http://www.tubeum.com/mom.shtml
http://www.tubeum.com/tube2/gallery/f10bd644/356655/index.html
http://www.tubeum.com/first-time.shtml
http://www.tubeum.com/tube2/gallery/322c6e49/410177/index.html
http://www.peliculas21.com/harry-potter-y-el-misterio-del-principe/
http://www.tubeum.com/tube2/gallery/7d35e6e2/353554/index.html
http://www.tubeum.com/mom.shtml http://niceyoungteens.com/
http://www.hunt8.com/?t=1
http://www.mtv.com/shows/jersey_shore/season_2/video.jhtml#vi
deoModuleListing
http://www.cineol.net/frases/1772_Emperor's-ClubComo el gran
Aristfanes escribi: "La juventud envejece, la inmadurez se supera,
la ignorancia puede ser educada y la borrachera desembragiada, pero
la estupidez es para siempre".
http://www.cpbillar.net/reglas.htmhttp://www.cpbillar.net/regb8enero7.pdf
Funcin cuadrticaEn matemticas una funcin cuadrtica o funcin de
segundo grado es una funcin polinmica que se define mediante un
polinomio de segundo grado como:
donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. La
representacin grfica en el plano XY haciendo:
esto es:
es una parbola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo
segn el signo de a.
http://www.youtube.com/watch?v=fS9OMVfxmbQ
Corte con el eje y
La funcin corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la
parbola corta el eje y cuando x vale cero (0):
lo que resulta:
la funcin corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino
independiente de la funcin.
Corte con el eje x [editar]La funcin corta al eje x cuando y
vale 0, dada la funcin:
tendremos que:
las distintas soluciones de esta ecuacin de segundo grado, son
los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por
la expresin:
donde:
se le llama discriminante, :
segn el signo del discriminante podemos distinguir:
Discriminante positivo
> 0, la ecuacin tiene dos soluciones, y por tanto la parbola
cortara al eje x en dos puntos: x1 y x2. Veamos por ejemplo la
funcin:
que cortara el eje x cuando:
que tendr por solucin general:
en este caso:
que resulta:
Para esta ecuacin el discriminante tiene valor positivo:
y por tanto tiene dos soluciones:
operando:
Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se
puede ver en la figura.
Discriminante nulo
= 0, la ecuacin tiene una nica solucin en x1, la parbola solo
tiene un punto en comn con el eje x, el cual es el vrtice de la
funcin donde las dos ramas de la parbola confluyen. si la funcin
cuadrtica:
que cortara al eje de las x si:
su solucin sera:
Operando los valores, tendremos:
la raz de cero es cero, luego el discriminante en este caso vale
cero, y habr una nica solucin:
El punto de corte de la funcin con el eje de las x es (2,0), que
en este caso es tangencial de la funcin con el eje, ver figura.
Extremos relativosPara localizar los extremos relativos, se
calcula la derivada de la funcin, y se iguala a cero, la solucin a
esta ecuacin son los posibles mximos y mnimos de la funcin, en este
caso, partiendo de la funcin cuadrtica:
calculamos su derivada respecto a x:
que si la igualamos a cero, tenemos:
donde x valdr:
En la vertical que pasa por este valor de x se encontrar el
valor mximo o mnimo relativo de la funcin. Para saber si es un
mximo o un mnimo es necesario ver la derivada segunda de la funcin,
veamos:
esto es: 2a sera positivo cuando a sea positivo y negativo si a
es negativo, por tanto, si la derivada segunda 2a es positiva la
parbola es cncava y el punto ser un mnimo de la funcin, si a es
negativa la parbola ser convexa y sea un mximo.
Ejemplo 1
Dada la funcin:
De la figura, calcularemos su derivada primera:
Esta derivada valdr cero:
cuando:
esto es:
Esta funcin presenta un extremo relativo para calculando la
derivada segunda:
, veamos si es un mximo o un mnimo,
Que es 2, dado que 2 es un valor positivo, la funcin es convexa,
y el extremo relativo que
presente para :
, es un mnimo. El valor de la derivada segunda de una funcin
de
segundo grado es el coeficiente de y = x2, por lo que a la vista
de la ecuacin, podamos adelantar que seria mnimo sin calcular la
derivada segunda.
Dada la funcin:
Para calcular sus extremos relativos calcularemos su derivada
primera:
Esta derivada valdr cero cuando:
esto es:
que resulta:
Para x = 2, la funcin presenta un extremo relativo, como sabemos
que el coeficiente de x2, es negativo es un mximo, de todas formas
se puede calcular la derivada segunda en este punto, comprobando si
la funcin es cncava o convexa
TRASFORMACI DE FUCIOES En este tema estudiaremos como cambia
analticamente la expresin de una funcin cuando:
_ Hay desplazamientos horizontales o verticales de su
representacin grfica. _ Se producen reflexiones de la grfica con
respecto a los ejes "x" e "y". _ Se aplican expansiones o
contracciones en su aspecto grfico.
DESPLAZAMIETO HORIZOTAL Al producirse un desplazamiento
horizontal de una grfica, "a" unidades hacia la derecha, se debe
reemplazar en la expresin analtica a "x" por "x a". Por el
contrario, si el desplazamiento es de "a" unidades hacia la
izquierda se debe reemplazar en la expresin analtica "x" por "x +
a". Se puede considerar tambin que al desplazarse hacia la
izquierda el valor de "a" es negativo y usar siempre para los
desplazamientos horizontales la expresin f (x a), sin importar si
el desplazamiento es a la derecha o izquierda.
DESPLAZAMIETO VERTICAL:En cuanto al desplazamiento vertical el
procedimiento a realizar es ms simple: _ Si la curva va a
desplazarse "b" divisiones hacia arriba, debe sumarse "b" a la
forma analtica de f (x). _ Si la curva va a desplazarse "b"
divisiones hacia abajo, debe restarse "b" a la forma analtica de f
(x).
Como vemos, para desplazar verticalmente a la curva, slo hay que
sumar un nmero constante a la f(x). Si ese nmero es positivo la
curva se desplaza hacia arriba y si es negativo lo hace hacia
abajo. An cuando pareciera que las curvas estn ms separadas en la
parte media del grfico y se aproximan entre s hacia ambos costados,
se hace notar que su separacin medida verticalmente permanece
constante. A modo de resumen de los desplazamientos verticales y
horizontales
f (x) b f (x a) f (x) f (x) f (x a)
f (x) b
Con esta teora de los desplazamientos se puede deducir fcilmente
la forma cannica de la funcin cuadrtica, aplicando desplazamientos
horizontales y verticales a la parbola con vrtice en el origen del
tipo y = a x2.
REFLEXIO_ES RESPECTO A LOS EJES COORDE_ADOS A) REFLEXI_ RESPECTO
AL EJE "Y":Para reflejar una curva de una funcin f(x) con respecto
al eje "y" hay que reemplazar en f(x) a "x" por "x", manteniendo el
signo de "y". De esta forma, ante valores opuestos de "x" ambas
funciones toman igual valor, de modo que las curvas tienen una
imagen "de espejo" con respecto al eje "y".
En caso que la funcin a reflejar ya sea simtrica con respecto al
eje "y", o sea que se trate de una funcin par, la funcin se refleja
sobre s misma, no dando pues lugar a una funcin distinta. La funcin
reflejada coincide con la inicial. Esto
ocurrira con cualquier parbola que tenga el vrtice sobre el eje
"y". Por lo tanto en las funciones pares la reflexin sobre el eje
"y" no tiene ningn efecto.
B) REFLEXI_ RESPECTO AL EJE "X":Para reflejar una curva de una
funcin f(x) con respecto al eje "x" hay que cambiar el signo de la
funcin "y" por "y", manteniendo el signo de "x". De esta forma,
ante valores idnticos de "x" ambas funciones toman valores
opuestos, de modo que las curvas tienen una imagen "de espejo" con
respecto al eje "y".
Resumiendo los tipos de reflexin que puede sufrir una funcin: Yy
= f (x) y = f (x)
Y
y = f (x)
X X
y = f (x)
Reflexin respecto al eje "y": cambia el signo de la "x"
Reflexin respecto al eje "x": cambia el signo de la "y"
EXPASIONES Y COTRACCIONES:Las transformaciones vistas hasta
ahora: los desplazamientos (horizontal y vertical) y las
reflexiones (con respecto a los ejes "x" e "y") son
considerados
"movimientos" de la funcin f(x) pues no se altera la forma de la
curva, slo se traslada o refleja pero su forma se mantiene. Ahora
veremos dos transformaciones que s afectan la forma de la curva
f(x): _ Expansiones: Expandir una funcin equivale a multiplicarla
por un nmero real positivo "k" que sea mayor a uno. _
Contracciones: Contraer una funcin equivale a multiplicarla por un
nmero real positivo "k" que sea menor a uno. Para ilustrar el
efecto grfico de las expansiones y contracciones de una f(x),
observemos el siguiente grfico:
En azul se grafica la funcin inicial f(x); en verde se halla la
misma funcin "expandida" por un factor k = 2; y en color rojo la
funcin f(x) "contrada" por un factor k = . Se observa que los ceros
de las tres funciones graficadas coinciden, de modo que el producto
por una constante "k" no produce variacin en los ceros de una
funcin: todo cero de "f(x)" tambin lo ser de "k.f(x)" para
cualquier valor de "k". Se aclara que "k" debe ser positivo para
que las expansiones o contracciones sean "puras" o sea que no estn
asociadas a otra transformacin (reflexin). Si el factor "k" fuera
un nmero negativo, se puede considerar que el signo menos implica
una reflexin respecto del eje "x" y adems el mdulo de "k"
indicar si es mayor a uno que se trata de una expansin, o si es
menor a uno de una contraccin. Se producira entonces una
transformacin compuesta: expansin o contraccin con reflexin con
respecto al eje "x". Por ejemplo, si tenemos la funcin cuadrtica y
= x2, y la multiplicamos por un k = 2; por el signo menos aplicado
a una f(x) le estamos produciendo una reflexin con respecto al eje
"x" y adems hay una expansin dada por el |k| = 2, con lo cual se
obtiene la curva en rojo en el grfico contiguo. Ntese que en este
caso, la expansin de la curva da la impresin que la curva "se
contrae sobre el eje y", cuando en realidad es una expansin pues
para cada valor de "x" el mdulo de "y" se duplica.
|k|>1
|k| 0)
Expansin Contraccin Pura Pura
k es negativo (k < 0)
Expansi n con Reflexin sobre el eje x
Contracci n con Reflexin sobre el eje x
