Funcții derivabile

prof. Ciprian Crețu

• În matematică, derivata unei funcții este unul dintre conceptele fundamentale

ale analizei matematice.

• Derivata unei funcții într-un punct semnifică rata cu care se modifică valoareafuncției atunci când se modifică argumentul.

• Cu alte cuvinte, derivata este o formulare matematică a noțiunii de rată de variație. Derivata este un concept foarte versatil, care poate fi privit în multefeluri. De exemplu, referindu-ne la graficul bidimensional al funcției 𝑓, derivataîntr-un punct 𝑥0 reprezintă panta tangentei la grafic în punctul 𝑥0. Dacă ne referim la mișcarea unui punct material exprimată prin 𝑠(𝑡) atunci derivatala 𝑡0 reprezintă viteza instantanee la momentul 𝑡0.

• Trebuie menționat că nu toate funcțiile admit derivate.

Tangenta la o curbă într-un punct

Fie 𝑓: 𝐷 → 𝑅, 𝐷 ⊂ 𝑅 funcție continuă.

Dreapta 𝑀0𝑀 este secantă curbei 𝒢𝑓 și face

cu axa 𝑂𝑥 un unghi de măsură 𝛼.

Panta dreptei este egală

𝑚 = tg𝛼 =𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0Din figură se observă că dacă punctul 𝑀 se apropie de punctul 𝑀0 atunci dreapta 𝑀0𝑀tinde să se suprapună pe dreapta (𝑑) tangenta la curba 𝒢𝑓 în punctul 𝑀0.

Rezultă că panta tangentei (𝑑) la curba 𝒢𝑓 în punctul 𝑥0 ∈ 𝐷 este

𝑚′ = lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0când aceasta există.

O secanta se apropie de tangenta la grafic în 𝑥0 când

∆𝑥 → 0 .

În fiecare punct, derivata funcției

𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 sin 𝑥2

este panta (înclinarea) dreptei care este tangentă la curbă.

Dreapta care se mișcă este tangentainstantanee la curbă în orice moment;

este colorată în verde dacă panta estepozitivă, în negru dacă este zero, respectiv în rosu, dacă panta estenegativă.

Calculul diferențial și integral au fost inventatepractic simultan, dar independent unul de celălalt,

de către matematicianul și fizicianul englez

Isaac Newton (1643–1727),

respectiv de către matematicianulgerman

Gottfried Wilhelm von Leibniz

(1646–1716).

• Se poate menționa, cu titlul aproape anecdotic, dar absolut real, că lumeaștiințifică a momentului respectiv (1685-1690) a asistat, aproape „cu sufletul la gură”, timp de câțiva ani buni, la un dialog deschis și permanent al celor doi titani, Leibnitz și Newton.

• Doar după ce cei doi oameni de știință au ajuns la înțelegerea abordăriiconceptelor și noțiunilor din ambele puncte de vedere (al fizicianului și al matematicianului), după ce s-au pus de acord cu noțiunile preliminare, limitele șimetodologia de abordare a conceptelor etc., cei doi au putut explica și restuluilumii științifice despre ce este vorba.

Derivata a apărut din necesitatea de a exprima rata cu care se modifică (variază) o cantitate 𝑦 ca urmare a modificării (variației) unei alte cantități 𝑥 de care este legatăprintr-o funcție. Folosind simbolul ∆ pentru a nota modificarea (variația) uneicantități, această rată se definește ca limita raportului variațiilor (diferențelor):

∆𝑦

∆𝑥pe măsură ce ∆𝑥 → 0.

În notația lui Leibniz, derivata lui 𝑦 în raport cu 𝑥 se scrie

𝑑𝑦

𝑑𝑥sugerând raportul a două diferențe numerice infinitezimale (în vecinătatea lui 0).

În limbajul matematic contemporan, nu se mai face referire la cantitățile care

variază; derivata este considerată o operație matematică asupra funcțiilor.

Definiția formală a acestei operații (care nu mai face uz de noțiunea de cantități infinitezimale) este dată de limita

lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

Funcții derivabile într-un punct

Definiție

Fie funcția 𝑓: 𝐷 → 𝑅,𝐷 ⊂ 𝑅 și 𝑥0 ∈ 𝐷 un punct de acumulare al mulțimii 𝐷.

• Funcția 𝑓 admite derivată în punctul 𝑥0 ∈ 𝐷 dacă există

lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0în 𝑅.

• Valoarea acestei limite notată 𝑓′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0se numește derivata

funcției în punctul 𝑥0.

• Funcția se numește funcție derivabilă în punctul 𝑥0 ∈ 𝐷 dacă limita

𝑓′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0există și este finită.

Interpretarea geometrică a derivatei într-un punct

Fie funcția 𝑓: 𝐷 → 𝑅,𝐷 ⊂ 𝑅 o funcție care admite derivată în punctul 𝑥0 ∈ 𝐷.

Din punct de vedere geometric, existenta derivatei funcției 𝑓 în punctul 𝑥0 este echivalentă cu faptul că graficul funcției admite tangenta în punctul 𝑀0(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) a cărei pantă este

𝑚 = 𝑓′(𝑥0).

Ecuația tangentei în punctul 𝑀0(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) este:

𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0), dacă 𝑓′(𝑥0) ∈ 𝑅

𝑥 = 𝑥0, dacă 𝑓′ 𝑥0 = ±∞ .

Definiții

Fie funcția 𝑓: 𝐷 → 𝑅 și A ⊂ 𝐷 o mulțime nevidă.

• Funcția 𝑓 se numește funcție derivabilă pe mulțimea 𝐴 dacă este derivabilă în fiecare punct din mulțimea 𝐴.

• Mulțimea 𝐷𝑓′ = 𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑓′ 𝑥 , 𝑓′ 𝑥 ∈ 𝑅 se numește domeniul de

derivabilitate al funcției 𝑓.

• Funcția 𝑓′: 𝐷𝑓′ → 𝑅, care asociază ∀𝑥0 ∈ 𝐷𝑓′ numărul 𝑓′ 𝑥0 ∈ 𝑅 se numește

derivata funcției 𝑓.

• Operația prin care 𝑓′ se obține din 𝑓 se numește operația de derivare a lui 𝑓.

Observație

Folosind notația 𝑥 − 𝑥0 = ℎ se obține

𝑓′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0= lim

ℎ→0

𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)

ℎ.

Cum 𝑥0 ∈ 𝐷 este ales arbitrar, rezultă că funcția 𝑓′ se poate scrie

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)

ℎ, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓′

Derivabilitate și continuitate

Teorema

Orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.

Demonstrație:

Fie 𝑓: 𝐷 → 𝑅, 𝐷 ⊂ 𝑅 și 𝑥0 ∈ 𝐷 un punct în care funcția 𝑓 este derivabilă. Să demonstrăm că lim

𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0) .

Avem

lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0) = lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0∙ 𝑥 − 𝑥0 =

= lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0∙ lim𝑥→𝑥0

𝑥 − 𝑥0 = 𝑓′ 𝑥0 ∙ 0 = 0

Rezultă că lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0) .

Derivate laterale

Definiții

Fie funcția 𝑓: 𝐷 → 𝑅,𝐷 ⊂ 𝑅 și 𝑥0 ∈ 𝐷 un punct de acumulare al mulțimii 𝐷.

• Funcția are derivată la stânga în 𝑥0, dacă lim𝑥→𝑥0𝑥<𝑥0

𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0există în 𝑅. Această

limită se notează cu 𝑓𝑠′(𝑥0) și se numește derivata la stânga în punctul 𝑥0 a

funcției 𝑓.

• Funcția se numește derivabilă la stânga în punctul 𝑥0 ∈ 𝐷 dacă derivată la stânga în 𝑥0 există și este finită.

Similar se definește derivata la dreapta.

Teorema

Fie funcția 𝑓: 𝐷 → 𝑅,𝐷 ⊂ 𝑅 și 𝑥0 ∈ 𝐷 un punct de acumulare al mulțimii 𝐷.

Funcția f are derivată în punctul x0 dacă și numai dacă derivatele laterale în x0 sunt egale

𝑓𝑠′ 𝑥0 = 𝑓𝑑

′ 𝑥0 = 𝑓′ 𝑥0

Aplicații

1) Să se studieze derivabilitatea funcțiilor

a) 𝑓: 𝑅 → 𝑅 , 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 , 𝑥0 = 0 ;

b) 𝑓: 𝑅 → 𝑅 , 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 + 𝑥, 𝑥0 = 0 ;

c) 𝑓: 𝑅 → 𝑅 , 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥, 𝑥 ≤ 0

3𝑥2 + 𝑥, 𝑥 > 0.

2) Să se calculeze derivata pentru funcția 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3.

3) Să se calculeze derivatele laterale în 𝑥0 = 0 pentru funcția 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑥 .

4) Să se studieze continuitatea și derivabilitatea în 𝑥0 = 0 pentru funcția 𝑓: 𝑅 → 𝑅

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑎𝑥, 𝑥 < 02𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 0

.

5) Fie funcția 𝑓: 𝐷 → 𝑅,𝐷 ⊂ 𝑅 și 𝑥0 ∈ 𝐷 punct de continuitate al funcției 𝑓. Punctul 𝑀0(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) se numește punct unghiular al graficului funcției 𝑓 dacă funcția 𝑓 are derivate laterale diferite în 𝑥0 și cel puțin una dintre ele este finită.

Să se studieze dacă punctul de abscisă 𝑥0 este punct unghiular în cazul funcției

𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1, 𝑥 ≤ 1

𝑥2 + 𝑥 − 1, 𝑥 > 1, 𝑥0 = 1.

6) Fie funcția 𝑓: 𝐷 → 𝑅,𝐷 ⊂ 𝑅 și 𝑥0 ∈ 𝐷 punct de continuitate al funcției 𝑓. Punctul 𝑀0(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) se numește punct de întoarcere al graficului funcției 𝑓 dacă funcția 𝑓are derivate laterale în 𝑥0 infinite și de semne contrare.

Să se studieze dacă punctul de abscisă 𝑥0 este punct de întoarcere în cazul funcției

𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥, 𝑥 ≤ 1

𝑥 − 1, 𝑥 > 1, 𝑥0 = 1.

7) Să se studieze derivabilitatea în 𝑥0 = −1,0,1 pentru funcția 𝑓: 𝑅 → 𝑅,

𝑓 𝑥 =𝑥

𝑥2+1

și să se scrie ecuația tangentei în acel punct.

8) Să se studieze continuitatea și derivabilitatea în 𝑥0 = 0 pentru funcția 𝑓: 𝑅 → 𝑅,

𝑓 𝑥 = 4𝑥 − 𝑎, 𝑥 > 2

𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥 ≤ 2.

Tema

Manual

Pag.202, exercițiile E1,E2,E3