ) , la loro somma è data dal vettore !s = !v + !w = vx +wx,vy +wy( ) . In questo modo diventa naturale anche definire il modulo del vettore (applicato nell’origine) come la lunghezza del segmento rappresentativo della distanza della punta dall’origine:

v = vx2 + vy

2 . L’angolo tra una direzione ed un vettore è determinato, convenzionalmente, procedendo in senso antiorario dalla direzione verso il vettore. In generale, l’angolo tra due vettori è definito in modo analogo dal primo dei due vettori verso il secondo. Esempi

1. Sono dati i vettori

€

! a = 3! i − 4! j e

€

! b = −

! i + 2! j scomposti lungo due

direzioni perpendicolari rappresentate dai vettori

€

! i ,! j . Dopo aver

rappresentato graficamente i vettori dati, si rappresenti graficamente e si calcoli la lunghezza del vettore

€

! d = ! a −

! b . Si determini, infine, il

vettore

€

! c tale che

€

! a + 3! b − 2! c =

! 0 .

6

• Il vettore

€

! d = ! a −

! b = (3− (−1))

! i + (−4 − 2)

! j = 4! i − 6! j , mentre

€

! a + 3

! b − 2! c =

! 0 ⇔

3− 3− 2cx = 0−4 + 6 − 2cy = 0$ % &

⇒cx = 0cy =1$ % &

.

2. Sono dati i vettori a = 3 3

i +3j e b = −3

i −3 3

j . Dopo averli

rappresentati su un piano cartesiano, si determini: a) l’angolo formato dai singoli vettori con l’asse delle ascisse.

• a = 3 3i +3j forma un angolo di 30° con l’asse delle x,

b = −3

i −3 3

j forma un angolo di 240° con l’asse delle x.

b) l’angolo tra i due vettori, da a verso

b in senso antiorario.

• In questo caso l’angolo è dato dalla differenza tra gli angoli dei due vettori con l’asse delle ascisse: 240°-30°=210°.

c) Il vettore somma s = a +b (direzione, intensità, verso, angolo

con l’asse delle ordinate); • !s = !a +

!b = 3 3 −3( )

!i + −3 3 +3( )

!j ⇒ s = 3 3 −3( ) 2

d) Il vettore differenza d = a −

b (direzione, intensità, verso, angolo

con l’asse delle ordinate); • d = a −

b = 3 3 +3( )

i + 3 3 +3( )

j ⇒ d = 3 3 +3( ) 2

7

ESERCIZI

1. Sono dati i vettori perpendicolari a e b . Si dica quant’è l’intensità del

vettore d = a −

b .

2. Si dica quanto deve valere l’angolo formato da due vettori a e b , di

uguale intensità, affinché il vettore s = a +b abbia la stessa intensità dei

due vettori. 3. Due forze aventi la stessa intensità (10N) sono applicate nell’origine

di un piano cartesiano. La prima forma un angolo di 60° con l’asse delle ascisse, la seconda invece, forma un angolo di 150° (gli angoli sono misurati in senso antiorario). a) Si scompongano le due forze lungo le direzioni degli assi; b) Si calcoli la loro somma e la si rappresenti graficamente; c) Si calcoli la loro differenza e la si rappresenti graficamente.

4. Due forze uguali formano un angolo di 120°. Si determini il valore della forza che le equilibra.

8

Soluzioni 1.

2. Si applica il metodo punta-coda (conviene):

3.

9

4.

I vettori e le rette del piano Equazione vettoriale, parametrica, e cartesiana della retta del piano. Il vettore OP

! "!= a,b( ) è una direzione, cioè un vettore di lunghezza unitaria

a2 + b2 =1. Ad un generico vettore !v a,b( )può essere associato un versore dividendo le componenti per il modulo del vettore stesso:

!v a,b( )→ aa2 + b2

, ba2 + b2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟.

Esercizio 5. Determinare il versore associato al vettore direzione !v −1,5( ) .

10

Soluzione. !u = −126, 526

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ .

Esercizio 6. Individuare i versori associati ai vettori congiungenti le seguenti coppie di punti:

a) 1,2( ) 3,−1( ) ⇒!v 3−1,−1−2( ) = 2,−3( )⇒ !u 2

13, −313

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

b) 2,4( ) 2,8( ) ⇒!v 2−2,8−4( ) = 0,4( )⇒ !u 0,1( )

c) 0,0( ) 2,−9( ) ⇒!v 2−0,−9−0( ) = 2,−9( )⇒ !u 2

85, −985

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

In virtù della corrispondenza biunivoca tra punti del piano e vettori applicati nell’origine, vogliamo scrivere l’equazione della retta nelle cosiddette forme vettoriali e parametriche. Cominciamo con il caso delle rette passanti per l’origine.

Equazione vettoriale: OX

! "!!= tOP! "!

. Da questa segue che x, y( ) = ta,tb( ) , e la cosiddetta

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Equazione parametrica: x = tay = tb

!"#

$#. Moltiplicando la prima equazione per b e

la seconda per a, troviamo la cosiddetta

Equazione cartesiana: x = tay = tb

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ bx = tab

ay = tab

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ bx = ay⇒ bx − ay = 0 .

Se la retta non passa per l’origine, sia A x0, y0( ) un suo punto, ed OP

! "!= a,b( )

il vettore direzione.

Equazione vettoriale: OX

! "!!=OA! "!

+ tOP! "!

. Si ha x, y( ) = x0 + ta, y0 + tb( ) , e quanto visto sopra nel caso di rette passanti per l’origine si modifica come segue:

Equazione parametrica: x = x0 + ta

y = y0 + tb

!"#

$#.

Equazione cartesiana:

x = x0 + ta

y = y0 + tb

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

b x − x0( ) = taba y− y0( ) = tab

⇒ bx − ay+ ay0 − bx0( ) = 0⎧

⎨⎪

⎩⎪.

Ricapitolando:

12

Dato un vettore !v a,b( ) ed un punto A x0, y0( ) , le forme in cui si può esprimere l’equazione di una retta del piano sono le seguenti:

x, y( ) = x0, y0( )+ t a,b( )⇒x = x0 + ta

y = y0 + tb

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ b x − x0( ) = a y− y0( )

equazione vettoriale → equazione parametrica → equazione cartesiana

Esercizio 7. Per ognuna delle tre coppie di punti, scrivere in forma vettoriale, parametrica e cartesiana la retta che li congiunge.

a) 1,2( ) 3,−1( ) ⇒

x, y( ) = 1,2( )+ t 2,−3( )x =1+2ty = 2−3t

⎧⎨⎪

⎩⎪

x −12

=2− y3

⇒ 3x +2 y−7= 0

b) 2,4( ) 2,8( ) ⇒

x, y( ) = 2,4( )+ t 0,4( )x = 2y = 4+4t

⎧⎨⎪

⎩⎪

x = 2

c) 0,0( ) 2,−9( ) ⇒

x, y( ) = 0,0( )+ t 2,−9( )x = 2ty = −9t

⎧⎨⎪

⎩⎪

x2= −

y9⇒ 9x +2 y = 0

13

Il fascio di rette passanti per un punto A = x0, y0( ) (centro del fascio) Ripercorrendo i passi che hanno condotto dall’equazione vettoriale a quella parametrica della retta, giungiamo all’espressione cartesiana bx − ay+ ay0 − bx0( ) = 0 .

Questa espressione rappresenta, al variare dei vettori a,b( ) (non

necessariamente direzioni!), l’insieme delle rette passanti per A = x0, y0( ) , il cosiddetto fascio proprio di rette. La condizione di parallelismo espressa in termini di direzioni Siano !u a,b( )e !v !a , !b( ) le direzioni di due rette del piano cartesiano. Se queste sono parallele, allora !v = t!u ⇒ "a , "b( ) = ta,tb( )⇒ "a = ta

"b = tb

#$%

⇒ "a b = taba "b = tab

#$%

⇒ "a b− a "b = 0 .

!a b− a !b = 0 (condizione di parallelismo). I punti notevoli di un triangolo Il baricentro La ricerca del baricentro di un triangolo è un’operazione che può essere condotto in modo relativamente semplice sfruttando la corrispondenza biunivoca tra punti del piano e vettori applicati nell’origine, come segue dalla rappresentazione seguente.

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L’ortocentro Vogliamo calcolare l’ortocentro con “metodi cartesiani”. Determiniamo innanzitutto l’equazione della retta per A perpendicolare al lato BC x, y( ) = −2,5( )+ t 5,5( ) , e della retta per C perpendicolare al lato AB

x, y( ) = 1,6( )+ s 4,8( ) . Mettiamo a sistema le due equazioni e determiniamo così le coordinate cartesiane dell’ortocentro:

−2+5t,5+5t( ) = 1+4s,6+8s( )⇒ −2+5t =1+4s5+5t = 6+8s

⎧⎨⎩

⇒ 5t −4s = 35t −8s =1

⎧⎨⎩

, da

cui segue s = 12

t =1

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇒ x, y( ) = 3,10( ) .

Formula della distanza punto-retta Ricavata come soluzione di un problema di minimo: si definisce “distanza” di un punto da una retta la minima lunghezza dei segmenti congiungenti il punto dato con i punti

sulla retta (caso della retta passante per l’origine di equazione parametrica x = tay = tb

⎧⎨⎪

⎩⎪).

Strategia risolutiva: Indichiamo con P x0, y0( ) un punto del piano non

appartenente alla retta, e sia Q ta,tb( ) un punto sulla retta stessa. La

lunghezza del generico segmento PQ (elevata al quadrato) è una funzione quadratica di t. Pensando alla parabola (con la concavità rivolta verso l’alto) associata alla sua rappresentazione grafica, il valore di t che

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minimizza la lunghezza sarà quello corrispondente all’ascissa del vertice. Indicato con H il punto della retta corrispondente a tale valore di t, assumeremo come misura della distanza punto-retta la lunghezza del segmentoPH .

PQ2= x0 − ta( )

2+ y0 − tb( )

2= a2 + b2( ) t2 −2t ax0 + by0( )+ x02 + y02

tmin =ax0 + by0( )a2 + b2( )

⇒ PH2=a2 + b2( ) x02 + y02( )− a2x02 + b2 y02 +2abx0 y0( )

a2 + b2( )=

PH2=ay0 − bx0( )

2

a2 + b2( )⇒ PH =

ay0 − bx0

a2 + b2( )

Se la retta non passa per l’origine, la sua espressione parametrica è

x = x + tay = y + tb

⎧⎨⎪

⎩⎪, e la formula della distanza punto-retta si modifica così:

PH =a( y0 − y )− b(x0 − x )

a2 + b2( ).

Esercizio 8. Si calcoli la distanza del punto P 0,1( )da ognuna delle rette dell’esercizio 7.

x, y( ) = 1,2( )+ t 2,−3( )⇒ PH =2(1−2)+3(0−1)

13=513

x, y( ) = 2,4( )+ t 0,4( )⇒ PH =0(1−4)−4(0−2)

4= 2

x, y( ) = 0,0( )+ t 2,−9( )⇒ PH =2(1−0)+9(0−0)

85=285

.

16

La condizione di perpendicolarità espressa in termini di direzioni

Dalla figura segue che, se la direzione !v !a , !b( ) è perpendicolare alla direzione

!u a,b( ) , allora ʹa = −bʹb = a

⎧⎨⎩

, ʹa = bʹb = −a

⎧⎨⎩

da cui risulta, moltiplicando

opportunamente i membri delle equazioni ʹa a = −baʹb b = ab

⎧⎨⎩

, ʹa a = bbʹb b = −ab

⎧⎨⎩

, da

cui segue la condizione di perpendicolarità a !a + b !b = 0 .

Esercizi 1. Si esprimano in forma vettoriale e parametrica le seguenti rette:

a)2x − y =1; b)x − y3+3= 0; c )4x +5 = 0; d )−3 y+1= 0 . Si tracci il

grafico di ognuna di esse e se ne determini il coefficiente angolare. 2. Calcolare la distanza tra il punto P −2,3( ) e le rette dell’esercizio 1. 3. Si dica per quali valori del parametro k le rette

r : 3x − y+1= 0, s : y = kx −2+ k sono incidenti, e per quali valori sono parallele.

4. Si scriva l’equazione della retta passante per il punto A 5,1( ) e perpendicolare alla retta 3x −2 y+1= 0 . Determinare l’equazione dell’asse del segmento di estremi A e B 1,5( ) .

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5. Si determini l’equazione della perpendicolare alla retta

€

y = −12x + 4, che

forma con questa e con l’asse delle ordinate un triangolo di area 4. 6. E’ data la retta di equazione

€

y =13x . Si trovino le rette che formano con

questa un triangolo rettangolo isoscele di area 2, avente un vertice coincidente con l’origine e l’ipotenusa giacente sulla retta

€

y =13x .

7. Scrivere l’equazione dell’asse del segmento di estremi 2,3( ) e 4,−1( ) . 8. Problema Tra le rette passanti per C −1,−2( ) , sia r la retta passante per l’origine, e s quella parallela al vettore !v 1,1( ) .

a) Si scrivano le equazioni di entrambe le rette in forma parametrica e cartesiana.

b) Indicato con P il generico punto sulla retta r (si pensi all’equazione parametrica…) si scriva l’espressione generale dell’area del triangolo rettangolo CPH, essendo H un punto della retta s.

c) Si scriva l’equazione della retta !s , simmetrica della retta s rispetto alla retta r (suggerimento: sia D il punto intersezione della retta p perpendicolare a r passante per l’origine, e la retta s. Il simmetrico del punto D rispetto all’origine appartiene a…).

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Soluzioni

1.

a)2x − y =1; b)x − y3+3= 0; c )4x +5 = 0;

bx − ay = 0⇒ !v 1,2( )x, y( ) = 0,−1( )+ t 1,2( )

x = 0+ ty = −1+2t

⎧⎨⎪

⎩⎪

bx − ay = 0⇒ !v 1,3( )x, y( ) = −3,0( )+ t 1,3( )

x = −3+ ty = 0+3t

⎧⎨⎪

⎩⎪

bx − ay = 0⇒ !v 0,4( )

x, y( ) = −54,0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ t 0,4( )

x = − 54

y = 4t

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2. a)PH =85

b)PH = 0 c )PH =34

.

3. Le rette sono parallele per k = 3 .

4. La direzione della retta 3x −2 y+1= 0 è !v 1,32

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ , pertanto quella della

perpendicolare è !u = −32,1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ . La retta cercata ha equazioni

x, y( ) = 5,1( )+ t −32 ,1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟,

x = 5− 32t

y =1+ t

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇒ 2x +3 y−13= 0 .

5. Si scrive l’equazione della perpendicolare nella forma y = 2x + q . Sia P il punto intersezione della retta data con la perpendicolare:

y = −12x +4

y = 2x + q

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇒ P 454− q( ), 325 −

35q

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ . Il triangolo cercato avrà base

4− q e altezza 454− q . Si determina q impostando la relazione

4 = 12⋅454− q ⇒ q = 4± 10⇒ y = 2x +4± 10 .

19

6. In questo esercizio conviene utilizzare l’espressione parametrica della

retta. Individuiamo il punto H sulla retta y = 13x , ed indichiamo

con t la sua distanza dall’origine. Il triangolo richiesto, essendo rettangolo isoscele, è un mezzo quadrato, per cui l’altezza è uguale a

t. Di conseguenza, dalla formula dell’area 2 = t ⋅2t2

⇒ t = ± 2 ; il

punto H ha coordinate H ± 6,± 2( ) .

Prendiamo, come in figura, H 6, 2( ) . Le rette cercate (in colore

viola) si scrivono in forma vettoriale come

OP! "!

=OH! "!!

+ PH! "!!

⇒ x, y( ) = 6, 2( )± 2 −1, 3( ) , essendo −1, 3( ) la

direzione del vettore PH perpendicolare alla retta y = 13x . In forma

cartesiana le rette hanno equazioni y = 3 +13 −1

x e y = 1− 33 +1

x .

20

7. La direzione del segmento è !v = 4−2,−1−3( ) = 2,−4( ) , pertanto l’asse

ha direzione perpendicolare a quella del segmento !u 4,2( ) e passa per

il punto medio del segmento M 3,1( ) . L’equazione dell’asse è quindi:

x, y( ) = 3,1( )+ t 4,2( )⇒ x = 3+4ty =1+2t

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒x −34

=y−12

⇒ x −2 y−1= 0 .

Il prodotto scalare Vogliamo determinare la proiezione del vettore !v sul vettore !u , come rappresentato nella figura seguente.

Distanza PH := d =b !a − a !b

a2 + b2

Lunghezza del vettore p!u!v( ) , proiezione del vettore !v sul vettore !u :

λ2=OP

2− PH

2= "a 2 + "b 2 − "a 2b2 + a2 "b 2 −2a "a b "b

a2 + b2=a "a + b "b( )

2

a2 + b2⇒ λ =

a "a + b "b

a2 + b2 . In

particolare, se il vettore !u è un versore, cioè se !u = a2 + b2 =1, allora la

lunghezza della proiezione è λ = a !a + b !b .

Come si determina il verso del vettore proiezione p!u!v( ) ? Si determina in

base al segno del prodotto a !a + b !b . Osserviamo per inciso che, se i vettori !v e !u sono perpendicolari, allora la lunghezza del vettore proiezione è zero.

21

Vista la sua importanza, si definisce prodotto scalare dei vettori !v e !u il numero !v , !u := a !a + b !b .

4.5 La retta e le principali trasformazioni geometriche Le equazioni di particolari isometrie Una trasformazione geometrica è un’applicazione bigettiva del piano cartesiano. Le isometrie sono quelle trasformazioni geometriche che conservano le distanze tra i punti; si dicono dirette se non cambiano l’orientamento del piano, inverse altrimenti. Sono isometrie le traslazioni, le simmetrie, le glissosimmetrie. La trattazione analitica delle rotazioni è rimandata ad un momento successivo, in quanto necessita della conoscenza delle proprietà delle funzioni goniometriche.

Traslazione La traslazione di vettore !v (a,b) è una trasformazione geometrica che mette

in relazione i punti del piano mediante le equazioni: τ a,b( ) :!x = x + a!y = y+ b

"#$

%$ .

Simmetria centrale Sia

€

C = (x0,y0) il centro della simmetria. Vogliamo scrivere le equazioni del simmetrico di un punto del piano rispetto a tale centro.

€

σC :# x = x − 2(x − x0) = 2x0 − x# y = y − 2(y − y0) = 2y0 − y

% & '

22

Esercizio. Trasformare la retta di equazione y = 2xper simmetria rispetto al punto C 1,−2( ) .

• Si scrivono le equazioni della simmetria nella forma x = 2− "xy = −4− "y

#$%

&%e si

sostituiscono le espressioni così trovate nell’equazione della retta: y = 2x→−4− #y = 2 2− #x( )⇒ #y = 2 #x −8 .

• Osservazione. La retta ottenuta in seguito alla trasformazione è parallela

alla retta originaria. E’ un caso? No, possiamo dimostrare che la simmetria centrale trasforma sempre una retta in un’altra ad essa parallela.

23

Proposizione 1. La simmetria centrale conserva il parallelismo tra rette. Dimostrazione. x = 2x0 − "x

y = 2 y0 − "y

#$%

&%⇒ a 2x0 − "x( )+ b 2 y0 − "y( )+ c = 0⇒ a "x + b "y −2ax0 −2by0 − c = 0 è

una retta parallela a ax + by+ c = 0 . Conseguenza diretta della proposizione 1 è la seguente. Proposizione 2. La simmetria centrale conserva gli angoli tra rette. In particolare, la simmetria centrale trasforma coppie di rette perpendicolari in coppie di rette perpendicolari, e coppie di rette parallele in coppie di rette parallele. Si dice quindi che il parallelismo e la perpendicolarità sono proprietà invarianti per simmetrie centrali. Simmetria assiale Iniziamo con la descrizione delle simmetrie rispetto agli assi coordinati:

σ y=0 :!x = x!y = −y

#$%

&%, σ x=0 : !x = −x

!y = y

#$%

&%

Simmetria rispetto ad un asse parallelo all’asse y σ x=k :!x = 2k − x!y = y

#$%

&%

Simmetria rispetto ad un asse parallelo all’asse x

€

σ y= k :# x = x

# y = 2k − y% & '

24

Glissosimmetrie Le glissosimmetrie sono particolari isometrie ottenute mediante la composizione di una simmetria con una traslazione in una direzione parallela all’asse di simmetria. Ad esempio, componendo una simmetria rispetto ad un asse parallelo all’asse y con una traslazione nella direzione dell’asse otteniamo:

σ x=k :!x = 2k − x!y = y

#$%

&%;τ (0,b) :

!!x = !x!!y = !y + b

⇒σ x=k

#$%

&%τ (0,b) :

!!x = 2k − x!!y = y+ b

#$%

&%.

Si dicono fissi quegli enti geometrici (per ora punti e rette del piano cartesiano) che restano al loro posto in seguito ad una trasformazione geometrica. Si dicono unite le rette i cui punti sono trasformati in altri sempre appartenenti alla medesima retta. Per capirci, una retta fissa è unita, ma non è necessariamente vero il contrario.

Le funzioni polinomiali di primo grado Rientrano in questa categoria le funzioni del tipo f (x ) = ax + b . Queste funzioni hanno come insieme di definizione quello dei numeri reali, e si rappresentano sul piano cartesiano mediante una retta.

25

E’ evidente dal grafico che l’immagine della retta coincide con l’insieme dei numeri reali. La funzione valore assoluto Al valore assoluto di un numero reale è possibile associare la funzione

€

f (x) = x :=x x ≥ 0−x x < 0$ % &

. Una funzione di questo tipo si dice definita per casi. Il

grafico della funzione valore assoluto è il seguente:

La composizione con il valore assoluto di alcune funzioni

1. Si rappresenti graficamente la funzione

€

f (x) = x 2 + 2x + 5 − 4 + 4x . • Dalla discussione del valore assoluto

emerge che la funzione data può essere scomposta nelle due funzioni

f1(x ) =x2 +2x +5−4−4x4+4x ≥ 0

#$%

&%=

x −1

x ≥ −1

#$%

&%

f2(x ) =x2 +2x +5+4+4x4+4x < 0

#$%

&%=

x +3

x < −1

#$%

&%

.

• Il grafico della funzione è quindi:

26

2. Si tracci il grafico della seguente funzione:

f (x ) = 9x2 −6x +1+2−6x

3x −1.

i. C.E.= x ∈ R|x ≠ 13

#$%

&'(

. La funzione si può scrivere nella forma

f (x ) = 9x2 −6x +1+2−6x

3x −1= 3x −1( )

2+21−3x

3x −1=

y = 3x −1 +2 x > 13

y = 3x −1 −2 x < 13

"

#$$

%$$

ii. f (x ) =y = 3x +1 x > 1

3

y = −3x −1 x < 13

"

#$$

%$$

3. Risolvere graficamente la seguente disequazione:

€

x − 2 ≤ −2 + x . • Consideriamo le rette

€

y = x − 2 e

€

y = x − 2. • Dal grafico risulta evidente che la soluzione della

disequazione è

€

∀x ≥ 2 .

27

Esercizi di riepilogo 1. Tra le rette passanti per il punto di coordinate (1,2), determinare in

forma parametrica, vettoriale e cartesiana: a) La parallela alla retta di equazione 3x − 2y =10 ;

3x − 2y+1= 0[ ] b) La perpendicolare alla retta di equazione x + 2y = 0 .

2x − y = 0[ ]

2. Tra tutte le rette del fascio

€

kx + (1− k)y + 3k − 2 = 0 determinare in forma parametrica, vettoriale e cartesiana:

a) la parallela all’asse y; x +1= 0[ ]

b) la perpendicolare alla retta y = x −1 ; x + y−1= 0[ ]

3. Scrivere l’equazione dell’asse del segmento di estremi A −2,2( ) e

B 2,−1( ) . Determinare sull’asse un punto C tale che il triangolo ABC abbia area 4.

8x − 6y+3= 0 C12425, 8950

"

#$

%

&',C2 −

2425,− 3925

"

#$

%

&'

(

)**

+

,--

28

4. Sono dati i punti A −1,−2( ) e B 3,−1( ) . L’asse di AB interseca in E l’asse y e la retta a cui appartiene il segmento AB interseca in D l’asse x. Detto M il punto medio di AB, determinare: a) il punto medio M,

M 1,− 32

"

#$

%

&'

(

)*

+

,-

b) la retta di appartenenza del segmento AB,

x − 4y− 7 = 0[ ] ;

c) l’asse del segmento AB, 8x + 2y− 5= 0[ ] ;

d) i punti E e D, E 0, 52

!

"#

$

%& D 7,0( )

'

())

*

+,,.

5. Siano A e B i punti intersezione della retta

€

x + y − 4 = 0 con gli assi cartesiani. Si individui sull’asse del segmento AB il punto C nel primo quadrante, in modo tale che il triangolo di vertici A, B, C abbia area

€

8 3 . C 2+ 2 3,2+ 2 3( )!

"#$

6. E’ dato il fascio di rette

€

(2 − k)x + y −1+ k = 0 .

b) Si determini il centro del fascio. C 1,−1( )"#

$%

c) Si determini la parallela alla bisettrice II-IV quadrante. x + y = 0!" #$ 7. Risolvere graficamente la seguente disequazione:

€

x − 2 ≤ −2 + x . x ≥ 2[ ]

29

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

8. Tra le rette del fascio

€

kx + y − 2 = 0 si determinino quelle distanti 2 dall’origine.

x + y−2 = 0; x − y+2 = 0"#$

%&'

9. Dato il fascio di rette di equazione 01)2(3 =−+−+ kykkx determinare:

a) Il centro del fascio; C 12,− 16

"

#$

%

&'

(

)*

+

,-

b) I valori di k per cui le rette del fascio formano un angolo ottuso con

l’asse delle ascisse. 0 < k < 2[ ]

10. Un motociclista parte e si muove alla velocità costante di 10ms−1 , contemporaneamente ad un’automobilista, che si trova 100 metri più avanti rispetto al motociclista, e che parte con velocità costante di 5ms−15 nella stessa direzione e verso del motociclista. Dopo quanto tempo si troveranno nello stesso punto? t = 20s[ ]

11. Si tracci il grafico della seguente funzione:

€

f (x) = 9x 2 − 6x +1 +2 − 6x3x −1

.

f (x) =3x +1; x > 1

3

−3x −1; x ≤ 13

#

$%%

&%%

'

(

))))

*

+

,,,,

30

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

12. Nel fascio di rette di equazione 2x + 5y+ k = 0 individuare:

a) Le rette r, s passanti per i punti dell’asse y, soluzioni dell’equazione t2 − 2t −8 = 0 . r : 2x + 5y+10 = 0; s : 2x + 5y− 20 = 0"

#$% .

b) I punti A e B intersezione della retta 8x + 5y+10 = 0 rispettivamente con le rette s e r. A −5,6( ) B 0,−2( )"

#$%&' .

c) Il punto C, di ascissa positiva, situato sulla bisettrice del I e III quadrante, tale che il segmento AB è la base di un triangolo ABC di area uguale a 8. C 2,2( )!" #$ .

d) Le coordinate del punto D in modo tale che il quadrilatero ABCD sia un parallelogramma. D −7,2( )"# $%.

COMPITO DI MATEMATICA Classe III sezione E

14/11/2014 PROBLEMA Scrivere l’equazione del fascio di rette di centro C 1,2( ) .

• Imponiamo l’appartenenza del centro all’equazione generica della retta: ax + by+ c = 0⇒ a+2b+ c = 0⇒ c = −a −2b . L’equazione del fascio può quindi essere scritta nella forma a x −1( )+ b y−2( ) = 0 .

a) S’individuino tutte le rette del fascio che intersecano il segmento di estremi O 0,0( ) , e A 2,2( ) .

31

• Poiché la parallela all’asse y taglia il segmento dato, occorre dividere in due parti la ricerca delle rette in questione, come risulta evidente dal grafico: −∞≤ m < 0 ∨ 2≤ m < +∞ .

b) Scrivere l’equazione della retta simmetrica della bisettrice y = x

rispetto al centro del fascio.

• !x = 2k − x!y = 2h− y

#$%

&%⇒

x = 2− !xy = 4− !y

#$%

&%⇒ 4− !y = 2− !x( )⇒ x − y+2= 0 .

c) Determinare le coordinate del punto !A , simmetrico del punto A 2,2( ) rispetto alla retta s del fascio passante per O 0,0( ) . Si scriva, inoltre, l’equazione della retta simmetrica della bisettrice y = x rispetto alla retta s.

• s : y = 2x . Sia p la perpendicolare alla retta s passante per A 2,2( ) : x +2 y−6 = 0 . Indicato con H = s∩ p , !A verrà determinato come

simmetrico di A 2,2( ) rispetto ad H: H : x +2 y = 62x − y = 0

"#$

%$⇒ H 6

5,125

'

()

*

+, , di

conseguenza !A : 125−2,24

5−2

#

$%

&

'(=

25,145

#

$%

&

'( . La retta simmetrica della

32

bisettrice rispetto alla retta s è, quindi, la retta passante per O e per !A : y = 7x .

d) Verificato che !A 2

5,145

"

#$

%

&' , si determini il punto B x, y( ) appartenente

alla retta s, in modo tale che il quadrilatero OAB !A sia un rombo, di cui si chiede di calcolare l’area.

• Il punto B si trova come il simmetrico dell’origine rispetto a H:

B 125,245

!

"#

$

%& . L’area del rombo è Area = A !A ⋅OB

2=245

.

33

QUESITI

1. Scrivere, nella forma vettoriale, parametrica e cartesiana, l’equazione della retta r avente per direzione vettore !v 1,−2( ) , e passante per il punto

P0 1,1( ) , rappresentando tutto sul piano cartesiano.

OX! "!!

=OP0! "!!

+λ!v ⇒ x =1+λ

y =1−2λ

#$%

&%⇒ x −1= 1− y

2⇒ 2x + y−3= 0 .

34

2. Un punto si muove uniformemente nel piano xy , occupando all’istante iniziale il punto di coordinate P0 −1,2( ) . Le leggi orarie

della sua velocità sono le seguenti: vx = 2

v y = −1

"#$

%$. Dopo quanto tempo

attraverserà l’asse x?

• Le leggi orarie delle coordinate sono le seguenti: x = −1+2ty = 2− t

"#$

%$. Il

punto raggiunge il suolo quando y = 0⇒ 0 = 2− t⇒ t = 2s .

COMPITO DI MATEMATICA Classe III sezione E

09/12/2014

1. Si rappresenti graficamente il sottoinsieme del piano cartesiano i cui punti sono le soluzioni del seguente sistema di disequazioni di primo

grado in due variabili

0 ≤ x ≤ 60 ≤ y ≤ 2x +2 y ≥ 42x + y ≥ 6

#

$

%%

&

%%

, e si minimizzi su questo la

funzione di costo f x, y( ) = 2x +3 y .

CORREZIONE

1. Si rappresenti graficamente il sottoinsieme del piano cartesiano i cui punti sono le soluzioni del seguente sistema di disequazioni di primo

grado in due variabili

0 ≤ x ≤ 60 ≤ y ≤ 2x +2 y ≥ 42x + y ≥ 6

#

$

%%

&

%%

, e si minimizzi su questo la funzione

di costo f x, y( ) = 2x +3 y .

35

“Liceo Scien t i f i c o Stata le “Guido Caste lnuovo”

COMPITO DI MATEMATICA Classe III sezione E

10/12/2015

Problema Sono dati nel piano cartesiano i punti A 1,4( );B 5,1( );C 3,k( ) .

a) Si determini il valore di k tale che il triangolo ABC sia rettangolo in

C, ed abbia il baricentro nel punto G 3, 53

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ .

• Il triangolo è rettangolo in C se

AB2= AC

2+ BC

2⇒ 25 = 4+ 4− k( )

2+4+ 1− k( )

2= 25−10k +2k2 , da cui

segue 2k2 −10k = 0⇒ k1 = 0∧ k2 = 5. Il valore di k si determina imponendo

la condizione sul baricentro:

1+3+53

= 3

1+4+ k3

=53

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇒ k = 0 .

36

b) Sia C 3,0( ) . Si scriva in forma vettoriale, parametrica e cartesiana l’equazione della retta parallela al lato BC passante per il baricentro del triangolo ABC.

• La direzione del lato BC è !v (2,1) e coincide con quella della retta

che vogliamo trovare; di conseguenza

x, y( ) = 3, 53

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ t 2,1( )⇒

x = 3+2t

y = 53+ t

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇒x −32

= y− 53⇒ x −2 y+ 1

3= 0 .

c) Sia C 3,0( ) . Si scriva l’equazione della retta r perpendicolare al lato

AB e passante per il circocentro D del triangolo ABC. Indicato con E il punto in cui questa retta interseca il lato AC, si calcoli l’area del quadrilatero CBDE.

• Poiché il triangolo è rettangolo, il circocentro coincide con il punto medio del segmento ipotenusa. La direzione del lato AB è !v −4,3( ) , pertanto la retta r ha equazione

37

x, y( ) = 3, 52

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ t 3,4( )⇒

x = 3+3t

y = 52+4t

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇒x −33

=2 y−58

, di

conseguenza r : 8x −6 y−9 = 0 . La retta di appartenenza di AC è

x, y( ) = 1,4( )+ t 2,−4( )⇒ x −12

=y−4−4

⇒ 2x + y−6 = 0 , quindi,

E =8x −6 y−9 = 02x + y−6 = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

8x −36+12x −9 = 0y = 6−2x

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

x = 94

y = 32

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.

Infine, A CBDE( ) = A ABC( )− A AED( ) = 5− ED ⋅ AD2= 5− 25

16=5516

.