Principali funzioni nel piano cartesiano e lorotrasformazioni analitiche

Prof. Carlo Alberini

25 marzo 2011

1 Preliminari

In queste pagine verranno trattate da un punto di vista squisitamente analitico le principalifunzioni matematiche, come la retta, la parabola e l’iperbole equilatera riferita ai propriassi, ecc. nel piano cartesiano (rimandiamo, infatti, ad altra sede la discussione geometricadelle curve appena nominate). Vedremo, inoltre, come, a partire da semplici trasformazionigeometriche nel piano sia relativamente facile dedurre i rispettivi grafici mediante traslazioniorizzontali, verticali, aggiunta di moduli, ecc.

Premettiamo, tuttavia, la seguente

Definizione 1 Dato un insieme A e un insieme B, si definisce funzione una relazioneche ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B.

Da un punto di vista prettamente matematico considereremo - in generale - comeinsieme “A” e “B” l’insieme dei numeri reali R, per cui verranno associati numeri di R conaltrettanti numeri di R attraverso opportune equazioni cartesiane di funzioni.

Possiamo dare il seguente

Esempio 1 Sia data la seguente funzione:

y = f(x) :

{R −→ Rx 7→ 3x2 − 2

il cui grafico sul piano cartesiano risulterà essere quello indicato dalla Figura 1.

Osservazione 1 In Fisica, la nozione di funzione acquisisce un’importanza fondamentale.Attraverso questo concetto matematico si possono infatti descrivere con sorprendenteprecisione gran parte dei fenomeni naturali, e tra questi la quasi totalità dei problemi ditipo meccanico, cioè quelli relativi allo studio del moto dei corpi. Va inoltre ricordatoche in tale ambito scientifico è uso comune porre sull’asse delle ascisse (x) la variabile

1

Figura 1: Grafico della funzione y = 3x2 − 2 nel piano cartesiano. È ad essaassociata una parabola.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=3x2-2

temporale (t) e sull’asse delle ordinate la variabile oggetto di studio e dipendente dal tempostesso. In quest’ottica di Fisica classica, allora, per lo studio di un problema del tipoappena menzionato, nel quale si vogliano evidenziare - ad esempio - le variabili t tempo es(t) spazio (in funzione del tempo), la definizione di funzione data poco sopra si potrebbetradurre nel fatto che un corpo non possa trovarsi contemporaneamente in due posti diversinello stesso istante t0. Cfr. Figura 2.

2 La retta nel piano cartesiano

Nel piano cartesiano si ottiene il grafico di una retta ogni volta che si deve rappresenta-re/descrivere una generica relazione di proporzionalità diretta. L’equazione più generale diuna retta - dal punto di vista analitico - nel piano cartesiano è data da:

ax+ by + c = 0 (2.1)

con a, b e c numeri appartenenti ad R. Nella (2.1) sono “racchiuse” tutte le possibilirette del piano cartesiano: retta verticali, orizzontali ed oblique in generale.

Esempio 2 La rappresentazione nel piano cartesiano della retta 3x+4y−5 = 0 è mostratain Figura 3.

L’equazione data in (2.1) si chiama anche equazione implicita della retta cartesiana,poiché non viene “esplicitata” - ovvero resa nota - alcuna variabile rispetto all’altra. Semprenella (2.1) riscontriamo, però, alcune difficoltà di tipo operativo: risulta infatti piuttosto

2

Figura 2: Esempio di grafico spazio - tempo per lo studio del moto rettilineouniforme. Il grafico coincide con quello di una retta.

0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6 6,4 7,2 8 8,8 9,6 10,4

2,5

5

7,5

10

s(t)

t

s(t)=t+3

complesso ricavare i punti che appartengono a tale retta e - di conseguenza - risultaimpegnativo disegnarne con una certa precisione il relativo grafico nel piano cartesiano.

Nella (2.1) non sono, inoltre, immediate nemmeno le informazioni relative allapendenza della retta e alle eventuali intersezioni con gli assi coordinati.

La soluzione a tale problema consiste nel passare alla cosiddetta equazione esplicitadella retta nel piano cartesiano. Tale equazione si ottiene espliciando, ovvero rendendonota una variabile (di solito la y) rispetto all’altra (quindi la x). Vediamo i passagginecessari per ricavare tale equazione:

ax+ by + c = 0⇐⇒ by = −ax− c⇐⇒ y = −a

b− c

b.

È importante osservare che tali passaggi hanno significato sotto la condizione b 6= 0.

Possiamo porre a questo punto

−a

b= m − c

b= q.

L’equazione esplicita della retta diventa allora:

y = mx+ q (2.2)

Osservazione 2 Dalla (2.1) alla (2.2) - avendo imposto la condizione restrittiva b 6= 0 -abbiamo perso la rappresentazione grafica di alcune rette: quelle che si ottengono dalla(2.1) sostituendo b = 0, ovvero tutte le rette parallele all’asse y. Deduciamo allora che,mentre la (2.1) descrive e comprende tutte le rette possibili del piano cartesiano, la (2.2)non descrive e non comprende quelle parallele all’asse y.

3

Figura 3: Rappresentazione della retta cartesiana 3x+ 4y − 5 = 0.

-4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

3,2

3x+4y-5=0

Nella (2.2) il coefficiente m si chiama coefficiente angolare della retta e q la suaintercetta. Concludiamo dicendo che m indica la pendenza della retta e q il valoredell’ordinata in cui la retta taglia l’asse delle ordinate (asse y). Se m = 0 la retta risultaparallela all’asse x e se q = 0 la retta passa per l’origine degli assi coordinati O(0, 0). Sem = 0 e q = 0 si ottiene l’equazione cartesiana dell’asse x : y = 0.

Vediamo, ora, come si dispongono nel piano cartesiano i grafici delle rette passantiper O(0, 0) al variare di m. La situazione può benissimo essere riassunta dalla Figura 4.

Figura 4: Rappresentazione delle rette nel piano cartesiano al variare dei lorocoefficienti angolari. (Immagine tratta da L. Lamberti, L. Mereu,A. Nanni Corso di Matematica I Ed. ETAS - 1997).

Tenendo presente il ruolo di m e q nell’equazione (2.2), diventerà relativamentesemplice ricavare il grafico delle equazioni delle rette in forma esplicita: basterà valutare

4

la natura di m, il valore della relativa intercetta (intersezione con l’asse y) e il valoredella (eventuale) intersezione con l’asse x. Riassumiamo il grafico qualitativo di due rettegeneriche in forma esplicita del piano cartesiano mediante la Figura 5

Figura 5: Rappresentazione di due generiche rette nel piano cartesiano.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4 y=ax+q

y=ax+q

con a<0 e q>0

con a>0 e q<0

Terminiamo questa sezione elencando tutte le possibili forme di un’equazione rappre-sentativa di una retta nel piano cartesiano:

1. Equazione implicita della retta: ax+ by + c = 0, con a, b e c ∈ R.

2. Equazione esplicita della retta: y = mx+ q, con m e q ∈ R.

3. Equazione delle rette parallele all’asse x: sostituendo nella (2.1) il valore b = 0,

si ottiene:ax+ c = 0⇐⇒ ax = −c⇐⇒ x = − c

a,

dove a 6= 0. Ponendo − c

a= k, si ottiene y = k, con k ∈ R.

4. Equazione delle rette parallele all’asse y: sostituendo nella (2.1) il valore a = 0,

si ottiene:by + c = 0⇐⇒ by = −c⇐⇒ y = −c

b,

dove b 6= 0. Ponendo −c

b= h, si ottiene x = h, con h ∈ R.

Osservazione 3 Per disegnare correttamente una retta (ovviamente non parallela agliassi coordinati) sul piano cartesiano a partire dalla sua equazione, è sufficiente calcolarnele intersezioni con gli assi, ovvero:

5

a) intersezione con l’asse x ponendo y = 0,

b) intersezione con l’asse y ponendo x = 0.

Esempio 3 Disegnare sul piano artesiano la retta di equazione y = −3x+ 2.

Svolgimento. Appurato che tale equazione sul piano cartesiano rappresenta una rettanon parallela agli assi, calcoliamo le sue intersezioni con gli assi coordinati, ponendo:

a) intersezione con l’asse x⇐⇒ y = 0⇐⇒ 0 = −3x+ 2⇐⇒ x =2

3.

b) intersezione con l’asse y ⇐⇒ x = 0⇐⇒ y = −3 · (0) + 2⇐⇒ y = 2.

È chiaro, quindi, che la retta taglia gli assi coordinati nei punti A(2

3, 0

)e B (0, 2) .

Il grafico è mostrato in Figura 6.

Figura 6: Grafico della retta y = −3x+ 2.

-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10

-15

-10

-5

5

10

15

6

3 La parabola nel piano cartesiano

Nel piano cartesiano si ottiene il grafico di una parabola ogni volta che si deve rappresen-tare/descrivere una generica relazione di proporzionalità diretta quadratica. L’equazionecartesiana della parabola è associata, quindi, ad un polinomio di secondo grado.

Ci occuperemo in questa sezione di particolari categorie di parabole, ovvero di quellecon asse parallelo all’asse delle ordinate (y) e il cui polinomio associato sia scomponibilecon le attuali conoscenze algebriche.

L’equazione più generale di una parabola - dal punto di vista analitico - nel pianocartesiano sarà data, allora, in questo contesto da:

y = ax2 + bx+ c, (3.1)

con a, b e c ∈ R e a 6= 0. Tali condizioni saranno vere per tutta la presente sezione.È obbligatorio soffermarsi sulla funzione del parametro a ∈ R della (3.1). Tale

valore definisce la cosiddetta concavità della parabola, ovvero se la curva risulta rivoltagraficamente verso l’alto (nel caso di a > 0) o verso il basso (nel caso di a < 0). Osserviamoche per questa curva non può essere a = 0.

Nella Figura 7 possiamo vedere alcuni grafici qualitativi di parabole generiche delpiano cartesiano con queste caratteristiche.

Figura 7: Rappresentazione di due generiche parabole nel piano cartesiano:entrambe intersecano l’asse x, ed hanno concavità opposte.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

parabola generica deltipo: y=ax2+bx+c, con a>0

parabola generica deltipo: y=ax2+bx+c, con a<0

Analizzeremo in questa sezione le seguenti tipologie di parabole:

1. parabole con asse coincidente all’asse delle ordinate (y): y = ax2 + c, con a, c ∈ Re a 6= 0.

2. parabole con asse parallelo all’asse delle ordinate (y) del tipo: y = (ax+ k)2, cona, k ∈ R e a 6= 0.

7

3. parabole con asse parallelo all’asse delle ordinate (y) del tipo: y = ax2 + bx, cona, b ∈ R e a 6= 0.

4. parabole con asse parallelo all’asse delle ordinate (y) del tipo: y = ax2 + bx+ c,

con a, b, c ∈ R, a 6= 0 e con polinomio di secondo grado associato scomponibilemediante le formule del trinomio caratteristico.

3.1 Equazione cartesiana della parabola con asse coincidente al-l’asse y

Si ha l’equazione di una parabola con asse coincidente all’asse y sostituendo nella (3.1)b = 0, ottenendo quindi l’equazione cartesiana y = ax2 + c.

Iniziamo lo studio di questa particolare categoria di parabole ponendo anche c = 0,

ottenendo in questo caso semplicemente

y = ax2, (3.2)

in cui il valore a ∈ R stabilisce - come sempre - la concavità della parabola. Rias-sumiamo nella Figura 8 il caso di una parabola di questo tipo sia nel caso di a > 0

(concavità rivolta verso l’alto) e a < 0 (concavità rivolta verso il basso).

Figura 8: Rappresentazione di due generiche parabole nel piano cartesiano deltipo y = ax2, con a ∈ R e a 6= 0. Il grafico mostra l’andamento di taliparabole sia nel caso di a > 0 che a < 0.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=ax2 con a>0

y=ax2 con a<0

Nel caso, poi, di a > 0 forniamo nella Figura 9 le variazioni di concavità per valoricrescenti di a. Si nota come la parabola tenda a “schiacciarsi” verso il proprio asse disimmetria (che coincide per ipotesi all’asse y).

8

Figura 9: Rappresentazione grafica dell’effetto ottenuto su parabole del tipoy = ax2, con a > 0, sostituendo ad a valori sempre crescenti.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=ax2, con0<a<1

y=ax2, cona=1

y=ax2, cona>1

Sempre con asse parallelo all’asse delle ordinate (y), se c 6= 0 si ottengono - comeanticipato - le parabole del tipo:

y = ax2 + c, (3.3)

in cui c rappresenta un numero reale, questa volta non necessariamente nullo. Comenel caso di equazione esplicita della retta, in cui il parametro q rappresentava il valoredell’intersezione con l’asse y, così, in questo caso, tale ruolo è assolto dal parametro c.

Per equazioni di parabole del tipo descritto nella (3.3) il parametro c ∈ R indica il valoredell’intersezione con l’asse y e rappresenta il punto appartenente alla parabola di minorordinata possibile se la concavità della parabola è rivolta verso l’alto, o il punto di maggiorordinata possibile se la concavità della parabola è rivolta verso il basso1 (naturalmentequeste osservazioni valgono anche nel caso c = 0, per cui si avranno - in quel caso - lecoordinate di tale punto pari a (0, 0)).

L’effetto grafico, quindi, ottenuto passando dalla 3.2 alla 3.3, sommando un c ∈ R, èquello di produrre una traslazione verticale della parabola lungo l’asse delle ordinate (y).

Riassumiamo nella Figura 10 il grafico di due tipi di queste parabole: con a > 0 ec > 0, con a < 0 e c < 0.

Riassumiamo nella Figura 11 il grafico di due tipi di queste parabole: con a > 0 ec < 0, con a < 0 e c > 0.

1In termini funzionali, un punto appartenente ad una parabola con tali caratteristiche prende il nomedi vertice della parabola.

9

Figura 10: Rappresentazione di due generiche parabole nel piano cartesiano cona > 0 e c > 0, con a < 0 e c < 0.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=ax2 + c

con a>0 e c>0

y=ax2 + c

con a<0 e c<0

Figura 11: Rappresentazione di due generiche parabole nel piano cartesiano cona > 0 e c < 0, con a < 0 e c > 0.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=ax2 + c

con a>0 e c<0

y=ax2 + c

con a<0 e c>0

3.2 Equazione cartesiana della parabola con asse parallelo all’assedelle ordinate

Ci occuperemo in questa sezione di una seconda categoria di parabole: quelle con asseparallelo (non più coincidente!) all’asse y.

3.2.1 Equazione cartesiana di parabole del tipo: y = (ax+ k)2

Sotto questa categoria di parabole rientrano tutte quelle che sono descritte da polinomi disecondo grado coincidenti a sviluppi di quadrati di binomio, ovvero che è sempre possibile

10

mettere nella forma

y = (ax+ k)2, (3.4)

con a e k ∈ R.Assodato, poi, il fatto che y = (ax + k)2 ≥ 0, possiamo dire che il corrispondente

grafico cartesiano si svilupperà nella parte positiva delle ordinate (y).Calcolato, infine, il valore di x tale che y = 0, si ha che:

0 = (ax+ k)2 ⇐⇒ 0 = ax+ k ⇐⇒ x = −k

a.

con il quale siamo in grado di fornire - per questa particolare categoria di parabole -

le coordinate precise del vertice, che in questo caso sarà: V(−k

a, 0

).

Riassumiamo nella Figura 12 il grafico di due tipi di queste parabole: con a > 0 ek > 0, con a > 0 e k < 0.

Figura 12: Rappresentazione di due generiche parabole del tipo y = (ax+ k)2nelpiano cartesiano con a > 0 e k > 0, con a > 0 e k < 0.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

Grafico di una generica parabola del tipo y=(ax+k)2, con a>0 e k<0

Grafico di una generica parabola del tipo y=(ax+k)2, con a,k>0

Osservazione 4 Per parabole rappresentate da equazioni del tipo (3.4) non si avrannovariazioni di concavità anche nel caso in cui a < 0.

Osservazione 5 Per ottenere variazioni di concavità nelle parabole rappresentate daequazioni del tipo (3.4) bisognerà che sia:

y = −(ax+ k)2.

Otterremo, allora, delle situazioni grafiche paragonabili alla Figura 13.

11

Figura 13: Rappresentazione di una generica parabola del tipo y = −(ax+ k)2

nel piano cartesiano con a, k ∈ R.

-4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6

-3,2

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

3.2.2 Equazione cartesiana di parabole del tipo y = ax2 + bx

Tale equazione si ottiene dalla (3.1) ponendo c = 0. Il polinomio associato di secondogrado diventa allora del tipo ax2 + bx, con a e b ∈ R, che equivale - dopo opportuna

scomposizione a: x · (ax+ b) . L’equazione cartesiana della parabola si trasforma allorain:

y = ax2 + bx⇐⇒ y = x · (ax+ b) . (3.5)

Nella (3.5) notiamo che per i valori x = 0 e x = − b

asi ottiene indifferentemente

y = 0. È chiaro, quindi, che la parabola taglierà l’asse delle ascisse (x) in corrispondenzadi tali valori; sarà infine la natura di a ∈ R a stabilirne la relativa concavità.

Riassumiamo nella Figura 14 il grafico di due tipi di queste parabole: con a > 0 eb < 0, con a < 0 e b > 0.

Riassumiamo nella Figura 15 il grafico di due tipi di queste parabole: con a > 0 eb > 0, con a < 0 e b < 0.

Osservazione 6 Parabole individuate da equazioni del tipo (3.5) avranno sempre unpassaggio obbligato per l’origine cartesiana degli assi O(0, 0).

Osservazione 7 Tralasciamo per questa categoria di parabole il calcolo esatto delle coor-dinate del vertice. Ci accontenteremo per il momento di darne un grafico cartesianoqualitativo.

12

Figura 14: Rappresentazione di due generiche parabole nel piano cartesiano cona > 0 e b < 0, con a < 0 e b > 0.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=ax2+bx

con a<0 e b>0

y=ax2+bx

con a>0 e b<0

Figura 15: Rappresentazione di due generiche parabole nel piano cartesiano cona > 0 e b > 0, con a < 0 e b < 0.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4 y=ax2+bx

con a>0 e b>0

con a<0 e b<0y=ax2+bx

3.2.3 Equazione cartesiana di parabole del tipo y = ax2+bx+c, con polinomioassociato scomponibile mediante le formule del trinomio caratteristico

Secondo le formule di scomposizione del trinomio caratteristico, per polinomi che ricadonoin questa casistica, è sempre possibile calcolare due polinomi di primo grado il cui prodottosia pari al trinomio di partenza. È chiaro, quindi, che esisteranno sempre due valoridi x che annulleranno alternativamente i polinomi di primo grado così calcolati. Comevisto nella Sezione 3.2.2 tali valori della x indicheranno sul piano cartesiano i punti diintersezione tra l’asse delle ascisse (x) e la parabola stessa.

Conviene a questo punto fornire il seguente

13

Esempio 4 Dare il grafico cartesiano qualitativo della parabola: y = 3x2 − 5x+ 2.

Svolgimento. Notiamo che il polinomio di secondo grado associato alla parabola è untrinomio caratteristico scomponibile in (3x− 2) · (x− 1) ; per cui

y = 3x2 − 5x+ 2⇐⇒ y = (3x− 2) · (x− 1)

Osserviamo infine che a > 0, infatti, 3 > 0, per cui la concavità della parabola saràrivolta verso l’alto. Per quanto concerne, invece, le intersezioni con l’asse x, (in questocaso, peraltro, sempre calcolabili) è sufficiente porre y = 0 ed ottenere:

y = 0⇐⇒ 0 = 3x2 − 5x+ 2⇐⇒ 0 = (3x− 2) · (x− 1) ,

ed applicando la legge di annullamento del prodotto2 si ottiene:

(3x− 2) = 0⇐⇒ x =2

3↗

0 = (3x− 2) · (x− 1) oppure↘

(x− 1) = 0⇐⇒ x = 1

È chiaro, quindi, che la parabola taglierà l’asse delle ascisse (x) nei punti A(2

3, 0

)e

B (1, 0) . Il grafico qualitativo risultante è dato in Figura 16.

Figura 16: Rappresentazione cartesiana della parabola y = 3x2 − 5x+ 2.

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

-0,5

0,5

1

1,5

2

2Tale legge afferma che: un prodotto si annulla se almeno uno dei suoi fattori è nullo.

14

Osservazione 8 Tralasciamo anche per questa categoria di parabole il calcolo esatto dellecoordinate del vertice. Ci accontenteremo per il momento di darne un grafico cartesianoqualitativo.

4 L’iperbole nel piano cartesiano

4.1 L’iperbole equilatera di equazione1

xe y =

1

axCi limiteremo a trattare in questa sezione solo il caso di iperboli equilatere riferite ai propriassi e alle relative traslazioni nel piano cartesiano partendo dalla più semplice equazionepossibile:

y =1

x(4.1)

Osserviamo immediatamente che tale equazione esprime il tipico rapporto di propor-zionalità inversa tra grandezze.

È altresì opportuno notare che il comportamento del polinomio associato alla 4.1 -ricadendo nelle ormai note frazioni algebriche - generi particolari condizioni di esistenzaper quanto riguarda la variabile x. Tutte le curve, infatti, sin qui introdotte hanno lacaratteristica comune di avere x ∈ R indifferentemente; in questo caso, invece, è obbligatorioporre x 6= 0 generando, quindi, nel piano cartesiano in corrispondenza di x = 0 (ovvero incorrispondenza dell’asse delle ordinate (y)), un asintoto verticale . Si dice, a tal proposito,che l’iperbole è una curva composta da due rami : uno si sviluppa a sinistra dell’asintotoverticale, uno a destra di esso.

Non è tutto: proviamo, ora, ad immaginare che la x a denominatore cresca indiscri-minatamente sempre di più dalla parte positiva dell’asse delle ascisse (x): cosa succedeall’intera frazione (1/x)? Se provassimo a fare una tabella numerica che rispettasse talecondizione, vedremmo che globalmente la frazione si avvicinerebbe allo 0, “da sopra”, senzamai annullarsi esattamente. La stessa cosa si verificherebbe, poi, se si considerasse la x

decrescere sempre di più dalla parte negativa dell’asse x, con comportamento analogorisultante, ma con segno negativo “da sotto”.

È possibile formalizzare questo comportamento con la seguente simbologia:

x→ +∞⇐⇒ y =1

x→ 0+

e, nel caso opposto:

x→ −∞⇐⇒ y =1

x→ 0−

15

Queste due considerazioni, che valgono contemporaneamente per la curva, fannosì che anche l’asse delle ascisse (x) sia un asintoto orizzontale per essa. Tutti questicomportamenti sono descritti nella Figura 17.

Figura 17: Rappresentazione cartesiana dell’iperbole equilatera y =1

x.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=1/x

La prima generalizzazione possibile partendo dalla 4.1 è la seguente:

y =1

ax(4.2)

con a ∈ R e a 6= 0. Si noti che le corrispondenti C.E. rimangono inalterate dalla 4.1.Conviene mostrare subito in Figura 18 gli effetti sul grafico cartesiano quando a varia inR. Considereremo per li momento solo a > 0.

4.1.1 Iperbole equilatera traslata orizzontalmente

Considerare un’equazione cartesiana del tipo:

y =1

ax+ c(4.3)

con a, c ∈ R e a > 0, significa traslare orizzontalmente lungo l’asse x iperboli del tipodescritte dalla 4.1 e 4.2. L’equazione del proprio asintoto verticale - essendo data dalle C.E.del rispettivo denominatore - passerà dalla condizione x 6= 0 delle precedenti equazionicartesiane alla condizione:

ax+ c 6= 0⇐⇒ x 6= − c

a

16

Figura 18: Rappresentazione cartesiana di iperboli equilatere del tipo y =1

ax,

con a > 0.

-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10

-5

-2,5

2,5

5

y=1/(ax),con a=4

y=1/(ax),con a=2

y=1/x,ovvero con a=1

y=1/(ax),con a=1/4

y=1/(ax),con a=1/2

L’asintoto verticale corrispondente avrà, pertanto, equazione cartesiana: x = − c

a. Re-

sta, infine, invariata l’equazione dell’asintoto orizzontale che continua ad essere coincidentecon l’asse delle ascisse (x): y = 0.

Riassumiamo in Figura 19 alcuni grafici di iperboli traslate lungo l’asse delle ascisse(x.)

Figura 19: Rappresentazione cartesiana di iperboli equilatere del tipo y =1

ax+ c,

con a, c ∈ R e a > 0.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=1/x

y=1/(x+c),con c positivo

y=1/(x+c),con c negativo

17

4.1.2 Iperbole equilatera traslata verticalmente

Considerare equazioni cartesiane del tipo:

y =1

ax+ k (4.4)

con a, k ∈ R e a > 0, significa traslare verticalmente lungo l’asse y iperboli del tipodescritte dalla 4.1 e 4.2. Ciò che in questa categoria di iperboli equilatere sarà variato,rispetto alle precedenti introdotte, è l’equazione del proprio asintoto orizzontale che passerà

dalla condizione y = 0 delle precedenti equazioni cartesiane alla condizione y =b

a.

Possiamo mettere in evidenza questa caratteristica percorrendo i seguenti calcoli:

y =1

ax+ k ⇐⇒ y =

1 + kax

ax⇐⇒ y =

bx+ 1

ax,

avendo posto ka = b ∈ R.Un’iperbole equilatera traslata lungo l’asse y si presenterà, allora, nella forma:

y =bx+ 1

ax(4.5)

con a, b ∈ R e a > 0, b > 0.

In geometria analitica, come poco sopra intravisto, si può parlare di asintoto orizzontalese la x può crescere o decrescere indiscriminatamente lungo l’asse delle ascisse (x), e sela funzione tende a stabilizzarsi “vicino” ad un valore fisso, costante, ovvero in terminimatematici:

x→ +∞⇐⇒ y = f(x) ≈ h

e, nel caso opposto:

x→ −∞⇐⇒ y = f(x) ≈ h,

con h ∈ R.Se fattorizziamo, ora, la (4.5) nel seguente modo, si ha:

y =bx+ 1

ax⇐⇒ y =

bx

(1 +

1

bx

)ax

⇐⇒ y =

b ·�x(1 +

1

bx

)a ·�x

⇐⇒ y =b

a, (4.6)

sotto la condizione che x→ +∞, o x→ −∞.

Osservazione 9 Particolare interesse suscita il fattore (1/bx) nelle parentesi della (4.6)sotto le condizioni x→ +∞, o x→ −∞. Tale termine tende, infatti, a 0 se la x→ ±∞,

per diventare, da un certo x ∈ R in poi, del tutto trascurabile ai fini dell’operazione.

18

L’asintoto orizzontale corrispondente avrà, pertanto, equazione cartesiana pari al

rapporto dei coefficienti della variabile x: y =b

a, essendo le x a numeratore e denominatore

di pari grado e semplificabili.Resta, infine, invariata l’equazione dell’asintoto verticale che continua ad essere

coincidente con l’asse delle ordinate (y): x = 0.Riassumiamo in Figura 20 alcuni grafici di iperboli traslate lungo l’asse delle ordinate

(y.)

Figura 20: Rappresentazione cartesiana di iperboli equilatere del tipo y =1

ax+k,

con a, k ∈ R e a > 0.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=(1/x)+c, con c<0

y=1/x

y=(1/x)+c, con c>0

4.2 La curva omografica

Definiamo curva omografica un’iperbole equilatera del tipo considerato in questa sezione echa ha subìto sia una traslazione verticale lungo l’asse delle ordinate (y) che una traslazioneorizzontale lungo l’asse delle ascisse (x).

Partendo, quindi, da un’equazione cartesiana del tipo

y =1

ax+ c+ k,

con a, c, k ∈ R che esprime matematicamente proprio queste traslazioni geometriche,ed operando noti passaggi algebrici, arriviamo alla forma di una curva omografica:

y =1

ax+ c+ k ⇐⇒ y =

1 + kax+ kc

ax+ c⇐⇒ y =

kax+ (kc+ 1)

ax+ c⇐⇒ y =

bx+ d

ax+ c,

19

avendo posto ka = b ∈ R e kc+1 = d ∈ R. Una curva omografica si presenta, dunque,nella forma:

y =bx+ d

ax+ c(4.7)

Per curve di questo genere gli asintoti hanno equazioni cartesiane pari a: y =b

a

(asintoto orizzontale) e x = − c

a(asintoto verticale). Riassumiamo in Figura 21 un

esempio di curva omografica.

Figura 21: Rappresentazione cartesiana di una curva omografica del tipo y =bx+ d

ax+ c, con a, b, c, d ∈ R e a, b > 0.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4 curva omografica

y=(bx+d)/(ax+c)

y=b/a

x=-c/a

Terminiamo la sezione relativa all’iperbole equilatera fornendo nella Tabella 1 unsunto completo delle possibili equazioni cartesiane, dei relativi asintoti e delle traslazioniimpiegate. Si intendono a, b, c, d ∈ R, a > 0 e b > 0.

Osservazione 10 In tutte le equazioni presenti nella sezione dedicata all’iperbole, puòessere sostituito ogni numeratore pari a 1 con una qualsiasi altra costante reale positivadiversa da 1 senza alterare nel concetto alcunché.

20

Tabella 1: Tabella riassuntiva - Iperbole equilatera nel piano cartesiano.

equazione carte-siana

equazione asinto-to verticale

equazione asinto-to orizzontale

Iperbole equilate-ra

y =1

axx = 0 y = 0

Iperbole equilate-ra traslata lungol’asse x

y =1

ax+ cx = − c

ay = 0

Iperbole equilate-ra traslata lungol’asse y

y =bx+ 1

axx = 0

y =b

a

Curva omograficay =

bx+ d

ax+ cx = − c

a y =b

a

5 La funzione cubica nel piano cartesiano

5.1 La funzione cubica del tipo y = x3

La funzione cubica nel piano cartesiano è associata ad un polinomio di terzo grado. Iniziamolo studio di tale funzione partendo dalla curva di equazione:

y = x3 (5.1)

e alle sue relative traslazioni nel piano cartesiano.L’equazione cartesiana (5.1) si traduce nel piano cartesiano con il grafico mostrato

in Figura 22. Tale curva interseca l’asse delle ascisse (x) in corrispondenza di 0, per unvalore nell’asse delle ordinate (y) pure pari a 0. Si può dire, allora, che il punto O(0, 0) siaradice (tripla) di y = x3.

Seguendo, a questo punto, il procedimento adottato per le altre equazioni cartesianeprecedentemente introdotte, vediamo come si trasforma l’equazione (5.1) nel caso ditraslazioni verticali od orizzontali.

21

Figura 22: Rappresentazione cartesiana di una curva del tipo y = x3.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

5.1.1 Traslazioni orizzontali della funzione cubica

Per effettuare traslazioni orizzontali della funzione cubica (5.1) sul piano cartesiano di uncerto valore a ∈ R è sufficiente porre:

y = (x+ a)3 (5.2)

con a ∈ R. Nel caso in cui a ∈ R sia negativo si avranno delle traslazioni orizzontaliverso destra; nel caso in cui a ∈ R sia positivo si avranno delle traslazioni orizzontali versosinistra; se - infine - a = 0, si riotterrà l’equazione cartesiana (5.1).

5.1.2 Traslazioni verticali della funzione cubica

Per effettuare traslazioni verticali della funzione cubica (5.1) sul piano cartesiano di uncerto valore b ∈ R è sufficiente porre:

y = x3 + b (5.3)

con b ∈ R. Nel caso in cui b ∈ R sia negativo si avranno delle traslazioni verticaliverso il basso; nel caso in cui b ∈ R sia positivo si avranno delle traslazioni verticali versol’alto; se - infine - b = 0, si riotterrà l’equazione cartesiana (5.1).

Dalle sottosezioni 5.1.1 e 5.1.2 è chiaro che - nel caso si voglia far compiere all’equa-zione cartesiana (5.1) sia una traslazione orizzontale (di un certo a ∈ R) che una traslazioneverticale (di un certo b ∈ R) contemporaneamente - si avrà un’equazione cartesiana deltipo:

y = (x+ a)3 + b (5.4)

22

con a, b ∈ R.

Figura 23: Rappresentazione cartesiana di una curva del tipo y = x3 e delle suepossibili traslazioni nel piano cartesiano.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=(x+a)3+bcon a<0 e b=0

y=(x+a)3+bcon a<0 e b>0

y=(x+a)3+bcon a=0 e b<0

y=(x+a)3+bcon a=0 e b=0

y=(x+a)3+bcon a=0 e b>0

y=(x+a)3+bcon a>0 e b=0

y=(x+a)3+bcon a>0 e b<0

5.2 La funzione cubica del tipo y = ax3+bx2+cx+d con polinomioassociato interamente scomponibile in R

Un’altra tipologia di funzioni cubiche di notevole importanza è quelle associate a polinomidi terzo grado completi, ovvero ad equazioni cartesiane del tipo

y = ax3 + bx2 + cx+ d (5.5)

con a, b, c, d ∈ R.Per ragioni di semplicità ci soffermeremo solo su quelle che hanno il polinomio associato

interamente scomponibile in R, ed il coefficiente a > 0.

Ricordando ancora una volta che le radici di un polinomio rappresentano - nel pianocartesiano - i punti di intersezione con l’asse delle ascisse (x), possiamo dire, allora, che lecubiche di questa specie attraverseranno per tre volte l’asse x. Il grafico relativo risulta,però, modificato rispetto a quelli proposti nella Figura 23. Vediamo con un esempio talicambiamenti.

Esempio 5 In un riferimento di assi cartesiani ortogonali dare il grafico qualitativo dellafunzione y = x3 − 2x2 − x+ 2.

Svolgimento. Nell’esempio proposto è chiaro che si sono scelti a = 1, b = −2,c = −2, e d = +2. Scomponendo il polinomio associato prima con la Regola di Ruffini, e

23

poi con il riconoscimento di un prodotto notevole, si ottiene la seguente fattorizzazione:(x− 2)(x+ 1)(x− 1). Possiamo allora dire che:

y = x3 − 2x2 − x+ 2⇐⇒ y = (x− 2)(x+ 1)(x− 1).

È chiaro che la curva rappresentata è la medesima, ma nell’ultima forma abbiamoevidenziato i cosiddetti zeri della funzione, ovvero le ascisse dei punti di intersezione trala funzione e l’asse x.

Il grafico qualitativo, allora, per curve di questo genere è dato in Figura 24

Figura 24: Rappresentazione cartesiana della curva y = x3 − 2x2 − x+ 2.

-4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

B

A

Osservazione 11 Rinunciamo - in questo caso - alle coordinate dei punti A e B, cheappartengono alla curva studiata, lasciando a livello qualitativo la sua rappresentazione.

6 La funzione valore assoluto nel piano cartesiano

Prima di descrivere il comportamento di tale funzione nel piano cartesiano, ricordiamo ladefinizione di valore assoluto da un punto di vista squisitamente algebrico:

Definizione 2 Per ogni x ∈ R poniamo

|x| :={

x se x ≥ 0,

−x se x < 0.

Il numero reale positivo |x| si chiama valore assoluto o modulo di x.

24

6.1 La funzione valore assoluto

Quale può essere, allora, alla luce di questa definizione, il grafico della funzione y = |x|?Seguendo sempre la precedente definizione possiamo scrivere che:

y = x se x ≥ 0.

↗y = |x|

↘y = −x se x < 0.

(6.1)

Questo modo di procedere è anche noto come studio del segno dell’argomento delmodulo, ovvero quel metodo che permette - con strategie algebriche particolari - di capireper quali valori x ∈ R tale argomento risulta positivo (per cui il segno di modulo èsuperfluo), oppure negativo (per cui si rende necessario il cambio di segno all’internodell’argomento stesso per mantenerne la positività indipendentemente dal segno di modulo).

La funzione che abbiamo definito in (6.1) è dunque costituita da due rette: la bisettricedel I - III quadrante per le x ≥ 0 e dalla bisettrice del II - IV quadrante per le x < 0. Unafunzione con tali caratteristiche costitutive, e cioè definita con particolari equazioni incorrispondenza di particolari valori di x ∈ R, si chiama funzione definita a tratti.

Il grafico risultante sarà allora quello dato in Figura 25

Figura 25: Rappresentazione cartesiana della funzione y = |x| (in nero) e dellafunzioney = −|x| (in rosso). Sono altresì individuabili le bisettrici deiquadranti sopra menzionate.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=-|x|

y=|x|

Nel punto di coordinate O(0, 0) si ha quel che si definisce punto angoloso, ovvero unpunto in cui la funzione crea un angolo.

25

6.1.1 Traslazioni orizzontali della funzione valore assoluto

Come già visto in precedenza, per ottenere traslazioni orizzontali di una funzione, bisognaintervenire algebricamente sul suo argomento, aggiungendo un certo k ∈ R. Si avrà alloraanche in questo caso che, per traslare orizzontalmente la funzione valore assoluto si dovràscrivere:

y = |x+ k|, (6.2)

con k ∈ R. Come sempre, se k > 0 si avranno traslazioni orizzontali verso sinistradella funzione, se k < 0, traslazioni orizzontali verso destra, nel modo riassunto dallaFigura 26

Figura 26: Esempi di traslazioni orizzontali della funzione y = |x| mediante valoriarbitrari b, c ∈ R sia positivi che negativi.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=|x-c|

y=|x|

y=|x+b|

6.1.2 Traslazioni verticali della funzione valore assoluto

Per effettuare traslazioni verticali di una funzione si è visto che è necessario aggiungereun certo valore c ∈ R all’argomento della funzione, senza modificare l’argomento stesso.Anche in questo caso sarà allora:

y = |x|+ c, (6.3)

con c ∈ R. Come sempre, se c > 0 si avranno traslazioni verticali verso l’alto dellafunzione, se c < 0, traslazioni verticali verso il basso, nel modo riassunto dalla Figura 27

26

Figura 27: Esempi di traslazioni verticali della funzione y = |x| mediante valoriarbitrari c ∈ R sia positivi che negativi.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=|x|-c

y=|x|+c

y=|x|

6.1.3 Traslazioni generiche della funzione valore assoluto nel piano cartesiano

Per poter traslare, infine, una funzione in modo generale bisognerà applicare sia unatraslazione orizzontale che una verticale. Anche per la funzione valore assoluto si dovràarrivare ad una equazione cartesiana del tipo:

y = |x+ k|+ c, (6.4)

La Figura 28 fornisce l’esempio di traslazioni di questo tipo per le funzioni valoreassoluto di equazione cartesiana y = |x+ 2| − 1 e y = |x− 2|+ 1.

Figura 28: Esempi di traslazioni generiche della funzione y = |x| mediante i valorik = ±2 e c = ±1.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=-|x-2|+1

y=|x+2|-1

27

7 Principali trasformazioni e simmetrie per una generi-ca funzione nel piano cartesiano

Ci occuperemo in questa sezione di alcune trasformazioni e delle deduzioni necessarieriguardanti i grafici di generiche funzioni nel piano cartesiano, e delle relative modifichealle loro rappresentazioni mediante:

1. aggiunta di moduli;

2. sostituzioni del tipo:

(a) y = f(x) 7→ y = f(−x),

(b) y = f(x) 7→ y = −f(x),

(c) y = f(x) 7→ y = −f(−x).

Vediamo come si trasforma il corrispondente grafico cartesiano nelle seguenti situazionie come si possa dedurre dal grafico (noto) di una generica y = f(x) a valori reali.

7.1 Dal grafico di y = f(x) al grafico di y = f(−x)Dato il grafico di una generica funzione y = f(x) a valori reali, il grafico della corrispondentefunzione (sempre a valori reali) y = f(−x) coincide con una ben precisa trasformazionegeometrica applicata al primo grafico: una simmetria assiale rispetto all’asse delle ordinate(y).

Partendo dal grafico di una generica funzione a valori reali y = f(x), dato in Figura29 (in nero), diamo - nella medesima sede - anche il grafico risultante ottenuto scambiandole x con le −x (in rosso).

7.2 Dal grafico di y = f(x) al grafico di y = −f(x)Dato il grafico di una generica funzione y = f(x) a valori reali, il grafico della corrispondentefunzione (sempre a valori reali) y = −f(x) coincide con una ben precisa trasformazionegeometrica applicata al primo grafico: una simmetria assiale rispetto all’asse delle ascisse(x).

Partendo dal grafico di una generica funzione a valori reali y = f(x), dato in Figura30 (in nero), diamo - nella medesima sede - anche il grafico risultante ottenuto scambiandoil segno alle f(x) (in blu).

28

Figura 29: Grafico di una generica funzione nel piano cartesiano y = f(x) (innero) e della sua corrispondente y = f(−x) (in rosso).

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=f(-x)

y=f(x)

Figura 30: Grafico di una generica funzione nel piano cartesiano y = f(x) (innero) e della sua corrispondente y = −f(x) (in blu).

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=-f(x)

y=f(x)

7.3 Dal grafico di y = f(x) al grafico di y = −f(−x)Dato il grafico di una generica funzione y = f(x) a valori reali, il grafico della corrispondentefunzione (sempre a valori reali) y = −f(−x) coincide con una ben precisa trasformazionegeometrica applicata al primo grafico: come già osservato in precedenza, una scrittura diquesto tipo impone al grafico originale della funzione di subire sia una simmetria assialesecondo l’asse delle ordinate (y) che una simmetria secondo l’asse della ascisse (y); unacomposizione di tali simmetrie ne genera una terza altrettanto precisa ed identificabile:una simmetria puntuale rispetto all’origine degli assi coordinati.

Partendo dal grafico di una generica funzione a valori reali y = f(x), dato in Figura

29

31 (in nero), diamo - nella medesima sede - anche il grafico risultante ottenuto ponendoy = −f(−x) (in verde).

Figura 31: Grafico di una generica funzione nel piano cartesiano y = f(x) (innero) e della sua corrispondente y = −f(−x) (in verde).

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=-f(-x)

y=f(x)

Osservazione 12 Nei casi di passaggio da

(a) y = f(x) 7→ y = f(−x),

(b) y = f(x) 7→ y = −f(x),

(c) y = f(x) 7→ y = −f(−x)

otteniamo sempre, alla fine, una funzione a valori reali, cioè - in questi casi - partendo dauna funzione si deduce sempre un’altra funzione. Cfr Definizione 6.1.

Osservazione 13 Vi sono grafici di funzioni a valori reali che - grazie a particolarirelazioni algebriche presenti all’interno della loro corrispondente equazione cartesiana -presentano già alcuni tipi di simmetrie. Volendo - in questa sede - rimanere all’internodella tipologia “funzione” tratteremo i casi di simmetria assiale lungo l’asse y e di simmetriacentrale secondo l’origine degli assi O(0, 0). Diamo, allora, le seguenti definizioni:

Definizione 3 Una funzione generica del piano cartesiano, a valori reali, che goda diuna simmetria assiale secondo l’asse y si definisce funzione pari. Per riconoscere se unagenerica funzione del piano cartesiano a valori reali è pari, la corrispondente equazionecartesiana associata deve soddisfare la relazione:

y = f(x)⇐⇒ y = f(−x).

30

Definizione 4 Una funzione generica del piano cartesiano, a valori reali, che goda diuna simmetria centrale secondo l’origine degli assi O(0, 0). si definisce funzione dispari.Per riconoscere se una generica funzione del piano cartesiano a valori reali è dispari, lacorrispondente equazione cartesiana associata deve soddisfare la relazione:

y = f(x)⇐⇒ y = −f(−x).

Esempio 6 La funzione y = ax2 + c, con a, c ∈ R e con a 6= 0 che rappresenta unagenerica parabola del piano cartesiano eventualmente traslata verticalmente è una funzionepari. Cfr. Figura 11.

Esempio 7 La funzione y = ax3, con a,∈ R e con a > 0 che rappresenta la cubicapassante per l’origine degli assi O(0, 0) del piano cartesiano è una funzione dispari. Cfr.Figura 22.

7.4 Dal grafico di y = f(x) al grafico di y = |f(x)|Considereremo nel seguito la funzione generica del piano cartesiano y = f(x), a valorireali, mostrata in Figura 32 e ne tracceremo i grafici qualitativi trasformati secondo lemodalità sopra esposte. Dal grafico evinciamo senz’altro che Domf(x) = R.

Figura 32: Grafico di una generica funzione nel piano cartesiano y = f(x).

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=f(x)

Deduciamo, ora, dal grafico precedente di y = f(x) quello di y = |f(x)|.Partendo dalla (6.1), e ricordando la funzione analitica ad essa associata, possiamo

dire che y = |f(x)| ≥ 0. Se è quindi dato il grafico di una generica funzione y = f(x) nelpiano cartesiano, per ottenere il suo corrispondente y = |f(x)| è necessario individuarele (eventuali) parti negative della funzione, ovvero quelle che hanno ordinata negativa (eche, pertanto, si trovano sotto l’asse delle ascisse (x)) e simmetrizzarle sopra lo stesso asse,

31

rendendole, così, ad ordinata positiva. Partendo dalla Figura 32, che rappresenta unagenerica y = f(x), si arriva al grafico della funzione y = |f(x)| mostrata in Figura 33.Notiamo che anche y = |f(x)| è ancora una funzione.

Figura 33: Grafico della funzione y = |f(x)|.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

y=|f(x)|

7.5 Dal grafico di y = f(x) al grafico di |y| = f(x)

Trattando il modulo nell’equazione |y| = f(x) come fatto nella definizione (6.1) possiamoscrivere:

y = f(x) se y ≥ 0.

↗|y| = f(x)

↘−y = f(x) ⇐⇒ y = −f(x) se y < 0.

(7.1)

Da ciò si deduce, quindi, che andranno “uniti” i grafici delle funzioni sopra riportatenelle zone indicate. La prima condizione di grafico, ovvero y = f(x) se y ≥ 0 corrispondeall’eliminazione della parte di funzione (di equazione cartesiana corrispondente) che sisviluppa al di sotto dell’asse dello ascisse (x), ovvero quella con ordinata negativa; mentrela seconda condizione di grafico, ovvero −y = f(x)⇐⇒ y = −f(x) se y < 0 corrispondeall’eliminazione della parte di funzione (di equazione cartesiana corrispondente) che sisviluppa al di sopra dell’asse dello ascisse (x), ovvero quella con ordinata positiva.

Ricordiamo che il grafico della funzione y = −f(x) corrisponde alla simmetria assialecon asse coincidente a quello delle ascisse (x) dello stesso grafico della funzione y = f(x).

Il grafico risultante, quindi, della funzione |y| = f(x) sarà desunto sia da quello diy = f(x) che da quello di y = −f(x) nelle zone ad ordinata - rispettivamente - positiva enegativa. In Figura 34 è riportato il grafico finale della funzione |y| = f(x).

32

Figura 34: Grafico della relazione |y| = f(x).

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

|y|=f(x)

In questo caso si nota, invece, che - a differenza di quanto osservato in precedenza -che il grafico non è più quello di una funzione (cfr. Definizione 1).

7.6 Dal grafico di y = f(x) al grafico di |y| = |f(x)|Applicando per due volte la Definizione 6.1 alla scrittura |y| = |f(x)| otteniamo ilseguente schema:

y = f(x) se x ≥ 0

↗y = |f(x)| se y ≥ 0

↗ ↘y = −f(x) se x < 0

|y| = |f(x)|−y = f(x) se x ≥ 0

↘ ↗−y = |f(x)| se y < 0

↘−y = −f(x) se x < 0

(7.2)

Assodato poi che valgono, dalle (7.2) le seguenti equivalenze logiche:

y = f(x)⇐⇒ −y = −f(x),

valevole per ogni x ∈ R e

33

y = −f(x)⇐⇒ −y = f(x),

valevole, anch’essa, per ogni x ∈ R, il grafico cartesiano corrispondente a |y| = |f(x)|si ricaverà dalla sovrapposizione dei due grafici y = f(x) e y = −f(x) sul medesimo pianocartesiano. La Figura 35 ne fornisce il risultato finale.

Figura 35: Grafico della relazione |y| = |f(x)|.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

|y|=|f(x)|

Osservazione 14 Anche in questo caso non si può affermare che |y| = |f(x)| sia unafunzione. Cfr. Definizione 1.

7.7 Dal grafico di y = f(x) al grafico di y =1

f(x)

Osservazione 15 Tralasciamo in questa sezione la trattazione di grafici di funzioni inversedesunti dai corrispondenti grafici di funzioni costanti del tipo y = k, con k ∈ R.

Per dedurre il grafico della funzione y =1

f(x)partendo da quello noto di una generica

funzione (non costante!) a valori reali y = f(x) nel piano cartesiano, si deve tenerepresente che quello dovrà seguire (funzionalmente parlando) gli esatti comportamentiopposti rispetto a quest’ultimo.

Un punto fondamentale di questa deduzione riguarda le eventuali C.E. di y =1

f(x).

Se il grafico, infatti, della corrispondente y = f(x) ammette intersezioni con l’asse delleascisse (x), ovvero è possibile annullare l’equazione analitica ad essa associata, significherà

che tali valori non potranno in alcun modo essere assunti dalla y =1

f(x); sappiamo,

infatti, che la scrittura1

0è in ogni contesto scientifico priva di alcun significato, e pertanto

andranno imposte delle limitazioni sul dominio della nuova funzione. Stiamo imponendo

34

un C.E.! In questi casi, soprattutto riguardo alle funzioni polinomiali, in corrispondenzadi tali valori si creeranno degli asintoti verticali.

Seguendo questo modo di ragionare, allora, in prossimità dei punti che annullanol’equazione cartesiana associata di y = f(x) e che generano - in corrispondenza - nel grafico

di y =1

f(x)degli asintoti verticali - si avrà, schematizzato in linguaggio matematico, la

seguente situazione:

f(x)→ 0+ ⇐⇒ 1

f(x)→ +∞

e, analogamente,

f(x)→ 0− ⇐⇒ 1

f(x)→ −∞

D’altro canto si ha

f(x)→ +∞⇐⇒ 1

f(x)→ 0+

e, analogamente,

f(x)→ −∞⇐⇒ 1

f(x)→ 0−.

Infine ricordiamo che

f(x) = +1⇐⇒ 1

f(x)= +1

e, analogamente,

f(x) = −1⇐⇒ 1

f(x)= −1.

Riportiamo il grafico di y =1

f(x)in Figura 36 desunto da quello di y = f(x) fornito

in Figura 32

Osservazione 16 Omettiamo, come in altri casi già affrontati, il calcolo delle coordinate

dei punto A e B segnati nel grafico di y =1

f(x)riportato in Figura 36 lasciandolo, anche

per questa volta, ad un livello qualitativo.

35

Figura 36: Grafico della funzione y =1

f(x)desunto dal precedente grafico di

y = f(x). Cfr. Figura 32.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4

-1,6

-0,8

0,8

1,6

2,4

B

A

Indice

1 Preliminari 1

2 La retta nel piano cartesiano 2

3 La parabola nel piano cartesiano 73.1 Equazione cartesiana della parabola con asse coincidente all’asse y . . . . . 83.2 Equazione cartesiana della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate 10

3.2.1 Equazione cartesiana di parabole del tipo: y = (ax+ k)2 . . . . . . 103.2.2 Equazione cartesiana di parabole del tipo y = ax2 + bx . . . . . . . 123.2.3 Equazione cartesiana di parabole del tipo y = ax2 + bx + c, con

polinomio associato scomponibile mediante le formule del trinomiocaratteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 L’iperbole nel piano cartesiano 15

4.1 L’iperbole equilatera di equazione1

xe y =

1

ax. . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1.1 Iperbole equilatera traslata orizzontalmente . . . . . . . . . . . . . 164.1.2 Iperbole equilatera traslata verticalmente . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 La curva omografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 La funzione cubica nel piano cartesiano 215.1 La funzione cubica del tipo y = x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.1 Traslazioni orizzontali della funzione cubica . . . . . . . . . . . . . 22

36

5.1.2 Traslazioni verticali della funzione cubica . . . . . . . . . . . . . . . 225.2 La funzione cubica del tipo y = ax3 + bx2 + cx+ d con polinomio associato

interamente scomponibile in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 La funzione valore assoluto nel piano cartesiano 246.1 La funzione valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.1.1 Traslazioni orizzontali della funzione valore assoluto . . . . . . . . . 266.1.2 Traslazioni verticali della funzione valore assoluto . . . . . . . . . . 266.1.3 Traslazioni generiche della funzione valore assoluto nel piano cartesiano 27

7 Principali trasformazioni e simmetrie per una generica funzione nelpiano cartesiano 287.1 Dal grafico di y = f(x) al grafico di y = f(−x) . . . . . . . . . . . . . . . . 287.2 Dal grafico di y = f(x) al grafico di y = −f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 287.3 Dal grafico di y = f(x) al grafico di y = −f(−x) . . . . . . . . . . . . . . . 297.4 Dal grafico di y = f(x) al grafico di y = |f(x)| . . . . . . . . . . . . . . . . 317.5 Dal grafico di y = f(x) al grafico di |y| = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 327.6 Dal grafico di y = f(x) al grafico di |y| = |f(x)| . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.7 Dal grafico di y = f(x) al grafico di y =1

f(x). . . . . . . . . . . . . . . . 34

Elenco delle figure

1 Grafico della funzione y = 3x2 − 2 nel piano cartesiano. È ad essa associata una parabola. 22 Esempio di grafico spazio - tempo per lo studio del moto rettilineo uniforme. Il grafico

coincide con quello di una retta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Rappresentazione della retta cartesiana 3x+ 4y − 5 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . 44 Rappresentazione delle rette nel piano cartesiano al variare dei loro coefficienti angolari.

(Immagine tratta da L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni Corso di Matematica I Ed.

ETAS - 1997). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Rappresentazione di due generiche rette nel piano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . 56 Grafico della retta y = −3x+ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Rappresentazione di due generiche parabole nel piano cartesiano: entrambe intersecano

l’asse x, ed hanno concavità opposte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Rappresentazione di due generiche parabole nel piano cartesiano del tipo y = ax2, con

a ∈ R e a 6= 0. Il grafico mostra l’andamento di tali parabole sia nel caso di a > 0 che a < 0. 89 Rappresentazione grafica dell’effetto ottenuto su parabole del tipo y = ax2, con a > 0,

sostituendo ad a valori sempre crescenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910 Rappresentazione di due generiche parabole nel piano cartesiano con a > 0 e c > 0, con

a < 0 e c < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

37

11 Rappresentazione di due generiche parabole nel piano cartesiano con a > 0 e c < 0, con

a < 0 e c > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012 Rappresentazione di due generiche parabole del tipo y = (ax+ k)2nel piano cartesiano

con a > 0 e k > 0, con a > 0 e k < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113 Rappresentazione di una generica parabola del tipo y = −(ax+ k)2 nel piano cartesiano

con a, k ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214 Rappresentazione di due generiche parabole nel piano cartesiano con a > 0 e b < 0, con

a < 0 e b > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315 Rappresentazione di due generiche parabole nel piano cartesiano con a > 0 e b > 0, con

a < 0 e b < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316 Rappresentazione cartesiana della parabola y = 3x2 − 5x+ 2. . . . . . . . . . . . . . 1417 Rappresentazione cartesiana dell’iperbole equilatera y =

1

x. . . . . . . . . . . . . . . 16

18 Rappresentazione cartesiana di iperboli equilatere del tipo y =1

ax, con a > 0. . . . . . 17

19 Rappresentazione cartesiana di iperboli equilatere del tipo y =1

ax+ c, con a, c ∈ R e

a > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1720 Rappresentazione cartesiana di iperboli equilatere del tipo y =

1

ax+ k, con a, k ∈ R e

a > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1921 Rappresentazione cartesiana di una curva omografica del tipo y =

bx+ d

ax+ c, con a, b, c, d ∈

R e a, b > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2022 Rappresentazione cartesiana di una curva del tipo y = x3. . . . . . . . . . . . . . . 2223 Rappresentazione cartesiana di una curva del tipo y = x3 e delle sue possibili traslazioni

nel piano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324 Rappresentazione cartesiana della curva y = x3 − 2x2 − x+ 2. . . . . . . . . . . . . 2425 Rappresentazione cartesiana della funzione y = |x| (in nero) e della funzioney = −|x| (in

rosso). Sono altresì individuabili le bisettrici dei quadranti sopra menzionate. . . . . . 2526 Esempi di traslazioni orizzontali della funzione y = |x| mediante valori arbitrari b, c ∈ R

sia positivi che negativi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627 Esempi di traslazioni verticali della funzione y = |x| mediante valori arbitrari c ∈ R sia

positivi che negativi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2728 Esempi di traslazioni generiche della funzione y = |x| mediante i valori k = ±2 e c = ±1. 2729 Grafico di una generica funzione nel piano cartesiano y = f(x) (in nero) e della sua

corrispondente y = f(−x) (in rosso). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2930 Grafico di una generica funzione nel piano cartesiano y = f(x) (in nero) e della sua

corrispondente y = −f(x) (in blu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2931 Grafico di una generica funzione nel piano cartesiano y = f(x) (in nero) e della sua

corrispondente y = −f(−x) (in verde). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3032 Grafico di una generica funzione nel piano cartesiano y = f(x). . . . . . . . . . . . . 3133 Grafico della funzione y = |f(x)|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3234 Grafico della relazione |y| = f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

38

35 Grafico della relazione |y| = |f(x)|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3436 Grafico della funzione y =

1

f(x). desunto dal precedente grafico di y = f(x). Cfr. Figura

32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Elenco delle tabelle

1 Tabella riassuntiva - Iperbole equilatera nel piano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . 21

39