Fie functia , unde interval sau reuniune de intervale . E R · 2015-02-06 · Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile Proprietatile functiilor derivabile D, , , , ' , E 1 2

Clasa a XI-a ANALIZA - 1

Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile

Proprietatile functiilor derivabile

Fie functia REf : , unde E interval sau reuniune de intervale .

Definitie ppuunncctt ddee mmaaxxiimm llooccaall :

- Un punct Ea se numeste punct de maxim local al functiei f daca exista o vecinatate

V a lui a , in care functia are valori mai mici decat in a , adica :

afxf , EVx .

- Daca a este un punct de maxim local al lui f , atunci numarul af se numeste mmaaxxiimm al

lui f , iar punctul afa, de pe grafic se numeste punct de maxim local al graficului .

Definitie ppuunncctt ddee mmiinniimm llooccaall :

- Un punct Eb se numeste punct de minim local al functiei f daca exista o vecinatate

V a lui b , in care functia are valori mai mari decat in b , adica :

xfbf , EVx .

- Daca b este un punct de minim local al lui f , atunci numarul bf se numeste mmiinniimm al

lui f , iar punctul bfb, de pe grafic se numeste punct de minim local al graficului .

Definitie eexxttrreemmee llooccaallee aallee ffuunnccttiieeii :

- Un punct de minim local sau maxim local pentru o functie f se numeste ppuunncctt ddee

eexxttrreemm llooccaall al functiei .

- Valorile functiei in punctele sale de extrem , maximele si minimele functiei se numesc

eexxttrreemmeellee llooccaallee aallee ffuunnccttiieeii .




- Punctele de maxim si de minim local ale graficului se numesc ppuunnccttee ddee eexxttrreemm llooccaall ale

graficului .

Definitie ppuunncctt ddee mmaaxxiimm aabbssoolluutt :

- Un punct Ex 0 se numeste punct de maxim absolut al functiei f daca :

xfxf 0 , Ex .

- Observatii : 1). Sa remarcam ca Ex 0 este punct de maxim absolut pentru f daca

valorile functiei pe domeniul de definitie sunt cel mult egale cu valoarea functiei in x0 .

2). Evident , orice punct de maxim absolut este si punct de maxim local dar ,

in general , nu si reciproc .

3). O functie poate avea mai multe puncte de maxim absolut .

Definitie ppuunncctt ddee mmiinniimm aabbssoolluutt :

- Un punct Ex 0 se numeste punct de minim absolut al functiei f daca :

xfxf 0 , Ex .

- Observatii : 1). Sa remarcam ca Ex 0 este punct de minim absolut pentru f daca

valorile functiei pe domeniul de definitie sunt cel putin egale cu valoarea functiei in x0 .

2). Orice punct de minim absolut este si punct de minim local ,dar , in

general , nu si reciproc .

3). O functie poate avea mai multe puncte de minim absolut .

Definitie ppuunncctt ddee mmiinniimm aabbssoolluutt :

- Un punct de maxim absolut sau de minim absolut se numeste punct de extrem absolut .




Un rezultat remarcabil pentru o functie derivabila intr-un punct de

extrem este formulat in :

Teorema lui FFEERRMMAATT :

- Fie REf : , E un interval iar x0 un punct de extrem din interiorul intervalului ;

- Daca functia f este derivabila in x0 , atunci 00

'xf .

Observatie :

- Din 00

'xf ,rezulta ca tangenta la grafic in punctul xfx 00 , este paralela cu axa Ox

- Teorema lui FERMAT spune ca : graficul unei functii derivabile are tangenta paralela cu

axa Ox in punctele sale de extrem ( demaxim sau de minim ) care nu coincid cu extremitatile

graficului .

Observatii ce decurg din FFEERRMMAATT:

1). Teorema lui FERMAT are un caracter local , vizand comportarea functiei in vecinatatea

uni punct fixat .

2). Daca punctul Ex 0 n-ar fi din interiorul intervalului , atunci concluzia teoremei lui

Fermat nu mai este adevarata .

3). Reciproca teoremei lui Fermat , in general , nu este adevarata , adica derivata unei functii

se poate anula intr-un punct , fara ca acesta sa fie punct de extrem .

4). Un punct Ex 0 poate fi punct de extrem pentru f fara sa existe xf 0

' .

Definitie ppuunnccttee ccrriittiiccee :

- Daca REf : este o functie derivabila pe un interval deschis E , atunci zerourile

derivatei f' sunt numite puncte critice ale lui f pe E .

- Puncte critice sunt solutiile ecuatiei 00

'xf .




Consecinta aa tteeoorreemmeeii lluuii FFEERRMMAATT :

- Teorema lui FERMAT afirma ca punctele de extrem local ale unei functii derivabila f

sunt printre punctele critice , adica punctele de extrem local ale lui f sunt printre solutiile ecuatiei :

00

'xf

Important ddeetteerrmmiinnaarreeaa ppuunncctteelloorr ddee eexxttrreemm :

- In practica , pentru determinarea punctelor de extrem ale unei functii f derivabile pe un

interval deschis sau pe o reuniune de intervale deschise , se procedeaza astfel :

1). Se rezolva mai intai ecuatia 00

'xf , afland puncetele critice ;

2). Punctele de extrem se afla , conform teoremei lui Fermat , printre punctele critice .

3). Stabilim care dintre punctele critice sunt si puncte de extrem astfel :

i). determinam semnul functiei xf 0

'

sau :

ii). Daca x0 este punct critic pt. functia f , si functia f este de doua derivabila in

punctul x0 astfel incat 00

'xf si 00

''xf .

Atunci : - daca 00

''xf maxim depunct 0 x ;

- daca 00

''xf minim depunct 0 x

4). Daca 00

''

0

' xfxf si 00

'"xf atunci punctul x0 nu este punct de

extrem pentru functia f .




Definitie ffuunnccttiiee RROOLLLLEE :

- Fie functia Rbaf ;: , ba ;

- Daca : 1). f este continua pe intervalul inchis ba; ;

2). f este derivabila pe intervalul deschis ba; .

Atunci functia f este o functie ROLLE .

Teorema lluuii RROOLLLLEE :

- Fie functia Rbaf ;: , ba , o functie Rolle ;

- functia f are valori egale la capetele intervalului , bfaf ;

Atunci exista cel putin un punct bac ; astfel incat 0'

cf .

Corolar :


- Daca 0 bfaf , ( ba, sunt radacini pentru f )

Atunci exista cel putin un punct bac ; astfel incat 0'

cf .

Interpretarea geometrica RROOLLLLEE:

- Teorema lui Rolle are o interpretare geometrica simpla .

- Din 0'

cf rezulta ca tangenta la graficul functiei f in punctul cfc, este paralela

cu axa Ox .

- Concluzie : Daca cerintele teoremei lui Rolle sunt indeplinite , atunci pe graficul functiei f

exista cel putin un punct cfc, in care tangenta este paralela cu axa Ox .




Observatii :

1). Teorema lui Rolle este o teorema de existenta .

2). Toate cele trei cerinte din teorema lui Rolle sunt esentiale pentru ca teorema sa fie adevarata

Daca una din cele trei ipoteze nu se verifica , atunci concluzia teoremei nu mai are loc .

3). Nu trebuie sa traga concluzia ca derivata unei functii nu se anuleaza in nici un punct daca

acea functie nu satisface una din conditiile teoremei lui Rolle .




O aplicatie importanta a teoremei lui Rolle o reprezinta sirul lui Rolle asociat

unei ecuatii de forma 0xf , unde f functie derivabila , cu ajutorul caruia se poate determina

numarul radacinilor reale ale ecuatiei precum si intervalele in care aceste radacini sunt situate .

Lema :

- Fie REf : o functie derivabila pe un interval E ;

- Intre doua radacini , zerouri , consecutive ale derivatei f' se afla cel mult o radacina a

ecuatiei 0xf .

- Zerourile derivatei separa zerourile functiei .

Teorema ssiirruull lluuii RROOLLLLEE :

- Fie REf : o functie derivabila pe un interval E ;

- Daca Exx 21 , , xx 21 sunt doua radacini consecutive ale lui f' , adica :

02

'

1

' xfxf si intre x1 si x2 nu exista alte radacini ale lui f

'

- Atunci in intervalul xx 21 , exista cel mult o radacina a ecuatiei 0xf .

Etapele formarii ssiirruulluuii lluuii RROOLLLLEE :

I. Se fixeaza intervalul de studiu E al ecuatiei 0xf , functia REf : fiind

presupusa derivabila .

II. Se rezolva ecuatia 0'

xf si se considera radacinile reale ale acestei ecuatii , situate in

E , in ordine crescatoare xxxx Mm

''

2

'

1

' ... ... .

III. Se calculeaza valorile functiei f in aceste puncte , la care se adauga limitele lui f , notate

si , la capetele din stanga si respectiv din dreapta ale intervalului E . Se obtine un sir de valori

asociat functiei f , sau echivalent functiei ecuatiei 0xf , anume :




,,.....,,,.....,, ''

2

'

1

'xfxfxfxf Mm

IV. Sirul lui Rolle este sirul semnelor acestor valori ( poate figura si valoarea zero ) .

V. Se refera la concluziile privind numarul de radacini reale ale ecuatiei si intervalele in care

acestea sunt plasate .

Distingem urmatoarele cazuri :

1). Daca in sirul lui Rolle apar doua semne alaturate identice , adica pentru :

xx'

2

'

1 sa avem fie 0, '

2

'

1 xfxf , fie 0, '

2

'

1 xfxf

atunci in intervalul xx'

2

'

1, nu exista radacini reale ale ecuatiei 0xf .

2). Daca in sirul lui Rolle apar doua semne alaturate diferite , de exemplu :

0'

1 xf , 0'

2 xf

atunci conform definitiei si proprietatii lui Darboux pe care o au functiile continue , exista cel mult si

respectiv cel putin o radacina in intervalul xx'

2

'

1, , adica ecuatia 0xf are excat o radacina in

intervalul xx'

2

'

1, .

3). Daca in sirul lui Rolle apare zero , de exemplu 0' xf k , atunci xk

' este radacina

multipla a ecuatiei 0xf , iar in intervalele xx kk

''

1 , , xx kk

'

1

' , ecuatia nu mai are radacini .

Concluzia ssiirruulluuii lluuii RROOLLLLEE :

Numarand schimbarile de semn si zerourile se determina numarul de radacini reale , fara a

determina ordinele de multiplicitate ale acestora , ale ecuatiei considerate si intervalel in care sunt

situate aceste radacini .




Aceasta teorema este o generalizare simpla a toremei lui Rolle in care functia f nu mai ia valori egale la capetele ba , ale intervalului considerat .

Mai precis are loc urmatoarea teorema :

Teorema lluuii LLAAGGRRAANNGGEE :


- Atunci exista un punct c din intevalul deschis ba , , bac , pentru care :

cfabafbf'

Observatie :

- Teorema lui LAGRANGE se numeste prima teorema a cresterilor finite sau prima

teorema de medie .

Consecinta 1 aa tteeoorreemmeeii lluuii LLaaggrraannggee :

Daca o functie are derivata nula pe un interval , atunci ea este constanta pe acest interval .

Consecinta 2 aa tteeoorreemmeeii lluuii LLaaggrraannggee :

Daca doua functii au derivatele egale pe un interval , atunci ele difera printr-o constanta pe

acel interval .




Un alt rezultat important pentru o functie derivabila pe un interval este furnizat de

semnul derivatei .

Aceasta va fi uitilizat pentru determinarea intervalelor de monotonie .

Mai precis are loc urmatorul :

Corolar :

- Fie REf : , E interval , o functie derivabila .

Daca :

1). 0'

xf , Ex , atunci f este crescatoare pe E ;

2). 0'

xf , Ex , atunci f este descrescatoare pe E ;

sau :

1’). Daca 0'

xf , Ex , atunci f este strict crescatoare pe E ;

2’). Daca 0'

xf , Ex , atunci f este strict descrescatoare pe E .

Determinarea iinntteerrvvaalleelloorr ddee mmoonnoottoonniiee :

Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei functii derivabile REf : , E

nu neaparat interval din R se procedeaza astfel :

a). se calculeaza derivata f' a functiei f ;

b). se rezolva , in R , ecuatia 0'

xf , Ex , aflandu-se punctele critice ;

c). se determina intervalele in care f' pastreaza acelasi semn ;

d). tinand seama de corolarul de mai sus se stabilesc intervalele de monotonie .

Observatie :

- Utilizand monotonia unei functii , putem stabili punctele de minim sau maxim local pentru

o functie derivabila .




A patra consecinta a teoremei lui LAGRANGE este derivata unei functii

intr-un punct .

Urmatorul rezultat este important pentru ca permite sa decidem daca o functie este

derivabila intr-un punct .

Conditia suficienta ca acest lucru sa se intample este dat de :

Corolar :

- Fie REf : , E interval si Ex 0 .

Daca :

1). f este continua in x0 ;

2). f este derivabila pe xE 0 ;

3). Exista Rlxfxx

'

lim0

,

atunci f are derivata in x0 si lxf 0

' .

- Daca Rl , atunci f este derivabila in x0 si lxf 0

' .

Observatie :

1). Acest corolar , pe care il denumim corolarul teoremei lui Lagrange , pntru studiul

derivabilitatii unei functii intr-un punct , permite sa calculam derivatele laterale intr-un punct .

2). Corolarul lui Lagrange da o conditie suficienta pentru existenta derivatei unei functii

intr-un punct . Conditia nu este si necesara .

3). Daca una din conditiile corolarului nu-i verificata , concluzia nu este numaidecat adevarata .

4). In conditiile corolarului , daca f este derivabila in x0 , va rezulta ca derivata f' este

continua in x0 .




Teorema lluuii CCAAUUCCHHYY :

- Fie Rbagf ,:, , ba doua functii cu proprietatile :

1). gf , sunt continue pe intervalul inchis ba, ;

2). gf , sunt derivabile pe intervalul deschis ba, ;

3). 0'

xg , bax , ;

Atunci bgag si exista cel putin un punct bac , astfel incat sa avem :

cg

cf

agbg

afbf'

'

formula lui Cauchy




Teorema lluuii DDAARRBBOOUUXX :

- Daca f este o functie derivabila pe un interval E , atunci derivata f' are proprietatea lui

Darboux pe E , adica Eba , , ba si bfaf''

, sau afbf''

,

exista bax , astfel incat xf'

.

Corolar :

1). Fie REf : o functie derivabila . Daca f' ia valori de semne contrare in doua puncte

Eba din , , atunci derivata f' se anuleaza cel putin intr-un punct cuprins intre a si b .

2). Daca derivata f' a functiei f nu se anuleaza pe un interval EI , atunci derivata f

'

pastreaza acelasi semn pe I .




Am vazut ca pentru a elimina nedeterminarile in cazul limitelor de functii am apelat la scrieri convenabile , artificii de calcul , pentru a pune in evidenta structuri ale

caror limite sunt cunoscute .

Scopul regulilor lui l’Hospital este de a ne ajuta sa calculam , sa scapam de

nedeterminarile rezultate , in cazul limitelor de functii .

Scopul acestui paragraf este de a calcula limita unui raport de functii cu ajutorul

limitei raportului derivatelor lor , desigur in anumite conditii precizate de cele doua

teoreme l’Hospital .

Prima teorema a lui l’Hospital ccaazzuull 0

0 :

- Fie Rbagf , : , doua functii cu proprietatile :

1). gf , derivabile pe ba , ;

2). 0limlim

xgxfaxax

;

3). 0'

xg , bax , ;

4). exista

Rxg

xf

ax

'

'

lim .

Atunci exista limita xg

xf

axlim

si mai mult :

xg

xf

axlim

= xg

xf

ax'

'

lim

limita raportului este egala cu limita raportului derivatelor .




A doua teorema a lui l’Hospital ccaazzuull

:

- Fie Rbagf , : , doua functii cu proprietatile :

1). gf , derivabile pe ba , ;

2).

xgxfaxax

limlim ;

3). 0xg , 0'

xg , bax , ;

4). exista

Rxg

xf

ax

'

'

lim .

Atunci exista limita xg

xf

axlim

si mai mult are loc egalitatea :

xg

xf

axlim

= xg

xf

ax'

'

lim

limita raportului este egala cu limita raportului derivatelor .

Important :

1). Si celelalte cazuri de nedeterminare :

1 , , 0 , , 000

sunt reductibile la cazurile

,

0

0

2). Primele doua nedeterminari prin transformari , iar ultimele trei , luand logaritmul

functiilor corespunzatoare .

3). Reciproca teoremei lui l’Hospital este falsa : adica daca g

f are limita in ax , nu

rezulta ca si g

f'

'

are limita in ax .

4). In calculul limitelor de functii se recomanda combinarea metodelor elementare cu

regula lui l’Hospital .

5). Regula lui l’Hospital se poate aplica de mai multe ori :

xg

xf

axlim

=

xg

xf

xg

xf

axax"

"

'

'

limlim




Observatii :

1). Functia exponentiala creste mult mai repede decat orice functie polinomiala , pentru valori

mari ale argumentului :

n

e

k

e

x

ek

n

n

x

xk

x

xlim

!limlim

2). Orice functie polinomiala creste mult mai repede decat functia logaritmica , pentru valori

mari ale argumentului :

0ln

lim x

xa

x

Nedeterminare ccaazzuull 0 :

- Pentru calculul limitei produsului gf in punctul x0 cu

0lim0

xfxx

iar

xgxx

lim0

exista doua posibilitati de rescriere a prodului gf :

1). Daca 0xg pentru Exxx , 0 , atunci scriem :

g

fgf

1 si

0

1lim

0

xgxx

cand s-a redus cazul la 0

0 .

2). Daca 0xf pentru Exxx , 0 , atunci avem scrierea :

f

ggf

1 cu

xgxf xxxx

lim1

lim00

si deci s-a redus cazul la

.

Observatie : Se prefera unul sau celalalt caz dupa cum aplicarea regulii lui l’Hospital conduce

mai rapid la rezultat .

Nedeterminare ccaazzuull :

- Avem de calculat : xgxfxx

lim0

unde

xgxfxxxx

limlim00

sau

xgxfxxxx

limlim00




- Si acest caz se poate reduce in doua moduri la cazurile studiate pana acum daca uzitam

scrierile :

1).

gf

fg

gf

gf

gf

gf

1

11

1 cand se obtine cazul

0

0

sau :

2).

f

gfgf 1 cand pentru

f

g avem cazul

.

Daca aici

1lim0

xf

xg

xx

, atunci pentru

f

gf 1 avem cazul de nedeterminare 0 .

Nedeterminare ccaazzuurriillee 1 , , 000

:

- Suntem in situatia de a calcula :

xfxg

xxlim

0

in ipoteza 0xf , E , , 00 xxxx .

Pentru a calcula limita functiei fg

pentru xx 0 se utilizeaza egalitatea :

ef fgg ln




Am vazut ca semnul primei derivate da informatii asupra monotoniei functiei ,

iar zerourile primei derivate sunt eventuale puncte de extrem .Aceste informatii si altele

le utilizam in trasarea graficului unei functii , numai ca , in destule cazuri , sunt necesare

si informatii suplimentare , care sa le intregeasca pe cele furnizate de prima derivata .

Asa de pilda o functie derivabila poate fi strict crescatoare in doua moduri .

Analog si in cazul functiei derivabile strict descrescatoare .

Aceste informatii suplimentare le vom determina folosind derivata a II-a cu

ajutorul careia vom determina intervalele de concavitate si convexitate ale functiei

folosind teoremele de mai jos :

Teorema functie ccoonnvveexxaa si ccoonnccaavvaa :

- Fie Rbaf ,: , ba de doua ori derivabila pe ba, .

1). Daca 0"

xf , bax , , atunci functia f este convexa pe intervalul ba, .

2). Daca 0"

xf , bax , , atunci functia f este concava pe intervalul ba, .

Observatii :

1). Este valabila si afirmatia reciproca si anume :

Daca Rbaf ,: este de doua ori derivabila pe ba, si este convexa , sau

concava , atunci 0"

xf , sau 0"

xf .

2). Semnul celei de-a doua derivate permite sa gasim intervalele de convexitate si

concavitate pentru o functie .

Determinarea intervalelor de ccoonnvveexxiittaattee si ccoonnccaavviittaattee :

Pentru determinarea intervalelor de convexitate si concavitate recomandam parcurgerea

etapelor :

1). Se calculeaza f" ;




2). Se rezolva ecuatia 0"

xf ;

3). Cu ajutorul radacinilor derivatei a doua se determina intervalele pe care derivata a doua

pastreaza acelasi semn .

4). Daca 0"f pe un interval , atunci f este convexa pe acel interval iar daca 0

"f pe

un interval , atunci f este concava pe acel interval .

Teorema ppuunncctt ddee iinnfflleexxiiuunnee :

- Fie REf : si x0 un punct din intervalul E .

- Daca f este de doua ori derivabila intr-o vecinatate V a lui x0 si daca exista doua numere

V, astfel incat :

1). x0 ;

2). 0"

xf ;

3). 0"f pe x0, si 0

"f pe ,0x

sau

0"f pe x0, si 0

"f pe ,0x

Atunci x0 este punct de inflexiune pentru f .

- Punctul xfxM 00 , se numeste punct de inflexiune al graficului .

Observatii privind ppuunncctteellee ddee iinnfflleexxiiuunnee :

1). Conditia 0"

xf nu implica automat x0 punct de inflexiune .

2). Conditia ca f sa fie continua in x0 este importanta .

3). Daca f nu are derivata ( finita sau infinita ) in x0 atunci x0 nu este punct de inflexiune

pentru f .

Determinarea ppuunncctteelloorr ddee eexxttrreemm :

S-a discutat la Cap. 6.2 / pag. 4 .




O problema importanta in trasarea graficelor functiilor este determinarea

asimptotelor .

Prin asimptota se intelege o dreapta ( orizontala , oblica sau verticala ) fata de

care graficul functiei “se apropie oricat de mult “ .

Se disting urmatoarele tipuri de asimptote :

Definitia asimptotei OORRIIZZOONNTTAALLEE :

- Fie REf : , RE , unde E contine un interval de forma ;a .

1) Daca :

nxfx

lim , n finit

atunci dreapta ny este asimptota orizontala spre pentru functia f .

2). Daca :

nxfx

'lim

, n'

finit

atunci dreapta ny ' este asimptota orizontala spre pentru functia f .

Observatii privind asimptotele OORRIIZZOONNTTAALLEE :

1). Daca functia f nu este definita in sau atunci nu are sens sa discutam

existenta asimptotelor orizontale .

2). Denumirea de orizontala pentru asimptota provine din aceea ca dreapta

ny sau ny '

este paralela cu axa Ox .

3). Daca limitele functiei date nu sunt finite atunci putem trece sa studiem existenta

asimptotelor oblice . Rezulta concluzia : o functie nu poate admite atat asimptote orizontale cat si

oblice !!!

4). Atentie : daca o functie nu admite asimptote orizontale nu rezulta neaparat ca admite

asimptote oblice . Conditia ca functia f sa admita asimptote oblice va fii ilustrata in cele ce

urmeaza .




Definitia asimptotei OOBBLLIICCEE spre :

- Fie REf : , RE , unde E contine un interval de forma ;a .

- Se spune ca dreapta :

nmxy

este asimptota oblica la ramura spre a functiei f , daca distanta dintre dreapta si grafic ,

masurata pe verticala , tinde catre zero cand x tinde catre , adica daca :

0lim

nmxxfx

.

Definitia asimptotei OOBBLLIICCEE spre :

- Fie REf : , RE , unde E contine un interval de forma b; , Rb .

- Se spune ca dreapta :

nmxy ''

este asimptota oblica la ramura spre a functiei f , daca distanta dintre dreapta si grafic ,

masurata pe verticala , tinde catre zero cand x tinde catre , adica daca :

0lim''

nmxxf

x

.

Teorema :

1). Dreapta nmxy este asimptota oblica la ramura spre a functiei f , daca si

numai daca Rnm , , nm, finite , unde :

x

xfm

xlim

, cu conditia 0m

si

mxxfnx

lim




2). Dreapta nmxy '' este asimptota oblica la ramura spre a functiei f , daca si

numai daca Rnm''' , , nm

'', finite , unde :

x

xfm

xlim

'

, cu conditia 0' m

si

xmxfnx

''lim

Observatii :

1). Practic pentru a determina asimptota oblica la pentru f se procedeaza astfel :

se calculeaza x

xfm

xlim

- daca m este finit , atunci se calculeaza limita

mxxfnx

lim

- daca si n este finit , atunci dreapta nmxy reprezinta asimptota oblica spre a

lui f .

2). Analog pentru determinarea asimptotei oblice spre a lui f .

3). Daca cel putin una din cele doua limite nu exista sau este infinita , curba nu are

asimptota oblica la .

4). In general , asimptotele oblice la si ( in cazul in care exista ) sunt diferite .




Fie REf : , RE , Ra punct de acumulare pentru E .

Definitia asimptotei VVEERRTTIICCAALLEE la stanga :

- Se spune ca dreapta : ax

este asimptota verticala la stanga a lui f daca :

xf

axax

lim sau

xf

axax

lim .

- Dreapta ax , intr-un reper cartezian xOy , este o dreapta paralela cu Oy , deci verticala .

Definitia asimptotei VVEERRTTIICCAALLEE la dreapta :


este asimptota verticala la dreapta a lui f daca :

xf

axax

lim sau

xf

axax

lim .

Definitia asimptotei VVEERRTTIICCAALLEE :


este asimptota verticala a lui f daca ea este asimptota verticala atat la stanga cat si la dreapta sau

numai lateral .

Observatii :

- Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca f sa fie definita in ax .

- Functia f nu are asimptota verticala pe ax , daca punctul ax este de continuitate

pentru f ( Rafxfax

lim ) .




Exercitiul nr. 1 :

Sa se determine extremele functiilor RRf : urmatoare :

1). xxxf 2

; 2). xxf 1 ;

3). constant 0 , 2sin AxAxf ; 4). 42 xxf ;

5). 742

xxxf ; 6). 12 xxxf .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se determine punctele critice pentru functiile RDf : urmatoare , D fiind

multimea punctelor Rx unde f este derivabila :

1). xxxf 33 ; 2). 782

2 xxxf ;

3). xxxf ln82 ; 4). ctgxtgxxf ;

5). exf xx 22

; 6). 1

132

x

xarctgxf .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se determine intervalele de monotonie pt functiile urmatoare RDf : , D

fiind domeniul maxim de definitie :

1). xxxf 623

; 2). xxxf3

13 ;

3). 1

1

xxf ; 4).

1

2

x

xxf ;

5). x

xxf

2

2 ; 6).

12

2

x

xxf ;

7). x

xxxf

2 ; 8). xxxf ln

3 ;

9). xxxf ln ; 10).. x

xxf

ln ;

11). exxfx

2

; 12). exxxf x221 ;

13). xx

xf ln1 ; 14). 122 xxxf .




Exercitiul nr. 4 :

Sa se afle extremele locale ale functiilor elementare urmatoare pe domeniul lor de

definitie :

1). xxxf 1024

; 2). xxxf ln5

;

3). xxxf arcsin ; 4). exxf x 12 ;

5). xxxf 2cos2 ; 6). x

xxf

ln ;

7). xx

xf3

13

; 8). 7186223

xxxxf ;

9). 5123223

xxxxf ; 10). 9

22

x

xxf ;

11). 1

222

x

xxxf ; 12). exxxf x

2

;

13). x

xxf

ln ; 14).

x

xxf

ln1

ln

;

15). arctgxxxf 2 ; 16). xxxf 2sin ;

17). exxf xx2

; 18).

x

xxf

54

312

;

19). 2

1

82

122

xxarctgx

xxf

.

Exercitiul nr. 5 :

Sa se stabileasca intervalele de monotonie pentru functiile urmatoare :

1). xxxf 824

; 2). 2

32

xx

xxf ;

3). 532

xxxf ; 4). exxf x21 ;

5). xxxf ln ; 6). 1sin

sin

x

xxf ;

7). xxf x ; 8). xxxf 3

3 ;

9). xxxf 23 ; 10).

1

32

x

xxf ;

11). 12

xxxf ; 12). xxxf 21 ;




Exercitiul nr. 6 :

Sa se stabileasca intervalele de monotonie pentru functiile urmatoare :

1). exxf x2 ; 2). xxxf ln1 ;

3). x

xxf

sin1

cos

; 4). xxxf sin ;

5).

xxf

x

11 ; 6). xxxf 1

2 ;

7). xxxf 33 ; 8). exxf x

5

;

9). exf x2

; 10). xxxf 2cos ;

11). x

xxf

ln1 ; 12). ctgxxxf 2 ;

13). xxf 211ln ; 14).

24

4

82

xarctg

x

xxxf ;

15). 1

2

2

x

xxxf ; 16).

x

xxf

21

.

Exercitiul nr. 7 :

Fie RRf : , mxxxf 2

1ln , Rm . Sa se determine m pt. care

functia f este monoton crescatoare pe R .

Exercitiul nr. 8 :

Fie RRf : ,

e

emmexf

x

xx

1

1 . Sa se determine m astfel incat f sa

fie monoton descrescatoare pe R .

Exercitiul nr. 9 :

Fie RRf : , functia definita prin 222

xxxf oricare ar fi Rx .

Sa se arate ca punctul 10x este punct de minim al functiei f relativ la multimea R .

Exercitiul nr. 10 :

Sa se arate ca functia RRf : , definita prin xxxf sin oricare ar fi

Rx este strict crescatoare pe R .




Exercitiul nr. 11 :

Sa se arate ca urmatoarele functii RRf : sunt strict crescatoare pe R :

a). xxxf cos oricare ar fi Rx ;

b). xxxf sin oricare ar fi Rx ;

c). xxf 3 oricare ar fi Rx .

Exercitiul nr. 12 :

Fie RRf : functia definita prin xxxf cos oricare ar fi Rx :

a). Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe R ;

b). Sa se arate ca ecuatia 0cos xx are o singura solutie x0 si ca

4;

60

x ;

c). Sa se arate ca exista un punct

4;0

xc astfel incat cfxf

'

044

.

Exercitiul nr. 13 :

Se da functia RRf 0\: definita prin

1

1

e

emmexf

x

xx

oricare ar fi

0\Rx , unde m este un parametru real . Sa se determine valorile parametrului m

pentru care functia f este descrescatoare pe ;00; .

Exercitiul nr. 14 :

Sa se determine valorile parametrului real a pentru care functia RRf :

definita prin axxxf 2

1ln oricare ar fi Rx este crescatoare pe R .

Exercitiul nr. 15 :

Se considera functia RRf : , 4

322

x

xxf .

a). Sa se stabileasca monotonia si punctele de extrem ale functiei f .

b). Sa se determine punctele de intersectie ale graficului functiei f cu dreapta de ecuatie

4

1y .




Exercitiul nr. 16 :

Se considera functia RRf 0\: , x

xxxf

2

2343

.

a). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al functiei si sa se calculeze derivata functiei f .

b). Sa se stabileasca intervalele de monotonie si punctele de extrem ale functiei f .

Exercitiul nr. 17 :

Se considera functia RRf 1\: , 1

2

x

baxxxf .

Sa se determine a si b astfel incat functia sa admita un extrem egal cu 1 in punctul de

abscisa 0 .

Exercitiul nr. 18 :


xxmxmxf , Rm , 0m .

Exercitiul nr. 19 :


xxexf x .

a). Calculati limitele functiei spre si ;

b). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate si sa se calculeze derivata functiei f ;

c). Precizati monotonia si punctele de extrem ale functiei f . Alcatuiti tabelul de variatie al

functiei f .

Exercitiul nr. 20 :

Se considera functia RRf : , cbxaxxf 3

, cba ,, parametrii reali ,

care indeplinesc simultan urmatoarele conditii : graficul trece prin punctele 1;0B si

2

5;1C

iar 2

10

'

f .

a). Sa se determine functia f ;

b). Pentru 1a , 2

1b , 1c , sa se stabileasca monotonia functiei obtinute ;

c). Sa se precizeze numarul de solutii reale ale ecuatiei 0xf .




Exercitiul nr. 21 :

Se considera expresia : 342

xxxf .

a). Sa se determine domeniul functiei f definita prin legea xf .

b). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate si sa se calculeze derivata functiei ;

c). Precizati monotonia si punctele de extrem ale functiei f .

Exercitiul nr. 22 :

Se considera expresia : 142ln22

xxxxf .

a). Sa se determine domeniul functiei f definita prin legea xf ;

b). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate si sa se calculeze derivata functiei ;

c). Precizati monotonia si punctele de extrem ale functiei f ;

d). Sa se precizeze daca exista puncte de extrem global .

Exercitiul nr. 23 :

Se considera functiile Rgf ;0:, ,

xxxf log1log2

12

2

1 , xxxg 3223

.

a). Sa se stabileasca monotonia functiilor f si g ;

b). Determinati numarul de solutii reale ale ecuatiei xgxf .

Exercitiul nr. 24 :

Se considera functiile Rfp ;0: ,

x

x

x

pxf

ln , Np .

a). Sa se demonstreze ca , pentru orice Np , functia fp are un singur punct de minim ;

b). Sa se precizeze punctul de minim si minimul .

Exercitiul nr. 25 :

Se considera functia RRf : , xarctgxxxf 21ln :

a). Sa se arate ca derivata functiei f este o functie crescatoare ;

b). Sa se stabileasca monotonia si punctele de extrem alefunctiei f ;

c). Rezolvati inecuatia 0xf .




Exercitiul nr. 26 :

Folosind teorema lui Lagrange , demonstrati inegalitatile :

1). Rba , abab sinsin ;

2). Rba , abab coscos ;

3). 4

0 ,,

baba aababab cossinsin ;

4). 2

0 ,,

baba b

abtgatgb

a

ab

coscos22

;

5). 2

0 ,,

baba b

abctgactgb

a

ab

sinsin22

;

6).

;

2, ba , ba

b

abctgactgb

a

ab

sinsin22

;

7). abba 0 ,, b

ba

b

a

a

ba

ln ;

8). Nn*

nnn

111ln

1

1

.

Exercitiul nr. 27 :

Aplicand functiei xxf n , Nn

* , formula lui Lagrange in intervalul ba; ,

ba 0 , sa se demonstreze : babnabaabnnnnn 11

.

Exercitiul nr. 28 :

a). Se considera functia Rf ;1: , ttf 1ln . Aplicand teorema lui

Lagrange functiei f pe intervalul x;0 , 0x , sa se arate ca oricare ar fi 0x are loc relatia :

01ln1 xxx .

b). Sa se arate ca functia Rg ;0: , xxg x 11

este monoton descrescatoare .




Exercitiul nr. 29 :

Sa se demonstreze ca au loc urmatoarele inegalitati :

1). exex , 1 x ; 2). xe

ex , 0 x ;

3). 1 xex

, Rx* ; 4).

e

xx ln , 0 x ;

5). 101

ex

xn , 1;0 x , Nn . 6). 1 eex

xx , 0 x ;

7). xex 1ln1 , 1 x ; 8).

2

21ln

x

xx , 0 x ;

9). 1

2

x

xarctgx , 0 x ; 10). exex

xx 1 , Rx ;

11). xxx

x

1ln

1 , 0 x ; 12). xx

xx 1ln

2

2

, 0 x ;

13). x

xx

1ln , 1;0 x , 0 ; 14).

6arcsin

3x

xx , 1;0 x ;

15). xxx sincos ,

2;

2

3 x ; 16). xxx sincos ,

4

5;0

x ;

17). xxx

x sin6

3

, 0 x ;

18). xxxxx cos2sinsin22

,

2;0

x ;

19). 2

1cos2

xx , Rx

* ; 20). 2

sincos2

xxxx , Rx .

Exercitiul nr. 30 :

Sa se arate ca pebtru orice numar real x , 0x este adevarata relatia :

11

1

21

x

x .

Exercitiul nr. 30 :

Se considera functia Rf ;1: ,

xx

xxf ln

1

12

.

Sa se demonstreze ca pentru orice x , 1x , este adevarata inegalitatea 0xf .




Exercitiul nr. 31 :

Sa se determine numarul radacinilor reale ale ecuatiilor si intervalele in care se

gasesc acestea :

a). 09323

xx ; b). 0144

xx ;

c). 01 arctgxx ; d). 06123

xx .

Exercitiul nr. 32 :

Folosind metoda sirului lui Rolle sa se discute numarul de solutii reale ale ecuatiilor

urmatoare dupa valorile parametrului real m :

a). 022

mxx ; b). 033

mxx ; c). 0323

mxx ;

d). 0424

mxx ; e). 0 mchx ; f). 04ln22

mxxx .

Exercitiul nr. 33 :

Sa se discute dupa valorile parametrului real m nr. solutiilor reale ale ecuatiilor :

a). 2ln2 xmx ; b). xem

x .

Exercitiul nr. 34 :

Sa se determine numarul de solutii reale ale ecuatiilor :

a). xex

1 ; b). 1ln xx ;

Exercitiul nr. 35 :

Sa se determine numarul radacinilor reale ale ecuatiei :

0131243234

xxx si sa se separe radacinile .

Exercitiul nr. 36 :

Sa se discute valorile parametrului real m numarul de solutii reale ale ecuatiilor :

a). 0123223

mxxx ; b). 0123223

mxxx ;




c). 01883234

mxxx ; d). 0129423

mxxx ;

e). 09323

mxxx ; f). 015623

mxxx ;

g). 04423

mxxx .

Exercitiul nr. 37 :

Sa se precizeze numarul radacinilor reale ale ecuatiei 016434

xxx

dupa valorile parametrului real .

Exercitiul nr. 38 :

Se considera functia RRf : , mxxxf 524

. Sa sedetermine

parametrul real m astfel incat graficul functiei sa taie axa xx'

in maximum de puncte

posibile .

Exercitiul nr. 39 :


xmxxmxf , m parametru

real , 0m .

a). Sa se arate ca pentru orice m , 0m , functia are doua puncte de extrem .

b). Pentru 3

1m , reprezentati grafic functia obtinuta .

Aratati , cu ajutorul sirului lui Rolle ca ecuatia 0xf are o singura radacina reala a .

Exercitiul nr. 40 :

Sa se arate ca ecuatiile : 02

32

23 pxxx , 0

2

276

23 qxx nu

pot avea toate radacinile reale Rqp , .

Exercitiul nr. 41 :

Fie ecuatia : 1...2

21 xaxaxan

n , Rai , 0ai , ni ,...,2,1 .

Sa se arate ca ecuatia are o solutie unica in intervalul ,0 .

Exercitiul nr. 42 :

Se considera functia cu legea de corespondenta : 32

154

2

xxxxf .

Sa se studieze cu ajutorul sirului lui Rolle radacinile ecuatiei 0xf .




Exercitiul nr. 43 :

Se consider functia RRf 1\: , 1

122

x

xxf .

a). Sa se studieze monotonia si punctele de extrem ale functiei f .

b). Sa se stabileasca convexitatea – concavitatea si punctele de inflexiune ale functiei f .

Exercitiul nr. 44 :

Se considera expresia :

84

282

xx

xxf .

a). Sa se precizeze domeniul maxim de definitie si domeniul de derivabilitate al functiei definite

prin expresia xf .

b). Sa se stabileasca intervalele de convexitate (concavitate ), punctele de inflexiune ale f-tiei f

Exercitiul nr. 45 :

Se considera functia RRf 1\: , 1

5632

2

x

xxxf .

a). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al functiei si sa se calculeze derivata functiei f .

b). Sa se precizeze intervalele de monotonie si numarul punctelor de extrem ale functiei f .

c). Sa se stabileasca intervalele de convexitate ( concavitate ) ale functiei f .

Exercitiul nr. 46 :

Se considera functia Rf 1;1: , xxf 21ln .

a). Sa se calculeze limitele la capetele domeniului de definitie .

b). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al functiei si sa se calculeze derivata functiei f .

c). Sa se precizeze monotonia si punctele de extrem ale functiei f .

d). Sa se stabileasca intervalele de convexitate ( concavitate ) ale functiei f .

Exercitiul nr. 47 :

Se considera functia RIf : , I interval deschis , derivabila de doua ori pe I .

a). Enuntati teorema lui Rolle .

b). Sa se arate ca intre doua puncte succesive de extrem exista cel putin un zerou al derivatei .

c). Pentru functia Rf 1;2: , exxxf x232

2 , sa se determine punctele de

extrem si de inflexiune .




Exercitiul nr. 48 :

Fie 342

xxxf .

a). Sa se stabileasca domeniul maxim de definitie al functiei f data prin legea xf .

b). Sa se stabileasca intervalele de convexitate ( concavitate ) ale functiei f .

Exercitiul nr. 49 :

Se considera functia RRf : , 5525ln2721 xx

xxf .

a). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al functiei si sa se calculeze derivata functiei f

b). Precizati monotonia si punctele de extrem ale functiei .

c). Determinati numarul punctelor de inflexiune .

Documents

Fie functia , unde interval sau reuniune de intervale . E R · 2015-02-06 · Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile Proprietatile functiilor derivabile D, , , , ' , E 1 2