Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 · Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Oppgåve 1 (2 poeng) Nedanfor ser

Løysingane er laga av

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014

Oppgåve 1 (2 poeng)

Nedanfor ser du kor mange sniglar Astrid har plukka i hagen kvar kveld dei ti siste kveldane.

10 5 22 28 2 8 50 15 40 10

Bestem gjennomsnittet og medianen for dette datamaterialet. Når vi ordnar talet på sniglar i stigande rekkefølgje, er medianen den mellomste, eller gjennomsnittet

av dei to mellomste.

Vi ordnar dataa i stigande rekkefølgje:

10 152 5 8 10 22 28 40 50

10 1512,5

2

Medianen: 12,5

Gjennomsnittet:

2 5 8 10 10 15 22 28 40 50 190

1910 10




Sorter uttrykka nedanfor etter stigande verdi. Vis eller forklar korleis du har tenkt.

3

3

6 6 36 2 0,75

2 8 4

3

3 3

0,0016 1,6 10 1,6 16 40,80

2 10 2 10 2 20 5

2 2

2

2 2 40,44

3 3 9

01

14

I stigande rekkefølgje:

2 0

3

3

2 0,0016 1, 6 2 , ,

3 2 10 4


I Noreg er det ca. 5 millionar innbyggjarar. Kvart år blir det produsert omtrent 150 milliardar

M&M-sjokoladar i verda. Tenk deg at desse sjokoladane skulle delast likt mellom innbyggjarane i

Noreg.

Omtrent kor mange M&M-sjokoladar ville kvar innbyggjar ha fått? Skriv svaret på standardform.

99 6 3 4

6

150 1030 10 30 10 3,0 10

5 10

Kvar innbyggar ville ha fått om lag 3,0 ∙ 104 M&M-sjokoladar.




Rekn ut

4 1 44 2

2

2

2

162

16

(2 )

8

aa

a

aa

a


I tabellen nedanfor ser du resultata frå ein pilkastkonkurranse.

Poeng Spelarar

0,40

60

40,80

20

80,120

16

120,180

4

Bestem den gjennomsnittlege poengsummen for spelarane.

0 40 40 80 80 120 120 18060 20 16 4

1200 1200 1600 600 46002 2 2 2 4660 20 16 4 100 100

Den gjennomsnittlege poengsummen er 46.




Whisky blir lagra på tønner. Ei tønne på 500 L blir fylt opp og plassert på lager. Kvart år fordampar

omtrent 2 % av innhaldet i tønna.

a) Set opp eit uttrykk som du kan bruke til å rekne ut kor mange liter whisky det vil vere

igjen i tønna etter 12 år.

Whiskymengda minkar med 2 % i året. Vekstfaktoren blir då 2

1 1 0,02 0,98100

Uttrykket blir: 12500 0,98

b) Set opp eit uttrykk som du kan bruke til å rekne ut kor mange liter whisky som vil ha

fordampa frå tønna etter 20 år.

Uttrykket blir: 20 20500 500 0,98 500 (1 0,98 )

Ei tønne har vore lagra i 25 år.

c) John påstår at halvparten av innhaldet har fordampa, og at denne tønna derfor no

inneheld 250 L. Det grunngir han med at 25 2% 50%

Forklar John kvifor dette ikkje er riktig.

Første året fordampar 2 % av 250 liter. Neste år fordampar 2 % av det som no er igjen, og så

vidare. I og med at innhaldet blir mindre og mindre, vil dei to prosentane utgjere eit stadig

mindre volum for kvart år som går. Den totale nedgangen i prosent i løpet av dei 25 åra blir difor

mindre enn 50 %.




Lufttrykk kan målast i bar eller psi. Lasse har ein racersykkel der det tilrådde lufttrykket i dekka er

oppgitt både i bar og i psi. Sjå biletet ovanfor.

a) Teikn eit koordinatsystem med lufttrykk målt i psi langs x - aksen og lufttrykk målt i bar langs y -

aksen. Marker verdiane frå dekket på biletet som punkt i koordinatsystemet, og teikn ei rett linje

gjennom punkta.



Lasse har kjøpt ny terrengsykkel. På dekka står det at lufttrykket bør vere mellom 35 og 65 psi. Han

lurer på kva det svarar til målt i bar.

b) Bruk linja i oppgåve a) til å finne ut kor høgt lufttrykk målt i bar Lasse bør bruke i dekka på

terrengsykkelen.

Lasse bør bruke eit lufttrykk som er mellom 2,4 og 4,5 bar.




På fredag sykla Synnøve til skolen. Ovanfor ser du ei forenkla grafisk framstilling av sykkelturen. Kva kan du seie om sykkelturen ut frå grafen?

Turen varte i 20 minutt, og Synnøve sykla 6 km. Etter 6 minutt hadde ho kome 2 km, og ho tok då ein

pause på fire minutt før ho sykla vidare. Etter pausen sykla ho litt raskare enn før pausen.




Ein filmklubb har 40 medlemmer. Halvparten av medlemmene har sett filmen «Gåten Ragnarok»,

mens 15 av medlemmene har sett filmen «Tusen ganger god natt». 14 av medlemmene har ikkje sett

nokon av dei to filmane.

a) Systematiser opplysningane ovanfor i ein krysstabell eller i eit venndiagram.

Krysstabell:

Har sett «Gåten

Ragnarok»

Har ikkje sett «Gåten

Ragnarok» Sum

Har sett «Tusen ganger god natt»

9 6 15

Har ikkje sett «Tusen ganger god natt»

11 14 25

Sum 20 20 40

Venndiagram:

40

14

9

Har sett «Tusen

ganger god natt»

11

Har sett «Gåten

Ragnarok»

6



Vi vel ut ein tilfeldig medlem av filmklubben.

b) Bestem sannsynet for at medlemmen har sett minst éin av dei to filmane.

14 26 13

(minst éin av dei to filmane) 1 (ingen av filmane) 140 40 20

P P

c) Bestem sannsynet for at ein medlem som har sett «Tusen ganger god natt», også har sett «Gåten

Ragnarok».

9

(Gåten Ragnarok|Tusen ganger god natt)20

P




Framandspråk Gutar Jenter

Tysk 9165 7467

Fransk 3729 5515

Spansk 10385 11619

Tabell 1

Tabell 1 viser kor mange elevar i Noreg som valde framandspråka tysk, fransk og spansk på 8. trinn skoleåret 2012/2013. a) Lag eit passande diagram som illustrerer opplysningane gitt i tabell 1.

Eg skriv inn tabellen i Excel, markerer området og vel Set inn + Stolpe:

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Tysk Fransk Spansk

Talet på gutar

Talet på jenter



Skoleår Elevar

med tysk Elevar

med fransk Elevar

med spansk

2002/2003 38,9 % 21,5 % 2,0 %

2004/2005 33,6 % 20,4 % 6,3 %

2006/2007 27,3 % 17,1 % 32,6 %

2008/2009 26,5 % 13,7 % 33,1 %

2010/2011 25,5 % 15,5 % 32,1 %

2012/2013 26,4 % 14,7 % 34,9 %

Tabell 2

Tabell 2 viser prosentdelen elevar på 8. trinn som valde tysk, prosentdelen som valde fransk, og prosentdelen som valde spansk som framandspråk nokre skoleår i perioden 2002/2013. b) Lag eit kurvediagram (linjediagram) som illustrerer opplysningane gitt i tabell 2.

Eg skriv inn tabellen i Excel, markerer området og vel Set inn + Linje:

c) Omtrent kor mange elevar var det på 8. trinn skoleåret 2012/2013?

Skoleåret 2012/2013 valde 9165 7467 16632elevar tysk. Dette er 26,4 % av elevane på 8. trinn. Går «vegen om 1»:

16632

100 6300026,4

Det var om lag 63 000 elevar på 8. trinn skoleåret 2012/2013

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

45,00%

Del av elevane medtysk

Del av elevane medfransk

Del av elevane medspansk




År 2002 2004 2006 2008 2010 2012

Gjennomsnittspris per kvadratmeter (kroner)

12 478 14 769 20 084 25 977 28 247 33 454

Tabellen ovanfor viser gjennomsnittspris per kvadratmeter for einebustader i Stavanger nokre år i perioden 2002–2012. a) La x vere talet på år etter 2002, og bestem den lineære modellen som passar best med dei

oppgitte verdiane. Eg brukar GeoGebra, og legg inn (0, 12479), (2, 14769) som punkt i eit koordinatsystem. Deretter brukar eg kommandoen Beste tilpassa linje, og markerer punkta:

Den lineære modellen som passar best med dei oppgitte verdiane er y = 2160,1x + 11701.



b) Når vil gjennomsnittsprisen for ein einebustad i Stavanger på 200 m2 passere 10 millionar kroner dersom prisutviklinga held fram?

Pris per kvadratmeter = 10000000

50000200

Eg teiknar linja y = 50000, og finn skjeringspunktet mellom denne og linja eg fann i a) ved å bruke kommandoen Skjering mellom to objekt.

I følgje denne modellen vil prisen for ein einebustad på 200 m2 passere 10 millionar kroner i løpet av 2019.

Ein eigedomsmeklar gjekk i 2012 ut frå at prisen på einebustader i Stavanger ville auke med 20 % i perioden 2012–2015. c) Kor stor prosentvis auke svarar det til per år?

Med ein prisauke på 20 % i perioden vil ein einebustad i 2015 koste 33454 1,20 40144,8kr kr

For å finne ut prosentvis auke per år må eg finne vekstfaktoren, x, i uttrykket 333454 40144,8kr x kr

Brukar CAS i GeoGebra:

Dette svarar til ein prosentvis auke på 6,3 % i året




Bygda Alvfjord har i dag 5000 innbyggjarar. Ein reknar med at innbyggjartalet vil auke med 4 % kvart år.

a) Forklar at funksjonen K gitt ved ( ) 5000 1,04xA x kan brukast som modell for talet på innbyggjarar i Alvfjord om x år. Innbyggjartalet aukar med 4 % kvart år. Vekstfaktoren til ein prosentvis auke på 4 % er 1,04. Ved å multiplisere denne med 5000 vil ein få innbyggartalet etter eitt år. Ved å opphøge vekstfaktoren i x, kan vi finne innbyggartalet etter x år.

b) Teikn grafen til A for 0 ≤ x ≤ 30 Teiknar grafen i GeoGebra:

c) Kor mange innbyggjarar vil det vere i Alvfjord om 10 år ifølgje modellen i oppgåve a)? Eg teiknar linja x = 10, og finn skjeringspunktet mellom denne og modellen i a) ved å bruke kommandoen Skjering mellom to objekt. I følgje modellen vil det om 10 år vere om lag 7400 innbyggjarar i Alvfjord




Ola har 120 m gjerde. Han skal gjerde inn eit område. Området skal ha form som eit rektangel med lengde x meter og breidde y meter der y > 20. Langs den eine sida av området står det ein mur. Muren er 20 m lang. Ola treng ikkje gjerde langs muren. Sjå skissa ovanfor a) Bestem ein modell som viser samanhengen mellom lengda x og arealet A(x) av området.

Eg set først opp eit uttrykk for talet på meter gjerde Ola har: 2 ( 20) 120x y y

Dette gir oss:

2 20 120

2 2 140

70

70

x y y

x y

x y

y x

( )

( ) (70 )

A x x y

A x x x

b) Bestem x slik at arealet av området blir størst mogleg. Kor stort blir området da? Eg teiknar grafen til A(x) i GeoGebra, og finn toppunktet ved å skrive inn Ekstremalpunkt[A] i innskrivingsfeltet: Området blir størst mogleg når x = 35. Arealet blir då 1225 m2.




Ei undersøking viser at 9 % av norske menn bruker bunad på nasjonaldagen. Vi vel tilfeldig ut tre

norske menn.

a) Kva er sannsynet for at ingen av dei bruker bunad på nasjonaldagen?

3

(bruker ikkje bunad) 1 (bruker bunad) 1 0,09 0,91

(ingen bruker bunad) 0,91 0,754

P P

P

Sannsynet for at ingen av dei brukar bunad er 75,4 %.

b) Kva er sannsynet for at nøyaktig éin av dei bruker bunad på nasjonaldagen?

Sannsynet for at éin bruker bunad medan dei to andre ikkje gjer det er 20,03 0,91 . Det er tre

måtar dette kan skje på, i og med at vi vel ut tre menn. Vi multipliserer derfor med 3.

2(nøyaktig éin bruker bunad) 3 0,03 0,91 0,075P

Sannsynet for at nøyaktig éin av dei bruker bunad er 7,5 %.


Izabela Duda frå Oppsal blei toppskårar i Eliteserien i handball for kvinner i sesongen 2012/2013. Nedanfor ser du kor mange mål ho skåra i kvar av dei 22 kampane.

6 1 4 8 8 17 7 12 1 8 4 7

10

13

14

7

9

7

11

12

7

4

a) Kor mange mål skåra ho i gjennomsnitt per kamp?

Eg legg inn tala i eit rekneark i GeoGebra og bruker kommandoen Gjennomsnitt for å rekne ut gjennomsnittet:

Izabela Duda skåra i gjennomsnitt om lag 8 mål per kamp.



Ein annan spelar skåra i gjennomsnitt 5 mål per kamp i dei 22 kampane. Standardavviket hennar for talet på mål per kamp var 2,5. b) Samanlikne prestasjonane til denne spelaren med prestasjonane til Izabela Duda.

Eg reknar ut standardavviket til Izabela ved å markere tala i tabellen og bruke kommandoen Lag liste med punkt. Lista får namnet Liste1, og eg finn så standardavviket i CAS:

Izabela skårar i snitt fleire mål per kamp, men i og med at ho har eit høgare standardavvik, er ho meir ujamn i prestasjonane enn den andre spelaren.

Izabela Duda skåra nokre av måla på straffekast. Tabellen viser kumulativ frekvens for dei måla ho skåra på straffekast i løpet av de 22 kampane.

Mål på straffekast

Kumulativ frekvens

0 8

1 14

2 17

3 21

4 22

c) I kor mange kampar skåra ho tre mål på straffekast?

Kor mange mål skåra ho på straffekast i løpet av dei 22 kampane?

21 17 4

Izabela skåra tre mål i fire kampar. 1 (14 8) 2 (17 14) 3 (21 17) 4 (22 21) 6 6 12 4 28

Ho skåra i alt 28 mål på straffekast i løpet av dei 22 kampane.




Thea lagar figurar av små sjokoladar. Figurane ovanfor har ho kalla F2, F3 og F4 a) Kor mange små sjokoladar vil det vere i figuren F5 ?

I den nedste rada vil det vere 5 sjokoladar, i den nest nedste 6, så 7, så 8, så 9, så 8, så 7, så 6 og så 5.

2 5 2 6 2 7 2 8 9 61 I F5 vil det vere 61 sjokoladar.

Thea vil setje opp ein modell som viser kor mange små sjokoladar ho treng for å lage enda større figurar. Ho får ein god idé og lagar figuren F4 på nytt.

Ho reknar no ut at talet på små sjokoladar i figuren F4 er 3 3 3 4 4 4 37 b) Vis korleis Thea kan bestemme kor mange små sjokoladar det er i F3 og F5 ved å rekne på same

måte.

3

5

:2 2 2 3 3 3 19

: 4 4 4 5 5 5 61

F

F



c) Kor mange små sjokoladar treng ho for å lage figuren F10 ? Set opp ein modell som Thea kan bruke for å bestemme talet på små sjokoladar i figuren Fn uttrykt ved n.

10 :9 9 9 10 10 10 271F

Thea treng 271 små sjokoladar for å lage figuren F10.

2 2

( ) ( 1)( 1) ( 1)

( ) ( 1) ( 1)

F n n n n n n n

F n n n n n

d) Kva er den største figuren Fn Thea kan lage dersom ho har 5000 små sjokoladar?

Teiknar grafen til F(n) og linja y = 5000. Finn skjeringspunktet ved å bruke kommandoen Skjering mellom to objekt:

Den største figuren Thea kan lage er F41.



Bileteliste

Kjelder for bilete, teikningar osv.:

Izabela Duda: http://oppsal.topphandball.no/kamp-om-kvartfinale/ (12.10.2013)

Andre bilde, teikningar og grafiske framstillingar i oppgåveteksten: Utdanningsdirektoratet

http://oppsal.topphandball.no/kamp-om-kvartfinale/

Documents

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 · Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Oppgåve 1 (2 poeng) Nedanfor ser