Ecuaciones de Segundo y Tercer Grado

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Ecuaciones segundo y tercer grado

Ecuaciones de segundo y tercer gradoUnaecuacin de segundo grado12oecuacin cuadrticaes una ecuacin que tiene la forma de una suma de trminos cuyo grado mximo es dos, es decir, una ecuacin cuadrtica puede ser representada por un polinomio de segundogradoo polinomio cuadrtico. La expresin cannica general de una ecuacin cuadrtica es:

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrtico (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el trmino independiente. Este polinomio se puede representar mediante una grfica de una funcin cuadrtica o parbola. Esta representacin grfica es til, porque la interseccin de esta grfica con el eje horizontal coinciden con las soluciones de la ecuacin (y dado que pueden existir dos, una o ninguna interseccin, esos pueden ser los nmeros de soluciones de la ecuacin).

Mtodo de solucin de la ecuacin cuadrticaLo primero es dividir la ecuacin completa por el primer trmino aSe procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresin Para lo cual se suma y resta , que puede escribirse como Ahora simplemente se resuelve esta ecuacin aprovechando que el trmino puede despejarse El valor de x es lo que se conoce como frmula general de la ecuacin de segundo gradoEl teorema fundamental del lgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo + y - de la x que se obtuvo De esta manera se tieneSi la ecuacin tiene dos races reales diferentes entre sSi las dos races son reales e iguales Si las dos races son complejas conjugadas

Ecuacin de tercer gradoUnaecuacin de tercer gradooecuacin cbicacon una incgnita es unaecuacinalgebraica de grado tres1que se puede poner bajo laforma cannica:, dondea, b, cyd(a 0) son nmeros que pertenecen a uncampo, elcampo de los nmeros realeso el de losnmeros complejos, normalmente nmeros racionales2.Frmula general

Dada la ecuacin cbica

Se calculan las siguientes cantidades:

En ese caso las tres races se pueden escribir simplemente como:(*)Al ser el discriminantese tiene:

i) una de las races es real y dos de ellas son complejas siD> 0.ii) todas las races son reales y al menos dos son iguales siD= 0.iii) todas las races son reales y distintas siD< 0.En este ltimo caso el clculo de las races se simplifica un poco si se reescriben las soluciones (*) mediante frmulas trigonomtricas:

donde:5

Imagenes de segundo grado y tercer grado

TrigonometraLatrigonometraes una rama de lamatemtica, cuyo significado etimolgico es "lamedicinde lostringulos". Deriva de los trminosgriegostrignotringulo y metronmedida.1En trminos generales, la trigonometra es el estudio de las razones trigonomtricas:seno,coseno;tangente,cotangente;secanteycosecante. Interviene directa o indirectamente en las dems ramas de la matemtica y se aplica en todos aquellos mbitos donde se requieren medidas de precisin. La trigonometra se aplica a otras ramas de lageometra, como es el caso del estudio de las esferas en lageometra del espacio.Posee numerosas aplicaciones: las tcnicas detriangulacin, por ejemplo, son usadas enastronomapara medirdistanciasaestrellasprximas, en la medicin de distancias entre puntosgeogrficos, y en sistemas de navegacin porsatlites.

Las funciones trigonomtricas.La trigonometra es una rama importante de las matemticas dedicada al estudio de la relacin entre los lados y ngulos de un tringulo rectngulo, con una aplicacin inmediata en geometra. Con este propsito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemticos estudiados en s mismos y con aplicaciones en los campos ms diversos.Razones trigonomtricas

EltringuloABC es untringulo rectnguloen C; lo usaremos para definir lasrazonesseno, coseno y tangente, del ngulo, correspondiente al vrticeA, situado en el centro de la circunferencia. Elseno(abreviado comosen, osinpor llamarse "snus" en latn) es la razn entre elcatetoopuesto sobre lahipotenusa.

Elcoseno(abreviado comocos) es la razn entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

Latangente(abreviado comotanotg) es la razn entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Razones trigonomtricas inversas

Tringulo ABC proporcional con un ngulo inscrito en una circunferencia de centro A y radio 1 LaCosecante: (abreviado comocscocosec) es la razn inversa de seno, o tambin su inverso multiplicativo:

En el esquema su representacin geomtrica es:

LaSecante: (abreviado comosec) es la razn inversa de coseno, o tambin su inverso multiplicativo:

En el esquema su representacin geomtrica es:

LaCotangente: (abreviado comocotocta) es la razn inversa de la tangente, o tambin su inverso multiplicativo:

En el esquema su representacin geomtrica es:

Normalmente se emplean las relaciones trigonomtricasseno, coseno y tangente, y salvo que haya un inters especfico en hablar de ellos o las expresiones matemticas se simplifiquen mucho, los trminos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.Equivalencia entre las funciones trigonomtricas