Condizione necessaria di derivabilità

€

f : D⊆R →R se f è derivabile in x0 allora f è continua in x0

Dimostrazione

se f è derivabile in x0 allora:

€

Limx → x0

f x( ) − f x0( )

x − x0

= ′ f x0( )∈R

€

Limx → x0

f x( ) − f x0( )[ ] =

€

Limx → x0

f x( ) − f x0( )

x − x0

⋅ x − x0( ) ⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥=

€

Limx → x0

f x( ) − f x0( )

x − x0

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥⋅ Lim

x → x0

x − x0( ) =

€

′ f x0( )∈R

€

′ f x0( )⋅

€

Limx → x0

x − x0( ) =

€

0

€

Limx → x0

f x( ) − f x0( )[ ] = 0 ⇒

€

Limx → x0

f x( ) = f x0( )

1

Continuità e derivabilità

f è derivabile nel punto x0

€

⇒ f è continua nel punto x0

la derivabilità è condizione sufficiente per la continuità

f è non continua nel punto x0

€

⇒ f è non derivabile nel punto x0

la continuità è condizione necessaria per la derivabilità

2

esempio

€

f x( ) = x

€

x = 0

€

Limx → 0

f x( ) = f 0( ) = 0

f è continua nel punto

€

x = 0

€

Limx → 0−

f x( ) − f 0( )x

=

€

Limx → 0−

−x − 0

x= −1

€

Limx → 0+

f x( ) − f 0( )x

=

€

Limx → 0+

+x − 0

x= +1

€

′ f − 0( ) ≠ ′ f + 0( )

f non è derivabile nel punto

€

x = 03

esempio

€

f x( ) = x3

€

x = 0

€

Limx → 0

f x( ) = f 0( ) = 0

f è continua nel punto

€

x = 0

€

Limx → 0−

f x( ) − f 0( )x

=

€

Limx → 0−

x3 − 0

x= +∞

€

Limx → 0+

f x( ) − f 0( )x

=

€

Limx → 0+

x3 − 0

x= +∞

€

′ f − 0( ) = ′ f + 0( ) ma ∉R

f non è derivabile nel punto

€

x = 04

Punti di non derivabilità

€

f : D⊆R →R se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0

se

€

Limh → 0

f x0 + h( ) − f x0( )

h= +∞ −∞( )

x0 è un punto di flesso a tangenza verticale

flesso a tangenza verticale discendente

flesso a tangenza verticale ascendente

€

x0

€

x0

€

Limh → 0

f x0 + h( ) − f x0( )

h= −∞

€

Limh → 0

f x0 + h( ) − f x0( )

h= +∞

5

Punti di non derivabilità

€

f : D⊆R →R se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0

se

€

Limh → 0−

f x0 + h( ) − f x0( )

h= +∞ e Lim

h → 0+

f x0 + h( ) − f x0( )

h= −∞

x0 è una cuspide (punto di massimo)

Cuspide (punto di massimo)

€

x0

6

Punti di non derivabilità

€

f : D⊆R →R se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0

se

€

Limh → 0−

f x0 + h( ) − f x0( )

h= −∞ e Lim

h → 0+

f x0 + h( ) − f x0( )

h= +∞

x0 è un punto di cuspide (punto di minimo)

Cuspide (punto di minimo)

€

x0

7

Punti di non derivabilità

€

f : D⊆R →R se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0

se

€

Limh → 0−

f x0 + h( ) − f x0( )

h= L1 e Lim

h → 0+

f x0 + h( ) − f x0( )

h= L2 L1 ≠ L2

ed almeno uno dei due limiti sia finito, allora x0 è un punto angoloso

€

x0

€

x0

€

x0

8

esercizio

€

fa, b =ax + b

e−x −1

⎧ ⎨ ⎩

Determinare a e b in modo che f sia continua e derivabile su tutto R. Per tali valori disegnare la funzione e disegnare inoltre:

continuità in 0 €

x ≤ 0

x > 0

€

f x( ) ; f x( ); f x( )

€

Limx → 0−

f x( ) = f 0( ) = Limx → 0+

f x( )

€

Limx → 0−

ax + b( ) = b = f 0( )

€

Limx → 0+

e−x −1( ) = 0

€

⇒ b = 0

f continua in 0

€

se b = 0 ∧ ∀a

€

fa

=ax

e−x −1

⎧ ⎨ ⎩

€

′ f a

=a

−e−x

⎧ ⎨ ⎩

€

x ≤ 0

x > 0

derivabilità in 0

€

se ′ f − 0( ) = ′ f + 0( ) = ′ f 0( )∈R

9

esercizio

€

′ f a, b =a

−e−x

⎧ ⎨ ⎩

€

x ≤ 0

x > 0

€

′ f − 0( ) = ′ f + 0( ) = ′ f 0( )∈R

€

′ f − 0( ) = a

€

′ f + 0( ) = −e−0 = −1

€

⇒ a = −1

f derivabile in 0

€

se b = 0 ∧ a = −1

€

f x( ) =−x

e−x −1

⎧ ⎨ ⎩

€

x ≤ 0

x > 0

10

€

f x( ) =−x

e−x −1

⎧ ⎨ ⎩

€

x ≤ 0

x > 0

€

f x( )

€

f x( )

€

f x( )

11

Importante osservazione

se f è derivabile in x0 allora si ricava che:

ricordiamo che

€

Limx → x0

f x( ) = L∈R

€

⇔

€

f x( ) = L + o 1( ) per x → x0

€

Limx → x0

f x( ) − f x0( )

x − x0

= ′ f x0( )

€

⇔

€

f x( ) − f x0( )

x − x0

= ′ f x0( ) + o 1( ) per x → x0

da cui si ricava:

€

f x( ) − f x0( ) = ′ f x0( ) x − x0( ) + o x − x0( ) per x →x0

se f è derivabile in x0 allora la variazione assoluta

€

f x( ) − f x0( )

è un infinitesimo di ordine maggiore o uguale al primo rispetto a

€

x − x0 per x →x0

€

Limx → x0

f x( ) − L[ ] = 0

€

Limx → x0

f x( ) − L[ ]

1= 0

12

Esempi

€

f x( ) = x3

€

in x = 0

€

f x( ) − f 0( ) = x3 − 0 = x1/ 3

€

f x( ) − f 0( ) per x →0 è un infinitesimo di ordine 1/3 rispetto a x

da cui si ricava che f non è derivabile

€

in x = 0

€

g x( ) = x −1

€

in x =1

€

g x( ) − g 1( ) = x −1 − 0 = x −1( )1/ 2

€

g x( ) − g 0( ) per x →1 è un infinitesimo di ordine 1/2 rispetto a

€

x −1

da cui si ricava che g non è derivabile

€

in x =1

13

Teorema: derivazione della funzione inversa

€

f : I ⊆R →R f continua e strettamente monotona in I

Se f è derivabile in x0 appartenente ad I e

€

x0

€

′ f x0( ) ≠ 0

allora esiste

€

f −1( )

′ f x0( )( ) e si ha:

€

f −1( )

′ f x0( )( ) =1

′ f x0( )

€

y = mx + q

€

y = ′ m x + q€

′ m =1

m€

f

€

f −1

14

Esercizio

€

f x( ) = ex − 2

€

in I = 0; +2[ ]

Calcolare la derivata della funzione inversa in

€

f 1( ) = e − 2

€

f x( )

€

ex1 − 2 > ex2 − 2 ⇒

€

ex1 > ex2 ⇔ x1 > x2

€

′ f x( ) = ex ⇒

è un monotona in senso stretto in I

da cui si ricava che la funzione inversa è derivabile

€

in f 1( ) = e − 2

€

′ f 1( ) = e1 ≠ 0

€

f −1( )

′ f 1( )( ) =1

e

15

Esercizio

€

y = ex − 2 ⇒ ex = y + 2

€

in I = −1; e2 − 2[ ]

€

f −1 x( ) = ln x + 2( )

€

f −1( )

′ x( ) =1

x + 2

Scambio di variabili:

€

⇒ lnex = ln y + 2( )

€

⇒ x = ln y + 2( )

€

⇒ y = ln x + 2( )

€

⇒ f −1( )

′ e − 2( ) =1

e − 2 + 2=

1

e

16

€

in I = 0; +2[ ]

€

f x( ) = ex − 2

€

Im f = −1; e2 − 2[ ]