Funkcije, neskonˇcna zaporedja in javalalg.fri.uni-lj.si/~uros/LALGinar/arhiv/funkcijsko_java.pdf · Uvod Funkcije Seznami Leni seznami Zakljuˇcek Funkcijsko programiranje • Funkcije

Uvod Funkcije Seznami Leni seznami Zaključek

Funkcije, neskončna zaporedja in java

LALGinar, 4. oktober 2013

Luka Fürst


Funkcijsko programiranje

• Funkcije kot osnovni gradniki• funkcije kot argumenti funkcij• funkcije, ki vračajo funkcije




• Sklicevalna preglednost (referential transparency)• klic funkcije z določenim naborom vrednosti parametrov vedno

vrne isti rezultat, ne glede na okolǐsčine klica• posledica: odpor do spremenljivk (oz. stanja nasploh)• predstavitev časovne variacije s seznami






• Leno vrednotenje• objekt ovrednotimo šele tedaj, ko njegovo vrednost zares

potrebujemo






• Leno vrednotenje• objekt ovrednotimo šele tedaj, ko njegovo vrednost zares

potrebujemo

• H. Abelson, G.J. Sussman, J. Sussman: Structure andInterpretation of Computer Programs (2. izdaja), MIT Press,1996.


Funkcijsko programiranje in java

• Java ne ponuja konstruktov funkcijskega programiranja




• Zanimiva in poučna pa je simulacija tovrstnih konstruktov vjavi





• V javi lahko (do določene mere) programiramo po funkcijsko. . .





• V javi lahko (do določene mere) programiramo po funkcijsko. . .

• . . . toda za ceno okorne in dolgovezne sintakse


Funkcije v javi

• Osnovo za predstavitev funkcij predstavljajo sledeči vmesniki:

// zero-argument function

interface F0 {

R apply();

}

// one-argument function

interface F1 {

R apply(P param);

}

// two-argument function

interface F2 {

R apply(P1 param1, P2 param2);

}

// unary predicate

interface Predicate

{

boolean satisfies(P param);

}


Funkcije v javi

• Funkcijo predstavimo kot objekt tipa F0, F1, F2 ali Predicate

class Square implements F1 {

public Integer apply(Integer a) {

return (a * a);

}

}

// ...

F1 sq = new Square();

System.out.println(sq.apply(5)); // 25


Funkcije v javi

• Funkcijo predstavimo kot objekt tipa F0, F1, F2 ali Predicate

class Square implements F1 {


return (a * a);

}

}

// ...


System.out.println(sq.apply(5)); // 25

• Kot objekt brezimenskega implementatorja vmesnika:

F1 sq = new F1() {


return (a * a);

}

};

• Več primerov: Scale, Plus, DivisibleBy


Funkcije, ki sprejemajo in/ali vračajo funkcije

• Kompozitum f ◦ g :

public static F1 composition(

final F1 f, final F1 g) {

return new F1() {

public R apply(P param) {

return f.apply(g.apply(param));

}

};

}

// ...


F1 dbl = new Scale(2);

F1 sqOfDbl = composition(sq, dbl);

F1 dblOfSq = composition(dbl, sq);

System.out.println(sqOfDbl.apply(3)); // 36

System.out.println(dblOfSq.apply(3)); // 18

• Negacija predikata


Memoizacija

• Shranjevanje rezultatov funkcije pri določenih vrednostih

• Pri podanem naboru parametrov se funkcija izvede le enkrat

• V naslednjih klicih se uporabi shranjeni rezultat


Memoizacija

• Shranjevanje rezultatov funkcije pri določenih vrednostih

• Pri podanem naboru parametrov se funkcija izvede le enkrat

• V naslednjih klicih se uporabi shranjeni rezultat

public static F1 memoize(final F1 f) {

return new F1() {

Map memo = new HashMap();

public R apply(P param) {

if (memo.containsKey(param)) {

return memo.get(param);

}

R result = f.apply(param);

memo.put(param, result);

return result;

}

};

}


Seznami v javi

• Dve vrsti seznamov:• prazen seznam• seznam z glavo in repom

• glava je lahko karkoli, rep pa mora biti seznam

abstract class List {

public abstract T head();

public abstract List tail();

public abstract boolean isEmpty();

}

class Empty extends List {

public T head() {

throw new NoSuchElementException();

}

public List tail() {

throw new NoSuchElementException();

}

public boolean isEmpty() {

return true;

}

}


Seznami v javi

class Nonempty extends List {

private T head;

private List tail;

public Nonempty(T head, List tail) {

this.head = head;

this.tail = tail;

}

public T head() {

return head;

}

public List tail() {

return tail;

}


return false;

}

}


Tipične metode seznamov

// returns the element at index ix

public T get(int ix) {

if (ix < 0) {

throw new IllegalArgumentException("get: index < 0");

}

if (ix == 0) {

return head();

}

return tail().get(ix-1);

}

// returns a list comprising the elements indexed ixFirst, ..., ixLast

// of this list

public List sublist(int ixFirst, int ixLast) {

if (ixFirst < 0 || ixFirst > ixLast) {

return new Empty();

}

if (ixFirst == 0) {

return new Nonempty(head(), tail().sublist(0, ixLast-1));

}

return tail().sublist(ixFirst-1, ixLast-1);

}



// returns a new list obtained by applying func to individual elements

// of this list

public List map(F1 func) {

if (isEmpty()) {

return new Empty();

}

return new Nonempty( func.apply(head()), tail().map(func) );

}

// returns a list of all elements that satisfy the given predicate

public List filter(Predicate pred) {

if (isEmpty()) {

return new Empty();

}

if (pred.satisfies(head())) {

return new Nonempty(head(), tail().filter(pred));

}

return tail().filter(pred);

}



// returns true iff any element satisfies the given predicate

public boolean any(Predicate pred) {

if (isEmpty()) {

return false;

}


return true;

}

return tail().any(pred);

}

// returns true iff all elements satisfy the given predicate

public boolean all(Predicate pred) {

if (isEmpty()) {

return true;

}

if (!pred.satisfies(head())) {

return false;

}

return tail().all(pred);

}



// returns func(...(func(func(initialValue, [0]), [1]), [2]), ..., [n])

public T leftFold(F2 func, T initialValue) {

if (isEmpty()) {

return initialValue;

}

return tail().leftFold(func, func.apply(initialValue, head()));

}

// returns func([0], func([1], (... func([n], initialValue)...)))

public T rightFold(F2 func, T initialValue) {

if (isEmpty()) {

return initialValue;

}

if (tail().isEmpty()) {

return func.apply(head(), initialValue);

}

return func.apply(head(), tail().rightFold(func, initialValue));

}


Motivacija

• Problem: poǐsči drugo praštevilo na intervalu [a, b]


Motivacija

• Problem: poǐsči drugo praštevilo na intervalu [a, b]

• Proceduralna rešitev:

public static int secondPrime(int a, int b) {

int counter = 0, num = a;

while (num


Motivacija

• Elegantneǰsa (“funkcijska”) rešitev:


Predicate isPrime = ...;

List interval = List.intInterval(a, b); // [a, ..., b]

List primes = interval.filter(isPrime);

return primes.get(1);

}


Motivacija







}

• Pomanjkljivosti postanejo očitne pri npr. a = 106, b = 107


Motivacija







}

• Pomanjkljivosti postanejo očitne pri npr. a = 106, b = 107

• Rešitev: leni seznami


Leni seznami

• Alternativno ime: tokovi (streams)

• Enaka struktura kot pri navadnih seznamih

• Prvi element lenega seznama se ovrednoti že ob izdelavi

• Naslednji elementi se vrednotijo po potrebi


Leni seznami

• Abstraktni nadrazred in razred za prazen leni seznam stadefinirana enako kot pri navadnih seznamih:

class LazyList {

public abstract T head();

public abstract LazyList tail();

public abstract boolean isEmpty();

}

class Empty extends LazyList {

public T head() { throw new NoSuchElementException(); }

public LazyList tail() {throw new NoSuchElementException();}

public boolean isEmpty() { return true; }

}


Neprazen leni seznam

• Rep je funkcija, ki se ovrednoti šele ob klicu metode tail

class Nonempty extends LazyList {

private T head;

private F0 lazyTail;

public Nonempty(T head, F0 lazyTail) {

this.head = head;

this.lazyTail = memoize(lazyTail);

}

public T head() {

return head;

}

public LazyList tail() {

return lazyTail.apply();

}


return false;

}

}


Celoštevilski interval [a, b]

• Z navadnim seznamom:

public static List intInterval(int a, int b) {

if (a > b) {

return new Empty();

}

return new Nonempty(a, intInterval(a + 1, b));

}

• Z lenim seznamom:

public static LazyList intInterval(final int a, final int b) {

if (a > b) {

return new Empty();

}

return new Nonempty(a, new F0() {

public LazyList apply() {

return intInterval(a + 1, b);

}

});

}


Metoda filter pri lenih seznamih

public LazyList filter(final Predicate pred) {

if (isEmpty()) {

return new Empty();

}


return new Nonempty(head(), new F0() {



}

});

}


}

• Seznam se do prvega elementa, ki zadošča predikatu, preiskuje“neučakano” (eagerly)

• Po odkritju prvega takega elementa delo na seznamu počakado zahteve po naslednjem ustreznem elementu


Drugo praštevilo na intervalu [a, b]



LazyList interval = LazyList.intInterval(a, b);

LazyList primes = interval.filter(isPrime);


}

• Ob klicu metode filter se poǐsče samo prvo praštevilo

• Drugo praštevilo (in naslednja, če bi jih zahtevali) se poǐsčejošele ob klicu metode get


Neskončni leni seznami

• Lene sezname lahko uporabimo za predstavitev neskončnihzaporedij



• Lene sezname lahko uporabimo za predstavitev neskončnihzaporedij

• Seznam vseh naravnih števil:

public static LazyList ints() {

return intsFrom(1);

}

public static LazyList intsFrom(final int n) {

return new Nonempty(n, new F0() {


return intsFrom(n+1);

}

});

}

// ...

System.out.println(ints().sublist(0, 4)); // [1, 2, 3, 4, 5]



public static LazyList makeList() {

return gen(0, 1);

}

private static LazyList gen(final int a, final int b) {



return gen(b, a+b);

}

});

}


Fibonaccijevo zaporedje

public static LazyList fibs() {

return fibgen(0, 1);

}

private static LazyList fibgen(final int a, final int b) {



return fibgen(b, a+b);

}

});

}

// ...

System.out.println(fibs().sublist(5, 9)); // [5, 8, 13, 21, 34]


Eratostenovo sito (postopek iskanja praštevil)

• Prični s seznamom [2, 3, 4, . . . ]

• Dodaj prvi element seznama v seznam praštevil

• Odstrani prvi element seznama in vse njegove večkratnike

• Rekurzivno ponovi postopek na preostalem seznamu


Eratostenovo sito (postopek iskanja praštevil)

• Prični s seznamom [2, 3, 4, . . . ]

• Dodaj prvi element seznama v seznam praštevil

• Odstrani prvi element seznama in vse njegove večkratnike

• Rekurzivno ponovi postopek na preostalem seznamu

public static LazyList primes() {

return sieve(intsFrom(2));

}

private static LazyList sieve(final LazyList list) {

return new Nonempty(

list.head(),

new F0() {


return sieve( list.tail().filter(

negate(new DivisibleBy(list.head()))) );

}

});

}



public static LazyList seqA() {

return new Nonempty(1, new F0() {


return seqA();

}

});

}



• [1, 1, 1, . . .]:




return seqA();

}

});

}



• [1, 1, 1, . . .]:




return seqA();

}

});

}

public static LazyList seqB() {



return add(seqA(), seqB());

}

});

}



• [1, 1, 1, . . .]:




return seqA();

}

});

}

• [1, 2, 3, . . .]:

public static LazyList seqB() {



return add(seqA(), seqB());

}

});

}



public static LazyList seqC() {

return

new Nonempty( 0,

new F0() {


return new Nonempty( 1,

new F0() {


return add(seqC(), seqC().tail());

}

}

);

}

}

);

}



• Fibonaccijevo zaporedje:

public static LazyList seqC() {

return

new Nonempty( 0,

new F0() {


return new Nonempty( 1,

new F0() {


return add(seqC(), seqC().tail());

}

}

);

}

}

);

}


Zaporedje približkov števila π

•

π

4= 1−

1

3+

1

5−

1

7+ . . .



•

π

4= 1−

1

3+

1

5−

1

7+ . . .

// successive approximations to pi

public static LazyList pi() {

return scale(partialSums(piSummands(1, 1)), 4);

}

// [1, -1/3, 1/5, -1/7, ...]

private static LazyList piSummands(final int n, final int sign) {


sign * 1.0 / n,

new F0() {


return piSummands(n + 2, -sign);

}

});

}



• Zaporedje 4(1− 1/3 + 1/5− 1/7 + . . .) počasi konvergira k π




• Eulerjeva pohitritev:

S ′n= Sn+2 −

(Sn+2 − Sn+1)2

Sn − 2Sn+1 + Sn+2




• Eulerjeva pohitritev:

S ′n= Sn+2 −

(Sn+2 − Sn+1)2

Sn − 2Sn+1 + Sn+2

public static LazyList euler(final LazyList list) {

double s0 = list.get(0).doubleValue();




s2 - ((s2 - s1) * (s2 - s1)) / (s0 - 2 * s1 + s2),

new F0() {


return euler(list.tail());

}

});

}



• Leni seznam lenih seznamov:• prvi seznam je izvorni seznam približkov• drugi seznam je Eulerjeva pohitritev prvega• tretji seznam je Eulerjeva pohitritev drugega• . . .



• Leni seznam lenih seznamov:• prvi seznam je izvorni seznam približkov• drugi seznam je Eulerjeva pohitritev prvega• tretji seznam je Eulerjeva pohitritev drugega• . . .

public static LazyList eulerListOfLists(

final LazyList list) {


list,

new F0() {


return eulerListOfLists(euler(list));

}

});

}

• Zaporedje sestavimo iz prvih členov posameznih seznamov


Zaključek

• Vrednost lenih seznamov:

• elegantna formulacija neskončnih zaporedij• enkapsulacija stanja (npr. zaporedja naključnih števil)


Zaključek

• Vrednost lenih seznamov:

• elegantna formulacija neskončnih zaporedij• enkapsulacija stanja (npr. zaporedja naključnih števil)

• Java kot funkcijski jezik?

• Omogoča implementacijo nekaterih funkcijskih konceptov• Okorna in dolgovezna sintaksa• Pomanjkanje operacij za delo s seznami• Pedagoška vrednost

UvodFunkcijeSeznamiLeni seznamiZaklju"cek

Documents

Funkcije, neskonˇcna zaporedja in javalalg.fri.uni-lj.si/~uros/LALGinar/arhiv/funkcijsko_java.pdf · Uvod Funkcije Seznami Leni seznami Zakljuˇcek Funkcijsko programiranje • Funkcije