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FUNCIÓN CUADRATICA
TEMARIO• DEFINICION• SITUACION 1• SITUACION 2• SITUACION 3• DEFINICIÓN • GRAFICA• FORMULA DE ASIGNACION DE IMÁGENES4• ANALISIS DE LA GRÁFICA• EJERCICIOS
• Una función cuadrática es aquella que puede escribirse con la
forma polinómica:
f(x) = ax2 + bx + c
• donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de
cero.
DEFINICION
inicio
• En una laguna se siembra una especie de peces que debido a las condiciones propicias de la laguna se reproducen y la población a medida de que pasa el tiempo responde a la siguiente fórmula P(x)=-x2 + 12x + 60 ( donde x representa el tiempo en meses y P(x) el número de peces en dicho tiempo)
SITUACION 1
RESOLUCION
1. Determina cuantos peces se introdujeron en la laguna2. Ayudándote con una tabla determina la población para
los siguientes tiempos: x{ 2, 2 ½ , 3 , 4 , 8 , 9 }
4. En algún otro momento volvieron a ser 60 peces, cual? 5. En que momento la población fue máxima y cual resulto
el número de peces en ese momento.
3. Obtener la gráfica con los pares ordenados obtenidos}
6. Cuando se extinguieron
1.Se pide la población para el momento inicial: Tiempo “CERO”P(x=0)=-02+12.0 + 60P(x=0)= 60 el par ( 0 ; 60 ) pertenece a la función P
2. Tabla
RESOLUCIÓN DE LA SITUACION 1
3. Grafica
4. Si el objetivo es saber en que momento (x) la población de peces P(x) es igual a 60
• x? / P(x)=60• -x2 + 12x + 60 = 60 • -x2 + 12x = 0 ec. cuadrática incompleta. Factoreamos• x.( - x + 12 ) = 0 por ley del producto nulo, se deduce• x= 0 ó - x + 12 = 0 • x = 12• Respuesta: La población de peces es igual a 60 en el el
origen de la experiencia y a los doce meses
x=0 x=12
5. Se nos pregunta cual es el momento x en que la población P(x) alcanza el valor máximo . Y cual es ese valor
•En principio uno se debería preguntar se esta situación es posible.
• Si miramos la grafica se observa que en los primeros meses la población creció y luego en un determinado momento empieza decrecer la población, lo que hace pensar ue ese es el valor de x pedido.
•Para determinar dicho valor de x que hemos de llamar tenemos que obtener el promedio de los valores de x que corresponden a puntos simétricos
• xv = ( 0 + 12 ): 2• xv = 6•La población que corresponde a xv =
6•P(xv = 6) = - 62 +12. 6 + 6 = 96
Respuesta a los 6 meses la población alcanza el valor máximo de 96 peces
• podemos decir que x=-3,8 no tiene sentido para la situación problemática
Respuesta: a los casi 16 meses los preces se extinguen
)1.(260).1.(414412
12
x
238412
12 x
8,328,912
1
1
x
x 28,912
2
x
8,152 x
6. Como la población después de los 6 meses empezó a decrecer se supone que terminará extinguiéndose. Estamos buscando el momento x en el cual P(x)= 0
• x? / P(x)= 0• -x2 + 12x + 60 = 0 ec. Cuadrática completa. Fór. Resolvente
inicio
SITUACION 2
• Si el área del camino ha de ser de 30 m2 , utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino. ¿Para qué valor de x es A = 100?
• Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.
• Llama x a la anchura constante del camino. Realiza un grafico que represente a la situación
A un piscina rectangular de 5x3 metros se le quiere hacer un camino alrededor del piscina. La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno.
RESOLUCION
• Ubica los pares obtenidos y grafica de la función
• Tabla de valores para la función que a cada valor de anchura x se le asigna el area del camino.
• A = 2.Area (1) + 2.Area (2) • A(x) =2.(5+2x).x + 2.x.3• A(x) =4x2 + 16x
RESOLUCIÓN DE LA SITUACION 2
• Representación
• Ubicamos los pares obtenidos y graficamos la función
Si el área del camino ha de ser de 30 m2
x ? / A/x) =30
4x2 + 16x = 30
• ¿Para qué valor de x es A = 100?
x ? / A/x) =100
4x2 + 16x = 100
inicio
SITUACION 3• Se desea conocer los productos que corresponden a
dos números Reales que sumados dan 6• Determinar una fórmula que permite conocer el
producto en función de uno de dichos números, llamarla P(x)
• Confeccionar una tabla en donde figuren los números y el producto de los mismos. Con los pares ( x; P(x))
• Para que números Reales el producto es NULO• Grafica en ejes con los pares obtenidos y competa la
grafica• Completar los siguientes pare sabiendo que
pertenecen a P: ( 2,5 ; ….) ( -2;….)RESOLUCIONinicio
• Ahora trabajaremos con dos números x y b. De dichos números se sabe que sumados dan 6
• x + b = 6• Lo que queremos como ser es su producto• P= x . b• Expresar el producto en función de uno de ellos: de x • P(x) = x . ( 6 – x ) ya que si x + b = 6 b = 6 - x
RESOLUCIÓN DE LA SITUACION 3
x b = 6 - x y = P(x) = x(6- x) par anàlisis-1 7 -7 (-1;-7)0 6 0 (0;0) Raíz 1 5 5 (1;5)2 4 8 123 3 9 (3;9) Vèrtice 4 2 8 (2;8)5 1 5 (5;1)6 0 0 (6;0) Raiz
• Completar ( -2;….)
• x= -2 P(-2)= -2-(6 – (-2)) P(-2)= -16
( -2 ; -16 )
• Completar los siguientes pare sabiendo que pertenecen a P(x)= x.(6 – x):
( 2,5 ; ….) ( -2;….)
• (2,5 ; P(2,5)) ya que en un par ordenado
• la 1er componente es la variable independiente x y
• la 2da es y la imagen atreves de la función
inicio
• Cada punto tiene dos componentes, (x,y). A la x la llamamos
• a la y la llamamos .
abscisaordenada
• Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática,
obtenemos siempre una curva llamada PARÁBOLA.
GRÁFICA
inicio
• Al -3 le corresponde: f(-3) y se obtiene reemplazando
• f( x ) = 3 x² +5 x - 8
• f(-3) = 3(-3)²+5(-3) -8• f(-3) = 27 - 15 - 8 = 4
• En resumen, al - 3 le corresponde el 4. El punto es el (-3,4).
x y = f( x )= 3. x² + 5 x – 8 Pares
-3
-2 = f(-2)= 3(-2)² + 5(-2) – 8-1 = f(-1)= 3(-1)² + 5(-1) – 80 = f(0)= 3( 0 )² + 5( 0) – 81 = f( 1)= 3( 1)² + 5( 1) – 82 = f( 2)= 3( 2)² + 5( 2) – 8
• Ejemplo: función cuadrática: f(x) = 3x²+5x-8,
• ¿cual es la imagen correspondiente a x= - 3 ?
-3 (-3 ; 4 )
- 6 (-2 ; -6 )
- 10 (-1 ; -10 )
- 8 (0; -8 )
0 (1; 0 )
14 (2; 14 )
GRAFICAR SIN TABLA
Seguimos con la función f(x)= 3x²+5x-8
𝑥= −𝑏± ξ𝑏2 − 4𝑎𝑐2𝑎
• FORMAS DE PRESENTAR UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Forma Polinómica
Forma Canónica
Forma Factorizada
inicio
𝑓 (𝑥 )=𝑎 (𝑥+h )2+𝑘
Gráfica y análisis de una función
cuádratica
• :RR/ (x) = ½ x2 - 4x +3
•Dom =
•Concavidad
•Ordenad al orígen
•ejeY=
•Ceros o Raíces
•ejeX=
•Vértice:
•
•Signo
•C0=
•C+=
•C-=
•Crecimiento y decrecimiento
• Ic= Id=
•Puntos notables
•Pmín.=
+
x1=0,7 x2=7,3
•Forma factorizada
•Forma Canónica
Probemos tu ingenio
•Todas las parábolas corresponden a forma y = ax2.•Establecer correspondencia entre el nombre de la función y la condición del coeficiente a
•La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo
y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.
Escribe la fórmula de la función en forma canónica
•Existen infinita parábolas con los mismos ceros•Si consideramos las graficas de funciones de la forma
y = a(x-3)(x+1) con ceros: x1 =3 y x2= -1 y difieren en el valor de a
• escribe la fórmula sabiendo que los valores de a son1, ¼, -½, 2,
f
g
h
s
y=2(x - 4)2+3
Y=2x2
-1< a <0
a > 1
0 < a< 1
a <-1inicio
• :RR/ (x) = - x2 - 3x +4
•Dom =
•Concavidad•Ordenad al orígen
•ejeY=•Ceros o Raíces
•ejeX=•Vértice:
• Signo
• C0=
• C+=
• C-=
• Crecimiento y
decrecimiento
• Ic= Id=
• Puntos notables
• PM= Pm=
• Pariedad
• Forma Canóonica
• Forma factoriada
Ejercicio nº 1Completar el análisis de las siguientes gráficas de funciones cuadráticas
inicio
• :RR/ (x) = 4(x-1)2-1
•Dom =
•Concavidad
•Ordenad al orígen
•ejeY=
•Ceros o Raíces
•ejeX=
• Signo• C0=• C+=• C-=• Crecimiento y
decrecimiento• Ic= Id=• Puntos notables• PM= Pm= • Pariedad• Forma Canóonica• Forma factoriada
:RR/ (x) = -(x+2)2 - 1
• Dom =
• Concavidad
• Ordenad al orígen
• ejeY=
• Ceros o Raíces
• ejeX=
• Signo• C0=• C+=• C-=• Crecimiento y
decrecimiento• Ic= Id=• Puntos notables• PM= Pm= • Pariedad• Forma Canóonica• Forma factoriada
Ejercicio Nº 2 Para indicar la o las respuestas correcta•
Tiene raíz doble Sus raíces son opuestas No tiene raíces NRA
La función
Ejercicio Nº 3 Obtener analíticamente el conjunto de positividad y
une con a respuesta correcta
El conjunto de positividad de
La función V F
Ejercicio Nº 4 indica si las siguientes afirmaciones son Verdaderas y Falsas.
justificar
inicio
