Ecuación cuadráticaEsto es una ecuación cuadrática:

(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)

La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes(lee las Definiciones básicas de Álgebra)

Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque elexponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:  En esta a=2, b=5 y c=3

     

 

Aquí hay una un poco más complicada:

¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos

"1x2"

b=-3

¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.

 ¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)

¿Qué tienen de especial?

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:

El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!

   

La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:

si es positivo, hay DOS soluciones

si es cero sólo hay UNA solución,

y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .

Solución

Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2aLos coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] / 2×5Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10Respuesta: x = -0.2 and -1(Comprobación:5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 05×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

Ecuaciones cuadráticas disfrazadas

Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:

Disfrazadas Qué hacerEn forma estándar

a, b y c

x2 = 3x -1Mueve todos los términos a la izquierda

x2 - 3x + 1 = 0 a=1, b=-3, c=1

2(x2 - 2x) = 5 Desarrolla paréntesis 2x2 - 4x - 5 = 0 a=2, b=-4, c=-5

x(x-1) = 3 Desarrolla paréntesis x2 - x - 3 = 0 a=1, b=-1, c=-3

5 + 1/x - 1/x2 = 0 Multiplica por x2 5x2 + x - 1 = 0 a=5, b=1, c=-1

Ecuaciones Cuadráticas – Factorización 

 Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde  a, b, y c son números reales.    

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10

3x2  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10              a = -6, b = 0, c = 10    

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:  

1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática    

Factorización Simple:

 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.   Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8  (x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2]  

( x +   )   (x  -   ) = 0

   

(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2

                                                                    4 · -2 = -8        

x + 4 = 0       x – 2 = 0      

x + 4 = 0      x – 2 = 0 x = 0 – 4      x = 0 + 2 x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.    

Completando el Cuadrado:

  En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.  Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:    

4x2 + 12x – 8  = 0  4        4      4      4

 

x2 + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.  

Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]      

x2  + 2x + 1    = 8 + 1

x2  + 2x + 1 = 9

(       )  (      )  = 9      Hay que factorizar.                                  Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.      

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ± 

 

 

x + 1 =  ± 3

x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3       x = -1 – 3 x = 2               x = -4      

Fórmula Cuadrática:

 Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:     

Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8        

 

    

x = -2 ± 6           2

X =  -2 + 6     x = -2 - 6            2                  2  

   x =  4           x = -8         2                  2

x = 2      x = - 4