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1- DERIVATA del PRODOTTO di una costante K per f(X) DERIVATA della SOMMA DI DUE FUNZIONI -
y = ki f (x)! y ' = ki f '(x)
y = f (x) + g(x)! y ' = f '(x) + g '(x)
y = x 3 + x
2 + 2x !1+ 0
y = 4x 6 + 5x
5 + 5i3x
y ' = 3i1+ 5i 1
x
y = 2x ! 3( ) " (x2 ! 2)
y ' = D 2x ! 3[ ]i x2 ! 2( ) + 2x ! 3( )iD x
2 ! 2#$ %&
y ' = 2x 2 ! 4 + 4x2 ! 6x
y ' = 6x 2 ! 6x ! 4
2 - DERIVATA DEL PRODOTT0
y = (x2 + 3) ! (2x "1)
y' = D x2 + 3#$ %& • 2x "1( ) + x2 + 3( ) •D 2x "1[ ]
y1 = 2x + 0( ) • 2x "1( ) + x2 + 3( ) • 2 " 0( )
y1 = 4x2 " 2x + 2x2 + 6
y1 = 6x2 " 2x + 6
y = (x 3 + x
2 )iD 5x + 2[ ]
3 + x
y ' = D 7x
4 + x( )i 2x + 0( )
y ' = 28x 5 +168x
y = ( x + x) ! (2x + 3)
y' = D x + x"# $% • 2x + 3( ) + x + x( ) •D 2x + 3[ ]
= 1
= x
x +
3
= 2x + 3+ 4x x + 6 x + 4x + 4x x
2 x = 8x x + 6 x + 6x + 3
2 x
y = (cosx + x) ! (2senx + 3)
y ' = D[cosx + x]i(2senx + 3) + (cosx + x) !D[2senx + 3]
= ["senx +1]i(2senx + 3) + (cosx + x) ! (2cos x + 0]
= "2sen2x " 3senx + 2senx + 3+ 2cos2 x + 2x cos x
= "2sen2x " senx + 2cos2 x + 2x cos x + 3
4a)
4b)
essendo : x > 0
y = 2x + 3( )
x 2 !1( )
2 !1( ) ! 2x + 3( ) • D x 2 !1"# $%
x 2 !1( )
x 2 !1( )
x 2 !1( )
g 2 (x)
x ! 3"# $%
x +1( ) 2ex ! 0( )
3 • D[x
3 ! (3x
2 + 4)
y = f [g(x)]! y ' = f '[g(x)]• g '(x)
y = (6x 2 + 5)
2 • D[6x
2 + 5)
2 !12x
2
la funzione esterna è la POTENZA
DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA POTENZA E MOLTIPLICO PER LA DERIVATA DEL CONTENUTO (LA BASE)
Regola GENERALE
y = (7 x ! 3x)4
y ' = 4 " (7 x ! 3x)3 • D[7 x ! 3x] = 4 " (7 x ! 3x)3 " 7 " 1
2 x ! 3#
2 x
x
8a)
8b)
8c)
2 • D[4e
3 " (4e
x ) = 8e
x " (x
3 + 4x)
y = (ln x ! 2x)3
y ' = 3 " (ln x ! 2x)2 • D[ln x ! 2x] = 3 " (ln x ! 2x)2 " 1
x ! 2#
# $%
x
y ' = 1
y ' = 6x
2 ! 5
9 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON RADICE Q
9a)
y ' = 1
funzione esterna = RADICE quadrata
DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA RADICE QUADRATA E MOLTIPLICO PER LA DERIVATA DEL CONTENUTO (RADICANDO)
y = x 2 ! x
(4x + 5) 2
(4x + 5) 2
10 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON RADICE Q
DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA RADICE QUADRATA E MOLTIPLICO PER LA DERIVATA DEL CONTENUTO (RADICANDO) che -attenzione- è un QUOZIENTE
Regola della derivata del quoziente f(x)/g(x)
y = ln(4x + 5)
y ' = 4 + 0
11a)
(3cos x +1)
3senx + x
y ' = 5 1
5(3x 2 + 2)
11b)
11c)
funzione esterna = LOGARITMO DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA logaritmo E MOLTIPLICO PER LA DERIVATA DEL CONTENUTO (argomento del log)
Attenzione a NON semplificare il 4!
(4x+5) è un fattore binomiale!
y = ln 2x + 5
(x ! 2)2 =
y ' = 1
(x ! 2)1 =
y = ln e x ! 2 e x + x
" #$
% &'
• D e x ! 2 e x + x
(
) *
+
, - =
x + x)
x + x)
12a)
12b)