Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)

8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)

1/16


2/16

1 Introducere

2 Derivata unei funcţii într-un punct

3 Derivate laterale

4 Derivatele unor funcţii elementare şi compuse

5 Operaţii cu funcţii derivabile

6

Derivate de ordin superior

!

"onclu#ii

$iblio%rafie


3/16

INTRODUCERE

Noţi!"# $" $"ri%#&' # fo(& i!&ro$(' )i fo*o(i&' +!#&"#&i-' $" (#%#!&* I(##- N"&o! /0123 4 05326 +!*"7'&r' - (&$i* "-#!i-ii.

Pro8*"# %i&"9"i i!(!!"" # !i o8i*

vite#a medie a mobilului în intervalul de timp &t'( t) este*

( ) ( )

0

0m

tt

tstsv

−

−=.

vite#a instantanee a mobilului în momentul t' +fi,at( t' . ' este*

( ) ( ) ( )0

0

tt0

tt

tstslimtv0 −

−=→

acceleraţia mobilului la momentul t' fi,at este*

( ) ( ) ( )

0

0

tt0

tt

tvtvlimta

0

−

−=

→


4/16

Apro#p" +! #-"*#)i &ip )i (#%#!&* Go&&fri"$ i*;"* L"i8!i9 /0121 4 05016 # i!&ro$( !oţi!"# $" $"ri%#&' +!*"7'&r' - (&$i* !7"!&"i *# o -r8' +!&r


5/16

I.DERIVATA UNEI FUNCŢII ÎNTR


6/16

DERIVABILITATE

Ori-" f!-ţi" $"ri%#8i*' +!&r


7/16

II. DERIVATE LATERALE

DERIVATA LA ST@NGA:

Fi" f!-ţi# f:DR )i => 9 D.

( ) ( ) ( )

0

0

xxxx

0

'

sxx

xf xf limxf

0

0 −

−=

<→

DERIVATA LA DREAPTA: ( ) ( ) ( )

0

0

xxxx

0

'

dxx

xf xf limxf

0

0 −

−=

>→

F!-ţi# f #r" $"ri%#&' )i "(&" $"ri%#8i*' +! => $#-' )i !#i $#-' #r"$"ri%#&" *#&"r#*" )i "(&", r"(p"-&i%, derivabil la stAn%a şi la dreapta +! => )i:

( ) ( ) ( )0'

0

'

d0

'

s xf xf xf ==


8/16

INTERPRETAREA GEOETRICĂA DERIVATELOR LATERALE

( )0'

s xf "=i(&'.

( )0'

d xf "=i(&'.


9/16

PUNCTE REARCABILE ALE GRAFICULUI FUNCŢIEI

BC"8: D: C8OE0":0:

Fi" f!-ţi# f:DR )i => 9 D.

P!-&* => 9 D (" !")&" p!-& $" +!&o#r-"r"#* f!-ţi"i f $#-' f!-ţi# "(&" -o!&i!' +! => )i#r" $"ri%#&" *#&"r#*" i!fi!i&" )i $if"ri&" +!#-"(& p!-&.

BC"8: BCFIBGE0:

P!-&* => 9 D (" !")&" p!-& !7;i*#r #*f!-ţi"i f $#-' f!-ţi# "(&" -o!&i!' +! => )i #r" $"ri%#&" *#&"r#*" $if"ri&" +! #-"(&p!-& )i -"* pţi! !# "(&" fi!i&'.

BC"8: D: IC/G:HIBC: P!-&* => 9 D (" !")&" p!-& $"

i!f*"=i!" #* f!-ţi"i f $#-' f!-ţi#"(&" -o!&i!' +! =>, #r" $"ri%#&' +!#-"(& p!-& /fi!i&' (# i!fi!i&'6, i#rf!-ţi# "(&" -o!%"=' /-o!-#%'6 $" op#r&" # *i => )i -o!-#%' /-o!%"='6 $"

-"#*#*&' p#r&" # *i =>.


10/16

III. DERIVATELE UNOR FUNCŢIIELEENTARE ŞI COPUSE


11/16

IV. OPERAŢII CU FUNCŢII DERIVABILE

Fi" f!-ţii*" f,7:D

R )i => 9 D p!-& $" #-*#r" # *i D. D#-'f!-ţii*" f )i 7 (!& $"ri%#8i*" +! p!-&* => 9 D, #&!-i f!-ţii*" f 7, f7)i f7, $#-' 7/=>6>, (!& $"ri%#8i*" +! p!-&* =>, )i # *o- r'&o#r"*"r"7*i $" $"ri%#r":

( ) ( ) ( ) ( )0'

0

'

0

'

xgxf xgf +=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0'

000

'

0

'xgxf xgxf xgf ⋅+⋅=⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ,

xg

xgxf xgxf x

g

f

0

2

0

'

000

'

0

'

⋅−⋅=

( ) 0xg 0 ≠

( ) '''

gf gf +=+

( ) ''' gf gf gf ⋅+⋅=⋅

2

'''

g

gf gf

g

f ⋅−⋅=


12/16

Fi" I )i i!&"r%#*" $" !"r" r"#*" )i f!-ţii*" :I

,f*I

. D#-' "(&"$"ri%#8i*' +! p!-&* => 9 I,i#r f "(&" $"ri%#8i*' +! p!-&* /=>6H> 9 ,#&!-i f!-ţi# -op(' /f6:I "(&" $"ri%#8i*' +! p!-&* => )i #r" *o-r"*#ţi#:

( ) ( ) ( )( ) ( )0

''

0

'xuxuf xuf

⋅=

DERIVAREA FUNCŢIEI INVERSEŞI A FUNCŢILOR COPUSE

( ) ( ) ''' uuf uf ⋅=

D#-' ,%:IR (!& f!-ţii $"ri%#8i*" p" I )i /=6J>, = 9 I. A&!-i f!-ţi#% "(&" $"ri%#8i*' p" I )i $"ri%# "(&":

( ) 'v'1v'v

vulnuuuvu ⋅+⋅⋅=

−

Fi" I )i i!&"r%#*" o#r"-#r" )i f:I o f!-ţi" -o!&i!' )i 8i?"-&i%'.

D#-' f!-ţi# f "(&" $"ri%#8i*' +! p!-&* => 9 I, fK/=>6>, #&!-i f!-ţi#i!%"r(' f40:I "(&" $"ri%#8i*' +! p!-&* H> f/=>6 )i

( ) ( )( )0'0

'1

xf

1yf =−


13/16

V. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR

( )( )

( ) ( )

0

0

''

xVVx

xx0

''

xx

xf xf limxf

0

0 −

−=

⊂∈

→


14/16

CONCLUII

Determinarea unor optimuri situaţionale( prin aplicarea calcululuidiferenţial( în probleme practice sau specifice unor domenii de activitate

tudiul funcţiilor în %eneral( al funcţiilor continue( derivabile în special(

necesit de#voltarea unor competenţe %enerale şi specifice reflectate în* Identificarea %raficJvi#ual( a proprietţilor unei funcţii numerice( privind*mr%inirea( continuitatea( tendinţa asimptotic( derivabilitatea

Esocierea de date( e,trase dintr-o situaţie problem( cu proprietţi alefuncţiilor numerice studiate( de tipul* teoreme de conver%enţ( operaţii cu

limite( limite tip( tabele de derivare Eplicarea unor al%oritmi specifici( calculului diferenţial( în re#olvarea unorprobleme şi modelarea unor procese specifice( unor domenii de activitate

:,primarea în limba=ul anali#ei matematice( a unor teoreme concrete(modelabile prin funcţii numerice

Interpretarea pe ba#a lecturii %rafice( a proprietţilor unor funcţii( carerepre#int e,emple din domeniul economic( social( ştiinţific

Kerificarea e,perimental a re#ultatelor( deduse prin calcul( pentru problemepractice e,primabile matematic


15/16

- #?&or* $"ri%#8i*i&'ţii (" po#&" (i*ii or$i!* $" *&ip*i-i&"#*" r'$'-i!i*or !"i "-#ţii po*i!oi#*" (# # i!&"r%#*"*or +! -#r" ("7'("(- r'$'-i!i*" !"i "-#ţii #(o-i#&" !"i f!-ţii po*i!oi#*".

$"&"ri!#r"# i!&"r%#*"*or $" o!o&o!i" p"!&r o f!-ţi" $#&'

/f!-ţi# "(&" -r"(-'&o#r" (# $"(-r"(-'&o#r"6 4 #-"(& *-r (" f#-"(&$ii!$ ("!* $"ri%#&"i +!&Mi # f!-ţi"i

$"&"ri!#r"# p!-&"*or $" "=&r" p"!&r o -*#(' "=&i!(' $" f!-ţii!"ri-" 4 #-"(& *-r (" f#-" (&$ii!$ ("!* $"ri%#&"i +!&Mi #f!-ţi"i

r"9*&"*" &"or"&i-" #(pr# o!o&o!i"i )i p!-&"*or $" "=&r" #*"!"i f!-ţii p"ri& o8ţi!"r"# !or i!"7#*i&'ţi -#r", - #?&or*"&o$"*or "*""!r" #r fi 7r" $" $"o!(&r#&

$"&"ri!#r"# i!&"r%#*"*or $" -o!%"=i&" (# -o!-#%i&" #*" !"i

f!-ţii 4 #-"(& *-r (" f#-" (&$ii!$ ("!* $"ri%#&"i # $o# #f!-ţi"i

Ap*i-#ţii &i*" #*" $"ri%#&"i !"i f!-ţii


16/16

BIBLIOGRAFIE

#ri( Br&"#, G"or7" Br&"# 4 #&"#&i-', #!#* p"!&r-*#(# # OI>

Li# Ar#', To#$"r oro9#! 4 C*"7"r" $" pro8*"" $" #!#*i9'#&"#&i-' , E$i&r# U!i%"r(#* P#!, B-r")&i, 0QQ5

ir-"# G#!7# 4 Pro8*"" r"9o*%#&" $i! #!#*"*" $"#&"#&i-' p"!&r -*#(# # OI

Documents

Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)