FUNCŢII DERIVABILE:

INTRODUCERE

Noţiunea de derivată a fost introdusă şi folosită în matematică de savantul Isaac Newton (1642 – 1724) în legătură cu studiul mecanicii.

Problema vitezei instantanee a unui mobil

viteza medie a mobilului în intervalul de timp [t0, t] este:

0

0m tt

tstsv

.

viteza instantanee a mobilului în momentul t0 (fixat), t0 > 0 este:

0

0

tt0 tttstslimtv

0

acceleraţia mobilului la momentul t0 fixat este:

0

0

tt0 tttvtvlimta

0

Aproape în acelaşi timp şi savantul Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) a introdus noţiunea de derivată în legătură cu studiul tangentei la o curbă într-un punct al acesteia.

Problema tangentei la o curbă

Fie f:(a,b)R, o funcţie continuă şi M0(x0;f(x0)) pe graficul, Gf al lui f.

0

0

xxxfxftg

Panta sau coeficientul unghiular al tangentei în punctul M0 la curba Gf este:

00 xxmxfy

Panta secantei M0M reprezintă tangenta trigonometrică a unghiului format de aceasta cu sensul pozitiv al axei Ox.

0

0

xx xxxfxflimm

0

Tangenta în punctul M0(x0,f(x0)) este dată de ecuaţia:

(1)

Relaţia (1) se notează: 0

0

xx0'

xxxfxflimxf

0

şi se numeşte derivata funcţiei f în punctul x0.

I.DERIVATA UNEI FUNCŢII ÎNTR-UN PUNCT

Fie funcţia f:DR, DR, x0 Є D un punct de acumulare mulţimii D.

Se spune că funcţia f are derivată în punctul x0 Є D dacă există limita:

Rînxxxfxflim0

0

xx 0

Această limită se numeşte derivata funcţiei f în punctul x0, şi se notează:

0

0

xx0'

xxxfxflimxf

0

Se spune că funcţia f este derivabilă în punctul x0 Є D dacă limita de mai jos există şi este finită:

0

0

xx0'

xxxfxflimxf

0

DERIVABILITATEOrice funcţie derivabilă într-un punct este continuă în

acel punct. Observaţii:

O funcţie numerică poate fi continuă într-un punct fără a fi şi derivabilă în acel punct.

Orice funcţie discontinuă într-un punct nu este derivabilă în acest punct.

Există funcţii discontinue într-un punct şi care au derivată în acel punct.

Exemplu: Funcţia modul f : RR, f(x) =|x| este continuă în x0 = 0 şi nu este derivabilă în punctul x0 = 0.

Exemplu: Funcţia f : RR, dată mai jos, este discontinuă în x0 = 0 iar f’(0) = + ∞.

0x,0

0x,x1arctgxf

CONTINUITATEŞI

II. DERIVATE LATERALE

DERIVATA LA STÂNGA:

Fie funcţia f:DR şi x0 Є D.

0

0

xxxx0

's xx

xfxflimxf00

DERIVATA LA DREAPTA: 0

0

xxxx0

'd xx

xfxflimxf00

Funcţia f are derivată şi este derivabilă în x0 dacă şi numai dacă are derivate laterale şi este, respectiv, derivabilă la stânga şi la dreapta în x0 şi:

0'0

'd0

's xfxfxf

INTERPRETAREA GEOMETRICĂ A DERIVATELOR LATERALE

0's xf există.

0'd xf există.

PUNCTE REMARCABILE ALE GRAFICULUI FUNCŢIEI

PUNCTE DE ÎNTOARCERE

Fie funcţia f:DR şi x0 Є D.

Punctul x0 Є D se numeşte punct de întoarcere al funcţiei f dacă funcţia este continuă în x0 şi are derivate laterale infinite şi diferite în acest punct.

PUNCTE UNGHIULARE Punctul x0 Є D se numeşte punct unghiular al funcţiei f dacă funcţia este continuă în x0 şi are derivate laterale diferite în acest punct şi cel puţin una este finită.

PUNCTE DE INFLEXIUNE Punctul x0 Є D se numeşte punct de inflexiune al funcţiei f dacă funcţia este continuă în x0, are derivată în acest punct (finită sau infinită), iar funcţia este convexă (concavă) de o parte a lui x0 şi concavă (convexă) de cealaltă parte a lui x0.

III. DERIVATELE UNOR FUNCŢII ELEMENTARE ŞI COMPUSE

IV. OPERAŢII CU FUNCŢII DERIVABILE

Fie funcţiile f,g:DR şi x0 Є D punct de acumulare a lui D. Dacă funcţiile f şi g sunt derivabile în punctul x0 Є D, atunci funcţiile f + g, f∙g şi f/g, dacă g(x0)≠0, sunt derivabile în punctul x0, şi au loc următoarele reguli de derivare:

0'0

'0

' xgxfxgf

0'000

'0

' xgxfxgxfxgf

,xg

xgxfxgxfxgf

02

0'

000'

0

'

0xg 0

''' gfgf

''' gfgfgf

2

'''

ggfgf

gf

Fie I şi J intervale de numere reale şi funcţiile u:IJ,f:IJ. Dacă u este derivabilă în punctul x0 Є I,iar f este derivabilă în punctul u(x0)=y0 Є J, atunci funcţia compusă (f◦u):IJ este derivabilă în punctul x0 şi are loc relaţia:

0''0

' xuxufxuf

DERIVAREA FUNCŢIEI INVERSE ŞI A FUNCŢILOR COMPUSE

''' uufuf

Dacă u,v:IR sunt funcţii derivabile pe I şi u(x)>0, x Є I. Atunci funcţia uv este derivabilă pe I şi derivata este:

'v'1v'v vulnuuuvu

Fie I şi J intervale oarecare şi f:IJ o funcţie continuă şi bijectivă. Dacă funcţia f este derivabilă în punctul x0 Є I, f’(x0)≠0, atunci funcţia inversă f–1:JI este derivabilă în punctul y0 = f(x0) şi

0'0'1

xf1yf

V. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR

0

0''

xVVxxx0

''

xxxfxflimxf

00

CONCLUZII

Determinarea unor optimuri situaţionale, prin aplicarea calculului diferenţial, în probleme practice sau specifice unor domenii de activitate.

Studiul funcţiilor în general, al funcţiilor continue, derivabile în special, necesită dezvoltarea unor competenţe generale şi specifice reflectate în:

Identificarea grafic/vizual, a proprietăţilor unei funcţii numerice, privind: mărginirea, continuitatea, tendinţa asimptotică, derivabilitatea;

Asocierea de date, extrase dintr-o situaţie problemă, cu proprietăţi ale funcţiilor numerice studiate, de tipul: teoreme de convergenţă, operaţii cu limite, limite tip, tabele de derivare; Aplicarea unor algoritmi specifici, calculului diferenţial, în rezolvarea unor probleme şi modelarea unor procese specifice, unor domenii de activitate;

Exprimarea în limbajul analizei matematice, a unor teoreme concrete, modelabile prin funcţii numerice; Interpretarea pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor unor funcţii, care reprezintă exemple din domeniul economic, social, ştiinţific; Verificarea experimental a rezultatelor, deduse prin calcul, pentru probleme practice exprimabile matematic;

cu ajutorul derivabilităţii se poate stabilii ordinul de multiplicitate ale rădăcinilor unei ecuaţii polinomiale sau a intervalelor în care se găsesc rădăcinile unei ecuaţii asociate unei funcţii polinomiale.

determinarea intervalelor de monotonie pentru o funcţie dată (funcţia este crescătoare sau descrescătoare) – acest lucru se face studiind semnul derivatei întâi a funcţiei; determinarea punctelor de extrem pentru o clasă extinsă de funcţii numerice – acest lucru se face studiind semnul derivatei întâi a funcţiei; rezultatele teoretice asupra monotoniei şi punctelor de extrem ale unei funcţii permit obţinerea unor inegalităţi care, cu ajutorul metodelor elementare ar fi greu de demonstrat; determinarea intervalelor de convexitate sau concavitate ale unei funcţii – acest lucru se face studiind semnul derivatei a doua a funcţiei;

Aplicaţii utile ale derivatei unei funcţii