PROPRIETATILEPROPRIETATILEDETERMINANTILORDETERMINANTILORCUPRINSProprietatea 1

Proprietatea 2 Concluzii

Proprietatea 3 Aplicatie practica

Proprietatea 4

Proprietatea 5 Test

Proprietatea 6 Rezolvare test

Proprietatea 7

Proprietatea 8

Proprietatea 9

Competenţe specifice vizate:C3.1Aplicarea proprietăţilor în

probleme de calculC3.2Rezolvarea unor ecuaţii

utilizând algoritmii de calcul

PROPRIETATEA 1

Determinantul matricei pătratice Determinantul matricei pătratice A A este egal cu este egal cu determinantul matricei transpuse ;determinantul matricei transpuse ;

ObsObs.. Acesta proprietate ne arata ca orice Acesta proprietate ne arata ca orice proprietate proprietate

valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.

Determinantul matricei pătratice Determinantul matricei pătratice A A este egal cu este egal cu determinantul matricei transpuse ;determinantul matricei transpuse ;

ObsObs.. Acesta proprietate ne arata ca orice Acesta proprietate ne arata ca orice proprietate proprietate

valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.

EXEMPLU

110

221

1621

121

126

012

PROPRIETATEA 2

exemplu

0

132

221

132

0

100

211

122

L1 = L3 C1=C2

PROPRIETATEA 3PROPRIETATEA 3

Dacă matricea B se obţine din matricea A permutand două linii (coloane), atunci det B=- det A;

Dacă matricea B se obţine din matricea A permutand două linii (coloane), atunci det B=- det A;

EXEMPLU

150

525

153

A

150

153

525

B

In matricea B am schimbat liniile 1si 2 din matricea A.

detA = -19

Det B=19

PROPRIETATEA 4

• Dacă toate elementele unei linii (coloane) ale unei matrice se înmulţesc cu un număr a, atunci se obţine o matrice al cărei determinant este egal cu produsul dintre a şi determinantul matricei;

EXEMPLU

150

525

153

A

Inmultim elementele liniei 2 cu nr. 4 obtinem matricea :

150

20820

153

B

Det B = -76 = 4(-19) = 4 det A

OBSERVATIE

•ESTE O PROPRIETATE IMPORTANTA PENTRU CA NE PERMITE SA SCOATEM FACTOR COMUN DE PE LINII SI/SAU

COLOANE ASTFEL INCAT DETERMINANTUL CARE RAMANE ESTE

MAI USOR DE CALCULAT.

exemplu

132

221

401624

132

221

523

8

PROPRIETATEA 5

•Dacă toate elementele unei linii (coloane) dintr-o matrice pătratică sînt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;

EXEMPLU

0

132

000

132

0

130

220

130

PROPRIETATEA 6

•Dacă o matrice conţine două linii (coloane) proporţionale, atunci determinantul ei este egal cu zero;

exemplu

0

131

396

132

Observam ca liniile 1 si 2

sunt proportionale pentru ca elementele liniei 2 se obtin din elementele liniei1 prin inmultire cu 3

L2= 3L1

PROPRIETATEA 7

•Dacă o linie (coloana) a unei matrice este o combinaţie liniară a altor două linii (coloane), atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;

EXEMPLU

150

353

153

A

Observam ca elementele liniei 2 se obtin prin adunarea elementelor liniei 1 cu elementele liniei 3 inmultite cu 2. deci linia 2 este o combinatie liniare a liniilor 1si 3.

L2=L1+2L3

Det A =0

Proprietatea 8

•Daca elementele unei linii (coloane)se pot scrie ca suma de doi termeni atunci determinantul matricei de poate scrie ca suma de doi determinanti in care elementele liniilor(coloanelor) sunt aceleasi cu exceptia liniei (coloanei) scrisa ca suma.

exemplu

131

324

132

131

411122

132

131

112

132

131

412

132

PROPRIETATEA 9

•Dacă la elementele unei linii (coloane) a matricei A adunăm elementele ale altei linii(coloane) înmulţite cu unul şi acelaşi număr a,atunci se obţine o matrice, al cărei determinant este egal cu determinantul matricei A;

concluzii

•CAND UN DETERMINANT ESTE ZERO?

Dacă matricea A are două liniiDacă matricea A are două linii(coloane)(coloane) egale, atunci egale, atunci determinantul ei este egal cu zero;determinantul ei este egal cu zero;

Dacă toate elementele unei liniiDacă toate elementele unei linii(coloane)(coloane) dintr-o matrice dintr-o matrice pătraticăpătratică

sunt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este sunt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;egal cu zero;

Dacă o linieDacă o linie(coloana)(coloana) a unei matrice este o combinaţie a unei matrice este o combinaţie liniară a altor două liniiliniară a altor două linii(coloane)(coloane), atunci determinantul , atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;acestei matrice este egal cu zero;

Dacă o matrice conţine douăDacă o matrice conţine două liniilinii(coloane)(coloane) proporţionale, proporţionale, atunci determinantul ei este egal cu zero;atunci determinantul ei este egal cu zero;

Aplicatie practicaAplicatie practica

acbcabxxabxacxbc

xxcxbxaxxcxbcxx

xbxa

cxx

xxb

cxx

xbxa

cxxx

b

xxx

cxxx

xxx

xxx

cxxx

xbxx

a

cxxx

xbxx

xxx

cxxx

xbxx

xxax

2222

00

00

TestTest1. Daca o linie a unui determinant este inmultita cu 2

determinantul se modifica ?2. Daca la coloana a doua adaug prima coloana obtin un

determinant mai mare decat primul ?3. La linia a doua a unui determinant scad prima linie inmultita

cu doi. Ce se intampla ?

4. Fie determinantul el va fi egal cu sau cu

explicaţi răspunsul ales.

5. Daca inversez liniile cu coloanele intr-un determinant atunci se obtine un determinant nul?

3

2

1

xxx

xxx

xxx

3 0 0

0 2 0

0 0 1

xxx

xxx

xxx

3

2

0 0 1

3

2

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

TestTest

6. Daca toate elementele unui determinant sunt pozitive determinantul este pozitiv?

7. Un determinant este nul daca toate elementele sale sunt nule?

8. Daca o linie este egala cu o coloana determinantul este nul?

9. Daca o coloana a unei matrici patratice este o combinatie liniara de celelalte coloane atunci determinantul este egal cu ?

10. Exista proprietati valabile doar pentru linii sau pentru coloane?

11. Se poate calcula determinantul unei matrici de doua linii si trei coloane?

12. Daca inmultesc cu zero o linie si o adun la alta se obtine un determinant nul?

TestTest

13. Care este mai mare:

- determinantul care are elementele de pe doua linii egale cu 10 sau altul care are elementele de pe ultimele doua coloane egale cu 100?

14. Este corect urmatorul calcul ?

15. Este corect urmatorul calcul ?

16. Motivati de ce determinantul este egal cu 0, fara a face calcule.

I7. Daca Det(A) > Det(B) atunci Det(A*B) > Det(A) * Det(B) ?

1005

613

241

123

312

321

1

123

312

321

123

312

321

2

246

624

642

TestTest

18. Fie .

a) Ce proprietati au fost aplicate?

b) Sunt corect aplicate?

c) Unde este greseala?

19. Daca schimb doua linii intre ele determinantul obtinut este opusul determinantului initial.

20. Cand inmultim un determinant cu un numar vom inmulti toate elementele determinntului cu acel numar ?

cba

b

a

c

cba

bcba

acba

ccba

bac

acb

cba

11

11

11

)(

1

1

1

1

1

1

Rezolvare testRezolvare test

1. Da

2. Nu

3. Se obtine acelasi determinant.

4. Corect este al doilea calcul.

5. Nu

6. Nu

7. Nu

8. Nu

9. Nu

10.Proprietatile sunt valabile atat pentru linii cat si pentru coloane.

Rezolvare testRezolvare test

11. Determinantul se calculeaza numai pentru matrici patratice.

12. Nu

13. Ambii determinanti sunt nuli.

14. Nu, Factorul comun se scoate de pe o linie sau de pe o coloana.

15. Nu, Factorul comun se scoate de pe o linie sau de pe o coloana.

16. Da deoarece una din linii este combinatie liniara a celorlalte doua.

17. Nu

18. a) Proprietatile 2, 9. b) Nu c) Ultimul determinant este nul datorita proprietatii 2 deci rezultatul este 0.

19. Da

20. Nu