Ecuaciones de Tercer Grado

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Captulo 11

LAS ECUACIONES DE TERCER y CUARTO GRADO y los NMEROS COMPLEJOS11.1. Los Radicales CbicosIniciaremos nuestra exploracin del mundo matemtico ms all de lo cuadrtico, con los radicales cbicos. Deniremos los radicales cbicos de manera anloga a los radicales cuadrticos.

Denicin 11.1. Sea a un nmero positivo. Llamaremos radical cbico o raz cbica dea a un nmero positivo tal que 3 = a.1. 2.

Ejemplo 11.1.1.2 5es una raz cbica de 8, ya que

23 = 8. 53 = 125.

es una raz cubica de 125, ya que

Cuando un nmero tenga raz cbica, dicha raz ser nica. Esto sigue de que

x3 y 3 = (x y)(x2 + xy + y 2 );y que, por lo tanto, cuando cbica de

x 3

y

a,

ser denotada por

y son 3 a.

nmeros positivos,

x3 y 3 = 0,

ssi,

x y = 0.

La raz

Tiene cada nmero positivo, una raz cbica? Ntese que si un cubo tiene volumen arista medir exactamente

v

su

V.

Uno de los problemas clsicos de la geometra peda dupli-

car un cubo, usando como siempre regla y comps.

1 Podemos, sin perdida de generalidad,

1

El problema tiene origen mitolgico: se dice que Atenea pidi la duplicacin de su altar, que precisamente

tena forma de un cubo.

172

CAPTULO 11.

ECUACIONES DE GRADOS 3 Y 4

suponer que la medida de la arista del cubo original era 1. Como consecuencia el nuevo cubo tendr una arista que medir constructible. Los matemticos de la Antigedad fueron incapaces de resolver ese problema, que permaneci as durante mucho tiempo. Una respuesta nal se logr solamente en el siglo XIX. Pero no nos apresuremos, y pensemos si tiene sentido hablar o no de

3

2.

La pregunta entonces se reduce a determinar si

3

2

es

3

2.

Si imaginamos un

cubo de lado unitario, podemos imaginarnos a ese cubo creciendo uniformemente hasta que su lado alcance un largo de dos unidades. Por lo tanto, su volumen pasar de 1 a 8. Resulta entonces natural pensar que en este crecimiento de 1 a 8, en algn instante se pas por el valor 2. Ciertamente, esto no es una demostracin matemtica de la existencia de

3

2,

pero

si un argumento para la deseabilidad de su existencia. El argumento anterior puede en principio, reemplazarse con cualquier nmero positivo, por lo que, al igual que los matemticos en la Antigedad, supondremos la existencia de races cbicas para cada nmero positivo. Es fcil, vericar que las races cbicas de races cuadradas son races sextas, es decir que si

u3 = v

y

v 2 = a,

entonces

u6 = (u3 )2 = v 2 = a.

Lo que muestra, que si agregamos la

existencia de races cbicas, deberemos agregar tambin las races sextas. Pero, las races cuadradas de races sextas sern . . . Por lo tanto, para ahorrarnos problemas supondremos lo siguiente.

Postulado 1

(Existencia de races nsimas). Para cada nmero a positivo y para cada nmero natural n, hay un nico nmero positivo b tal que bn = a. Tal nmero se simbolizar por n a. Cuando se agreg este postulado al conjunto de los racionales, el conjunto de nmeros

consista entonces de los racionales, de las races cacin y divisin) y a tomar races

nsimas de racionales positivos y, adems,

el conjunto se supona cerrado respecto a las operaciones racionales (suma, resta, multipli-

nsimas, n cualesquiera. Tenemos as extendido nuestro

conjunto de nmeros por una inmensa cantidad de nmeros. Se supona tambin que las propiedades bsicas de las operaciones eran vlidas para ese conjunto de nmeros. Por ejemplo, entre los nmeros se tena a

1+

5

2+

1198

1+

12

1+

73.

Ejercicios 11.1.1. Probar que si a

Q

adjuntamos

3

2,

obtendremos todos los nmeros de la forma

3 3 a + b 2 + c 4;donde

a, b

y

c

son nmeros racionales.

11.2.

LA ECUACIN CBICA

173

2. Probar la siguientes propiedades de las races (a) 3. Para

nsimas. n a=mn

n a

ab =

n n a b m, n

(b)

m

a.

positivo, y

enteros denir adecuadamente

an.Adecuadamente quiere decir, que las propiedades de las potencias permanezcan vlidas. Hacer la vericacin de dichas propiedades.

m

11.2.

La Ecuacin Cbica

La ecuacin cbica general es una ecuacin de la forma

ax3 + bx2 + cx + d = 0.Para buscar un mtodo para resolver ese ecuacin, recordemos la resolucin de la ecuacin de segundo grado.

b c + = 0, que a su vez es equivalente a a 2 b c b b2 4ac b 2 ) 2 + = 0. Lo que puede escribirse como (x + )2 = . La ltima a (x + 2a 4a a 2a 4a2 2 4ac b b 2 ecuacin es fcil de resolver, pues colocando u = x + se reduce a u = . Esta 2a 4a2La ecuacin

ax2 + bx + c = 0 es equivalente a x2 +

ltima ecuacin, se puede resolver tomando races cuadradas en ambos lados. Esta manera de resolver la ecuacin destaca el rol del nmero hay o no solucin para la ltima ecuacin. Volvamos a la ecuacin cbica,

b2 4ac,

ya que su signo determinar si

ax3 + bx2 + cx + d = 0.La primera idea, por analoga con el caso cuadrtico, sera intentar de completar el cubo de un binomio y ver que pasa. Esencialmente haremos eso, pero nuestro camino ser hacer una sustitucin adelante. Poniendo,

x + h = y , donde h es arbitrario, cuyo valor ser escogido convenientemente ms x = y h, tendremos: a(y h)3 + b(y h)2 + c(y h) + d = 0.

Lo que es equivalente a:

ay 3 + (3ah + b)y 2 + (3ah2 2bh + c)y + (ah3 + bh2 ch + d) = 0.

174

CAPTULO 11.

ECUACIONES DE GRADOS 3 Y 4

Si quisiramos tener un cubo perfecto + constante, se debera cumplir que

3ah + b = 0,Sigue de la primera ecuacin que

y que

3ah2 2bh + c = 0. b , 3a

h=

pero este valor no satisface la segunda ecuacin. Qu podemos hacer? Bueno olvidarnos de nuestra idea original, pero sin abandonarla totalmente. Hagamos el trmino cuadrtico en como

h = b/3a, y por lo tanto y , y nos quedaremos

la sustitucin

x = y h,

har desaparecer

con el trmino cbico, el trmino lineal y

el trmino constante. Luego, mediante una reorganizacin, podremos reescribir la ecuacin

y 3 = py + qdonde

p

y

q

son funciones de los coecientes de la ecuacin original. Esa simplicacin no

nos da, todava, la solucin, pero llegaremos a ella mediante un truco que describiremos a continuacin. El truco es sustituir

u+v

por

y,

con lo que obtendremos,

(u + v)3 = p(u + v) + q,de donde por expansin se obtiene que

3uv(u + v) + (u3 + v 3 ) = p(u + v) + q.Por lo tanto, tendremos una solucin, si podemos hallar

u

y

v

tales que

3uv = p,Como

u3 + v 3 = q.

uv

son escogidos como sustitucin para una sola variable, podemos escoger una de

ellas como queramos, por lo que hacemos

v = p/3u,

y obtenemos la ecuacin

u3 + (Pero sta es una ecuacin cuadrtica en

p 3 ) = q. 3uO sea,

u3 .

p (u3 )2 qu3 + ( )3 = 0. 3Luego tendremos las siguientes soluciones para

u3 , p 33

q 2

q 2

2

.

11.2.

LA ECUACIN CBICA

175

Finalmente, observando que las ecuaciones originales para a

u

y

v

son simtricas con respecto

u

y

v,

tendremos que, sin perdida de generalidad, podremos suponer que

u3 =

q + 2

q 2

2

p 3

3

, v3 =

q 2

q 2

2

p 3

3

.

En consecuencia, tenemos que

y =u+v =

3

q + 2

q 2

2

p 3

3

+

3

q 2

q 2

2

p 3

3

.

Ejemplos 11.2.1.1. Resolver la ecuacin

x3 6x2 + 11x 6 = 0.

Resolucin. Tenemos que h = b/3a = 2. Haciendo la sustitucin x = y +2 se obtiene,y 3 y = 0.Esta ecuacin es fcil de resolver por factorizacin ya que

y 3 y = y(y 2 1) = y(y 1)(y + 1);de donde obtenemos que

y=0

y = 1

obtendremos los correspondientes valores para

y = 1. Recordando la sustitucin x, 2, 1 o 3, respectivamente.

hecha,

Ntese que en este caso no aplicamos la frmula, ya que la sustitucin inicial nos simplic de tal manera la ecuacin original que hizo innecesario el uso de la frmula. 2. Resolver la ecuacin

x3 + 15x2 72x + 106 = 0.Es decir que

Resolucin.3 O sea, y

Haciendo la sustitucin

= 3y + 4.

x = y 5, se obtiene la ecuacin y 3 3y 4 = 0. 2 3 tenemos, p = 3, q = 4. Luego, (q/2) (p/3) = 3.

Por lo tanto una solucin para

y

ser:3 3

y=3. Resolver la ecuacin

4+

3+

4

3.

x3 9x2 + 21x 5 = 0. x = y + 3,tendremos que la ecuacin se reduce

Resolucin.a:

Realizando la sustitucin

y 3 6y + 4 = 0.O equivalentemente a

y 3 = 6y 4.

176

CAPTULO 11.

ECUACIONES DE GRADOS 3 Y 4

Por lo que tendremos que

p=6

y

q = 4.

Luego,

q p ( )2 ( )3 = 4. 2 3Y nuestra frmula no sera aplicable, ya que tendramos que sacar la raz cuadrada de un nmero negativo. En todo caso, formalmente nuestra solucin sera3

y=

4+

4 +

3

4

4.

Lo que parecera decir que nuestra ecuacin no tiene solucin. Sin embargo, es fcil ver que

y=2

implica