ECUACIONES 3

1. Si se sabe que a – b, a 0, indique un valor de x que satisfaga la ecuación:

a) 2a b) 3b c) a + b d) a e) b/a 2. Dada la ecuación en x:

2x2 – ( + 2)x + ( + 4) = 0

Donde sus raíces difieren en una unidad, halle el menor valor de . a) – 8 b) 8 c) – 4 d) 4 e) – 6 3. Si las raíces de la siguiente ecuación en x son recíprocas, indique el conjunto de los valores de m que hacen que no tenga

raíces reales diferentes (m 0).

mx2 – 2m

2x + n = 0

a) < – 1; 1> - {0} b) [ – 1; 1] - {0} c) [ – 2; 2] - {0} d) < – 2; 2> - {0}

e)

4. Si p y q son raíces de (x + 2)2 = x, halle una ecuación cuyas

únicas raíces sean (p + 1/q) y (q + 1/p).

a) 4x2 + 15x + 25 = 0

b) 4x2 – 15x + 25 = 0

c) 2x2 – 15x – 15 = 0

d) 2x2 + 15x – 15 = 0

e) 2x2 + 15x + 15 = 0

5. Si:

r1, s1 son raíces de x2 – 2x + 2 = 0

r2, s2 son raíces de x2 – 3x + 4 = 0

r3, s3 son raíces de x2 – 4x + 7 = 0

r4, s4 son raíces de x2 – 5x + 11 = 0

rn, sn son raíces de x2 + mx + 106 = 0

Halle el valor de A + B, si:

A = (r1)2 + (r2)

2 + (r3)

2 + ... + (rn)

2

B = (s1)2 + (s2)

2 + (s3)

2 + ... + (sn)

2

a) 91 b) – 100 c) 99 d) 100 e) – 91 6. Sea la ecuación:

x6 – 19x

3 – 216 = 0

Dé la suma de todas las raíces cuyas partes reales sean números enteros positivos. a) 7 b) 5 c) 3 d) 1 e) No tiene tales raíces 7. Si r, s, t son raíces de la ecuación

x3 = 4x – 1

Halle el valor de:

( r2 + s

2 + t

2)

2rst a) 4 b) – 4 c) – 8 d) 8 e) 0

8. Si las tres raíces de f(x) son , , , halle el valor de 3 +

3 +

3

f(x) = x3 + x + 1

a) 3 b) 4 c) – 3 d) 5 e) – 5 9. Dada la ecuación en x:

x4 = (px + n + 1)( px – n – 1)

Donde p = (3n + 4)1/2

Halle el menor valor posible para 19n, de tal manera que las raíces de la ecuación original formen una progresión aritmética. a) 2 b) – 22 c) 38 d) 19 e) – 19 10. Si las raíces de la ecuación:

32x4 + 40x

3 + 16x

2 + 10x + 2 = 0

Son x1, x2, x3, x4, halle:

|x1| + |x2| + |x3| + |x4|

a) 0 b) 2,25 c) 1,25 d) 1 e) 2 11. Para que la expresión mostrada: 7

x(x – 2) + 72

7 x

2 + 4x + 2

x2 + 2(2x + 1) x

2 – 2x + 49

Sea igual a 2, el valor real de x que hace que se cumpla lo anterior es: a) 6 b) 47 c) – 47 6 d) 47 e) 6 6 47

Problemas Propuestos

1. Si las raíces de x2 + px + 4q = 0 son r1 y r2, y además (2 r1 + k) y

(2 r2 + k) son raíces de x2 + mx + n = 0, calcule el valor de m

2 – 4n.

a) p2 – 16q b) 4p

2 – 16q c) p

2 – 64q

d) 4p2 – 64q e) 4p

2 – q

2. Si p, q son raíces de P(x), y además r, s son raíces de Q(x), halle

r3 + s

3, si:

P( x) = x2 – 18x + 45.

Q( x) = x2 + px + q (q < p)

a) 2 405 b) – 2 800 c) 3 680 d) 3 240 e) – 3 240 3. Halle la mayor raíz real de la ecuación bicuadrática mostrada a continuación, aumentada en el producto de sus raíces.

__x__ _ 1_ _ __x__ _____a + 3_____

a2 + ab x + 3 ax + 3a ax + 3a + bx + 3b

+ =

x4 + (b – a)(x

3 + 1) + (x – 1)

3 – c(x + 3) – 1 = 0

+

a) 3 + 57 2

b) –3 + 57 2

c) 3 + 39 2

d) –3 + 39 2 e) No tiene raíces reales 4. Resuelva:

12x4 + 91x

3 + 194x

2 + 91x + 12 = 0

E indique la suma de las dos raíces reales cuya suma tenga el mayor valor absoluto posible. a) 7 b) – 7 c) – 7 4 d) 7 e) No tiene raíces reales 4

Prof. Juan C. Salas

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