Fizika Priprema Za Drzavnu Maturu 1 Dario Micic

www.pripreme-pomak.hr

Dario Mi i

Fizika I

Zagreb, akademska godina 2010./2011.

Nakladnik Pomak, Zagreb 1. Ferenščica 45 tel.: 01/24 50 904, 01/24 52 809 mtel.: +385 (91) 513 6794 www.pripreme-pomak.hr Za nakladnika Branko Lemac Dizajn ovitka minimum d.o.o. © Pomak, Zagreb, 2009. Intelektualno je vlasništvo, poput svakog drugog vlasništva, neotuđivo, zakonom zaštićeno i mora se poštovati (NN 167/03). Nijedan dio ove skripte ne smije se preslikavati ni umnažati na bilo koji način, bez pismenog dopuštenja nakladnika. Skripta služi isključivo za internu uporabu na tečajevima koji se, u okviru Priprema Pomak, održavaju kao pripreme za polaganje ispita iz fizike na Državnoj maturi.

1 Pripreme za razredbene ispite

O x

y

1 2 3 4 51

123

4

1

P(4, 3)

Ishodište izaberemo proizvoljnoO

I. MEHANIKA

Pod pojmom mehanika razumjevamo skup znanosti koje proučavaju međudjelovanje tijela te njihovo gibanje u prostoru tijekom vremena. Fizikalno utemeljenje pojma prostora i vremena te međudjelovanja tijela prvi je dao Isaac Newton 1687. u svom djelu Philosophica Naturalis Principia Matematica. Prostor je, prema Newtonu, velika šuplja kutija u kojoj su razmještena tijela (zvijezde, planeti, ljudi, cvijetovi, kamenje, mobiteli ...). Valja uočiti da je prostor nezavisan od tijela koja su u njemu razmještena. Dakle, postoji trodimenzijski prostor kao neovisna kategorija. Vrijeme, prema Newtonu, također postoji neovisno o prostoru i tijelima u prostoru. Ono teče uvijek jednako, neovisno o promatraču i njegovom položaju u prostoru. Fiziku u kojoj se prostor i vrijeme razumjevaju u navedenom smislu uobičajeno je zvati Newtonovska ili klasična fizika. I. 1. KINEMATIKA U kinematici opisujemo gibanje proizvoljnog tijela zabacujući uzrok gibanja toga tijela. Dakle, zanemarujemo međudjelovanje toga tijela i svih ostalih tijela. Utemeljimo pojam gibanja nekog, proizvoljno odabranog, tijela. Tijelo se giba kad mijenja svoj položaj u odnosu na neka okolna (referentna) tijela tijekom vremena. Na primjer, vrh krede (tijelo) se giba u odnosu na ploču (referentno tijelo) kod pisanja kredom po ploči. Položaj određujemo pomoću koordinatnog sustava kojeg možemo proizvoljno odabrati.

O x

y

1 2 3 4 51

123

4

1

P(4, 3)

Ishodište izaberemo proizvoljnoO Da bismo dobili jedinične duljine na koordinatnim osima moramo se dogovoriti za osnovnu jedinicu za mjerenje duljine (a također i vremena odnosno intervala vremena). DULJINA (L, l, d, x∆ ...) je odabrana za osnovnu fizikalnu veličinu u SI sustavu, pa se njena jedinica mora definirati. 1 METAR (1 m) je duljina prametra (štapa) koji se čuva u Parizu Godine 1983. usvojena je sljedeća definicija: Jedan metar jednak je duljini puta koji prevali val svjetlosti u vakuumu tijekom vremenskog intrvala (1/299 792 458) sekundi. Izvedene jedinice za metar (ili bilo koju drugu fizikalnu veličinu) su: VREMENSKE TRENUTKE (i intervale) određujemo pomoću sata (tj. ure ili dobnjaka). VRIJEME (t, T ...) je odabrano za osnovnu fizikalnu veličinu u SI sustavu, pa se jedinica mora definirati. Godine 1976. definiran je standard za vrijeme: Jedna sekunda je vremenski interval potreban za 9 192 631 770 vibracija atoma cezija.

Npr. pri gibanju u ravnini rabimo dvodimenzionalni koordinatni sustav Oxy koji ima dvije koordinatne osi x (apscisa) i y (ordinata) koje najčešće uzimamo međusobno okomitima. Položaj točke P u ravnini u odnosu na ishodište O(0, 0) određen je uređenim parom (x, y) – njenim koordina-tama, npr. P(4, 3) (crtež). Točka P je od ishodišta udaljena 5 jedinica (Pitagorin teorem).

Slično, pri gibanju po pravcu rabimo jednodimenzionalni koordinatni sustav npr. Ox. Na crtežu je prikazana točka Q(3) koja je od ishodišta O(0) udaljena 3 jedinice.

O x1 2 3 4 51 0

Q(3)

1 dm = 110− m 1 dam = 110 m 1 cm = 210− m 1 hm = 210 m

1 mm = 310− m 1 km = 310 m 1 µm = 610− m 1 Mm = 610 m


U klasičnoj fizici je potreban samo jedan sat, jer se pretpostavlja da se informacija između dviju točaka u prostoru može prenositi beskonačnom brzinom (pogledati komentar na stranici 26.). Koordinatni sustav sa satom nazivamo sustavom referencije. Bitno je uočiti da referentni sustav čine: referentno tijelo smješteno u ishodištu, sat i koordinatni sustav. Dimenzije tijela su često nebitne za danu fizikalnu pojavu, pa se pri opisu pojave one mogu zanemariti. Tada tijelo nadomještamo materijalnom točkom. Materijalna točka je matematički objekt koji nema dimenzije i u njoj je smještena ukupna masa tijela. Zamjena realnog tijela s materijalnom točkom je uvijek valjano kod translacijskog gibanja krutog tijela. Npr. kod opisa gibanja automobila po autoputu automobil zamišljamo kao materijalnu točku. Jednako tako postupamo kod gibanja automobila u zavoju zato jer za kratke intervale vremena (odgovarajući) kružni luk možemo zamijeniti odsječkom tangente na kružni luk. Putanja gibanja je stvarni ili zamišljeni trag kojeg tijelo ostavlja pri svom gibanju. Npr. vrh krede po ploči. Ako je putanja pravac onda je to pravocrtno gibanje. Ako je pak putanja zakrivljena krivulja,onda govorimo o krivocrtnom gibanju. (pravocrtno gibanje udesno ili ulijevo) (krivocrtno gibanje) Prevaljeni put je duljina putanje od početne točke (P) do krajnje točke (K). Prevaljeni put najčešće označavamo sa s, ili x ili L … Uočimo:

Tu veličinu mjerimo na brojčaniku automobila. Odrediti prevaljeni put u općem slučaju krivocrtnog gibanja tijela je vrlo netrivijalno! Razmislite, kako odrediti duljinu puta od

točke P do točke K na crtežu!

Pomak, r , je usmjerena dužina (vektor) koja spaja početnu(P) i krajnju točku (K). Pomak je (kao i svaki vektor) određen duljinom (ili iznosom ili modulom), smjerom (pravac na kojem leži) i orjentacijom (početna i konačna točka). Oznaka za pomak je npr. PK , ili r ...

a) pravocrtno gibanje To je gibanje kod kojeg je putanja tijela pravac. Dakle, za opis pravocrtnog gibanja rabiti ćemo jednodimenzionalni koordinatni sustav. Potanko ćemo o tom gibanju govoriti kasnije.

Primjeri: Sprinteri u utrci na 100 m, vlak na ravnom dijelu pruge, muha pri letu u sobi (kraćevrijeme), puž na listu kupusa (kraće vrijeme).

Sada ćemo uvesti pojam brzine i ubrzanja za translacijsko gibanje tijela.

P

Kr

P

K


kt kt

Promotrimo gospođicu Micu pri subotnjoj šetnji Ilicom. pt =10h 30min kt =10h 45min

px =50m kx =200m

U trenutku pt počinje razgledati izlog “Benettona”, u 1t =10h 35min stiže pred izlog “Mladosti”

na položaju 1x =100m, baci pogled na nova izdanja, prisjeti se neke stvarčice iz izloga “Benettona”, vrati se do “Benettona” da bi pomnije razgledala … te se u trenutku kt nađe na uglu Ilice i Frankopanske (na položaju kx ).

→ u vremenskom intervalu k pt t t∆ = − =15min

gospođica Mica se pomakla za k pt x x∆ = − = 200m – 50m = 150m pritom je prevalila put 1 1( ) ( ) ( )p p k px x x x x x∆ = − + − + − = 50 + 50 + 150 = 250m Za opisivanje translacijskog gibanja valja nam definirati sljedeće veličine: brzina 1˚ Srednja brzina tijela po pomaku kao omjer pomaka i pripadnog vremenskog intervala.

k p

k p

x xxvt t t

−∆= =

∆ − To je vektorska veličina.

Razumno je zapitati se kako to da je srednja brzina tijela po pomaku vektor kad je nismo zapisali kao vektor? Razlog leži u činjenici da napisani izraz vrijedi samo za gibanje po pravcu na kojem svaki vektor (pa tako i uvedena veličina) može imati samo dva smjera! Znači, x∆ je algebarska veličina koja može biti pozitivna, jednaka nuli ili negativna. U prvom slučaju se tijelo giba stalno u istom smjeru, u drugom miruje i u trećem slučaju brzina tijela je mijenjala smjer tijekom gibanja! Nazivnik je, dakako, uvijek pozitivan. 2˚ Srednju brzinu tijela po prevaljenom putu kao omjer ukupnog prevaljenog puta i pripadnog vremenskog intervala.

svt

=∆

To je skalarna veličina. Jedinica za mjerenje se izvodi iz definicije:

[ ] [ ][ ]

1 11

x m mvt s s

∆= = =

∆

Trenutnu brzinu v definiramo kao graničnu vrijednost omjera xt

∆∆

kada 0t∆ → .

v = xt

∆∆

kada 0t∆ → ili 0

limt

xvt∆ →

∆=

∆

Veličina (modul) ovog vektora jednak je graničnoj vrijednosti srednje brzine po putu.

0

limt

svt∆ →

=∆


Ubrzanje (akceleracija) Ukoliko se trenutna brzina tijela v mijenja (po modulu i/ili po smjeru) tijekom vremena, definiramo novu fizikalnu veličinu koja opisuje tu promjenu. Za vremenski interval

k pt t t∆ = − brzina se promjeni za k pv v v∆ = −

→ Srednje ubrzanje

a - omjer promjene brzine i pripadnog vremenskog intervala

vat

∆=

∆ tj. to je brzina promjene brzine.

Ovako napisani izraz za srednje ubrzanje vrijedi za svako gibanje i to pri jednodimenzijskom (pravocrtnom), dvodimenzijskom (ravninskom) ili trodimenzijskom (prostornom) gibanju

tijela. Inače, za pravocrtno gibanje dovoljno je napisati vat

∆=

∆pri čemu se podrazumjeva da

je promjena brzine v∆ algebarska veličina koja može biti pozitivna, jednaka nuli ili negativna. → Trenutno ubrzanje

a - granična vrijednost omjera vt

∆∆

kada 0t∆ → tj. 0

limt

vat∆ →

∆=

∆

Jedinicu za mjerenje ubrzanja dobivamo iz definicije:

[ ] [ ][ ] 2

11

1

mv msat s s

∆= = =

∆

1a Jednoliko gibanje po pravcu

Putanja je pravac, a brzina konstantna, tj. konstv =

( ) ( )k pk p k p k p

k p

x xxv t t x x v t tt t t

−∆= = ⋅ − → = + −

∆ −

Obično odaberemo

0p

k

t t

t t

=

=

( )p o

k

x x

x x t

=

=

→ Položaj tijela u ovisnosti o vremenu ima oblik ( ) 0 0( )x t x v t t= + − .

Ako uzmemo za početni trenutak t0 = 0 onda imamo ( ) 0x t x vt= + .

→ Položaj točke kod jednolikog pravocrtnog gibanja je afina funkcija vremena.


Grafički prikaz ovisnosti položaja o vremenu: x - t dijagram: To je pravac koji siječe os položaja u točki 0x ! Nagib pravca ovisi o brzini: tg vα = , α je kut između grafa i osi t. Navedimo dva primjera:

1) 01 15 ; 5 mx m vs

= = → 1( ) 5 5x t t= +

2) 02 20 ; 9 mx m vs

= = → 2 ( ) 9x t t=

Jedna od mogućih fizikalnih interpretacija grafova na crtežu: Biciklist Tonči prošao je kroz ishodište konstantnom brzinom 9 m/s u smjeru osi x i nastavio tako voziti u istom smjeru. U istom trenutku i u istom smjeru ali na 5 m od ishodišta prošla je biciklistica Ruža konstantnom brzinom 5 m/s i nastavila tako voziti u istom smjeru. → Prevaljeni put s(t) u ovisnosti o vremenu je ( ) ( ) 0s t x x t x vt= ∆ = − = . Dakle

( )s t vt= . Uočimo da je put linearna funkcija vremena.

Grafički prikaz ovisnosti puta o vremenu: s - t dijagram: Uzmimo dva prethodna primjera: 1) 1( ) 5 5s t t= + 2) 2 ( ) 9s t t= Vidimo da nema razlike između s-t grafa i x-t grafa! To je zbog toga što brzina tijela nije mijenjala smjer tijekom gibanja!

Grafički prikaz ovisnosti brzine o vremenu: v - t dijagram Uzimamo prethodna dva primjera:

1) 1 5 mvs

=

2) 2 9 mvs

=

Oba pravca su paralelna s vremenskoj osi!

0.5 1 1.5 2t,s

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20x,m

x2

x1

0.5 1 1.5 2t,s

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20s,m

s2

s1

0.5 1 1.5 2t,s

2

4

6

8

10

12v,ms−1

v1

v2


Površina ispod tog dijagrama odgovara brojčano prevaljenom putu u tom vremenskom intervalu.

Kako je kod ovog gibanja konst.v = → 20v mat s

∆= =

∆

Grafički prikaz ovisnosti ubrzanja o vremenu: a - t dijagram a = 0 m/s2

To je pravac koji se poklapa s vremenskom osi.

2a Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu Putanja je pravac a ubrzanje je konstantno (i po modulu i po smjeru), tj. konst.a = Kako ovisi brzina o vremenu?

( )k pk p

k p

v vva t tt t t

−∆= = ⋅ −

∆ −

→ ( )k p k pv v a t t= + −

obično odaberemo

0p

k

t s

t t

=

=

( )0p

k

v v

v v t

=

=

brzina tijela u ovisnosti o vremenu ( ) 0v t v at= +

→ Linearna funkcija vremena Grafički prikaz: v - t dijagram Pravac koji siječe os ordinata u točki 0v . Nagib pravca ovisi o ubrzanju: tg aα = , α je kut između grafa i osi t. Navedimo primjer:

1) 01 1 22 ; 2m mv as s

= = → 1( ) 2 2v t t= +

2) 01 2 20 ; 6m mv as s

= = → 2 ( ) 6v t t=

Jedna od mogućih fizikalnih interpretacija grafova na crtežu: OpelVectra2.2 krenula je u početnom trenutku t = 0 s iz ishodišta ubrzanjem a2 = 6 m/s2 i nastavila se gibati po pravcu tim ubrzanjem. OpelCorsa1.4 gibala se u početnom trenutku brzinom v1 = 2 m/s i nalazila se ispred OpelVectre2.2 na udaljenosti v01 = 2 m. OpelCorsa1.4 se nastavila gibati po istom pravcu konstantnim ubrzanjem a1 = 2 m/s2. Automobili su se sudarili nakon 1s.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4t,s

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5a,ms−2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4t,s

2

4

6

8

v,ms−1

v1

v2


Površina ispod dijagrama odgovara prevaljenom putu.

( )( )

( )( )

1 2

1 0 0

22 0

0 01 1 102 2 2

s s ss v t v t

s v v t at t at

= +

= − − =

= − − = ⋅ =

→ ( ) 20

12

s t v t at= +

Izraz za prevaljeni put s(t) je kvadratna funkcija vremena. Grafički prikaz: s - t dijagram Graf je parabola koja polazi iz ishodišta! Taj graf nikad ne pada! Znači, kako vrijeme teče put se uvijek povećava! Navedimo primjer:

1) 01 1 22 ; 2m mv as s

= = → 21( ) 2s t t= +

2) 01 2 20 ; 6m mv as s

= = → 22 ( ) 3s t t=

Kako je kod ovog gibanja ( ) ( ) 0s t x x t x= ∆ = − slijedi ( ) ( )0x t x s t= + pa uvrštavanjem

izraza za s(t) dobivamo ( ) 20 0

12

x t x v t at= + + . Polučeni izraz je ponovo kvadratna

funkcija vremena. Grafički prikaz: x-t dijagram Graf je parabola koja siječe os ordinata u 0x ! Navedimo primjer:

1) 01 01 1 22 ; 2 ; 2m mx m v as s

= − = = → 21( ) 2 2x t t t= − + +

2) 02 02 2 22 ; 0 ; 6m mx m v as s

= − = = → 22 ( ) 2 3x t t= − +

Grafički prikaz ovisnosti ubrzanja o vremenu: a-t dijagram a = konst. Graf je pravac paralelan s vremenskom osi. Navedimo primjer:

1) 1 22 mas

=

2) 22 6sma =

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4t,s

2

4

6

8

s,m

s1

s2

0.5 1 1.5 2t,s

-2

2

4

6

8

x,m

x1

x2

0.5 1 1.5 2t,s

1

2

3

4

5

6

7

8a,ms−2

a1

a2


Površina ispod tog dijagrama odgovara brojčano promjeni brzine u danom vremenskom intervalu. Vrlo često odabiremo da je na početku tijelo mirovalo u ishodištu, tj. sljedeće početne uvjete: 0 0 00 ; 0 ; 0t s x m v m= = = → ( ) ( ) ( )2 21 1; ;

2 2v t at s t at x t at= = =

3a Jednoliko usporeno gibanje po pravcu

Putanja je pravac, a ubrzanje je konstantno ali negativno, tj. brzina se jednoliko smanjuje. 0a < Uzmemo li u obzir da je ubrzanje negativno, možemo izraze za ovisnost brzine o vremenu, prevaljenog puta o vremenu i koordinate (položaja) o vremenu prepisati u obliku: ( ) 0v t v at= − ( ) 2

012

s t v t at= − ( ) 20 0

12

x t x v t at= + −

Ubrzanje a uzimamo u ovim izrazima kao pozitivnu veličinu! Navedimo primjer:

0 0 22 ; 4 ; 3m mx m v as s

= = =

1) v = 4 – 3 t, t ≥ 0 2) s = 4 t – 1.5 t2, t ≥ 0 3) x = 2 + 4 t – 1.5 t2, t ≥ 0 Jedna od mogućih fizikalnih interpretacija grafova na crtežima (tj. podataka iz primjera): Tijelo (Ana na dasci za jedrenje) se u početnom trenutku vremena t = 0 s nalazi na udaljenosti 2 m od referentnog tijela (bova), ima brzinu 4 m/s i giba se po pravcu (jedri po pravcu). Vjetar puše u suprotnom smjeru od smjera gibanja tako da tijelu (Ani s daskom) daje deceleraciju 3m/s2. Iz v-t grafa vidimo da će se tijelo zaustaviti nakon (4/3) s te će nakon toga započeti jednoliko ubrzano gibanje u suprotnom smjeru. Iz s-t grafa vidimo da je od početka gibanja do trenutka zaustavljanja tijelo (Ana s daskom) prevalila put (8/3) m. Obzirom da se put ne može smanjivati iz s-t vidimo da prikazani graf ima smisla (prikazuje put) od početka gibanja do trenutka (4/3) s! Ostali dio grafa u s-t dijagramu nema smisao puta! Iz x-t grafa vidimo položaj tijela u proizvoljnom trenutku od početka gibanja. Tako npr. Ana će biti kod bove nakon 3.1 s.

0.5 1 1.5 2t,s

-1

1

2

3

4

5v,ms−1

v

0.5 1 1.5 2 2.5t,s

0.5

1

1.5

2

2.5

3s,m

s

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5t,s

-1

1

2

3

4

5x,m

x


0

Slobodan pad U homogenom gravitacionom polju Zemlje (mala promjena visine i uz zanemarivanje otpora zraka) sva tijela dobivaju jednako ubrzanje

a ≡ g = 9.81 2

ms

≈ 10 2

ms

Vrijednost ubrzanja ovisi o geografskoj širini. → Relacije koje opisuju to jednoliko ubrzano gibanje po pravcu, zapisuju se u obliku: v(t) = gt

s(t) = 12

g t2

x(t) = 0x + 12

g t2

Vrijeme padanja dobijemo iz uvjeta

s( pt ) = H = 12

g 2pt → pt = 2H

g

Brzina kojom tijelo udari o pod iznosi

kv ≡ v( pt ) = g pt = g 2Hg

→ kv = 2gH

Vertikalni hitac prema dolje Tijelo na nekoj visini bacimo početnom brzinom 0v vertikalno prema dolje. →to je jednoliko ubrzano gibanje s početnom brzinom v(t) = 0v + gt

s(t) = 0v t + 12

g t²

x(t) = 0x + 0v t + 12

g t²

6a Vertikalni hitac prema gore

Tijelo izbacimo početnom brzinom 0v vertikalno uvis. Vektori brzine v (t) i ubrzanja g su suprotnog smjera. → to je jednoliko usporeno gibanje s početnom brzinom v(t) = 0v – g t

s(t) = 0v t – 12

g t²

x(t) = 0x + 0v t – 12

g t²

→ vrijeme uspinjanja do najviše visine dobijemo iz uvjeta

kv = v( uspt ) = 0 → 0usp

vtg

=

x

O(0)x0

H

v0 = 0

x

O(0)x0

H

v0 = 0

x

v0

O(0)x0

H


→ visina do koje se tijelo popne dobije se iz

H = s( uspt ) = 2 2

0 0 00 2

12 2

v v vv g

g gg⋅ − = →

20

2v

Hg

=

b Kružno gibanje

Gibanje kod kojeg je putanja – kružnica. Položaj na kružnici možemo odrediti u pravokutnom koordinatnom sustavu s dvije coordinate: P( ,T Tx y )

→ 2 2 2T Tx y R+ =

Češće položaj određujemo radijusom R i kutom ϕ kojega taj radijus zatvara s odabranom (najčešće horizontalnom) osi. Kut ϕ najčešće mjerimo u radijanima. 1 rad = kut kojeg zatvaraju dva radijusa date kružnice koji na pripadnoj kružnici odsjecaju luk duljine radijusa. Općenito je duljina luka l dana s l = R⋅ ϕ ϕ - iskazan u radijanima Ukoliko tijelo napravi puni okret → l = 2 R π Radijus prebriše kut od 360° → R ⋅ ϕ = 2Rπ ϕ = 2π rad = 360° π rad = 180°

2π rad = 90°

3π rad = 60°

O x

y

xT

Ty xTT( , )Ty

R

O x

y

R

T( , )φR

φ

O x

y

R

R

R

1 radφ =

R

R

lφ

R


Pri gibanju tijela po kružnici, tijelo za vremenski interval ∆t = kt – pt prevali

put l odnosno pomakne se za PK . Istovremeno radijus “privezan” za tijelo “prebriše” kut ∆ϕ. → Srednja kutna brzina

k p

k pt t tϕ ϕϕω ω

−∆≡ = =

∆ − - omjer prebrisanog kuta i proteklog vremenskog

intervala. → Trenutna kutna brzina

0

limt t

ϕω∆ →

∆=

∆ - granična vrijednost omjera

tϕ∆

∆ kad 0t∆ →

jedinica za mjerenje

[ ] [ ][ ]

1 radt sϕ

ω = =

Ukoliko se kutna brzina mijenja uvodimo fizikalnu veličinu koja opisuje tu promjenu k p k pt t t ω ω ω∆ = − → ∆ = −

→ Srednje kutno ubrzanje

k p

k pt t tω ωωα

−∆= =

∆ − - omjer promjene kutne brzine i pripadnog vremenskog intervala

→ Trenutno kutno ubrzanje

0

limt t

ωα∆ →

∆=

∆ - granična vrijednost omjera

tω∆

∆ kad ∆t → 0.

Jedinica za mjerenje kutnog ubrzanja se dobije iz definicije: [ ] [ ][ ] 21 rad

t sω

α∆

= =∆

b1) jednoliko gibanje po kružnici putanja kružnica, a kutna brzina konstantna, tj ω = konst. → prebrisani kut u ovisnosti o vremenu

( ) 0

0

tt t

ϕ ϕω

−=

− → ( ) 0t tϕ ϕ ω= + uz 0t = 0 s

Period vrtnje T – vrijeme jednog ophoda

Frekvencija vrtnje f – broj okretaja u 1s → 1fT

=

Jedinica za mjerenje [ ] [ ]11 1f s

T s−= = = ≡ Hz herc

Obodna brzina v tog tijela jednaka je 2l Rv

t Tπ

= =∆

Kako je pritom kutna brzina 2 12 2 f

t T Tϕ πω π π∆

= = = =∆

→ v = R ω ili v = 2 π R f


Kako je ω = konst. → α = 0 → b2) jednoliko ubrzano gibanje po kružnici Putanja je kružnica, a kutno ubrzanje konstantno, tj α = konst. → Kutna brzina ovisi linearno o vremenu

( ) 0

0

tt t

ω ωα

−=

− → ( ) 0t tω ω α= + uz 0t = 0 s

→ Kut ϕ ovisi kvadratično o vremenu (crtež, 0ϕ = 0)

( ) 20

12

t t tϕ ω α= +

Naputak: Postoji puna matematička analogija između jednolikog pravocrtnog gibanja (jedno-like translacije) i jednolikog gibanja po kružnici. Doista, jednolika translacija je opisana izra-zom ( ) 0x t x vt= + , v = konst, a = 0. U drugu ruku, jednolika rotacija je opisana izrazom

( ) 0t tϕ ϕ ω= + , ω = konst, α = konst. Dakle, u izrazima za translacijsko gibanje valja učiniti zamjenu

x → ϕ, v → ω, a → α . Navedena analogija vrijedi i za jednoliko ubrzano (usporeno) translacijsko gibanje i jednoliko ubrzano (usporeno) rotacijsko gibanje. Dakle, možemo pisati: Translacijsko gibanje, a = konst Rotacijsko gibanje, α = konst

( ) 20 0

12

x t x v t at= + + ( ) 20 0

12

t t tϕ ϕ ω α= + +

( ) 0v t v at= + ( ) 0t tω ω α= +


I. 2. DINAMIKA a) vektori

pomak, brzina, ubrzanje … određeni su iznosom (modulom), smjerom i orjentacijom. To su, dakle, vektorske veličine.

Vrijeme, prevaljeni put … određeni su samo iznosom → skalarne veličine

Vektore predočujemo usmjerenim dužinama - znamo početnu točku P, znamo konačnu točku K. Na konačnoj točki stavljamo strelicu koja definira smjer vektora.

Vektore ćemo označavati simbolima ,a b …

Duljinu vektora (ili iznos ili modul ili veličinu vektora) ćemo označavati simbolima bez strijelice a, b ...

Jednakost vektora a b= je ispunjena ukoliko vektori imaju jednaku veličinu (iznos) i gledaju u istom smjeru.

Jedinični vektor (ort)

0aaa

= → 0a a a= Na crtežu je prikazan vektor 03a a=

Zbrajanje vektora - pravilo paralelograma c a b= + Početak prvog dovedemo na početak drugog. Konstruiramo paralelogram → zajednička dijagonala je zbroj. - pravilo trokuta c a b= + Početak jednog dovedemo na na kraj drugog. Zbroj je vektor koji ide od početka prvog do kraja drugog. Množenje vektora skalarom → vektor a množimo skalarom Rλ ∈ i dobivamo novi vektor | λ | a čija je veličina (iznos): |λ |a, a orijentacija: - ista kao i a za λ > 0 - suprotna od a za λ < 0 Za λ = 0 dobijemo nul-vektor 0 koji nema smjera. Za λ = –1 dobijemo (suprotni) vektor koji ima jednaki

modul ali suprotnu orijentaciju.


Oduzimanje vektora → Zbrajanje sa suprotnim vektorom ( )c a b a b= − = + − Rastavljanje vektora na komponente Rastavljanje vektora na komponente vršimo uvijek u zadanom koordinatnom sustavu → najčešće se odabire pravokutni koordinatni sustav npr. dvodimenzionalni xa je x - komponenta

ya je y - komponeneta

Tada je x ya a a= + . → definiramo jedinične vektore (ortove)

u smjeru x - osi x

x

ai

a= ; u smjeru y - osi y

y

aj

a= ; u smjeru z - osi z

z

ak

a=

→ Tada se svaki vektor u koordinatnom sustavu Oxy (tj. u ravnini) može zapisati u obliku x ya a i a j= + → zbrajanje i oduzimanje vektora se lako obavlja: Neka su zadani vektori x ya a i a j= + i x yb b i b j= + . Tada je

( ) ( )x x y ya b a b i a b j± = ± + ± Množenje vektora - skalarno množenje cosa b ab ϕ⋅ = Rezultat množenja je broj (skalar). On je jednak umnošku iznosa vektora i kosinusa kuta kojeg zatvaraju. Budući da je 1i i j j⋅ = ⋅ = , 0i j⋅ = onda je skalarni

produkt

x x y ya b a b a b⋅ = + Vektorsko množenje a b c× = kod čega je modul vektora c jednak c = a b sin ϕ

b a c× = − Dobije se kao rezultat vektor okomit i na a i na b . Duljina vektora jednaka je površini paralelograma kojeg razapinju a i b , tj umnošku iznosa vektora a i b i sinusa kuta između njih. Orijentacija vektora c je određena pravilom desne ruke:

prstima preklapamo prvi vektor a na drugi b , a onda palac pokazuje orijentaciju vektora c .


Vrijede relacije (tablica množenja jediničnih vektora) 0i i j j k k× = × = × = , a također i i j k× = , j k i× = , k i j× = . Ako vektore a i b zapišemo u koordinatnom prikazu x ya a i a j= + , x yb b i b j= + tada je njihov vektorski produkt ( )x y y xa b a b a b k× = − . b) Međudjelovanje tijela. Sila Da neko tijelo međudjeluje s nekim drugim tijelom zapažamo po nekim učincima:

- povećanju ili smanjenju brzine - deformaciji tijela - promjeni oblika tijela - promjeni obujma tijela - promjeni stanja površine tijela - promjeni agregatnog stanja tijela ...

Sila je fizikalna veličina kojom opisujemo koliko je međudjelovanje jednog tijela na drugo. Određena je iznosom, smjerom i orijentacijom → vektor! Tijela mogu međudjelovati kad su u dodiru (npr. ruka i spužva) → Sile dodira - elastična sila pri deformaciji tijela - sila trenja pri klizanju jedog tijela na površini drugog.

Tijela mogu međudjelovati kad su međusobno razmaknuta (npr. Zemlja i Sunce, Zemlja i magnetska kazaljka, natrljani balon i ruka).

→ Sile na udaljenost (ili sile polja) - gravitaciona sila - magnetska sila - električna sila

→ Sile dodira i sile na udaljenost potječu od djelovanja (najmanje) dvaju tijela. Kažemo da su to sile u Newtonovom smislu ili da su to Newtonove sile. Međutim postoje inercijalne sile (npr. centrifugalna inercijalna sila) koje se pojavljuju u neinercijalnim referentnim sustavima koje ne potječu od međudjelovanja dvaju tijela. Inercijalne sile nisu Newtonove sile! b1) Masa. Gustoća Lakše je pokrenuti “fićeka” nego kamion. Kažemo da je kamion tromiji ili inertniji od “fićeka”. Masa – fizikalana veličina kojom mjerimo inertnost tijela ili veličinu gravitacionog međudjelovanja tijela sa Zemljom. → odabrana za osnovnu fizikalnu jedinicu → jedinica se definira [m] ≡ 1 kilogram → 1kg - masa prakilograma – utega koji se čuva u Parizu

Gustoću ρ homogenog tijela definiramo kao omjer mase i obujma tijela: mV

ρ =

Jedinicu za gustoću dobivamo iz [ ] [ ][ ] 31m kgV m

ρ = =

b2) Newtonovi zakoni Svakodnevno iskustvo nas upućuje na to da postoji određena veza između:

- ubrzanja a tijela - mase m tijela - sile F koja djeluje na tijelo

F konst= Pretpostavimo da guramo (iz mirovanja) fićeka i kamion jednakom silom. Obzirom da je

F Km m slijedi da ćemo fićeka lakše pokrenuti, a također da ćemo lakše povećavati brzinu fićeku nego kamionu. Dakle je F Ka a> .


Eksperiment → 1~am

Ubrzanje tijela je, uz djelovanje iste sile obrnuto proporcionalno s masom tijela na koje sila djeluje. Ako je m = konst (npr. djelujemo različitim silama na fićeka) tada

1 2F F< povlači 1 2a a< . Eksperiment → a ~ F Ubrzanje tijela je proporcionalno veličini (modulu) sile koja djeluje na tijelo i ima smjer sile. Ako na tijelo istovremeno djeluje veći broj sila

1 2,F F … tada prethodni zaključak vrijedi za njihovu

rezultantnu RF . Dakle, 1 2RF F F= + + … pa je ubrzanje tijela

jednako RFa

m= . Izraz Rma F= predstavlja II Newtonov zakon ili

temeljnu jednadžbu gibanja. Jedinicu za mjerenje sile dobivamo iz

[ ] [ ][ ] 21 1mF m a kg Ns

= = ≡ i zovemo je Newton.

Umnožak mase tijela i njegove akceleracije jednak je rezultanti svih sila koje djeluju na tijelo. Zakon smo formulirali u referentnom sustavu “Zemlja” (tj. Zemlja je referentno tijelo). Ukoliko je 0RF = (ili sile ne djeluju) onda imamo

0mavat

=∆

=∆

⇒ 0

K P

vv v v

∆ =∆ = −

⇒ K Pv v=

a to znači brzina tijela se ne mijenja (niti po modulu niti po orijentaciji). Drugim riječima, ako je zbroj sila koje djeluju na tijelo jednak nuli ili nikakve sile ne djeluju, tada se tijelo giba jednoliko po pravcu ili miruje tj. 0RF = ⇒ K Pv v= . To je prvi Newtonov zakon (I N. Z.). Promjenu brzine, (tj. ubrzanje) uzrokuje međudjelovanje tog tijela i drugih tijela (tj. sila). I N. Z. se često naziva zakonom inercije. Referentni sustavi u kojima vrijedi ovako formuliran zakon inercije nazivaju se inercijalnim referentnim sustavima (IRS) (npr. “površina Zemlje” je približno IRS). Svi inercijalni referentni sustavi se, jedan prema drugom, gibaju jednolikom brzinom po pravcu. Djelovanje je uzajamno! Naziv sila i protusila se pridjeljuje postojećim silama proizvoljno!

21F - sila s kojom na tijelo 2 djeluje tjelo 1 (npr. sila)

12F - sila s kojom na tijelo 1 djeluje tijelo 2 (protusila) III Newtonov zakon glasi 12 21F F= − Protusila i sila su jednake po veličini ali su supotnog smjera. One djeluju na dva različita tijela! (npr. sila 12F djeluje na tijelo 1 tj. hvatište tog vektora je u tijelu 1 i ona opisuje međudjelovanje tijela 2 i tijela 1 (crtež)). III N. Z. vrijedi samo za dva tijela koja međudjeluju ali ne za tri ili više tijela u (istodobnom) međudjelovanju! b3) Neke vrste sila 1° Sila teža gF - sila s kojom Zemlja djeluje na tijelo u svojoj blizini. Naime, Zemlja djeluje na sva tijela gravitacijskom silom. Pritom je gravitacijska sila tim manja što je tijelo udaljenije. Uobičajeno je gravitacijsku silu Zemlje blizu površine Zemlje zvati sila teža.

1

2

21FF12


Sila teža je jednaka umnošku mase m tijela i ubrzanja sile teže g. gF mg= Sila teža je okomita na površinu Zemlje (u smjeru prema središtu Zemlje). Ubrzanje sile teže (na Zemlji) jednako je g = 9.81 ms–2 . Dakako, i druge planete imaju svoju silu težu kojoj je ubrzanje različito od navedenog na Zemlji. 2° sila pritiska, pF - sila s kojom tijelo djeluje na podlogu na kojoj se nalazi 3° sila reakcije podloge, rF - sila kojom podloga djeluje na tijelo koje se nalazi na podlozi. III N. Z. ⇒ r pF F= 4° težina tijela, G - sila s kojom tijelo djeluje na podlogu na kojoj se nalazi ili na ovjes ako je obješeno. Valja se zapitati kolika je težina tijela? Ako tijelo miruje na horizontalnoj podlozi ili se zajedno s podlogom giba jednoliko po pravcu onda imamo rG F= iz III. N. Z. i g rF F= iz I N. Z. otkuda slijedi da je težina u tom

slučaju jednaka gG F mg= = . 5° sila trenja trF - sila koja se javlja kad su dva tijela u dodiru - sila trenja mirovanja – djeluje horizontalna vučna sila vF , a tijelo miruje. Na njega u suprotnom smjeru djeluje sila trenja mirovanja Ftrm (koju uzrokuje podloga) - sila trenja klizanja – ukoliko vučna sila vF dovoljno poraste, i poprimi vrijednost Fvk tijelo će započeti kliziti po podlozi. Ako se giba konstantnom brzinom tada iz I N. Z. ⇒ tr vkF F= . pokus ⇒ sila trenja klizanja ovisi o:

- pritisnoj sili pF , s kojom tijelo djeluje na podlogu - kvaliteti dodirnih ploha - vrsti dodirnih ploha

tr pF Fµ= ⋅ µ - faktor (koeficjent) trenja. Opisuje ovisnost sile trenja o kvaliteti podloga i o vrsti podloga. Uočiti da sila pritiska Fp ne djeluje na tijelo nego na podlogu. Protusila te sile djeluje na tijelo i jednaka je Fr.


- sila trenja kotrljanja – javlja se pri kotrljanju tijela po podlozi. Stotinjak puta je manja od sile trenja klizanja.

6° Elastična sila, eF - sila koja se javlja u deformiranom tijelu U slučaju elastične opruge ona je proporcionalna veličini deformacije opruge x. 0l - duljina nerastegnute opruge l - duljina rastegnute opruge x = l – 0l je produljenje (ili skraćenje) opruge

~eF x ⇒ eF k x= ⋅ gdje je eFkx

= koeficijent elastičnosti

opruge. On ovisi o materijalu od kojeg je opruga napravljena.

Jedinica za k je [ ] [ ][ ]

1eF Nkx m

= = .

c) Primjena Newtonovih zakona c1) horizontalni hitac U homogenom gravitacionom polju zemlje g na

visini H, tijelu damo početnu brzinu 0v u horizontalnom smjeru i omogučimo mu da pada. Na tijelo djeluje samo sila teža gF (otpor zraka zanemarujemo) gma F mg a g= = → = Uz koordinatni sustav kao na slici imamo: 0xa = , ya g= Početni uvjeti: 0 0t s= x(0) = 0 m 0(0)xv v=

y(0) = 0 m (0) 0ymvs

=

x – komponenta gibanja je jednoliko gibanje po pravcu 0 :xa = ( ) 0xv t v= = konst., ( ) 0x t v t= , y – komponenta gibanja je jednoliko ubrzano gibanje po pravcu

:ya g= ( )yv t gt= , ( ) 212

y t gt=

Vrijeme padanja tijela odredimo iz uvjeta:

( ) 21 22p p p

HH y t gt tg

= = ⇒ =

Domet D je pomak u x – smjeru

( ) 0 02

p pHD x t v t vg

= = =

Vektor brzine ( )v t je u svakom trenutku tangencijalan na putanju – parabolu.


2

20 0

( ) 1 ( )( )2

x t x tt y t gv v

= ⇒ =

220

( ) ( )2gy t x tv

=

Iz Pitagorinog poučka slijedi da je veličina (modul) brzine u bilo kojem trenutku data izrazom

2 20( ) ( )v t v gt= +

Horizontalni hitac možemo gledati kao kombinaciju jednolikog gibanja po pravcu u horizontalnom smjeru i jednoliko ubrzanog gibanja (slobodnog pada) u vertikalnom smjeru prema dolje. c2) kosi hitac Gibanje tijela izbačenog početnom brzinom 0v , pod kutem α, u odnosu na horizontalu u homogenom gravitacionom polju Zemlje. Na tijelo tijekom gibanja djeluje samo sila teža gF (zanemarujemo otpor zraka)

pa slijedi gma F mg a g= = ⇒ = U odabranom koordinatnom sustavu je

20xmas

= , ya g= −

Početni uvjeti: 0 0t s= x(0) = 0 m 0 0(0) cosx xv v vα= ≡ y(0) = 0 m 0 0(0) siny yv v vα= ≡ U x – smjeru - jednoliko gibanje po pravcu 0 0( ) cosx xv t v v α= = 0 0( ) cosxx t v t v tα= ⋅ = ⋅ U y – smjeru - jednoliko usporeno gibanje po pravcu s početnom brzinom 0 0( ) siny yv t v gt v gtα= − = −

20 2

1)sin()( tgtvty −= α

Vrijeme uspinjanja Ht do najviše visine H određujemo iz uvjeta da je u tom trenutku y-

komponenta brzine jednaka nuli. Slijedi g

vtHαsin0= . Dakle, najviša visina H koju dosegne

tijelo jednaka je

2 2 2 20 0

2

sin sin1( )2H

v vH y t gg g

α α= = − otkuda dobivamo

2 20 sin

2vH

gα

= .

Ukupno vrijeme trajanja hica:

02 sin2p Hvt t

gα

= =

Domet kosog hica:

2

0 00

2 sin 2sin cos( ) cospv vD x t v

g gα α αα= = ⋅ =

20 sin 2vD

gα

=


Jednadžba putanje kosog hica:

Iz izraza x(t) za jednoliko gibanje po osi x dobivamo 0

( )cosx tt

v α= . Uvrštavanjem u izraz za

y(t) dobivamo 22 20

1( ) ( ) tg ( )2 cos

gy t x t x tv

αα

= − a to je jednadžba putanje (parabola).

I. 3. Količina gibanja Drugi Newtonov zakon ma F=

možemo zapisati i u malo drugačijem obliku. Rabeći k pv vvat t

−∆= =

∆ ∆ imamo

k pmv mvma F

t−

= =∆

Veličina mv p= tj. umnožak mase tijela i njegove brzine ima važna svojstva. Naziva se količina gibanja (ili katkada impuls) tijela. Jedinicu količine gibanja dobivamo iz definicije:

[ ] [ ][ ] mp m v kg Nss

= = ≡

II Newtonov zakon sada ima oblik k pp pF

t−

=∆

ili F t p⋅∆ = ∆ .

Izraz I F t= ⋅ ∆ se zove impuls sile i jednak je umnošku sile i vremena djelovanja sile. [ ] [ ] [ ]I F t Ns= ⋅ ∆ =

Impuls sile jednak je promjeni količine gibanja p∆ . a) Zakon očuvanja količine gibanja Neka imamo zatvoreni sistem tijela, vanjske sile neka ne djeluju, ili je njihov zbroj nula za svako tijelo sustava. Neka između tijela sustava djeluju sile međudjelovanja, koje zadovoljavaju treći Newtonov zakon 21 12F F= − (radi jednostavnosti dvije biljarske kuglice): 1 1 1p m v=

2 2 2p m v=

1 1 1p m v′ ′=

2 2 2p m v′ ′= Promjene količina gibanja kuglica su 11 1p p p′∆ = −

22 2p p p′∆ = − Ako su čestice za vrijeme sudara međudjelovale vremenski interval ∆t, tada iz III N. Z. ⇒

21 12F t F t⋅ ∆ = − ⋅ ∆ odnosno 2 1p p∆ = −∆ . To znači da vrijedi 2 2 1 1( )p p p p′ ′− = − −

odnosno ' '1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v+ = + . To je zakon očuvanja količine gibanja (ZOKG)

ZOKG: Ukupna količina gibanja zatvorenog sustava je konstanta u vremenu.

→ 1 2up p p= +

→ 1 2up p p′ ′ ′= +


Ako se nakon sudara tijela gibaju zajedno → apsolutno neelastični sudar. ZOKG: 1 1 2 2 1 2 12( )m v m v m m v+ = +

1 1 2 212

1 2

m v m vvm m

+=

+

Dio mehaničke energije (kinetičke) se pretvori u unutrašnju energiju. Ukoliko je mehanička energija očuvana → apsolutno elastični sudar 1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v′ ′+ = + Nakon sudara tijela se ne gibaju zajedno. I. 4. Rad. Snaga. Energija a) rad sile Kažemo da sila F vrši rad ako se pod njenim djelovanjem tijelo pomakne za s . Izvršeni rad sile definiramo kao umnožak komponentne sile u smjeru pomaka i veličine tog pomaka. W F s= ⋅ ili W = F ⋅ s ⋅ cosα ili kao skalarni produkt W F s= ⋅ Pretpostavljamo da je sila konstantna i po veličini i po smjeru na čitavom pomaku. Jedinica za mjerenje [ ] [ ] [ ]W F s Nm J= ⋅ = ≡ džul

Rad je pozitivan kad je F istog smjera kao i s , tj. W > 0 kad je α < 90° Rad je negativan kad je F suprotnog smjera od s , tj W < 0 kad je 90° < α < 270° Rad je jednak nuli, W = 0 za 1° s = 0 – nema pomaka 2° F = 0 – tj. sila okomita na pomak. Sila F⊥ nikada ne vrši rad. Grafičko računanje rada: Površina ispod F-s dijagrama brojčano odgovara izvršenom radu. Ako je sila konstantna tijekom gibanja onda je situacija prikazana na crtežu: Za elastičnu silu eF k x= ⋅ (uočiti da sila nije konstantna tijekom gibanja) rad je brojčano jednak površini trokuta (crtež):

1 12 2eW F x kx x= ⋅ = ⋅

212

W k x= ⋅


Općenito: Ako se sila mijenja (crtež) tada uzimamo male pomake 1s∆ na kojima možemo silu

1sF∆ smatrati konstantom. Računamo mali

doprinos rada 11 1sW F s∆∆ = ⋅∆ a ukupan rad dobijemo zbrajanjem

ovih malih doprinosa rada 1 2 ...W W W= ∆ + ∆ + Korisnost uređaja, η

UW - uloženi rad

KW - korisni (dobiveni) rad

Tada je K K

U U

W PW P

η = = . Uvijek je 0 ≤ < η < 1.

b) snaga Ako sila F djelujući na tijelo tijekom intervala vremena ∆t, izvrši nad njim rad ∆W, tada definiramo srednju snagu te sile

WP P F vt

∆= = = ⋅

∆

Snaga je omjer izvršenog rada ∆W i vremenskog intervala ∆t za koji je dani rad izvršen.

[ ] [ ][ ]

1 1W JP Wt s

∆= = ≡

∆

Ako ∆t→0 tada dobivamo trenutnu snagu P tj. to je granična vrijednost omjera Wt

∆∆

kada

∆t→0! Dobivamo P F v= ⋅ gdje je v trenutna brzina. c) mehanički oblici energije ˝Zaliha˝ rada kojeg tijelo može izvršiti mijenjajući svoje stanje naziva se energijom. c1) energija gibanja (kinetička energija) Posjeduje ju tijelo koje se giba. Ovisi o: - masi ~kE m

- brzini 2~kE v Pogledajmo tijelo mase m, koje leži na horizontalnoj podlozi i miruje. Neka na njega počne djelovati konstantna sila F u horizontalnom smjeru ( trF - zanemarujemo). Nakon što tijelo prevali put s ono ima brzinu v (jednoliko ubr. gib.). Sila F je

izvršila rad 212 2vW F s ma mva

= ⋅ = ⋅ =

Ako tijelo koje se giba brzinom v ima kinetičku energiju 21

2kE W mv= =

Naputak: Kada se kaže “zaliha” rada onda se ne misli da je rad pohranjen u tijelu tj. ne misli se da tijelo ima rad. Rad nije funkcija stanja tijela (vidjeti poglavlje o toplini). To znači da tijelo ne sadrži rad u sebi. Također, količina topline i toplinski kapacitet tijela nisu funkcije stanja tijela. U drugu ruku, obujam, broj čestica, unutarnja energija su funkcije stanja tijela (dakle, te veličine tijelo sadrži u sebi). Rad se pojavljuje pri međudjelovanju dvaju ili više tijela. U tom procesu se mijenjaju energije tih tijela. Analogna tvrdnja vrijedi za količinu topline i toplinski kapacitet tijela.

212kE mv⇒ =


c2) Energija položaja u homogenom gravitacionom polju - Gravitaciona potencijalna energija, pgE Posjeduje ju tijelo koje se nalazi u gravitacionom polju. Ovisi o: - masi ~pgE m

- visini ~pgE h

- jakosti gravitacionog polja ~pgE g

pgE mgh= Razina (referentno tijelo) od koje se mjeri visina može se proizvoljno odabrati, jer je u svim fizikalnim pojavama važna ne sama potencijalna energija pgE , već njena promjena

pgE∆ kojom se određuje izvršeni rad. Dakle, pgE ovisi otkuda mjerimo visinu a pgE∆ ne ovisi o tome. Neka tijelo mase m podižemo s površine Zemlje jednoliko malom brzinom (pa kE možemo zanemariti). Znači tijelo podižemo silom gF F= . Rad te sile na putu h jednak je W = F ⋅ h = m g h. Ako tijelo ispustimo s te visine tako da ono padne na površinu Zemlje, ono može izvršiti upravo toliki rad, tj. u stanju na visini h ima ˝zalihu˝ rada mgh tj. pgE mgh=

c3) potencijalna elastična energija, peE To je energija pohranjena u deformiranom tijelu. U slučaju elastične opruge ovisi o: - deformaciji 2~peE x

- konstanti elastičnosti ~peE k

Da bismo oprugu rastegli (ili stisnuli) za x, moramo izvršiti rad nad njom jednak 212

W kx=

Kad se opruga vraća u nerastegnuto stanje, može upravo toliki rad izvršiti, tj u stanju protegnuća x ima ˝zalihu˝ rada, tj. elastičnu potencijalnu energiju

212peE kx=

d) Zakon očuvanja mehaničke energije (Emeh = Ek + Epg + Epe) Gledamo tijelo mase m koje slobodno pada s visine H (otpor zraka zanemarujemo). U stanju 1 tijelo ima ukupnu mehaničku energiju 1 1 1 0u k pgE E E mgH mgH= + = + = ; u stanju 2

22

2 1 12 ( )2 2u

mv mE mgh h g mgh mg h h mgH= + = + = + = ;

u stanju 3

23

3 0 22 2u

mv mE gH mgH= + = = .

Dakle, tijelo ima jednaku energiju u stanjima 1, 2 i 3 a također i u svim ostalim međustanjima koja nismo naveli. Kažemo da je mehanička energija očuvana

1 2 3 konst.u u uE E E mgH= = = =


Općenito, u zatvorenom sustavu (u kojem nema sila trenja i sila otpora (disipativnih sila)) je zbroj svih oblika mehaničke energije konstantan tijekom vremena, tj. 1 1 1 2 2 2k pg pe k pg peE E E E E E+ + = + + ili konst.k pg peE E E+ + = ZOME! Energija može mijenjati oblik, ali se ne može niti stvoriti, niti uništiti! Ukoliko u sustavu postoje sile trenja tada mehanička energija nije očuvana. Tada je 2 1k kE E< tj. sila trenja je potrošila dio mehaničke

energije 1 2tr k k mehW E E E= − = ∆ . Mehanička energija prelazi u unutrašnju energiju tijela. Opći zakon očuvanja energije: ukupna količina energije svih oblika, uključujuči i mehaničku i sve oblike unutarnje energije, ostaje čitavo vrijeme konstantnom. (E1 = E2 + W) I. 5. Dinamika kružnog gibanja Pri jednolikom gibanju po kružnici (konstantnom) kutnom brzinom

vR

ω = vektor obodne

brzine v mijenja smjer. Dakle, modul obodne brzine je konstantan 1 2v v v= = ali je 1 2v v≠ . Znači, zbog promjene smjera obodne brzine 2 1v v v∆ = − tijekom odgovarajućeg intervala

vremena 2 1t t t∆ = − postoji akceleracija vat

∆=

∆. Akceleracija a ima smjer jednak smjeru

promjene obodne brzine v∆ . Kad ∆t → 0, tada ϕ → 0, tj. 1ϕ →90° i v v∆ ⊥ (crtež). Dakle, vektor v∆

je okomit na vektor 1v i u smjeru je prema središtu rotacije. Znači ubrzanje a također je u smjeru prema središtu rotacije i zove se centripetalno ubrzanje. Pitanje je koliki je modul centripetalnog

ubrzanja. Može se pokazati da je 2

cpvaR

= .

Izraz za centripetalno ubrzanje se može zapisati na više međusobno ekvivalentnih načina: Rabeći izraz za obodnu brzinu v = ω R imamo

2cpa Rω= .

Slično, rabeći izraz za obodnu brzinu 2RvT

π= gdje je T period rotacije imamo

2

2

4cpa R

Tπ

= .

Centripetalno ubrzanje se pojavljuje kod svih gibanja kojima putanja (trajektorija) nije pravac. To je istina zato jer zakrivljene dijelove putanje možemo shvatiti kao kružne lukove na kojima (kao i kod gibanja po kružnici) imamo centripetalno ubrzanje. U vezi sa centripetalnim ubrzanjem uvodi se pojam centripetalne sile Fcp = m acp kojega valja ispravno razumjeti. Centripetalna sila nije neka posebna sila nego je to način djelovanja jednog ili više tijela na uočeno tijelo mase m pri čemu to međudjelovanje dovodi do gibanja uočenog tijela po kružnom luku (ili kružnici). Znači, različite sile mogu igrati ulogu centripetalne sile (gravitacijska sila, sila trenja klizanja, Coulombova sila, magnetski dio Lorentzove sile ...) Navedimo sada različite međusobno ekvivalentne izraze za centripetalnu silu.

2

cp cpmvF maR

= = tj. 2

cpmvFR

= ili 2cpF m Rω= ili

2

24

cpmF R

Tπ

= .


Ulogu centripetalne sile može igrati npr. gravitaciona sila (gibanje

Zemlje oko Sunca). Znači imamo 2

2Z SZ m Mm v

R Rγ

= .

Slično, u Bohrovom modelu atoma vodika ulogu

centripetalne sile igra Coulombova sila. Dakle, vrijedi 2

2e pe kq qm v

R R= .

Sila trenja (automobil mase m u zavoju polumjera R). Vrijedi 2mv m g

Rµ=

ako je podloga horizontalna. Ulogu centripetalne sile može igrati i rezultanta FR dvije ili više sila. Npr. tijelo obješeno o nit koje se vrti u horizontalnoj ravnini.

NF - sila napetosti niti i gF - sila teža na tijelo

Rezultanta tih sila je 2 2 2 cosR g N g NF F F F F ε= + + i vrijedi

R cpF F= . Ali nema straha od zaguljenih formula! Neka je β kut između sila NF i FR. Vrijedi Fg ctg β = Fcp. Ako se tijelo giba ubrzano po kružnici tada vektor ubrzanja a ne gleda prema središtu. Rastavljamo ga tada na:

- radijalnu komponentu 2

rvaR

=

- tangencijalnu komponentu uzrokovanu promjenom iznosa

obodne brzine tva R Rt t

ω α∆ ∆= = =

∆ ∆ tj.

ta Rα= gdje je α kutno ubrzanje tijela. I. 6. Inercijalni i neinercijalni sistemi referencije a) inercijalni sustav referencije – sustav referencije u kojem vrijedi zakon inercije (I N. Z.) Newtonovi zakoni vrijede samo u inercijalnim referentnim sustavima. Prvi Newtonov zakon upravo postulira postojanje takavog sustava. Svi ostali referentni sustavi koji se jednoliko gibaju po pravcu u odnosu na taj sustav su također inercijalni referentni sustavi. Npr. uzmemo da je površina Zemlje približno inercijalni sustav. Tada je tramvaj koji se jednoliko giba na ravnoj pruzi također inercijalan sustav. Slično, avion pri pravocrtnom jednolikom gibanju, automobil pri jednolikom pravoctnom gibanju po Klaićevoj ulici, muha pri jednolikom pravocrtnom letu su inercijalni sustavi. Međutim, gumeni čep koji se jednoliko giba po kružnici nije inercijalan sustav! → Istu fizikalnu pojavu mogu opisivati dva različita promatrača iz dvaju različitih inercijalnih sustava koji se međusobno gibaju relativnom brzinom V . Npr. – promatrač u sistemu “zemlja” - miruje – promatrač u sistemu “tramvaj” - giba se u odnosu na “zemlju” po pravcu brzinom V pojava - gibanje putnika u tramvaju iz položaja 1 u položaj 2.


R - pomak sistema “tramvaj” u odnosu na sistem “zemlja” za ∆t

Tr - pomak putnika u sistemu “tramvaj” za ∆t

Zr - pomak putnika u sistemu “zemlja” za ∆t

Rabeći crtež nalazimo vezu između pomaka: Z Tr R r= + - relativne veličine Uzmimo radi jednostavnosti da je putnik materijalna točka te da se giba u smjeru relativne brzine V . Uzmimo također os x tako da se ona podudara sa smjerom vektora V . Slijedi

; ; ;Z T Z T Z T Z Tx X x y y z z t t= + = = = .

Obzirom da je TX Vt= slijedi

Z T T

Z T

Z T

Z T

x x Vty yz zt t

= +===

Dobiveni izrazi zovu se Galilejeve transformacije.

Prema pretpostavci vrijeme je u klasičnoj fizici apsolutno tj. neovisno o promatraču. Znači, vrijeme jednako teče za promatrača u inercijalnom sustavu «Zemlja» kao i u inercijalnom referentnom sustavu «tramvaj». Ako vrijeme jednako teče u svim inercijalnim sustavima onda su i vremenski intervali jedne te iste pojave međusobno jednaki u tim sustavima

Z Tt t t∆ = ∆ ≡ ∆ . U klasičnoj (Newtonovoj) fizici se uzima da je brzina prenošenja međudjelo-vanja između dvaju tijela neizmjerno velika. Što to znači? Pogledajmo dva tijela koja miruju na nekoj udaljenosti. Neka tijela međudjeluju gravitacijskom (ili električnom) silom. Pretpostavimo da se jedno od tih tijela približi (ili udalji) od drugog tijela. Koliko treba vremena da drugo tijelo «osjeti» pomicanje prvog tijela? Ako se gravitacijsko (ili električno) međudjelovanje prenosi konačnom brzinom onda je za to potrebno neko konačno vrijeme. U klasičnoj fizici uzimamo da drugo tijelo «osjeti» promjenu međudjelovanja istodobno s pomicanjem prvog tijela! Dakle, brzina prenošenja međudjelovanja između tijela je neizmjerno velika. Kako su povezane brzine putnika izmjerene u različitim sistemima?

TT

T

rvt

=∆

- brzina putnika izmjerena u sistemu “tramvaj”

Zz

Z

rvt

=∆

- brzina putnika izmjerena u sistemu “zemlja”

Z

RVt

=∆

- brzina “tramvaja” u sistemu “zemlja”

→ Z T

Z Z T

r rRt t t

= +∆ ∆ ∆

tj. z Tv V v= + - relativne veličine

Ako se putnik giba jednoliko ubrzano

zZ

z

vat

∆=

∆ - ubrzanje u sistemu zemlja

TT

T

vat

∆=

∆ - ubrzanje izmjereno u tramvaju


iz slijedi z T z Tv V v v V v= + ∆ = ∆ + ∆ .

No, tramvaj se giba jednoliko po pravcu → 0V∆ =

Rabeći Z Tv v∆ = ∆ dobivamo Z T

Z T

v vt t

∆ ∆=

∆ ∆ a to povlači Z Ta a= . - apsolutne veličine

Valja uočiti da su relativne veličine one koje su međusobno povezane Galilejevim transformacijama (vektori položaja, brzine). Apsolutne veličine ne ovise o izboru inercijalnog sustava (ubrzanje, vrijeme). Jednadžbe gibanja, tj. II N.Z. imat će isti oblik u svim inercijalnim sistemima referencije Z Z Zm a F=

T T Tm a F= Sile međudjelovanja u oba inercijalna sustava su iste. b) neinercijalni sistem referencije - sistem referencije koji se giba ubrzano u odnosu na referentno tijelo. Npr. “tramvaj” pri polasku sa stanice ili dolasku na stanicu, “automobil” u zavoju, “Zemlja” pri gibanju oko Sunca. Radi jednostavnosti promatrat ćemo pravocrtno gibanje sustava. Sistem “tramvaj” i “sistem zemlja”. Promatramo uteg obješen o nit u “tramvaju”. Inercijalni sustavi

ZP - uteg se za njega giba jednoliko po pravcu

brzinom V . Kako to objašnjava? Djeluju sile gF - sila teža i NF - napetost niti. Sile leže na istoj vertikali i njihov zbroj jednak je nuli. 0g NF F V+ = ⇒ = konst.

TP - uteg za njega miruje. Djeluju sile gF i NF , njihov zbroj je jednak nuli – uteg miruje. Inercijalni i neinercijalni sustavi

ZP - (inercijalni promatrač) - za njega se uteg giba

jednoliko ubrzano po pravcu. Djeluju sile gF i NF koje više ne leže na istom pravcu. Rezultanta tih sila je različita od nule a to znači da se uteg giba jednoliko ubrzano:

0R RF ma F≠ → = .

TP - (neinercijalni promatrač) – za njega uteg miruje.

On zapaža sile međudjelovanja gF i NF čija je rezultanta 0RF ≠ , tj. ne vrijedi I Newtonov zakon. Dakle, uteg mase m miruje a ukupna sila na njega je različita od nule?! To se protivi II N. Z. Da li odbaciti Newtonove zakone ili modificirati pojam sile? Rješenje: promatrač u neinercijalnom sustavu uvodi novi tip sile – virtualnu silu tj. inercijalnu silu iF ma= − . Inercijalna sila je po veličini (modulu) jednaka umnošku mase tijela i ubrzanja sustava iF ma= , a po smjeru suprotna od smjera ubrzanja sustava.

Zbroj inercijalne sile iF i rezultante RF je jednak nuli 0i RF F+ = . Sada smo ponovo

uspostavili valjanost I N. Z., a također i II N. Z. Valja uočiti da sila gF opisuje međudje-

lovanje utega i Zemlje. Slično, sila NF opisuje međudjelovanje utega i niti. Koje tijelo djeluje

na uteg inercijalnom silom iF ? Nema takvog tijela. To znači da inercijalna sila nema protusilu. Time je narušen III N. Z. On ne vrijedi u neinercijalnom referentnom sustavu.


2222222

Ako se promatrač nalazi u rotirajućem sustavu (jednoliko kruženje) tada će on osim sile eF (elastične sile rastegnute opruge) morati uvesti

inercijalnu silu iF koju često nazivamo

centrifugalnom silom cfF , a trebalo bi preciznije

centrifugalna inercijalna sila cfiF . Vrijedi

2

cfimvFR

= i usmjerena je od središta vrtnje.

Uvodi ju samo promatrač koji rotira zajedno s tijelom RP (neinercijalan sustav). Za promatrača na Zemlji ZP (koji je u inercijalnom sustavu) centrifugalna inercijalna

sila cfiF ne postoji! I. 7. Opći zakon gravitacije a) Keplerovi zakoni 1° Planeti se oko Sunca gibaju po elipsama. U jednom od žarišta je Sunce. 2° U jednakim vremenskim intervalima spojnica Sunca i planeta prebriše jednake površine. 3° Za svaki planet je omjer kvadrata ophodnog vremena T i kuba njegove srednje udaljenosti od Sunca R jednak konstanti:

2

3 .T konstR

= Vrijednost konstante se može izračunati: 2 2

193

4 2.97 10S

skonstM mπ

γ−= = ⋅ .

Za sve planete je ovisnost njihova ubrzanja ap o udaljenosti od Sunca r sljedećeg oblika:

2S

pMar

γ=

Na planet djeluje gravitaciona sila

2p S

p p

m MF ma

rγ= = , γ - gravitacijska konstanta

Newton uz pretpostavku postojanja sile ovakve vrste između Zemlje i Mjeseca uspjeva objasniti gibanje Mjeseca oko Zemlje. Newton generalizira: Bilo koja dva tijela masa 1m , odnosno 2m na razmaku r (dimenzije tjela su zanemarive u odnosu na taj razmak tj. smatramo ih materijalnim točkama ili kuglama) se međusobno privlače gravitacionom silom

1 22

m mFr

γ= - opći zakon gravitacije

γ je gravitacijska konstanta i dobivena je mjerenjem. Držimo da je svagdje u svemiru vrijednost gravitacijske konstante jedna te ista:

2

1126.67 10 Nm

kgγ −= ⋅

Gravitaciona sila je proporcionalna umnošku masa tijela i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između tih tijela.


točki

b) gravitaciono polje To je prostor oko masivnog tijela M, u kome se osjeća gravitaciono djelovanje tog tijela. Za opisivanje polja uvodimo nekoliko veličina: b1) jakost gravitacionog polja, g m - probna masa F - sila s kojom u datoj točki na probnu masu m djeluje tijelo mase M

Fgm

= - jakost gravitacionog polja u datoj točki (u kojoj se

nalazi probna masa). Ovisi samo o položaju točke i o tijelu koje stvara polje M. Karakteristika točke polja

[ ] [ ][ ] 2

F N mgm kg s

= = = - to je ubrzanje (dakle, jakost gravitacijskog polja u nekoj točki prostora

valja shvatiti kao ubrzanje koje će materijalna točka doživjeti u toj točki polja!)

Ukoliko je tijelo M – sferno (dakle kugla) ili točkasto onda je grav. sila jednaka 2

mMFr

γ= , a

jakost grav. polja jednaka je 2

Mgr

γ= .

b2) gravitacioni potencijal ϕ Dovodimo iz ∞ probnu masu m u točku 1 u gravitacijskom polju tijela M. Pritom gravitaciona sila izvrši rad 1W∞ (naime tijelo M privlači probnu masu m), tj. u točki 1 probna masa m raspolaže potencijalnom gravitacionom energijom koja je tim veća što je veća masa m. Vrijedi ~pgE m . Relacijom

11

pgEm

ϕ = se definira gravitacijski potencijal tijela M u točki u kojoj se nalazi probna masa m.

Jedinica gravitacijskog potencijala jednaka je Jkg–1: [ ] [ ][ ]E Jm kg

ϕ = = . Potencijalna

gravitacijska energija proizvoljnog tijela mase m u gravitacijskom potencijalu ϕ (koji potječe od drugih tijela) jednaka je pgE mϕ= ⋅ .

Gravitacijski potencijal sfernog (ili točkastog) tijela mase M jednak je ( ) Mrr

ϕ γ= − .

Potencijalna gravitacijska energija jednaka je ( )pgmME r

rγ= − gdje smo uzeli da je

( ) 0pgE ∞ = (time smo odredili proizvoljnu konstantu u potencijalnoj energiji). Ovaj izraz prelazi u poznati oblik pgE mgh= pgE mgh= koji vrijedi za proizvoljno tijelo mase m na udaljenosti h od površine planete koja ima ubrzanje sile teže jednako g. b3) kozmičke brzine prva: Iv To je brzina s kojom treba izbaciti u horizontalnom smjeru tijelo da ono postane satelit datog objekta:

2I

g cpmvF F mgR

= → = što povlači Iv gR=


druga: IIv To je brzina kojom treba vertikalno izbaciti neko tijelo (s površine planete) pa da ono ode u ∞ , tj. oslobodi se gravitacijskog polja. Izraz za drugu kozmičku brzinu dobijemo iz zakona očuvanja energije (ZOE): 1 1 0k pg k pgE E E E∞ ∞+ = + =

2II 0

2mv mM

Rγ− =

II I2 2 2Mv gR vR

γ= = =

I. 8. Hidrostatika i hidrodinamika Fluidi: - tekućine i plinovi Tekućine: - malo stlačive, mogu teći tj. lako mijenjaju oblik Plinovi: - lako mijenjaju obujam i oblik. To su nakupine molekula (atoma) na

slučajan način raspoređenih koje se drže na okupu slabim silama. a) pritisak i tlak Silu F koja djeluje na neku površinu veličine A nazivamo silom pritiska ili kratko pritiskom.

Tlak definiramo kao skalarnu veličinu FpA

⊥∆=

∆. Ako je okomita komponenta sile konstantna

na cijeloj površini onda možemo pisati FpA

⊥=

Tlak je omjer normalne komponente F⊥ sile koja djeluje na površinu kojoj je ploština A. Jedinica za mjerenje jednaka je 1 Pa:

[ ] [ ][ ] 21 1F Np PaA m

= = ≡ , Paskal

Atmosferski tlak 1 atm = 51.013 10 Pa⋅ a1) Pascalov zakon Vanjska sila djeluje na fluid (tekućinu) (površinska sila F) ploština klipa A. Tlak kojeg površinska sila F uzrokuje u točki 1 iznosi

1FpA

=

Mjerimo li tlakove u preostalim označenim točkama dobivamo

1 2 3 4 5 6p p p p p p= = = = = - Pascalov zakon Kad djeluju samo površinske sile tlak u svim točkama unutar tekućine je jednak. Drugim riječima, tlak kojeg stvaraju površinske sile prenosi se bez izmjena u svaku točku tekućine. primjena → hidraulični tijesak Da bi sile bile u ravnoteži tlakovi u svim točkama tekućine moraju biti jednaki tj. 1 2p p= što povlači

1 2

1 2

F FA A

= .


a2) tekućina pod djelovanjem sile teže – hidrostatski tlak U cilindričnoj posudi baze A imamo mirnu tekućinu gustoće ρ i visine h i konstantne temperature. Tekućina se nalazi u gravitacionom polju jakosti g. Na dno posude će djelovati sila – težina tekućine jednaka sili teži gF . Tlak na dno posude uzrokovan težinom tekućine iznosi

gh

F mg A h gpA A A

ρ ⋅ ⋅ ⋅= = = i zove se hidrostatski tlak.

hidrostatski tlak: hp ghρ= ovisi o: - gustoći fluida - jakosti gravitacijskog polja - dubini ispod površine fluida Uzme li se u obzir da na površinu fluida djeluje npr. atmosferski tlak ap , tada je na dubini h ukupan tlak jednak

a h ap p p p ghρ= + = + b) Sila uzgona uF . Arhimedov zakon Kad se čvrsto tijelo uroni u tekućinu sa svih strana tekućina tlači njegovu površinu. Kako je tlak na većoj dubini veći, pojavljuje se rezultantna sila koja djeluje na tijelo suprotno od smjera sile teže tj. uvis. Tu silu nazivamo silom uzgona uF .

Radi jednostavnosti pogledajmo silu na vertikalno uronjeni kvadar visine h i baze A. Sile 3F i

4F jednake su po iznosu, ali su suprotne orijentacije tj. 3 4 0F F+ = . Isto tako 5 6 0F F+ = . Rezultantna sila (sila uzgona) je

2 1 2 1

2 1

2 1( )

uF F F p A p Agh A gh AgA h h gAh

ρ ρρ ρ

= − = − == − == − =

uF gVρ= - sila uzgona ρ - gustoća fluida g - jakost gravitacionog polja V - volumen istisnutog fluida (ili uronjenog dijela tijela V = A h) Uočimo da je: ρV = m – masa istisnutog fluida

uF mg= - težina istisnutog fluida Arhimedov zakon: Tijelo uronjeno u tekućinu prividno gubi na svojoj težini onoliko koliko teži istisnuta tekućina. plivanje tijela u fluidu:

u gF F> - tijelo ispliva na površinu

fρ - gustoća fluida

tρ - gustoća tijela f tgV gVρ ρ>

f tρ ρ> - uvjet plivanja


lebdjenje tijela u fluidu: u gF F= - tijelo ostaje na datoj dubini

f tρ ρ= - uvjet lebdjenja tonjenje tijela u fluidu:

u gF F< - tijelo tone

f tρ ρ< - uvjet tonjenja c) dinamika fluida Promatramo tok idealnog fluida: - pretpostavljamo da nema viskoznosti (unutarnjeg trenja) - tok je stacionaran (laminaran) tj. putanje djelića fluida se ne sijeku - zamišljamo da je fluid konstantne gustoće, tj. ne može se stlačiti c1) jednadžba kontinuiteta (neprekidnosti) Tekućina prolazi laminarno kroz cijev promjenjivog presjeka. Definiramo maseni protok kroz neki presjek kao masa tekućine ∆m koja za vrijeme ∆t prođe kroz poprečni presjek A cijevi na crtežu:

mmqt

∆=

∆

[ ] 1mkgqs

=

Slično, uvodi se volumni protok kao obujam fluida V∆ koji za vrijeme ∆t prođe kroz poprečni presjek A cjevi na crtežu:

VVqt

∆=

∆

[ ]3

1Vmqs

=

Veza između tih veličina je oblika m Vq qρ= . Izvod jednadžbe kontinuiteta: Pri stacionarnom toku nestlačivog fluida, za vrijeme ∆t kroz presjek 1A proteče masa 1 1 1m A v tρ∆ = ⋅ ∆ Ista takva masa mora proći i kroz presjek 2A zbog nestlačivosti 2 2 2m A v tρ∆ = ⋅ ∆ Mora biti 1 2m m∆ = ∆ (tekućina ne istječe iz cijevi osim na početku i na kraju cijevi). Slijedi 1 1 2 2A v t A v tρ ρ⋅ ∆ = ⋅ ∆ Jednadžba kontinuiteta je oblika 1 1 2 2A v A v= ili općenito A ⋅ v = konst.


To možemo iskazati i preko volumnog protoka

VA v tq A v

t⋅ ∆

= = ⋅∆

tj. konst.Vq = Jednadžba kontinuiteta nam kaže da je volumni protok duž cijevi konstantan. c2) Bernoullijeva jednadžba Povezuje tlak unutar fluida s njegovom brzinom i položajem u gravitacionom polju.

1p - statički tlak s kojim fluid s lijeve strane djeluje na presjek 1A

2p - statički tlak s kojim fluid s desne strane djeluje na presjek 2A Za vrijeme ∆t volumen 1 1 1V A v t∆ = ⋅ ∆ se premjesti s položaja 1h i brzine 1v na mjesto volumena 2 2 2 1V A v t V V∆ = ⋅ ∆ = ∆ ≡ ∆ na položaju 2h i brzine 2v . Taj premještaj su izvršile sile pritiska, koje su pritom izvršile rad 1 1 1 2 2 2W p A v t p A v t∆ = ⋅ ∆ − ⋅ ∆ = 1 2( )p p V= − ⋅∆ Izvršeni rad je rezultirao promjenom kinetičke energije

2 22 1

1 12 2kE mv mv∆ = −

m = ρ ⋅∆V i promjenom gravitacijske potencijalne energije 2 1pgE mgh mgh∆ = −


Kako je rad sila pritiska jednak promjeni mehaničke energije k pgW E E∆ = ∆ + ∆

2 21 2 2 1 2 1

1 1( )2 2

p p V v v gh gh Vρ ρ ρ ρ⎛ ⎞− ⋅∆ = − + − ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

2 21 1 1 2 2 2

1 1 1 12 2 2 2

p v gh p v ghρ ρ ρ ρ+ + = + +

ili

21 konst.2

p v ghρ ρ+ + = - Bernoullijeva jednadžba

Dakle, Bernoullijva jednadžba opisuje činjenicu da je ukupni tlak unutar tekućine koja se giba konstantan duž cijevi. U tehničkoj hidrodinamici se često primjenjuju sljedeći termini: - p – statički tlak

- 212dp vρ= - dinamički tlak

- hp ghρ= - hidrostatski tlak

- 212dp p p vρ+ = + - hidrodinamički tlak

Ozbiljni fizičari se obično “mršte” na te termine! Torricellijeva formula istjecanja tekućine U posudi, poprečnog presjeka 1A , imamo idealnu tekućinu do visine h. Kojom brzinom će tekućina istjecati kroz mali otvor 2A na dnu posude? Kako je

2

1

1AA

iz jednadžbe kontinuiteta slijedi

1 21 2

2 1

v A v v vv A

= ⇒ ≡

tj. uzimamo da je brzina spuštanja nivoa tekućine u posudi zanemariva. Bernoullijeva jednadžba ⇒

2 21 10 02 2a ap gh p v gρ ρ ρ ρ+ ⋅ + = + + ⋅

2v gh= - Torricellijeva formula istjecanja 9. Rotacija krutog tijela a) rotacija krutog tijela oko fiksne osi Kruto tijelo – ne može se deformirati. Udaljenosti između bilo koje dvije čestice tog tijela se ne mijenjaju tokom vremena. Pri rotaciji oko fiksne osi 0 sve čestice imaju jednaku kutnu brzinu ω. i-ta čestica ima pritom kinetičku energiju

2

2i i

kim vE =

i iv rω=


2 212ki i iE m r ω=

Ukupna kinetička energija krutog tijela (energija rotacije):

2 2 2 2 2 21 1 2 2

1 1 1... ...2 2 2kr i iE m r m r m rω ω ω= + + + +

2 212 i i

i

m r ω⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑

Definiramo moment tromosti (inercije): 2

i ii

I m r= ∑

To je mjera tromosti tijela u odnosu na rotaciju: [ ] [ ] 2 2I m v kgm⎡ ⎤= =⎣ ⎦

Kinetička energija rotacije:

212krE Iω=

Momenti tromosti za neka tijela: prsten (cilindrična ljuska) 2

CMI MR= valjak (cilindar) i disk

212CMI MR=

štap (oko CM)

2112CMI ML=

štap (oko jednog kraja)

213CMI ML=

kugla

225CMI MR=

sfera

2

32 MRICM =


a1) Steinerov poučak (teorem o paralelnim osima) Usporedimo li momente tromosti tijela za dvije međusobno paralelne osi vrtnje (neka jedna od njih prolazi kroz centar mase CM tijela) koje su na razmaku d, tada vrijedi Steinerov poučak 2

0 CMI I Md= + a2) Moment sile, M moment sile M definiramo kao M = k ⋅ F gdje je k krak sile (najkraća udaljenost od osi vrtnje do pravca djelovanja sile) F – veličina (modul) sile [ ] [ ][ ]M k F m N= = ⋅ Općenita definicija – preko vektorskog produkta rM = × F

r - radijus vektor spaja os vrtnje s hvatištem sile Modul tog vektora je

sin površina paralelograma

sin sin

M rFM kFk r k

r

ϕ

ϕ ϕ

= = ⎫⎪ ⇒ =⎬

= → = ⎪⎭

Smjer momenta se određuje pravilom desne ruke: Prstima pokazujemo smjer preklapanja prvog faktora ( r ) na drugi ( F ). Tada palac pokazuje smjer momenta sile M . Uvjet ravnoteže obzirom na rotaciju (vrtnju) tijela: 1 2 3 0M M M+ + = tj. 1 2 3M M M= + ili 1 1 2 2 3 3k F k F k F= + Zbroj svih momenata sila u odnosu na datu os mora biti jednak nuli! Uočimo da je to nužno ali ne i dovoljno da bi tijelo bilo u statičkoj ravnoteži. Tijelo je u statičkoj ravnoteži ako je zasebno zbroj svih sila i zbroj svih momenata tih sila oko neke osi jednak nuli. a3) veza između momenta sile i kutne akceleracije

im - masa i-tog djelića

itF - tangencijalna komponenta sile koja djeluje na i-ti djelić tijela Ta komponenta dovodi do tangencijalne akceleracije it i itF m a= Moment te sile u odnosu na centar vrtnje 0 je

2i i i

i i

M M m r α⎛ ⎞= = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

tj. M = I α .


a4) Rad, snaga i energija rotacionog gibanja ( sin )W F s F sϕ∆ = ⋅∆ = ⋅ ⋅∆ = ( sin )F r Mϕ θ θ= ⋅ ⋅ ∆ = ∆

Rad pri malom pomaku s∆ , tj. malom zakretu ∆θ jednak je ∆W = M ⋅ ∆θ Trenutna snaga jednaka je

WP Mt t

θ∆ ∆= =

∆ ∆ otkuda slijedi P = M ω.

Ukupan rad vanjskih sila jednak je promjeni kinetičke rotacione energije:

2 21 2 1 2

1 12 2tr KR KRW E E I Iω ω= − = −

b) kotrljanje i moment količine gibanja Kod kotrljanja tijela, os rotacije više nije fiksirana u prostoru.

CMs Rv Rt t

θ ω∆= = =

∆ ∆ - uvjet čistog kotrljanja

Kotrljanje se može shvatiti kao kombinacija čiste translacije i čiste rotacije. Pogledajmo: Ukupna kinetička energija valjka, mase M i radijusa R, koji se kotrlja može se zapisati u obliku

212K PE I ω=

PI - moment tromosti valjka s obzirom na trenutnu os vrtnje (oko točke P)

2P CMI I MR= +

2 21 1 ( )2 2K CME I M Rω ω= +

2 21 12 2K CM CME I Mvω= +

To je zbroj rotacione kinetičke energije oko centra mase

212 CMI ω

i translacione kinetičke energije centra mase

212 CMMv

Documents

Fizika Priprema Za Drzavnu Maturu 1 Dario Micic