t oImportant u eiintrrod duccerree iinn …...Clasa a XI-a ANALIZA - 3 Cap. IV : Functii Derivabile Derivabilitate - Se spune ca functia f este derivabila la stanga in x0 daca limita

Clasa a XI-a ANALIZA - 1

Cap. IV : Functii Derivabile

Derivabilitate

Important iinnttrroodduucceerree iinn nnoottiiuunneeaa ddee ddeerriivvaattaa :

Are sens sa punem problema derivatei sau derivabilitatii unei functii intr-un punct

daca si numai daca acel punct face parte din domeniul de definitie al functiei studiate .

Inainte de a incepe studiul derivatei vom fixa urmatoarele entitati :

a). O functie reala REf : , RE ;

b). Domeniul de definitie E fiind reprezentat printr-un interval sau o reuniune de intervale ;

c). Un punct x0 care apartine lui E .

Definitia ddeerriivvaatteeii uunneeii ffuunnccttiiii iinnttrr--uunn ppuunncctt :

- Se spune ca functia f are derivata in Ex 0 daca limita :

xx

xfxf

xx0

0

lim0

exista in R

.

- In acest caz aceasta limita se noteaza cu xf 0

' si se numeste derivata functiei f in x0 .

- Deci :

xf 0

'=

xx

xx ff

xx 0

0

lim0

.



Derivabilitate

Definitia ddeerriivvaabbiilliittaattiiii uunneeii ffuunnccttiiii iinnttrr--uunn ppuunncctt :

- Se spune ca functia f este derivabila in Ex 0 daca limita :

xx

xfxf

xx0

0

lim0

exista in R si este finita

- In acest caz aceasta limita se noteaza cu xf 0

' si se numeste derivata functiei f in x0 .

- Deci :

xf 0

'=

xx

xfxf

xx0

0

lim0

.

Observatii :

- Observam ca daca f are derivata intr-un punct x0 aceasta poate fi un numar real finit , caz

in care f este derivabila in x0 , dar poate fi sau cand spunem ca f are derivata infinita

in x0 ( cand f un este derivabila in x0 ! ) .

Intoducere iinn ssttuuddiiuull ddeerriivvaatteelloorr ,, ddeerriivvaabbiilliittaattiiii ,, llaatteerraallee :

- Fie o functie REf : si un punct Ex 0 ;

- Daca Ex0; sau ;0xE atunci are sens sa studiem existenta

derivatei, respectiv a derivabilitatii , laterale a functiei f in x0 .

Definitia ddeerriivvaatteeii ,, ddeerriivvaabbiilliittaattiiii ,, llaa ssttaannggaa :

- Se spune ca functia f are derivata la stanga in x0 daca limita :

xx

xfxf

xxxx

0

0

lim0

0

exista in R

.

- In acest caz se noteaza limita prin : xfs 0

' sau xf

0

' .



Derivabilitate

- Se spune ca functia f este derivabila la stanga in x0 daca limita :

xfs 0

'=

xx

xfxf

xxxx

0

0

lim0

0

exista in R ,

cu alte cuvinte limita exista si este finita .

Definitia ddeerriivvaatteeii ,, ddeerriivvaabbiilliittaattiiii ,, llaa ddrreeaappttaa :

- Se spune ca functia f are derivata la dreapta in x0 daca limita :

xx

xfxf

xxxx

0

0

lim

0

0

exista in R

.

- In acest caz se noteaza limita prin : xfd 0

' sau xf

0

' .

- Se spune ca functia f este derivabila la dreapta in x0 daca limita :

xfd 0

'=

xx

xfxf

xxxx 0

0

lim

0

0

exista in R ,

cu alte cuvinte limita exista si este finita .

Fie functia REf : si Ex 0 , E un interval sau reuniune de intervale , unde x0 nu

este extremitate de interval .

Se poate da o caracterizare a faptului ca f are derivata ( este derivabila ) in x0 cu

ajutorul derivatelor laterale in x0 , mai precis are loc urmatoarea teorema :

Teorema :

1). Functia f are derivata in x0 f are derivate laterale in x0 si :

xfxfxfds 0

'

0

'

0

' .

2). Functia f este derivabila in x0 f este derivabila bilateral in x0 si :

Rxfxfxfds

0

'

0

'

0

'

.



Derivabilitate

Exercitiul nr. 1 :

Sa se studieze derivabilitatea functiilor RRf : in punctele indicate :

a). 2 , 32 0 xxxf ;

b). 1 , 2

10

2

x

xxf ;

c). 2

, 5sin 0

πxxxf ;

d). 1 , 0

23 xxxxf ;

e). 1 , 8 03 2 xxxf ;

f). 1 , 03 xxxxf ;

g). 3 , 0

2 xxxf ;

h). 3 , 0

3 xxxf ;

i). 1 , 1

0 xx

xf ;

j). 2 , 0 xxxf ;

k). 1 , 1 0

3 xxxf ;

l). 1 , 1

0 xx

xf ;

m). 5 , 3 0 xxxf ;

n). 1 , 1 0 xxxf ;

o). 2 , 23 0

2 xxxxf .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se stabileasca daca functiile urmatoare au derivate la stanga si la dreapta in

punctele indicate :

a). RRf : ,

0 ,

0 ,

xx

xxxf , 00 x ;



Derivabilitate

b). RRf : , 0 ,

0 , 1-

0 , 0

0 , 1

sgn 0

x

x

x

x

xxf ;

c). RRf : , 4 , 53,12min 0 xxxxf ;

d). RRf : , 3 , 1 0 xxxf ;

e). RRf : , 1 , 1 03 xxxf ;

f). RRf : , 0 , 0 ,

0 , sin 0

x

xx

xxxf ;

g). RRf : ,

0 , 0 , 1ln

0 , 1 0

x

xx

xexf

x

.

Exercitiul nr. 3 :

Sa se studieze derivabilitatea functiilor de mai jos ( RRf : ) , in punctele indicate :

a). 1 , 1 0 xxxf ;

b). 1 , 1 0 xxxxf ;

c). 0 , ,max 0

2 xxxxf ;

d). 0 , 0 x ,

0 , 0

0

0

x

x

xxxxf ;

e). 1 , 1 ,

1

1

1 , 1

0

3

xx

x

x

xx

xf ;

f).

2 , 2 , 1

2 , 2cos 0

x

xx-

xx-xf ;

g). 0 , 0 , sin

0 , 12 0

0

0

x

xx

x-xf

x

;

h). 0 , 0 , 2

0 , 02

2

x

xxx

xxxxf .



Derivabilitate

Exercitiul nr. 4 :

Fie RRf : functia definita prin 52 xxf oricare ar fi Rx .

a). Sa se arate ca functia f are derivata in punctul 20 x .

b). Sa se calculeze 2'

f .

c). Este functia derivabila in punctul 20 x ?

Exercitiul nr. 5 :

Fie RRf : functia definita prin 5 xxf oricare ar fi Rx .

a). Sa se arate ca functia f are derivata in punctul 00 x .


f .

c). Este functia derivabila in punctul 00 x ?

Exercitiul nr. 6 :

Utilizand definitia , sa se arate ca urmatoarele functii sunt derivabile in punctele x0

specificate . Sa se calculeze derivata xf 0

' in fiecare caz in parte :

a). RRf : , 253 xxxf oricare ar fi Rx , 20 x ;

b). Rf 1;0: , 12arccos xxf oricare ar fi 1;0x , 2

10 x ;

c). RRf : , xexf xsin oricare ar fi Rx , x0 ;

d). Rf ;1: , 23ln 2 xxxf oricare ar fi ;1x , 3

10 x

e). RRf : , xxxf sinsin oricare ar fi Rx , 00 x ;

f). RRf : ,

1 , 1

1 , 23

1

xxx

xexf

x

, 10 x

g). RRf : ,

0 , 5

0 , 1ln 47

2

xxx

xxxf , 00 x .



Derivabilitate

Exercitiul nr. 7 :

Fie RRf : functia definita prin 11 xxxf oricare ar fi Rx .

a). Sa se arate ca functia f are derivate laterale in punctul 10 x ;


fs

si 1'

fd

;

c). Este functia derivabila la stanga , la dreapta , in punctul 10 x ? ;

d). Are functia derivata in punctul 10 x ? ;

e). Este functia derivabila in punctul 10 x ? .

Exercitiul nr. 8 :

Fie RRf : functia definita prin

0 , 1

0 , sin

xx

xx

x

xf .



fs

si 0'

fd

;

c). Este functia derivabila la stanga si la dreapta in punctul 00 x ? ;

d). Are functia f derivata in punctul 00 x ? ;

e). Este functia f derivabila in punctul 00 x ? .

Exercitiul nr. 9 :

Fie RRf 1\: functia definita prin

0 ,

1\;0 , ln

3

2

xx

xx

x

xf .



fs

si 0'

fd

;

c). Este functia derivabila la stanga si la dreapta in punctul 00 x ? ;

d). Are functia f derivata in punctul 00 x ? ;

e). Este functia f derivabila in punctul 00 x ? .

Exercitiul nr. 10 :

Fie RRf : functia definita prin

0 , 0

0 , 1

sin

x

xx

xxf .


b). Are functia f derivata in punctul 00 x ? ;

c). Este functia f derivabila in punctul 00 x ? .



Derivabilitate

Fie Rbaf ,: o functie derivabila intr-un punct bax 000 , .

Definitia eeccuuaattiieeii ttaannggeenntteeii llaa ggrraaffiicc :

- Graficul functiei f are tangenta in x0 , sau mai corect in punctul xfx 00, , anume

dreapta de ecuatie :

xxmxfy 00 unde xfm 0

'

sau

xxxfxfy 00

'

0 .

Definitie ccooeeffiicciieenntt uunngghhiiuullaarr aall ttaannggeenntteeii :

- Derivata xf 0

' este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui f , in punctul

xfx 00, .

- Daca xf 0

' sau atunci tangenta in xfx 00, este paralela cu axa Oy .

Definitie ppuunncctt ddee iinnttooaarrcceerree :

- Daca , intr-un punct x0 , f este continua si avem :

xfd 0

' si xf

s 0

' sau invers

atunci punctul x0 se numeste punct de intoarcere al graficului lui f .

Definitie ppuunncctt uunngghhiiuullaarr :

- Fie functia REf : continua intr-un punct Ex 0 ;

- Daca exista ambele derivate laterale , cel putin una dintre ele fiind finita , dar functia un este



Derivabilitate

derivabila in x0 , atunci se spune ca x0 este punct unghiular al graficului lui f .

- Intr-un punct unghiular cele doua semitangente , la stanga si la dreapta , formeaza un unghi

,0 .

Problema 11 :

- Fie REf : si Dx f0 ;

- Graficul functiei f admite tangenta in punctul GxfxT f00, ( neparalela cu axa Oy )

a carei ecuatie este :

Rxxxxfxfy , 00

'

0 .

- Daca 00

'xf , atunci tangenta este paralela cu axa Ox . In acest caz xfy 0 .

- Dreapta xxxfxfy 00

'

0 poate fi tangenta la G f si in cel putin un punct

GT f1 , TT 1 !

Problema 22 :

- Pentru a determina ecuatiile tangentelor la graficul unei functii REf : paralela cu o

directie data Rm , se procedeaza astfel :

se rezolva ecuatia mxf '

, unde Dx f' ;

daca nkxk ,1 , ' sunt radacinile ecuatiei precedente , atunci ecuatiile tangentelor

la G f , paralele cu directia data , sunt :

xxmxfy kk

'' , nk ,1 .

Problema 33 :

- Pentru a determina ecuatiile tangentelor duse dintr-un punct GP f , la graficul

functiei REf : , se procedeaza astfel :

se rezolva ecuatia xxfxf '

, Dx f' ;

daca nkxk ,1 , ' sunt zerourile ecuatiei precedente , atunci ecuatiile tangentelor la

G f , duse din punctul GP f , , sunt :

xxxfxfy kkk '

, nk ,1 .



Derivabilitate

Problema 44 :

- Graficele a doua functii REgf :, sunt tangente daca exista DDx gf''

0 astfel

incat xgxf 00 si xgxf 0

'

0

' , ceea ce inseamna ca functia :

REh : , xgxfxh

are proprietatea ca :

0 0 '' xhDxxhEx h

functia h are cel putin un zero multiplu .

- Daca exista Ex 0 pentru care xgxf 00 si functiile f si g au derivata in punctul

x0 si acestea sunt infinite si egale ( DDx gf''

0 ) , atunci si in acest caz G f si Gg sunt tangente

in punctul xfx 00, , insa tangenta comuna este paralela cu axa Oy : xx 0 .



Derivabilitate

Exercitiul nr. 1 :

Sa se scrie ecuatiile tangentei la graficele functiilor RRf : indicate in punctele

x0 respective :

a). 2 , 0

2 xxxf ; b). 1 , 0

3 xxxxf ;

c). 4 , 12 0

2

xxxf ; d). 2 , 5 0

2 xxxf ;

e). 0 , sin 0 xxxf ; f). xxxxf 0 , sin .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se determine punctele unghiulare sau punctele de intoarcere pt. functiile RRf : :

a). 2 xxxf ; b). 3 21 xxf ;

c).

1 daca , 1

1 daca , 0

3 2xx

xxf ; d).

1

1

x

xxf .

Exercitiul nr. 3 :

Fie RRf : ,

0 daca , 0

0 daca , 23 2

x

xxxxf . Sa se studieze derivabilitatea lui

f si sa se determine punctele unde tangenta la grafic trece prin origine .

Exercitiul nr. 4 :

Sa se determine tangentele la graficul de ecuatie 12

xy care trec prin origine . Idem

pentru 13 xy .

Exercitiul nr. 5 :

Sa se determine Ra a.i. tangenta la graficul functiei 1

2

x

axf in punctul 1,1 f

sa formeze cu directia pozitiva a axei Ox un unghi de 450 .



Derivabilitate

Exercitiul nr. 6 :

Sa se determine tangentele la graficul functiei RRf 0: , x

xxf

12

care

trece prin punctul 2,2A .

Exercitiul nr. 7 :

Fie RRf : , 1

2

x

mxxf . Sa se determine parametrul real m astfel incat

tangenta la grafic in punctul de abscisa 2 sa fie paralela cu a doua bisectoare ( dreapta xy

este cunoscuta sub numele de a doua bisectoare ).

Exercitiul nr. 8 :

Fie functiile 122 bxaxxf ,

x

xxg

1 . Sa se determine ba si astfel incat

graficele celor doua functii sa admita tangenta comuna in punctul de abscisa 1 .

Exercitiul nr. 9 :

Fie RRgf :, , 12 xxf , mxxxg 4

2 astfel incat graficele functiilor

f si g sa admita o tangenta comuna intr-un punct comun .

Exercitiul nr. 10 :

Scrieti ecuatiile tangentelor la graficul functiilor urmatoare in x0 :

a). 0 , 1

10

x

x

xxf ; b). 1 ,

2

101

xxf

x ;

c). 1 , 12 0

2 xxxxf ; d). 2 , 1

0 xx

xf .

Exercitiul nr. 11 :

Sa se determine un punct apartinand graficului functiei Rf ,0: , 2ln xxf

in care tangenta la graficul acesteia este paralela cu prima bisectoare a axelor de coordonate .

Exercitiul nr. 12 :

Sa se scrie ecuatia tangentei dusa din originea axelor de coordonate , la curba de ecuatie

12

xxy .

Exercitiul nr. 13 :

Sa se scrie ecuatiile tangentelor la curbele de ecuatii 2794234

xxxxy si xy 3

in punctele comune acestora .



Derivabilitate

Legat de functiile derivabile are loc urmatorul rezultat important dat de :

Teorema :

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct .

Observatii ( iimmppoorrttaanntt ) :

1). Functie derivabila intr-un punct functie continua in acel punct .

2). Functie continua nu neaparat derivabila in acel punct .

3). Functie discontinua functie nederivabila .

Concluzie pprriivviinndd ddeerriivvaabbiilliittaatteeaa :

Se poate pune problema derivabilitatii unei functii intr-un punct daca si numai daca :

1). Functia este definita in acel punct .

2). Functia este continua in acel punct .

3). Functia este derivabila daca :

xx

xfxf

xx0

0

lim0

exista in R si este finita .



Derivabilitate

Exercitiul nr. 1 :

Sa se determine parametrii reali nm , astfel incat functiile urmatoare sa fie derivabile in

punctele indicate :

1). RRf : , 2 , 2 ,

2 , 0

2

x

xmnx

xnmxxxf ;

2). RRf : , 0 ,

0 , 219

1

0 , 1

0

2

x

xxx

xnmx

xf ;

3). RRf : , 1 , 1 , 1

1 , 02

x

xx

xnmxxf ;

4). RRf : , 0 , 0 , sin

0 , 0

2

x

xx

xnmxxxf ;

5). RRf : , 0 , 0 , 3cos2sin

0 , 0

2

x

xxnx

xmexf

x

;

6). RRf : ,

0 , 0 , 1ln

0 , 2 04

4

x

xxn

xmxxxf .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se arate ca functia RRf : ,

0 , 0

0 , 1

cos

x

xx

xxf este continua in 0x

dar un este derivabila in 0x .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se determine punctele de derivabilitate ale functiei RRf : ,

QRxx

Qxxxf

\ , 2

, 2

4

.



Derivabilitate

Fie REf : si I un interval din E .

Definitie :

Se spune ca functia f este derivabila pe intervalul I daca este derivabila in fiecare punct

al intevalului I .

Observatii :

1). Daca f este derivabila pe tot domeniul sau de definitie , vom spune mai simplu , ca f este

derivabila , fara alta explicatie legata de multime .

2). Daca notam cu D f' submultimea lui E formata din toate punctele Ex cu proprietatea

ca f este derivabila in punctul x , daca RxfxfExD f ''

si ' atunci se poate

defini pe D f' cu valori reale , care asociaza fiecarui punct Dx f

' numarul real xf'

,

Dx f' , Rxfx

'

Aceasta functie se noteaza cu f' si se numeste functia derivata a lui f sau simplu derivata

lui f .

Procedeul prin care se obtine f' din f se numeste derivare .

3). Este clar ca ED f ' . Nu are sens sa se vorbeasca de derivabilitatea unei functii in puncte

care nu se afla in domeniul de definitie al functiei .

Documents

t oImportant u eiintrrod duccerree iinn …...Clasa a XI-a ANALIZA - 3 Cap. IV : Functii Derivabile Derivabilitate - Se spune ca functia f este derivabila la stanga in x0 daca limita