Derivate Aerodinamice

Cap. Introducere

In domeniul aerodinamicii este foarte important sa determinam fortele reale asupra unei

aeronave si in special asupra suprafetelor portante. Pentru aceasta este vital sa stim

comportamentul campului curgerii in jurul lor.

Performantele si caracteristicile de zbor ale unei aeronave sunt puternic influentate de

design-ul aerodinamic. Aceste performante pot fi obtinute folosindu-ne de numeroasele mijloace

precum teste in tunelul aerodinamic sau simularile cu ajutorul computerului. In ciuda faptului ca

tunelul aerodinamic permite obtinerea unor rezultate de incredere, sunt totusi proceduri

costisitoare care necesita un timp destul de indelungat. Pe de alta parte, metodele

computationale permit o analiza mult mai rapida si mai accesibila financiar. Pentru conceptul si

faza preliminara a design-ului unei aeronave, unde este necesar sa se evalueze o mare varietate

de modele de aripi si configuratii de suprafete portante, este de dorit sa avem o metoda rapida cu

ajutorul careia sa determinam principalele caracteristici aerodinamice, precum rezistenta la

inaintare, portanta sau momentele de-a lungul celor trei axe.In fazele mai avansate ale design-

ului interesul se concentreaza pe obtinerea rezultatelor care arata o curgere mai detaliata in jurul

aeronavei.

In fazele preliminarii ale activitatilor de design, cunostintele detaliate asupra curgerii in

jurul aeronavei nu sunt relevante, designer-ul este interesat numai in obtinerea fortelor

aerodinamice (rezistenta la inaintare, portanta si moment), care conduc la dezvoltarea diverselor

tehnici specifice in determinarea acestor forte aerodinamice, fara necesitatea solutionarii

intregului camp al curgerii (Boundary Element Method ), putem exemplifica urmatoarele

metode: Linia portanta (Prandtl, 1921), Metode cu potcoave de vartejuri (Lamar,1976) sau

Metoda Panourilor (Hess si Smith, 1966).

Teoria liniei portante a lui Prandtl a constituit primul model matematic pentru aripa

tridimensionala (aripa de anvergura finita). Aceasta metoda a fost elaborata in anul 1918 si a

ramas o lunga perioada singura modalitate de solutionare a acestui model de aripa. Ca metoda de

lucru, Prandtl a asimilat aripa cu o distributie de vartejuri definita pe plan-forma corpului.

Deoarece in aval de aripa miscarea nu este potentiala, a introdus si o distributie de vartejuri in

curentul uniform, campul de viteze in fluid fiind determinat de cele doua distributii.

1

Metoda panourilor a fost introdusă în aerodinamică, iniţial, pe considerente fizice, ca o

metodă de simulare cu singularităţi (distribuţii de surse şi vârtejuri). Ulterior, metoda a fost

fundamentată matematic ca o variantă a metodelor cu elemente de frontieră

Prima metodă cu panouri este publicată de către Smith şi Hess, pentru calculul curgerilor

bidimensionale fără includerea efectelor de portanţă, fiind extinsa mai apoi pentru a include şi

efectele de portanţă (Hess şi Smith, Introducerea efectelor de portanţă) este legată de circulaţie

care poate fi simulată printr-un număr de vârtejuri poziţionate pe suprafaţa portantă sau în

interiorul conturului aripii. Pentru cazul tridimensional, cu includerea completă a efectelor de

portanţă, distribuţia vârtejurilor se face atât pe extradosul, cât şi pe intradosul suprafeţei portante,

cele două familii de vârtejuri unindu-se în bordul de fugă şi continuând la infinit sub forma unei

pânze de vârtejuri libere.

Aceasta metoda poate fi utilizata si in prezent pentru o rezolvare rapida a ecuatiei

potentialului curgerii pe geometrii destul de complicate folosind numai o statie de lucru. Aceste

metode desi au aparut in anii 60' continua sa fie folosite intrucat ecuatiile guvernatoare trebuiesc

rezolvate doar pe contur. Aceasta elimina necesitatea unei retele volumice, precum este nevoie

cand este folosita Diferente Finite, Volume Finite sau Metode cu Element Finit si rezulta un

sistem de dimensiuni relativ mici. Totusi, spre deosebire de aceste metode, metoda panourilor

rezulta intr-un sistem de ecuatii care este compact si cerintele de memorie cresc odata cu patratul

gradele de libertate.

Metoda cu vartejuri este similara metodei cu panouri, dar mult mai usor de implementat

si capabila sa ofere o intuitie remarcabila in aerodinamica aripii si interactiunii componentelor.

Este bazata pe solutionarea ecuatiei Laplace prin intermediul distributiei de singularitati

(potcoave de vartejuri) de-a lungul corpului, satisfacand conditia de impermeabilitate (curgerea

nu poate strabate o suprafata non-poroasa), de asemenea este subiectul aceloras restrictii

teoretice de baza care se aplica si metodelor cu panouri.

1.1 Scop

2

Aceasta lucrare are ca scop analiza si prezentarea unei metode eficiente si usor de

implementat de calcul a coeficientilor aerodinamici. Totodata se va urmari si obtinerea unor

rezultate valide din punct de vedere fizic.

In evaluarea performantele de zbor ale unei aeronave este necesar sa studiem

caracteristicile aerodinamice utilizand o metoda computationala viabila in scopul minimizarii

costurile experimentelor, dar si a procesului de calcul.

1.2 Obiective

In vederea atingerii scopului mi-am propus urmatoarele obiective:

- studiul bibliografic aupra metodelor de solutionare a performantelor aerodinamice, respectiv

calculul coeficientilor aerodinamici ai unei aripi;

- alegerea unei metode optime pentru cazurile de calcul pe care le voi studia;

- realizarea unei comparatii cu o alta metoda si validarea rezultatelor;

- implementarea unui program de calcul in Matlab care faciliteze obtinerea rezultatelor;

- evaluarea rezultatelor, concluzii finale

1.3 Continutul lucrarii

3

Se va urmari alegerea unei metode optime in analiza coeficientilor aerodinamici si modul

in care parametrii care sunt implementati in datele de intrare influenteaza rezultatele obtinute.

Lucrarea curenta va contine urmatoarele studii de caz:

studiul coeficientilor pe o placa plana - fara bracaje;

- cu bracaj la bordul de atac;

- cu bracaj la bordul de fuga;

- ambele bracaje bracate simultan;

studiul coeficientilor pe un profil subtire, considerand cazurile de calcul similar placii

plane;

realizarea studiului pe placa plana si profilul subtire se va realiza in paralel utilizand

doua metode, care ulterior vor fi comparate si validate, se va alege varianta optima;

extinderea algoritmului de calcul pentru calculul coeficientilor aerodinamici ai unei

aripi;

Se vor reprezenta grafice concludente in vederea vizualizarii facile a rezultatelor obtinute

si formularea unor concluzii privind studiile de caz analizate.

Cap2. Studiu bibliografic

4

2.1 Metode cu panouri

2.1.1 Prezentare generala

Ideea de baza a metodei cu panouri consta in discretizarea corpului in conditiile existentei

unei singularitati la suprafata acestuia, satisfacerea conditiilor la limita necesare, gasirea

distributiei singularitatii la suprafata corpului si astfel se obtin proprietatile fluidului dinamic ale

curgerii.

Geometria corpului este reprezentat in subunitati mai mici numite panouri, de aici si numele

metoda “panourilor”. In bidimensional panourile sunt de obicei linii drepte, iar in tridimensional

sunt folosite elementele planare. Singularitatile folosite pot fi fie surse, dublete sau vartejuri.

Fiecare panou este construit sa aiba un fel de distributie singular. Depinzand de acuratete, viteza

computational si alti factori pot fi folosite distributii de singularitati constante, lineare, parabolice

sau chiar de ordin superior pe fiecare panou. Numarul de panouri care formeaza corpul pot de

asemenea sa varieze. Distributia singuratitatii curente este initial necunoscuta, dar prin aplicarea

conditiilor la limita, aceasta poate fi determinata. Conditiile la limita pot fi formulate in campul

vitezei, in acest caz acestea fiind denumite conditii de tip Neumann, sau formulate pentru

potentialul interiorului corpului, numita si conditia Dirichlet. Baza metodei panourilor este pusa

de catre Hess si Smith. Principiul metodei panoului de vartej i se datoreaza lui Martensen si este

extinsa de Lewis. Katz da o excelenta abordare extensiva a metodei cu panouri (in

bidimensional, dar si in tridimensional)

Principalul avantaj al metodei cu panouri consta in faptul ca este relativ usor de formulat

si calculat. Metodele cu panouri sunt de asemenea "grid free" spatial si descrie geometria de o

precizie foarte buna. Rajan a aratat ca metoda panourilor cu vartejuri au capacitatea de a explica

miscarea cinematica a corpului rigid, precum si curgerea fluidului. Spre deosebire metodele cu

diferente finite, metoda panourilor sunt putin mai restrictive in aplicabilitatea lor. Tipic metodele

cu panouri sunt folosite in rezolvarea curgerilor potentiale, pe care le rezolva foarte eficientSunt

tehnici care se ocupa cu curgerea compresibila asupra corpurilor subtiri utilizand transformarea

Prandtl–Glauert si extensii posibile a curgerilor supersonice luand in considerare domeniul de

dependenta si gradul de influenta. Efectele vascoase pot fi incluse, dar doar cu aproximatie,

asemenea stratului limita.

5

Insa, pentru aerodinamica vitezelor mici, metodele cu panouri sunt o alegere excelenta.

Sunt de asemenea o importanta clasa de metode numerice unde solutia exacta a ecuatiilor

Laplace este de o mare importanta, adica particula bazata pe vortex blob methods. Aceste metode

au capacitatea unei simulari de precizie a curgerii incompresibile vascoase peste corpuri

arbitrare. Totodata acestea necesita o evaluare rapida si precisa a vitezei datorate corpului la un

numar semnificativ de puncte pozitionate arbitrar. Metodele cu panouri sunt folosite pentru a

calcula campul vitezei datorat corpului.

In mod traditional, metodele cu panouri au fost folosite pentru a calcula sarcinile

aerodinamice asupra corpurilor aflate in miscare intr-un fluid. Gasirea vitezei intr-un punct ales

arbitrar intr-o curgere nu este de obicei principalul obiectiv pe care se concentreaza un asemenea

calcul. In anumite aplicatii, precum campul vitezei este important. De obicei metodele cu panouri

prezinta probleme serioase in determinarea campului viteza in vecinatatea muchiilor panoului.

Aceasta problema este denumita “efectul muchiei”. .” Ramachandran, Rajan si Ramakrishna au

demonstrate pentru cazul panourilor plate folosind orice tip de distributie a singularitatilor, in

bidimensional, aceasta eroare creste pe termen nelimitat cu cat muchia panoului se apropie. Au

aratat de aeemenea ca aceasta eroare este datorata discretizarii geometriei corpului in conditiile

panourilor lineare si confera un inteles pentru a eluda aceasta problema folosind panouri cubice

pentru a aproxima geometria corpului.

Ecuatiile pentru o asemenea metoda cu panouri sunt de asemenea derivate. Problema

acestei metodologii este ca devine costisitor din punct de vedere al calculului.

2.1.2 Formularea teoretica - Metoda Hess-Smith 2D

6

Enuntarea metodei cu panouri consta in solutionarea ecuatiei Laplace (2.1) prin

suprapunerea unor solutii simple a curgerilor elementare distribuite de-a lungul corpului. Aceasta

caracteristica face ca metoda sa fie rapida, pentru ca nu este necesar discretizarea tuturor

domeniilor curgerii. Ecuatia Laplace este scrisa ca:

(2.1)

Potentialul total poate fi scris dupa cum urmeaza:

(2.2)

Unde, functia potential total, potentialul fluxului liber, distributia de surse si

distributia de vartejuri.

Aceste ultime doua distributii au potentialul local variind puternic si , unde

este lungimea arcului de cerc si care poate sa varieze.

Potentialele create de distributia de surse si vartejuri sunt date de:

(2.3)

(2.4)

unde diferitele marimi sunt definite in Figura 1.

7

Figura 1: Nomenclatura analizei profilului pentru metodele cu panouri

Potentialul total poate fi scris ca:

(2.5)

Hess si Smith au facut urmatoarea simplificare: au considerat intensitatea vartejului

constanta pe tot profilul si au folosit conditia Kutta pentu a-i corecta valoarea, in timp ce au

permis ca intensitatea sursei sa varieze de la un panou la altul, astfel incat, impreuna cu

distributia constanta a vartejului, conditia de tangenta a curgerii este satisfacuta peste tot.

Figura 2 ilustreaza reprezentarea unei suprafete netede de catre o serie de segmente.

Sistemul de numerotare incepe din bordul de fuga al intradosului si urmeaza intreg profilul. N+1

puncte defines N panouri.

8

Figura 2: Reprezentarea unui profil cu segmente de linii drepte

Ecuatia (2.5) se poate discretiza in felul urmator:

(2.6)

Cu considerat a fi constant pe fiecare panou, permitandu-ne sa scriem ,

.

Conditia de tangenta a curgerii este data de , si este scrisa folosind relatia:

(2.7)

Componentele vitezei in orice punct sunt date de contributiile vitezelor induse de sursa

si distributiile de vartejuri pe fiecare panou. Formularea matematica este:

(2.8)

9

Unde, si sunt intensitatile singularitatii, iar , , si sunt coeficientii de

influenta. Pentru a gasi , , si trebuie sa lucram intr-un sistem de coordinate local

care conduce la un inteles fara complicatii al integrarii sursei si distributiei de vartejuri

de-a lungul unui segment de dreapta.

In general, daca localizam sursele de-a lungul axei intr-un punct si integram pe o

lungime l, vitezele induse de distributiile de surse sunt obtinute din:

(2.9)

Pentru a obtine coeficientii de influenta, rescriem aceasta ecuatie in sistemul de

coordonate , cu (intensitatea sursei unitare):

(2.10)

Aceste integrale pot fi gasite intr-o forma inchisa:

(2.11)

Notatiile adoptate si illustrate in Figura 3 face mai usoara interpretarea rezultatelor si

rescrierea ecuatiilor in coordonate globale.

10

Figura 3: Relatiile dintre punctul si un panou

Se observa ca formulele pentru integralele date in ecuatia (2.14) pot fi interpretate ca o

raza si un unghi.

Substituind limitele in expresii si evaluand rezultatele obtinute din formulele finale

pentru coeficientii de influenta datorate surselor:

(2.12)

unde este distanta de la nodul la punctul , care este considerat a fi punctual de control al

panoului ; este unghiul subintins mijlocului panoului cu panoul .

Folosind aceeasi analiza folosita pentru singularitatile sursei pentru singularitatile

vartejului, distributia vartejului echivalent poate fi obtinuta. Insumandu-le pentru un panou cu

intensitatea vartejului unitate putem deduce formulele pentru coeficientii de influenta datorata

distributiei vartejului:

(2.13)

11

Si obtinem un sistem de ecuatii de forma:

, (2.14)

Care sunt rezolvate pentru intensitati necunoscute ale vartejului si sursei. Dupa

prelucrarea datelor si substituind ecuatiile, obtinem rezultatul final dupa cum urmeaza:

(2.15)

Relatia ramasa este gasita din conditia Kutta. Conform aceste ipoteze curgerea trebuie sa

paraseasca bordul de fuga lin. In practica aceasta implica ca la bordul de fuga presiunea pe

intrados si extrados sunt egale. Satisfacerea aproximativa a conditiei Kutta se face egalizand

componentele vitezei tangentiale al panoului adiacent bordului de fuga pe intrados, respectiv

extrados dupa cum se poate observa in figura 4.

Egalizand marimile vitezelor tangential de pe intrados si extradost:

(2.16)

Aceasta este extinsa pentru a obtine relatia finala:

(2.17)

Figura 4: Nomenclatura panoului din bordul de fuga

12

Pentru a completa sistemul de N+1 ecuatii, folosim conditia Kutta si substituim in aceasta

expresie formulele pentru viteze datorate curentului de la infinit si singularitatilor date mai sus.

(2.18)

Substituind in ecuatia conditiei Kutta obtinem:

(2.19)

Dupa prelucrarea expresiei rezulta urmatoarea forma:

(2.20)

care este a N+1 ecuatie, completand sistemul pentru N+1 necunoscute.

Ecuatiile finale asociate conditiei Kutta sunt urmatoarele:

(2.21)

13

(2.22)

(2.23)

Coeficientii derivati mai sus confera coeficientii necesari rezolvarii sistemului de ecuatii

algebrice lineare pentru N+1 necunoscute, , :

(2.24)

Pentru a determina distributia de presiuni pe profil trebuie sa calculam coeficientul de

presiune la suprafata .

Pentru fiecare punct de control, substituim si gasim , viteza tangential cu:

(2.25)

Folosind valorile ( )* a coeficientilor de influenta si identitatile trigonometrice, obtinem

rezultatul final:

(2.26)

14

Coeficientul de presiune la suprafata poate fi gasit din:

(2.27)

2.2 Metode cu vartejuri

In formularea sa clasica, metoda cu vartejuri prezinta distributii de singularitati de-a

lungul anvergurii, precum si in curburii profilului. Cu toate acestea, odata cu utilizarea ipotezelor

bidimensionale privind profilul aerodinamic, distributia de-a lungul corzii devine inutila. Aceasta

metoda este cunoscuta si ca Weissinger (Weissinger,1947), sau linia portanta (Phillips si Snyder,

2000). Distributia vartejului marginit se afla la ¼ din coarda, iar punctele de control se afla la ¾

din coarda, satisfacand conditia Kutta la bordul de fuga, cum se poate oberva in figura 5.

Realizand o paralela, metodele cu vartejuri sunt:

Asemanatoare cu metodele cu panouri:

- singularitatile sunt localizate pe suprafata;

- conditia de impermeabilitate este satisfacuta la un anumit numar de puncte de control;

- un sistem de ecuatii lineare algebrice este solutionat pentru a determina

singularitatile;

Distincte fata de metodele cu panouri:

- efectele portante si formularile clasice nu tin cont de grosimea profilului;

- conditiile la limita sunt aplicate pe o suprafata principala, diferita de suprafata curenta

(o solutie nu tocmai exacta a ecuatiei Laplace, dar reprezinta aproximatii aditionale,

spre exemplu, impreuna cu primul punct putem gasi , nu si sau );

- singularitatile nu sunt distribuite peste intreaga suprafata;

- folosesc modelul liniei portante.

15

Figura 5: Distributia de vartejuri in metoda Weissinger

In locul utilizatii clasicelor potcoave de vartejuri uniforme, o forma mai interesanta este

prezentata in figura 6, in care potcoava de vartej este este compusa din segmente de vartej

discrete care, urmeaza suprafata pana la bordul de fuga, dupa care se aliniaza vitezei de la infinit

(Miranda, Elliott, Baker, 1977). Aceasta metoda poate fi modificata pentru a include dara libera

si modelele aerodinamice instabile.

Figura 6: Sistemul de vartejuri adoptat

Solutia modelului cu vartejuri este bazat pe dezvoltarea teoremei Bio-Savant. Viteza in

punctul P indus de un segment de vartej care merge de la punctul A la punctul B, dupa cum se

poate observa din figura 7, poate fi calculat cu ecuatia (2.28)

16

Figura 7: Viteza indusa de un segment de vartej

(2.28)

Unde reprezinta viteza indusa de un segment de vartej, Γ reprezinta intensitatea

vartejului, iar , si sunt distantele indicate in figura 7.

Solutia problemei potentialului curgerii va fi determinarea intensitatilor fiecarei potcoave

de vartej prin intermediul unui sistem de ecuatii lineare precum in ecuatia (2.29), conditia la

limita fiind conditia impermeabilitatii corpului.

(2.29)

Unde reprezinta influenta geometrica asupra vitezei induse normale pe panoul de

potcoava de vartej , reprezinta intensitatea potcoavei de vartej , iar B este viteza curgerii

libere normale la suprafata panoului in punctele de control, incluzand componentele datorate

manevrelor (giratie, ruliu si tangaj).

17

Odata ce intensitatea fiecarei potcoave de vartej este determinata, fortele aerodinamice

pot fi calculate conform teoremei Kutta-Joukowsky, ecuatia (2.30), rezultand in distributia

fortelor, pe fiecare panou, cum se poate observa din figura 8.

(2.30)

Unde reprezinta forta rezultata la ¼ din coarda, densitatea fluidului, vectorul

rezultat pentru viteza la ¼ din coarda, iar vartejul marginit.

Nelinearitatea

Intrucat distributia potcoavelor de vartejuri apare numai de-a lungul anvergurii, cu un

singur punct de control de-a lungul corzii indiferent de curbura profilului, rezultatele obtinute cu

metoda traditionala trimite la o aripa cu un profil simetric, care, conform teoriei liniare este

echivalent cu o placa plana, cu o panta a portantei constanta egala cu si incidenta la

portanta nula constant si egal cu 0.

In scopul evitarii acestei probleme si a corectarii rezultatelor tridimensionale ale curgerii

obtinute cu placa plana ca functie a caracteristicilor aerodinamice a profilului real, va fi utilizat

un proces iterativ bazat pe metoda propusa de Mukherjee si Gopalarathnam (Mukherjee si

Gopalarathnam, 2003)

Acest algoritm iterativ are capacitatea de a calcula influenta caracteristicilor curgerii

bidimensionale pe o curgere tridimensionala, procesul poate fi descris prin parcurgerea

urmatorilor pasi:

1. valorile initiale ale lui si sunt asumate pentru fiecare sectiune a aripii;

18

2. caracteristicile aerodinamice sunt calculate folosind algoritmul traditional al metodei cu

vartejuri;

3. unghiurile de atac efective pentru fiecare sectiune ( ) sunt calculate folosind valoarea

locala a portantei obtinuta la pasul 2 folosind ecuatia (2.31).

(2.31)

4. valoarea lui este calculata, unde este valoarea obtinuta cu metoda

conventionala cu vartejuri, iar este valoarea obtinuta utilizand caracteristicile profilului si

unghiurile de atac efective pentru fiecare sectiune a anvergurii (polarele bidimensionale).

5. noua valoare a lui este calculata folosind ecuatia (2.32) si noul unghi de atac ale carui

sectiuni devine unghiul de atac initial plus noua valoare a lui , dupa cum se poate observa in

ecuatia (2.33).

(2.32)

(2.33)

6. intorcandu-ne la punctul 2, unde este noua valoare pentru unghiul de atac a fiecarei

sectiuni care urmeaza a fi utilizate pentru calculul cu metoda traditionala. Acest proces este

repetat pana cand converge.

Cand unghiul de atac pentru fiecare sectiune si polara profilului sunt cunoscute, dincolo

de obtinerea coeficientului de portanta, este posibil sa rezulte rezistenta parazita si coeficientii

momentului aerodinamic pentru fiecare sectiune a aripii.

Mukherjee si Gopalarathnam, au testat algoritmul numai pentru aripi individuale, in

conditii de zbor simple (fara viteze de giratie, rotatie sau tangaj); totusi, aceasta metoda a fost

folosita cu succes pentru aeronave complete cu geometrii complexe.

Totusi, in scopul folosirii algoritmului in calculul unei aeronave complete cu geometrii

complexe si in conditii de zbor cu miscari de rotatie, giratie sau tangaj, era necesar sa se

foloseasca un coeficient de amortizare si disipatie, care nu sunt inclusi in algoritmul original

19

propus de Mukherjee si Gopalarathnam. Acesti coeficienti confera mai multa stabilitate metodei

numerice, transformand ecuatia (2.32) in ecuatiile (2.34) si (2.35).

(2.34)

(2.35)

Unde reprezinta sectiunea de-a lungul anvergurii, este factorul de amortizare, iar

este factorul de disipatie.

Rezistenta indusa

Datorita dificulatilor introduse de calculul rezistentei induse prezente intr-o suprafata

portanta, sunt mai multe cai de a o estima, precum componenta care se opune miscarii calculate

cu teorema Kutta-Joukowsky (ecuatia 2.30), metoda liniei portante modificate propusa de

Eppler care calculeaza curentul din avalul bordului de fuga, precum si integrarea presiunii.

O metoda mai precisa in estimarea rezistentei induse data de teorema Kutta-Joukowsky

este masurarea variatiei energiei cinetice (impuls) intr-un plan din spatele aeronavei, deoarece

este valabila pentru orice tip de geometrie a aripii si suprafete multiple, chiar si pentru un

configuratie complete a unei aeronave, incluzand fuselajul.

Variatia impulsului in directia perpendiculara la curentul de la infinit in suprafata S6

a figurii 9 este rezistenta cauzata de aeronava, care poate fi calculate cu ecuatia (2.36). Aceasta

tehnica este cunoscuta ca planul indepartat sau analizele Trefftz-Plane.

20

Figura 9: Volumul de control folosit in estimarea rezistentei induse

(2.36)

Totusi, o metota mai convenabila de solutionare a ecuatiei (2.36) este obtinuta folosind

teorema lui Green care converge o suprafata integrala intr-o linie integrala, iar ecuatia rezistentei

induse presupune forma prezentata in ecuatia (2.37).

(2.37)

Unde reprezinta diferenta potentialului cuprinsa intre partea superioara si inferioara a

darei, iar este viteza normala a curgerii in dara.

Precum in metoda distributiei potcoavelor de vartejuri, diferenta de potential in dara este

circulatia ( ), iar rezistenta indusa poate fi calculate convenabil cu ajutorul ecuatiei (2.38)

21

(2.38)

Unde reprezinta rezistenta indusa, este densitatea fluidului, este intensitatea

potcoavei de vartej, reprezinta viteza normal indusa prin dara, iar latimea potcoavei de

vartej. Toate aceste valori sunt masurate in puncte la o anumita distanta in avalul aripii dupa cum

se poate observa din figura 10.

Figura 10: Punctele de calcul folosite in masurarea rezistentei induse in metoda Trefftz-Plane

22

Dara libera

Alinierea potcoavelor de vartejuri cu dara libera, cum a fost aratat anterior (figura 6), este

o buna aproximare pentru calcularea aeronavelor cu aripi fixe in conditii de zbor simplificate

(fara manevre), deoarece geometria darei are o mica influenta in rezultatele aerodinamice de

interes (coeficientii de portanta si rezistenta) a suprafetei care a generat-o in curgerea stationara.

Totusi, cand consideram o geometrie a aripii mai complexa si in conditii de manevre in

care dara trece foarte aproape de suprafata portanta, ca de exemplu, ampenajul vertical in

traiectoria darei aripii, dupa cum se poate vedea in figura 11, precizia calculului geometriei darei

poate afecta rezultatele in unele conditii de zbor, precum si in curgerea nestationara.

In scopul rezolvarii acestei probleme, la metoda vartejurilor putem adauga modelul darei

libere. Acesta este un proces iterativ, neliniar si tranzitoriu care necesita un timp indelungat de

procesare, intrucat dara este discretizata in elemente distinct si traiectoria potcoavei de vartej este

calculata.

Figura 12: Evolutia curentului de la infinit si crearea vartejurilor in bordul de fuga

Algoritmul utilizat in calcularea darei libere este bazat pe ideile propuse de Katz si

Maskew si poate fi descris dupa cum urmeaza:

23

1. Introducerea geometriei initiale a potcoavei de vartej, unde vartejul din bordul de fuga

extinde pe suprafata profilului de la vartejul marginit (¼ in coarda) numai pana la

bordul de fuga (in figura 12, )

2. Metoda cu vartejuri este folosita in scopul calcularii intensitatii vartejului si a vitezei in

punctele de control ale darei.

3. Cu vitezele in punctele de control, traiectoria unei particule de fluid localizata in aceste

puncte este calculata (linii de curent) folosind o metoda de integrare numerica, cum se

poate remarca din ecuatiile (2.39) si (2.40).

(2.39)

Unde:

(2.40)

4. Vartejul din bordul de fuga este apoi extins peste traiectoria particulei de fluid calculate

(linie de current).

5. Revenim la punctul 2, pana cand criteriul de convergenta este indeplinit sau este obtinut

un numar prestabilit de iteratii.

Este important de observat ca aceasta este o problema de tip eliptic, cu alte cuvinte, este

necesar sa recalculam intreaga dara la fiecare iteratie, intrucat cel mai indepartat segment de

vartej al aripii initializarea dezvoltarii darei celei mai apropiate de aripa.

De asemenea, este important sa subliniem ca la pasul 3, ecuatiile (2.39) si (2.40) se

refera la o metoda de integrare de ordinul 1 (Euler). Este recomandabil sa folosim o metoda de

integrare de ordin superior, precum Runge-Kutta de ordinul 2 sau 4, care imbunatateste precizia

rezultatelor.

24

Cap3. Calculul coeficientilor aerodinamici utilizand metode cu vartejuri

3.1 Conditii la limita

Efectele interioare

Efectele interioare sunt efecte ce actioneaza in stratul limita datorita miscarii cu

vascozitate. Stratul limita este extrem de mic comparativ cu alte dimensiuni.

Aceste efecte nu pot fi neglijate, ele contin informatii despre rezistenta vascoasa. Aceasta

problema poate fi impartita si calculata separat, pentru ca influenta sa asupra stratului limita

exterior este mica.

Efectele exterioare

Fortele de presiune sunt efecte care actioneaza in exteriorul stratului limita. Acestea sunt

calculate cu metode cu vartejuri.

25

Conditiile la limita pe suprafata medie si relatia presiunii ????????

O diferenta importanta intre metodele cu vartejuri si cele cu panouri este modul in care

conditiile la limita sunt manevrate. In mod caracteristic, metodele cu vartejuri au la baza o

evaluare aproximativa a conditiilor la limita. Aceste conditii pot fi de asemenea, utilizate in

diverse circumstante, cum ar fi cazul in care avem nevoie de ecuatii suplimentare pentru a obtine

un sistem inchis de ecuatii. In general, aceasta abordare conduce la asa-numita “conditia la limita

a profilului subtire” si apare liniarizand si transferand conditiile la limita de pe suprafata curenta

pe o suprafata de mijloc plana de referinta, reprezentand o suprafata cu coordonate fixe. Odata cu

simplificarea conditiilor la limita, poate fi scrisa o relatie simplificata intre presiune si viteza.

Simplificarea conditiilor la limita si a relatiilor presiune-viteza ofera un fundament in tratarea

problemei, precum suprapunerea contributiei portantei si grosimii asupra rezultatelor

aerodinamice. Karamcheti ofera o excelenta dezbatere a acestei abordari.

Pentru a intelege abordarea conditiei la limita aplicate teoriei profilului subtire, putem

oferi un exemplu in bidimensional.

Conditia la limita exacta a suprafetei pentru curgerea stationara nevascoasa este:

(3.1)

pe . Vectorul normal unitate este , iar campul

vitezei este definit utilizand notatiile din figura 13.

26

Figura 13: Sistemul de coordinate considerat pentru analiza contitiilor la limita

Definim componentele vitezei V ca:

(3.2)

unde este o viteza de perturbatie cu componentele si . Daca consideram ipoteza curgerii

irotationale, atunci aceste component sunt descrise in raport cu o functie potentiala scalara,

si . Viteza totala este scrisa apoi in functie de componentele sale:

(3.3)

si putem rescrie conditia la limita:

(3.4)

sau

(3.5)

pe si apeland la relatia dintre si data de ecuatia (3.1):

(3.6)

Substituind in ecuatia (3.5) obtinem:

(3.7)

care, rezolvand pentru componenta , este:

27

(3.8)

pe . Se poate observa ca este scrisa in functie de necunoscuta . Desi ecuatia (3.8)

este o conditie la limita neliniara si sunt necesare analize aditionale pentru a gasi o relatie utila.

Forma liniarizata a conditiilor la limita ????????????????????

Relatia de mai sus data de ecuatia (3.8) este exacta. Aceasta a fost derivata ca punct de

plecare in derivarea unor relatii utile cand corpul (care este presupus a fi o suprafata subtire la un

unghi mic de atac) induce perturbatii vitezei de la infinit. Perturbatiile sunt mici comparativ cu

viteza de la infinit. Astfel presupunem: , iar . Observam ca acestea

aditioneaza sistemului de coordonate o relatie in scopul simplificarii analizei, o consecinta

specifica introducerii ipotezelor simplificatoare.

(3.9)

Introducand ipotezele simplificatoare (3.9) in ecuatia (3.8) expresia pentru devine:

(3.10)

Impartind prin ,

(3.11)

Conditia la limita liniarizata este obtinuta neglijand in raport cu unitatea (conform

cu aproximatiile anterioare). Utilizand aceasta ipoteza, conditia la limita liniarizata devine:

pe (3.12)

Aceasta forma a conditiei la limita nu este valabila daca perturbatia curgerii este mare

comparative cu viteza de la infinit (pentru corpurile modelate aerodinamic, aceasta este de obicei

28

valabila peste tot cu exceptia bordului de atac al profilului, unde exista un punct de stagnare

, iar panta tinde la infinit . In practica, o incalcare a acestei ipoteze

conduce la o eroare locala. Astfel, daca caracteristicile curgerii la bordul de atac nu sunt

semnificative in efectuarea analizei, poate fi utlizata conditia la limita liniarizata.

Influenta conditiei la limita ????????????????????????

Desi ecuatia (3.12) este liniara, este dificil de aplicat deoarece nu este adaptata pe un nou

sistem de referinta in care sa fie introduse ipotezele simplificatoare a conditiilor la limita, astfel

incat se justifice utilizarea unor transformari elaborate.

In cele ce urmeaza vom utiliza o aproximatie a acestei relatii pentru a obtine o forma utila

a conditiei la limita liniarizate. Folosind o dezvoltare a seriei Taylor pentru componenta a

vitezei in raport cu axele de coordonate, obtinem viteza la suprafata:

(3.13)

Pentru suprafetele subtiri considerate, are o valoare mica si deoarece perturbatiile

considerate sunt mici, raportul este de asemenea mic. De exemplu, presupunand ca si

au acelasi ordin de marime, egal cu 0.1, deci si are o valoare aproximativ egala cu 0.1.

Relatia dintre pe suprafata profilului si axele de coordonate este:

(3.14)

Neglijand cel de-al doilea termen, presupunem ca:

(3.15)

Aplicam conditiile la limita pentru intrados si extrados pe axa , iar distinctia intre

acestea se face utilizind notatiile:

pe extrados (3.16)

29

pe intrados

Folosind aceste notatii (3.16), putem scrie conditiile la limita pentru intrados si extrados

dupa cum urmeaza:

, (3.17)

Acestea sunt conditiile la limita liniarizate si transferate. Frecvent, aceste conditii la

limita conduc la o buna aproximatie a rezultatelor campului curgerii, chiar si in curgerea

transonica si supersonica.

Descompunerea conditiilor la limita in curbura/grosime/alpha ??????????

Simplificarile ulterioare pot fi obtinute considerand profilele ca fiind compuse dintr-o

combinatie a unei grosimii si a unei curburii. Asadar scriem functiile corespunzatoare pentru

intrados si extrados in functie de curbura, , respectiv grosime :

(3.18)

astfel, problema de interes este divizata in urmatoarea suma, dupa cum se poate observa in figura

(14).

Figura 14: Descompunerea unui profil la o incidenta oarecare

30

Descompunerea problemei este oarecum arbitrara. Curbura poate fi considerata a include

efectele incidentei utilizand conditiile la limita prezentate mai sus, semnul este acelasi, atat

pentru intrados cat si pentru extrados. Pentru a continua, trebuie sa utilizam o ipoteza de baza a

metodei cu vartejuri: campul curgerii este guvernat de o ecuatie diferentiala cu derivate partiale

liniara (ecuatia Laplace). Suprapunerea efectelor ne permite sa rezolvam problema pe portiuni si

sa aditionam contributiile diferitelor parti componente ale problemei. Acestea conduc la forma

finala a conditiilor la limita in ipoteza profilelor subtiri:

(3.19)

Problema poate fi rezolvata pentru numeroase contributii, iar aceste contributii sunt

aditionate impreuna pentru a obtine o solutie complete. Daca grosimea este neglijata, conditiile

la limita sunt aceleasi atat pentru extrados, cat si pentru intrados.

Relatia presiunii in teoria profilului subtire ?????????????????

Potrivit cu liniarizarea conditiilor la limita, putem obtine o relatie utila intre presiune si

viteza. Pentru curgerile incompresibile, relatia exacta dintre presiune si viteza este urmatoarea:

(3.20)

si putem extinde relatia vitezei considerand perturbatiile vitezei de la infinit utilizand

aproximarile despre care am discutat anterior:

31

Dezvoltand:

(3.21)

si impartind cu obtinem:

(3.22)

Substituind in relatia (3.20) obtinem:

(3.23)

iar daca , si sunt , atunci ultimii patru termini pot fi neglijati in raport cu al

treilea termen. Rezultatul final fiind:

(3.24)

Aceasta relatie reprezinta ecuatia liniarizata a presiunii in ipoteza profilelor subtiri.

Totodata, relatia arata ca, sub influenta unei perturbatii mici, presiunea este o functie liniara ce

depinde de si puteam adauga contributia lui prin suprapunerea efectelor grosimii, curburii,

respective unghiului de atac. Similar se poate demonstra ca ecuatia (3.24) este de asemnea

valabila pentru curgeri compresibile pana la viteze supersonic moderate.

3.2 Teoremele vartejurilor

In utilizarea singularitatilor vartejurilor aplicate modelului suprafetelor portante, este

necesar sa mentionam cateva proprietati ale vartejurilor. Cele mai importante proprietati sunt

asa-numitele teoreme ale vartejurilor. Aceste teoreme sunt asociate cu numele lui Kelvin si

Helmholtz. Mentionam trei din acestea:

32

1. in lungul unei linii de vartej (tub de vartej), circulatia , este constanta;

2. un filament de vartej (linie de vartej) nu poate incepe sau sa se termine neasteptat intr-un

mediu fluid. Linia de vartej trebuie:

i. sa fie inchisa;

ii. sa fie extinsa la infinit;

iii. sa se incheie cu o limita solida.

3. o curgere initiala irotationala si nevascoasa, va ramane irotationala.

Pe baza acestor teoreme obtinem un rezultat important:

O distributie de vartejuri poate favoriza un salt in viteza tangentiala, in timp ce viteza

normal este continua. Aceasta inseamna ca putem utiliza o distributie de vartejuri pentru

a reprezenta o suprafata portanta.

3.3 Formularea problemei si pasii de lucru

PLACA PLANA ?????

Extindere catre teoria profilului subtire

Se considera un profil subtire supus unui curent de aer cu .Ipoteza de lucru consta in faptul ca perturbatiile produse de profil la infinit amonte sunt

mici, ceea ce inseamna ca profilul poate fi simplificat reducandu-se la schelet.

33

unde ecuatia scheletului, - extrados profil, - intrados profil, -

presiunea ce actioneaza pe extrados, - presiunea ce actioneaza pe intrados, - element

de calcul.

Modelul fizic

Caz de baza:

34

Intervalul se divide in sub-intervale de lungime constanta sau variabila (panouri).Avem astfel panouri si noduri.

Ulterior vom considera variatii ale vom observa ca vor avea loc variatii ale

circulatiei variatii ale , .

Consideram pe scheletul profilului o distributie de vartejuri a caror intensitatea este

cunoscuta.

35

linia corzilor

Figura...: Distributia de vartejuri pe schelet

Metoda cu panouri are ca scop rezolvarea problemei determinarii circulatiei distribuite pe

profil intr-o maniera discreta.

Coordonatele unui nod sunt unde se obtine din discretizarea ,

iar se calculeaza cu ecuatia scheletului .

Considerand un panou putem defini pozitia vartejului si a punctului de colocare dupa

cum urmeaza:

36

Introducem astfel un set de vartejuri, iar scopul metodei este de a determina intensitatea

acestor vartejuri.

- necunoscuta problemei

Circulatia induce in punctul de colocare o viteza , aceasta avand doua

componente, pe axa x si pe axa z.

In fiecare punct de colocare, campul vitezelor trebuie sa indeplineasca conditia de

tangenta la contur, ecuatia ().

conditia de tangenta

Avand: unde

Explicitand termenii matricei si termenii vectorului avem:

- sistemul liniar matriceal care se doreste a fi solutionat.

unde A - matricea sistemului, b - termenul liber, - numarul de panouri.

37

Dupa ce am rezolvat sistemul de ecuatii liniar (), rezultand circulatia putem efectua

calculul efectiv in vederea obtinerii coeficientilor de portanta si moment , precum si a

derivatelor .

Program de calcul implementat in Matlab

Date de intrare:

Coarda profilului:

Coordonatele bordului de atac: ,

Incidenta in grade, respectiv radiani ,

Viteza si densitatea curentului: ,

Definirea numarului de panouri:

Initializarea bracajelor: bracajul la bordul de atac , bracajul la bordul de fuga (se va da

valori celor doua unghiuri)

Punctele de inflexiune al bracajelor, reprezentate in unitati de coarda: pentru bordul de atac

, pentru bordul de fuga

Calculul elementelor geometrice:

38

Lungimea suprafetelor de comanda: la bordul de atac

la bordul de fuga

Definirea curburii profilului: ;

Coordonata panourilor: - pe axa :

- pe axa difera in functie de profilul pe care se realizeaza

discretizarea (ANEXE program Matlab)

Elemente de calcul: , , cu

Pozitiile vartejurilor:

Pozitiile punctelor de colocare:

Lungimile panourilor: ,

Reprezentarea normalelor pe axa , respectiv axa : ,

Studiu de caz - Metoda directa

Termenul liber al sistemului liniar (vector):

Elemente geometrice: , , ,

Componentele vitezei induse: ,

39

Matricea sistemului liniar:

Rezolvarea sistemului liniar:

Se solutioneaza progresiv sistemele de ecuatii:

,

,

,

Explicitarea sistemului:

Consideram un panou oarecare j:

40

Viteza indusa:

Conditiile la limita in "i":

Realizand substitutiile vitezei induse, ecuatia () si ecuatia termenului liber () se obtine

sistemul de ecuatii liniare explicitat pe componente:

unde

Inlocuind relatiile () si () in relatia () se obtine:

41

Luand ca exemplu cazul placii plane, putem deduce ecuatiile ce descriu placa plana fara

bracaje sau cu bracaj:

()

Derivand ecuatia ( ), se obtine efectul bracajului la bordul de fuga:

42

Acum putem scrie termenul liber ca fiind:

Caz de lucru:

1 2

3

Numarul de panouri termenul liber devine:

Mai departe putem calcula cu usurinta derivatele in functie de , respectiv :

43

Introducand relatiile (), () in sistemul liniar obtinem:

, respectiv

unde ,

Considerand cazul placii plane cu bracaje atat la bordul de atac, cat si la bordul de fuga, ,

figura():

44

Se deduc urmatoarele relatii a normalelor pentru fiecare sectiune:

pentru placa plana fara bracaje

in cazul bracajului la bordul de atac cu un unghi

in cazul bracajului la bordul de fuga cu un unghi

Construim vectorul termenului liber al sistemului, efectuand derivatele in functie de

, respectiv :

45

Dupa efectuarea calculelor si substitutia relatiilor () ,() in sistemul de ecuatii liniar se

obtin circulatiile , , .

Avand calculate aceste derivate putem obtine cu usurinta derivatele de interes.

Dupa calcularea coeficientului de portanta, utilizand relatiile () () se pot obtine cu

usurinta derivatele coeficientului de portanta, respectiv coeficientul de moment in raport cu ,

si .

sau

In cazul in care unghiul de incidenta , respectiv bracajele de la bordul de atac , si de

la bordul de fuga variaza, vom obrine evident o variatie a coeficientului de portanta dupa cum

urmeaza:

, unde

, unde

46

, unde

- variatii ale unghiurilor

sau

sau

sau

Coeficientul de moment calculat la bordul de atac se obtine din relatia:

Putem calcula portanta si momentul fata de bordul de atac. Avand exemplul de placa

plana cu o distributie de trei panouri, figura (), se poate scrie:

47

unde - coordonata pe axa x a vartejului, xba - coordonata bordului de atac pe axa x.

Cap4. Formularea adjuncta

Reprezinta o alternativa a metodei cu vartejuri prin care se solutioneaza derivatele

coeficientului de portanta in functie de incidenta si de bracaje.

Aceasta metoda este enuntata in cele ce urmeaza.

Plecand de la ipotezele deja cunoscute dupa cum am putut vedea in metoda precedenta

avem:

(*)

(**)

unde reprezinta un vector cu componente si este de forma:

48

Considerand sistemul , tinand cont de influenta incidentei si a bracajelor, putem

rescrie sistemul in forma:

Noutatea formularii adjuncte este constituita prin introducerea unei functii , numita

functia adjuncta astfel incat:

Realizand produsul scalar dintre si membrul stang, respectiv membrul drept al

sistemului avem:

Am demonstrat printr-un artificiu de calcul ca:

, respectiv

Facand uz de relatia si substituind in relatiile (*) si (**) obtinem:

49

Cap5. Rezultate

5.1 Cazul placii plane

5.1.1 Placa plana fara bracaje (program matlab - ANEXA...)

Studiu de caz 1

50

Considerand urmatoarele date de intrare:

coarda:

incidenta de la infinit:

viteza de la infinit:

densitatea:

numarul de panouri:

Metoda directa

coeficientul de portanta:

panta coeficientului de portanta in functie de incidenta:

coeficientul de moment:

panta coeficientului de moment:

51

portanta:

momentul la bordul de atac:

52

Formularea adjuncta


53

54

Studiu de caz 2

Pastrand datele de intrare, dar modificand incidenta de la infinit obtinem:

Metoda directa


panta coeficientului de portanta in functie de incidenta: (acelasi???)


panta coeficientului de moment: (acelasi???)

portanta:


55

Formularea adjuncta

panta coeficientului de portanta in functie de incidenta: (acelasi???)

56

5.1.2 Placa plana cu bracaje la bordul de atac si bordul de fuga

Considerand urmatoarele date de intrare:

coarda:

incidenta de la infinit: (gresealaaa calcule pentru 10 grade)!!!!!!!

viteza de la infinit:

densitatea:

unghiul bracajului la bordul de atac:

unghiul bracajului la bordul de fuga:

punctul de inflexiune a bracajului la bordul de atac:

punctul de inflexiune a bracajului la bordul de fuga:

lungimea bracajului de la bordul de atac:

lungimea bracajului de la bordul de fuga:

numarul de panouri:

57

Studiu de caz 1

Considerand doar bracajul la bordul de atac, figura ():

Metoda directa



derivata coeficientului de portanta in functie de bracajul :



derivata coeficientului de moment in functie de :

portanta:


Formularea adjuncta


58


59

Studiu de caz 2

Considerand doar bracajul la bordul de fuga, figura ():

60

Metoda directa







portanta:


Formularea adjuncta



61

Studiu de caz 3

Considerand placa plana cu bracaje atat la bordul de atac cat si la bordul de

fuga, figura ():

62

Metoda directa









portanta:


Formularea adjuncta




63

64

5.2 Cazul profilului subtireStudiul de caz se realizeaza in ipoteza datelor de intrare de la placa plana.

5.2.1 Profil subtire fara bracaje

Studiu de caz 1

Metoda directa





portanta:


Formularea adjuncta

65


66

5.2.2 Profil subtire cu bracaje la bordul de atac si bordul de fuga

Studiu de caz 2

Considerand doar bracajul la bordul de atac, figura ():

67

Metoda directa







portanta:


Formularea adjuncta



68

Studiu de caz 2

69

Considerand doar bracajul la bordul de fuga, figura ():

Metoda directa







portanta:


Formularea adjuncta

70



71

Studiu de caz 3

Considerand ipoteza profilului subtire cu bracaje atat la bordul de atac cat si la

bordul de fuga, figura ():

Metoda directa









portanta:

72


Formularea adjuncta




73

5.3 Validarea rezultatelor obtinute in urma solutionarii metodei directe si adjuncte

Pastrand ipotezele utilizate pentru cazul de baza studiat in analiza calculului

coeficientilor profilului subtire initializam urmatoarele notatii:

incidenta de la infinit:

unghiul bracajului la bordul de atac:

unghiul bracajului la bordul de fuga:

Rezolvand intreg algoritmul de calcul obtinem:



74



Avand cazul de mai sus, dar introducand o variatie a unghiului de bracaj astfel incat

, unde reprezinta variatia unghiului de bracaj introdusa, recalculam

algoritmul si obtinem:


Pentru a valida veridicitatea celor doua metode studiate, coeficientul de portanta

trebuie sa indeplineasca urmatoarea conditie:

Realizand substitutiile aferente, se poate observa ca cele doua metode utilizate se

dovedesc a fi valide deoarece se indeplineste conditia impusa, eroarea aproximatiei fiind de

ordinul .

75

Concluzii

Bibliografie:

1. Forrester T. Jojnson, A General Panel Method for the Analysis and Design of Arbitrary

Configurations in Incompressible Flow, National Technical Information Service,

Washington, 1980.

2. J. Katz and A. Plotkin. Low-Speed Aerodynamics. Cambridge University Press, 2001.

isbn: 0-521-66219-2.]

3. P. Ramachandran, S. C. Rajan, M. Ramakrishna, A Fast, Two-dimensional Panel

Method, Vol. 24, No. 6, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003.

4. Z. Goraj, J. Pietrucha. Classical Panel Methods – A Routine Tool for Aerodynamic

Calculations of Complex Aircraft Configuration: From Concepts to Codes, Journal of

Theoretical and applied Mechanics, 4, 33, 1995.

76

5. J. Moore. A Fast, Unstructured Panel Solver, MA thesis,2012.

6. Lazar Dragos, Metode Matematice in Aerodinamica, Editura Academiei Romane,

Bucuresti, 2000.

7. Elie Carafoli. Dinamica Fluidelor Incompresibile, Editura Academiei Romane, Bucuresti,

1981.

77

Documents

Derivate Aerodinamice