DIPLOMSKI - Uloga i Znacaj Skupova u Pocetnoj Nastavi Matematike

Улога и значај скупова у почетној настави математике

С А Д Р Ж А Ј

УВОД...........................................................................................................................4

1. ТЕОРИЈСКИ ПРИСТУП ПРОБЛЕМУ............................................................8

1.1. Појам скупа.................................................................................................8

1.2. Елементи скупа.........................................................................................11

1.2.1. Подскуп скупа............................................................................14

1.2.2. Једнакост скупова......................................................................17

1.2.3. Једнакобројни (еквивалентни) скупови /кардинални број/. . .18

1.2.4. Посебни скупови........................................................................23

1.3. Операције са скуповима...........................................................................24

1.3.1. Унија скупова.............................................................................24

1.3.2. Пресјек скупова.........................................................................26

1.3.3. Разлика скупова, комплемент скупа........................................27

1.3.4. Производ скупова (Декартов производ)..................................28

2. МЕТОДОЛОГИЈА ИСТРАЖИВАЊА...........................................................31

2.1. Проблем истраживања.............................................................................31

2.2. Предмет истраживања..............................................................................31

2.3. Циљ и карактер истраживања.................................................................31

2.4. Задаци истраживања.................................................................................31

2.5. Хипотезе истраживања............................................................................32

2.6. Варијабле истраживања...........................................................................32

2.7. Научноистраживачке методе...................................................................33

2.8. Технике и инструменти истраживања....................................................33

2.9. Популација и узорак истраживања.........................................................34

2.10. Организација и ток истраживања.........................................................34

2.11. Статистичка обрада података................................................................35

3. РЕЗУЛТАТИ ИСТРАЖИВАЊА......................................................................36

3.1. Мишљења наставника и професора разредне наставе о значају

скупова у усвајању основних математичких појмова...........................36

2


3.2. Мишљења наставника и професора разредне наставе о томе

да ли скупови олакшавају усвајање појма броја...................................38


скупова у формирању апстрактног мишљења

код ученика нижих разреда.....................................................................39

ЗАКЉУЧЦИ.............................................................................................................41

ЛИТЕРАТУРА.........................................................................................................43

ПРИЛОЗИ.................................................................................................................44

Прилог 1. Анкетни упитник за утврђивање ставова и мишљења

наставника и професора разредне наставе о улози и

значају скупова у почетној настави математике............................44

Прилог 2. Примјер наставног часа – обрада броја...........................................46

3


У В О Д

„Математика и њен стил размишљања

морају постати саставни дио опште културе

савременог човјека, човјека који се образује у

данашњим школама, без обзира на то да ли ће он

вршити посао који користи математику или не.“

UNESCO, 1956.

Математика је стара природна наука. Као таква, била је везана за реални

свијет, за нешто што постоји, што је тачно, што је истинито.

Може се рећи да су први коријени математике везани за стару Грчку, за

Египат, Кину, Вавилон, Индију. Грци су били први народ који је изградио

општи појам науке. За општи појам науке – математике, Грци користе два

термина: episteme и mathema. Овај први термин првенствено се односио на

науку, док се други односио на знање, на нешто што се може научити,

схватити. Назив mathema био је у етимолошкој сродности са грчким називом

mathematika (што би у преводу значило „математички списи“), од којег и

потиче модерно име математика.

Математика је, прије свега, настала из праксе, из потребе да људи

побољшају своје услове живота, да постану умни и паметни људи, те стога

можемо закључити да се математика развијала паралелно са степеном развоја

друштва и времена.

У данашње вријеме, сваком човјеку је, без обзира на његову професију,

неопходно да стекне, па макар и основно, математичко образовање у

свакодневном животу.

Научно је доказано да математичко образовање има важну улогу у развоју

личности. Математички садржаји поспјешују когнитивни развој личности.

Позната максима да је „математика гимнастика ума“ указује на чињеницу да

математички садржаји снажно ангажују мишљење и доприносе развоју

логичког мишљења.

Стога можемо слободно рећи да је математика један од најзначајнијих

наставних предмета у општем образовању и васпитању, што се огледа у

4


високој примјени ове науке у друштвеном животу уопште и у њеном

несумњивом утицају на интелектуални развој човјека.

Иако су чврсте теоријске основе теорије скупова утврђене тек у XIX

вијеку, сматра се да је интуитивна идеја појма скупа старија од појма броја. То

се објашњава чињеницом да су примитивни народи провјеравали стање свог

стада тако што су за сваку животињу имали један камен, односно они су

образовали скуп који по броју одговара стаду. Када су провјеравали да ли је

стадо на броју, за свако грло би одвојили један камен (елемент из скупа) који је

служио као узорак за бројност стада. Можемо рећи да је примитивни човјек

вршио придруживање, односно обострано једнозначно пресликавање, што

значи да они нису вршили пребројавање истог у циљу контролисања стада, већ

су образовали скуп који је по броју одговарао стаду.

Сам процес формирања појма природног броја имао је дуготрајан и

сложен историјски пут. Како смо у претходном пасусу назначили, том процесу

је претходило управо уочавање једнакобројности међу различитим скуповима.

У почетку се то својство није одвајало од конкретне природе скупова. На

примјер, људи су првобитно знали да два ловца имају једнак број уловљених

птица, али то нису изражавали неком посебном ријечју која би упућивала на

назив неког броја. Даље, виши развој људског друштва доводи до

неопходности да се бројност једних скупова изрази преко бројности других

скупова, тј. заједничко својство – једнакобројност сада се усваја као нешто што

није везано за конкретну природу самог скупа (његових елемената). У овој

фази развоја један скуп се узима као узор (карактеристичан скуп) са којим се

пореде сви остали скупови, код којих се занемарује својство елемената и који

су једнакобројни са тим скупом. Да би човјек, на примјер, саопштио колико је

уловио птица, он је говорио да има птица колико и прстију на једној руци. У

тој фази бројеви добијају називе, најчешће једнаке називима карактеристичног

скупа. Тако се, на примјер, за број елемената двочланог скупа, независно од

његове саме природе, говорило: „руке“, „уши“… Скуп који је примитивном

човјеку служио као узорак са којим је поредио друге скупове био је скуп

прстију. На крају, занемарујући својство елемената и њихов распоред код

коначних једнакобројних скупова и апстрахујући њихово заједничко својство –

бројност, долази се до броја у „чистом“ виду, тј. до апстрактног појма броја.

Тај број је на почетку био неодвојив од скупа (двије јабуке, два дрвета...) и

5


требало је да прође много хиљада година па да човјек схвати само ријеч „два“

(без именовања конкретног скупа) као заједничко својство свих скупова са по

два елемента.

У савременој математици теорија скупова заузима значајно мјесто. Данас

се уз помоћ теорије скупова заснивају и изграђују многи математички појмови,

као и многе математичке теорије. Да би се ти појмови успјешно формирали,

потребно је да се ученици перманентно логички оспособљавају. Због тога треба

оспособљавати дјецу не да уче чињенице напамет, него да траже битно у

садржајима које уче и да уз помоћ тих садржаја успостављају логичко

мишљење.

Правилном употребом скупова и операција са скуповима, ученици могу

ријешити веома сложене проблеме, схватити елементарну алгебру, разумјети

основе геометрије.

Изучавање садржаја о скуповима има за циљ да се ученици оспособе да

уочавају скупове и да одређују припадност или неприпадност објеката датим

скуповима; да се упознају са појмом „елемент скупа“ и са појмом „подскуп

скупа“; да се оспособе да графички приказују и симболички записују скупове

те да се оспособе да упоређују скупове по бројности елемената

(придруживањем елемената или пребројавањем елемената датих скупова).

Значај теорије скупова не огледа се само у њеној примјени у математици,

већ и у другим пољима, као што су: компјутерска технологија, атомска и

нуклеарна физика.

У већини савремених наставних програма заступљени су садржаји о

скуповима и скуповним операцијама. Увођење ових садржаја у наставне

програме изазвало је доста дискусија о њиховој методичкој, образовној и

васпитној вриједности. Једно од основних неслагања јесте – шта да буде на

почетку програма: скуп или број? Присталице скуповног приступа заступају

теорију обраде скупова прије обраде бројева и оправдавају то педагошком

вриједношћу преднумеричког периода изучавања скупова. У том периоду

ученици треба да стичу знања која ће им олакшати и убрзати схватање

природног броја и аритметичких операција. Природни број, по њиховом

мишљењу, мада изражава најзначајније својство скупа – бројност, ипак је само

једно обиљежје. Према томе, прије формирања сложенијег појма природног

броја треба изградити неке једноставније појмове и преко њих осмислити појам

6


броја. Са друге стране, присталице стављања броја на почетак програма

сматрају да су они који полазе у школу неспособни да схвате број као класу

једнакобројних скупова, јер таквих скупова је бесконачно, а бесконачно је

сложенији појам од броја. Због тога, присталице таквог мишљења сматрају да

наставу математике треба почети пребројавањем реалних предмета и

осмишљавањем назива бројева. Поред дилеме да ли наставу треба почети

скуповима или не, постоји још низ несугласица о улози и значају скупова.

И поред ових дилема нема сумње да скупови играју изузетно значајну

улогу у почетној настави математике, те стога сматрамо да је ова тема важна за

наставну праксу и да ћемо овим радом успјети бар мало проширити сазнања о

улози и значају скупова у почетној настави математике.

7


1. ТЕОРИЈСКИ ПРИСТУП ПРОБЛЕМУ

1.1. Појам скупа

Скупови су један од најважнијих фундаменталних концепата у модерној

математици. Појам скупа је најопштији у односу на све друге појмове класичне

математике. Самим тим, тај појам се не дефинише и нема званичну

дефиницију, већ се узима као основни појам.

До појма скупа може се врло лако доћи емпиријским путем, посматрајући

разне групе, скупине, мноштва неке врсте објеката, ствари, живих бића и др.

Тако имамо скуп становника неког града, скуп књига у библиотеци, скуп клупа

у учионици итд. За неке скупове постоје посебни термини, као: сазвјежђе или

галаксија (скуп звијезда), архипелаг (скуп острва), рој (скуп инсеката)…

Као што смо већ рекли, појам скупа се не дефинише, него се објашњава

конкретним примјерима и указује се на то да се изрази као што су: мноштво,

фамилија, колекција, гомила, хрпа… јављају као синоними за исти појам и

означавају више објеката који по некој особини чине предмет нашег

разматрања. У математици, скуп се може схватити као било која колекција

различитих објеката сматраних цјелином.

У почетној настави појам скупа обрађује се на опажајном нивоу, што

значи да су сви примјери садржани у природном или сликовном окружењу

дјетета. Скупове у разредној настави треба посматрати као дидактички

материјал, неопходан за формирање појмова везаних за природне бројеве,

аритметичке операције, релације итд., а не као логичко-појмовну основу за

интерпретацију осталих математичких садржаја. Формирање скуповних

појмова тече преко игре и практичних активности ученика. Процес формирања

појма „скуп“ и појма „елемент скупа“ је дугогодишњи процес и зато се задатак

формирања ових појмова у почетној настави математике своди на схватање

улоге ријечи „скуп“ и „елемент“.

Математичка дисциплина која проучава могуће скупове назива се

теорија скупова. Скуп се уопштено описује као мноштво апстрактних објеката.

Сама теорија се налази у основи свих грана математике које се баве бројевима:

алгебре, математичке анализе, вјероватноће па и топологије. Она је уз логику и

предикатски рачун један од аксиоматских темеља математике. Теорија скупова

8


је развијена ради појашњавања и изучавања основа математике. У процесу

модернизације наставе математике, теорија скупова има значајну улогу.

Прве покушаје аксиоматског дефинисања теорије скупова учинио је

Ђузепе Пеано, али је чврсте теоријске основе ове теорије поставио њемачки

математичар Георг Кантор (1848 – 1918), професор универзитета у Гетингему,

Берлину и Халеу, а касније је теорију допунио и ситематизовао Ернест Зермело

(1871 – 1956). Кантор скупове уводи неформално („наивна теорија скупова“),

нема аксиоме.

У наивној теорији скупова одговор на питање – шта је скуп, је

једноставан:

- Скуп је примитиван појам, и као такав се не дефинише.

- Сматрамо да већ имате изграђену интуицију о појму скупа.

- Скуп је колекција објеката који заједно чине цјелину.

На таквом недефинисаном и врло нејасном појму скупа Кантор је

изградио велики дио теорије скупова. Кантор је скуп представио као „једну

цјелину различитих предмета из нашег стварног или писаног свијета који

узимамо као цјелину и именујемо елементе скупа.“

Скуп је најопштији појам класичне математике. На појму скупа стоји

данашња математика, јер управо тај појам се узима, заједно с логиком првог

реда, за градњу математике на аксиомима.

Треба нагласити да математика нема увијек пресудну улогу у брзини

прихватања њених садржаја у настави математике, већ су понекад пресуднији

трендови и општа друштвена клима. На примјер, требало је да прође око 100

година од стварања теорије скупова до њиховог увођења у разредну наставу.

Теорија скупова је данас свеприсутни дио математичког образовања, те се

стога у већини земаља уводи већ у основној школи.

Поштујући принцип очигледности, скупови се могу представити

графички, на сликовит начин и такав начин представљања називамо Венов

дијаграм скупа, по Џону Вену, британском логичару и филозофу, који је овакав

приказ скупова увео 1881. године. Међутим, мање је познато да је Леонард

Ојлер, швајцарски математичар и физичар, увео сликовит начин приказа скупа

још у XVIII вијеку.

Уколико се кругови не сијеку, можемо одмах закључити да то није Венов

дијаграм; Ојлерови дијаграми се могу преклапати или бити раздвојени без

9


додирних тачака. За Венове дијаграме можемо рећи да су софистициранија

техника приказа супова, те да су стога људи боље упознати са њима, него са

Ојлеровим дијграмима.

Венови дијаграми:

Ојлерови дијаграми:

* * *

Веновим дијаграмима истиче се битно и занемарује небитно, односно

занемарују се природа, квалитет и остала својства чланова скупа, истиче се

само квантитет, бројност скупа; сваки члан скупа je само једна јединица и то je

оно што води формирању појма броја.

Ha примјер, када дјетету покажемо слику скупа од три (3) слона и скуп од

три (3) миша и питамо гдје има више чланова – у првом или другом скупу,

већина дјеце ће одговорити да je већи први скуп (збуњује их величина чланова

скупова). Међутим, када испод сваког скупа нацртамо Венов дијаграм, забуне

нема – скупови су истобројни.

10


1.2. Елементи скупа

Предмети из којих је скуп састављен зову се елементи скупа. Елемент

скупа је основни математички појам који не дефинишемо. Скуп је задан када је

тачно одређено који елементи чине тај скуп.

Постоје скупови са коначно много елемената, које називамо коначним

скуповима, и скупови са бесконачно много елемената – бесконачни скупови.

Тако, на примјер, скуп становника на земљи представља један коначан скуп,

док скуп свих цијелих бројева садржи бесконачно много елемената.

Скупове најчешће обиљежавамо великим латиничним словима А, B,

......X, Y,..., а њихове елементе малим словима а, b,...,x, y,...

Ако је x елемент скупа X, ту чињеницу ћемо означавати са x∈X, а ако не

припада скупу X, означићемо са x∉X. Ознаке ћемо читати: „x припада скупу

X“ или „x је елемент скупа X“. Ознаку x∉X ћемо читати “x не припада скупу

X” или „x није елемент скупа X“, што значи да је уз појмове „скуп“ и „елемент

скупа“, појам „припадати“ такође један од основних појмова теорије скупова.

Поставимо сада питање: „Колико елемената има скуп природних бројева

већих од један, а мањих од два“? Јасно је да такав скуп не садржи ниједан

елемент. За такав скуп кажемо да је празан и обиљежава се са Ø. Очито

вриједи: kØ=0.

Међутим, десиће нам се некад да није згодно, а ни могуће, да

непосредно наведемо све елементе неког скупа. Стога се користи и овакво

записивање скупова:

{x | S(x)} или, исто, {x | x има својство S}, што би значило “скуп свих x који

имају својство S“. На примјер, скуп X = {7, 8, 9, 10, 11, 12} можемо записати

и на сљедећи начин:

X={x | x N 6< x <13 }

Скупови се могу задавати:

а) Навођењем свих његових елемената између витичастих заграда

{3, 6, 7}

Коначан скуп, са елементима 3, 6 и 7. Овакав начин задавања скупова користи

се за коначне скупове са не тако великим бројем елемената, које је технички

могуће све навести.

11


{1, 2, . . . , n}

Коначан скуп са већим бројем елемената које технички није могуће све

навести, због чега стављамо три тачке „. . .“ које значе „и тако даље, по истом

обрасцу“. Одговарајући образац мора да буде очигледан.

{2, 4, 6, 8, . . .}

Скуп свих парних бројева. Примијетимо да је овај скуп, за разлику од

претходног, бесконачан.

N = {1, 2, 3, . . .}

Скуп свих природних бројева.

б) Задавањем својства које сви његови елементи морају да имају

Заједничко својство обједињује у скуп све објекте са тим својством. Такви

скупови се записују у сљедећем облику:

A = {x | x има својство P(x)} или A = {x | P(x)}, где је са P(x) означено својство

које може имати објекат x. На овај начин је означен скуп свих објеката x за које

важи P(x), односно скуп свих објеката x који имају својство P(x). На примјер,

скуп парних бројева може се задати као

{x | постоји y ∈ N тако да је x = 2y}.

в) Рекурзивна (индуктивна) дефиниција скупа

Скуп А се може дефинисати рекурзивно или индуктивно на сљедећи начин:

(а) задају се полазни елементи или базни елементи скупа А;

(б) одређује се начин на који се, помоћу одређених операција, из претходно

дефинисаних елемената могу дефинисати други елементи скупа А;

(в) каже се да скупу А могу припадати они и само они објекти који се могу

добити примјеном правила (а) и (б) коначан број пута.

Рекурзивно се дефинишу и формуле у језику ФОРТРАН.

* * *

Већ на предшколском нивоу дјеца развијају неке почетне скуповне

појмове. У почетној настави појам скупа обрађује се на опажајном нивоу, што

значи да су сви примјери садржани у природном или сликовном окружењу

дјетета.

12


При објашњавању појма скупа користи се сав природни, вјештачки и

дидактички материјал којим је дијете окружено (клупе, столице, лопте, свеске,

јабуке…), како би излагање било што успјешније и интересантније за ученике.

Примјера има бесконачно много. Такође, може се користити и игра, као

природан захтјев дјетета, кроз коју ће се идентификовати разни примјери

скупова: скуп дјевојчица, скуп дјечака, скуп свих ученика… При усвајању

појма скупа дјеца не треба да буду пасивни посматрачи, преписивачи, већ треба

да буду активни учесници, да откривају, упоређују, закључују.

У првој фази упознавања са скупом вршимо прикупљање елемената

према некој истакнутој особини, а то су, прије свега, скупови предмета из

непосредног окружења (скуп школског прибора једног ученика чини ташна,

књиге, перница, свеске...). Затим се може прећи на посматрање и анализирање

скупа свих предмета који чине намјештај њихове учионице, да именују све

предмете који припадају том скупу.

Појам одјељења може одлично послужити за формирање појма скупа.

Дјеци треба објаснити да су се они сви уписали у први разред, скупили у овој

учионици и тако формирали једну цјелину која се назива одјељење. Значи, сви

ученици једног одјељења чине један скуп, односно одјељење је скуп ученика.

Имамо и скуп дјевојчица и скуп дјечака. Дјеца именују чланове тих скупова.

Одређују који скуп има више чланова.

Даље се може наставити са именовањем других скупова, нпр. животиња

(јато, крдо, чопор…), воћа, поврћа..., односно води се разговор о скуповима ван

видног поља. Од ученика тражимо да наведу елементе скупа воћа, скупа

поврћа, скупа животиња, скупа дивљих животиња... Захтијевамо да ученици

наброје што више елемената и објасне зашто наведени елементи припадају,

односно не припадају датом скупу.

Зец припада скупу дивљихживотиња, па је зец елементскупа дивљих животиња.

Пас није дивља животиња, пане припада скупу дивљих животиња, значи није елемент скупа дивљих животиња.

13


Ученик је схватио појам скупа и елемента тек кад може одредити да ли

одређени елемент припада неком скупу или не. Ученик треба да одреди када

један елемент припада једном скупу, када другом, када је елемент два или више

скупова, када не припада скупу. Можемо узети примјер слике са пуним или

полуиспијеним чашама са црвеним и жутим соком. Питање је колико скупова

можемо уочити и захтијевамо да за сваки формирани скуп утврдимо

припадност и неприпадност сваког елемента понаособ. Дакле, можемо уочити

скуп пуних чаша, скуп полуиспијених чаша, скуп чаша са црвеним соком, скуп

чаша са жутим соком, скуп пуних чаша са црвеним соком, скуп полуиспијених

чаша са црвеним соком, скуп свих чаша, итд. Затим тражимо од ученика да

одреде све елементе који не припадају посматраном скупу и да опишу скуп

коме ти елементи припадају. Нпр. елементи који не припадају скупу

полуиспијених чаша у којима је био жути сок припадају скупу пуних чаша или

испијених чаша са црвеним соком.

Поред уочавања елемената који припадају одређеним скуповима, ученици

пребројавају елементе сваког скупа и врше поређења: који скуп има више,

односно мање елемената. Истовремено са мисаоном изградњом скупа

објашњавамо значење израза „елемент“, „члан скупа“ и значење ријечи

„припада“.

Тек кад ученици схвате да је скуп мноштво нечега, тад се може прећи на

графичко представљање скупа. Ученици могу да од жице праве кругове у које

ће стављати различите елементе дефинисане по одређеном својству (боја,

облик, величина…) и тако формирати скупове. На овај начин дјеца се

припремају за графичко обиљежавање скупова. Стављањем одређених

елемената у обруч или изван њега, дефинише се појам припадања и даје се

повод каснијем симболичком записивању „припада“ или „не припада“. Скуп се

графички приказује затвореном линијом, али је врло важно истаћи да постоје и

скупови без затворене линије – као што је нпр. скуп ученика једног разреда.

1.2.1. Подскуп скупа

Ако је сваки елемент скупа A такође члан скупа B, тада се за A каже да је

подскуп од B, пише се , те изговара „А је садржан у B“. Може се,

такође, записати , што се чита као „B је надскуп од A“, „B укључује А“

или „B садржи A“.

14


Релација између скупова успостављена са зове се инклузија.

Ако је А подскуп и није једнак скупу B, тада се за А каже да је прави

подскуп скупа B, записује се (А је прави подскуп скупа B) ili

(B је прави надскуп скупа А). Међутим, у некој литератури ови се симболи

читају исто као и и , те се стога често преферира кориштење

експлицитнијих симбола и за праве подскупове и надскупове.

Скуп природних бројева је подскуп скупа цијелих бројева, N Z.

Примјери:

Скуп свих жена је прави подскуп скупа свих људи.

Празни скуп је подскуп сваког скупа и сваки скуп је сам свој подскуп:

За било који скуп S можемо посматрати скуп свих његових подскупова.

Тај скуп зове се партитивни скуп скупа S и означава се с P (S).

Примјер:

Чланови скупа P (S), када је S={2, 3}, јесу: P (S)={Ø, {2}, {3}, {2,3}}

У математици често посматрамо само подскупове неког одређеног скупа.

За скуп чије подскупове посматрамо кажемо да је универзални скуп и

означавамо га са U.

* * *

Подскуп формирамо преко конкретних примјера. Као што смо у

формирању појма скупа пошли од одјељења, тако и у формирању појма

подскупа можемо поћи од скупа ученика тог одјељења. Тако у оквиру тог скупа

можемо да одредимо скуп дјевојчица и да констатујемо да је скуп дјевојчица

подскуп скупа ученика тог одјељења, скуп оловака чини подскуп скупа

школског прибора једног ученика. Затим ученици треба да сами наводе

примјере и објашњавају да су елементи подскупа уједно и елементи цијелог

15


скупа. Потребно је наглашавати да подскуп формирамо истицањем новог,

додатног својства (или особине) у посматраном скупу. На примјер, уколико

имамо воће – јабуке, крушке, поморанџе и лимунове – од ученика тражимо да у

посматраном скупу воћа издвоје скуп јабука, скуп крушака, скуп воћа жуте

боје, скуп јужног воћа, итд. На овај начин дјеца схватају да се подскуп

формира на идентичан начин као и скуп, само што се за подскуп поставља

додатни услов, нова карактеристика или особина по којој се издвајају и

групишу елементи са тим својством. То значи да имамо примјену старог

поступка у новој ситуацији. На оваквом примјеру ученици схватају да један

исти елемент истог скупа може бити елемент неколико подскупова, јер

елементи посједују више својстава, а подскуп (скуп) се формира на основу

једне издвојене особине.

Од ученика треба тражити и да се правилно изражавају, као на примјер:

„Ученици одјељења II3 су подскуп одјељења II разреда, а ученици II разреда су

подскуп ученика цијеле школе“. На тај начин се ученици непосредно упознају

и са својством транзитивности релације подскуп, што ће им користити касније,

у старијим разредима.

Однос скупа и подскупа ученици уочавају и на цртежима сљедећег

облика:

На оваквим и сличним примјерима истичемо да се издвајањем једног

подскупа скуп раздваја на два подскупа. Показујемо да скуп може настати и

спајањем, обједињавањем елемената два и више скупова. На примјер, скуп

дјевојчица и скуп дјечака једног одјељења чине скуп ученика цијелог

одјељења.

16


Састављање и растављање скупова је увод у сабирање и одузимање

бројева.

1.2.2. Једнакост скупова

За нека два скупа кажемо да су једнаки ако су сви елементи једног скупа

уједно елементи другог скупа, и обрнуто, сви елементи другог скупа су

елементи првог скупа. Другим ријечима, скуп је једнак самом себи. Једнакост

два скупа се односи на идентичност елемената, а не на једнакост својсатва

eлемената.

Записујемо: A=B ако и само ако ,

на примјер, по дефиницији биће {a, a, a, b, b, c}={a, b, b, c, c, c}={a, b, c}.

Дакле, сваки члан скупа је присутан једним појављивањем, а сва остала

његова појављивања, уколико их има, нису важна, и, уз то, ни редослијед

навођења чланова није битан.

Примјери једнаких скупова:

{x, x} = {x}

{x, y} = {y, x}

{x, y, z} = {x, z, y}

{x, y, z} = {z, x, x, y}

Одавде можемо извести два правила која се тичу горенаведеног задавања

скупова навођењем његових елемената:

– Није битан редослијед по коме се елементи наводе (набрајају).

– Сваки елемент се наводи само једном.

* * *

У почетној настави математике формирање појма једнакости је завршна

фаза у изградњи скупова. У тој фази најбоље је почети са примјерима скупова

састављених од истих елемената, али различито распоређених.

17


Дјеци се показују елементи који чине један скуп. Ако се том скупу

промијени распоред елемената, опет добијамо исти скуп. Ученици треба да

сами дођу до закључка да су скупови једнаки.

1.2.3. Једнакобројни (еквивалентни) скупови /кардинални број/

За скуп А кажемо да је еквивалентан скупу B aко и само ако постоји

бијекција са А на B (ƒ: A→B).

За еквивалентне скупове вриједи:

1. Рефлексивност

А ≈А за сваки непразни скуп

2. Симетричност

A ≈B <=> B ≈ A

3. Транзитивност

A ≈B & B≈A => A ≈C

Дати су скупови A = {1, 2, 3} и B = {a, b, c}.

B

1. a

2. b

3. c

A

Сваком елементу из скупа А придружен је елемент из скупа B, тј.

елементу 1 из скупа А придружен је елемент а из скупа B, елементу 2 из скупа

А је придружен елемент b из скупа B и елементу 3 из скупа А је придружен

елемент c из скупа B. Тим придруживањем добили смо парове: (1, a), (2, b), (3, c).

Бијекцијом, односно узајамним једнозначним пресликавањем показали

смо да скупови A и B имају једнак број елемената, односно да су скупови A и B

еквивалентни скупови.

Кажемо да је скуп А еквивалентан скупу B ако и само ако постоји

обострано пресликавање између скупова А и B (видјети слику изнад).

Еквивалентни скупови се још називају и истобројни.

18


Код коначних скупова за карактеристику класе међусобно еквивалентних

скупова узимамо број њихових елемената.

Број који казује колико елемената има дати скуп зове се кардинални број

или главни број скупа.

Кардинални бројеви се обиљежавају малим латиничним словом k, и ако

су два скупа еквивалентна, онда пишемо k(A) = k(B). Умјесто А≈B пишемо

k(A) = k(B) – кардинални број скупа А једнак је кардиналном броју скупа B.

1. Кардинални бројеви коначних непразних скупова су природни бројеви.

2. Кардинални број једночланог скупа k (a) k (x) је један и обиљежава се са

k(x) = 1.

3. Кардинални број празног скупа је 0 и пише се k (Ø) = 0. За празан скуп се

каже да је сам себи еквивалентан.

4. Кардинални број скупа свих природних бројева за које се зна да их има

бесконачно много означава се са k (N) = N0 (алеф нула или степен

бесконачности скупа природних бројева). Скупови са кардиналним

бројем N0 се још називају и пребројивим скуповима.

5. Неједнакобројни (нееквивалентни) скупови су скупови који немају једнак

број елемената у скупу, нпр.:

* * * *

* * * *

* * *

Примјер 1 :

A={a, e, и, o, u }, |A| = 5 или k(A) = 5

Примјер 2 :

На слици су приказана три еквивалентна скупа. Њихово заједничко

својство је да сваки скуп има три елемента. Скупова по три елемента има

бесконачно много.

19


Другим ријечима, њихово заједничко својство је да имају једнак

кардинални број. То је број три (3).

***

У припремном периоду за формирање појма природног броја вршимо

упоређивање скупова по бројности елемената. Циљ изучавања садржаја

придруживања елемената два скупа јесте да ученици уочавају једнакобројне и

неједнакобројне скупове, као и формирање појмова „више“, односно „мање“.

Придруживање је поступак којим се утврђују односи међу скуповима. Оно

може бити физичко, графичко и мисаоно.

Физичко придруживање представља манипулисање дидактичким

материјалом, тј. манипулисање елементима два унапријед формирана скупа. На

примјер, упоређујемо скуп плавих и црвених жетона. Могућности

придруживања су: да на сваки плави жетон ставимо по један црвени, да на

сваки црвени ставимо по једнан плави, да у пару издвајамо по један црвени и

један плави жетон или да на истом растојању распоредимо жетоне у два

вертикална или хоризонтална реда. За ову врсту придруживања подесне су и

демонстрације апликацијама које се ређају на фланелографу у два паралелна

реда тако да наспрам сваког првог скупа поставимо по један елемент другог

скупа.

Графичко придруживање елемената скупова врши се цртежима. Скупове

чије елементе придружујемо представљамо цртежима, а затим сваки елемент

једног скупа „вежемо“ оријентисаном линијом за само један елемент другог

скупа. Ако немамо „невезаних“ елемената ни у једном скупу, односно ако

сваки елемент првог скупа има свој пар у другом скупу, значи да су скупови

20


једнакобројни, односно да имају исти број елемената. Посебно је потребно

истицати да су скупови једнаки по броју елемената, по бројности, али да нису

једнаки (немају исте елементе). Повезивање елемената усмјереним линијама

представља прелаз од опажајног ка мисаоном придруживању.

Мисаоно придруживање је када ученик замишља два скупа и начин

придруживања елемената тих скупова.

При обради оваквих садржаја треба узимати скупове објеката међу чијим

се елементима и у практичном свакодневном животу успостављају

кореспонденције, као што су дјеца и лопте, дјеца и бомбоне, аутомобили и

људи, шољице и тацне, кашике и виљушке...

Потребно је, такође, радити и вјежбе „превођења“ неједнакобројних

скупова у једнакобројне. Ученици треба да схвате да изједначавање скупова

можемо вршити на два начина: додати одговарајући број елемената скупу који

има мањи број елемената, или одузети „вишак“ скупу који има више елемената.

Такође, ученици треба да схвате да и једнакобројне скупове можемо

„превести“ у неједнокобројне, ако једном од њих додамо или пак одузмемо

један или више елемената.

На часовима упоређивања скупова, ученицима треба указати и на особине

релација: једнако, мање, више.

Користећи конкретне скупове, ученици закључују да релација „једнако“

има особину симетричности: ако је број кругова у првом скупу једнак броју

троуглова у другом скупу, онда је и број троуглова једнак броју кругова. Затим,

долази до особине транзитивности за релацију „једнако“: ако је број кругова у

првом скупу једнак броју троуглова у другом, а број троуглова једнак броју

квадрата у трећем скупу, онда је број кругова и квадрата исти.

Даље, ученици закључују о обрнутом односу релација „мање“ и „више“:

ако је квадрата мање у односу на троуглове, онда је троуглова више у односу

на квадрате. Осим тога, ако је троуглова више од квадрата, онда не може

квадрата бити више од троуглова, што илуструје својство антисиметричности

21


за релацију „више“ Аналогно се објашњава и антисиметричност релације

„мање“.

Кроз примјере се илуструје и особина транзитивности за релацију „мање“

и „више“. Рецимо, ако је кругова више од троуглова, а троуглова више од

квадрата, тада је кругова више од квадрата. То ученици провјеравају

упоређујући скупове кругова и квадрата.

Други начин упоређивања скупова јесте пребројавање елемената датих

скупова.

Бројање је мисаона радња која се изграђује материјалним, вербалним и

мисаоним извођењем. Бројање се може вршити именовањем предмета и без

именовања предмета. Бројање именовањем предмета има за циљ да ученици

схвате да се бројањем одређује количина издвојених, пребројаних предмета.

Потребно је да ученик пребројава и одваја конкретне предмете, а не само да

ређа називе бројева. Пребројавајући предмете у различитом поретку: слијева

удесно, здесна улијево, одозго на доље, одоздо на горе и слично, ученици

закључују да резултат бројања не зависи од начина бројања.

Такође, учитељ може ученику постављати сљедећа питања: Колико

имаш фломастера? Издвој три (или било који други број). Колико ти је остало

фломастера? Којих има више? Којих има мање?

Бројање предмета може се изводити помјерањем елемената скупа,

додиривањем, показивањем, погледом и мисаоно.

Бројање предмета без именовања има за циљ да ученици схвате мјесто

броја у бројевном низу. Да би ученик схватио мјесто сваког броја у низу

природних бројева, потребно је да броји у мислима, да броји апстрактне

објекте (звукове, кораке...). У том циљу ученици броје унапријед, уназад,

почевши од било ког броја.

У току бројања треба користити и редне бројеве тако да ученици дођу

до закључка да „пети“ не представља пет предмета, већ само један предмет

који има одређено мјесто у скупу од минимално пет предмета.

22


1.2.4. Посебни скупови

Неки истакнути скупови имају изузетну математичку важност и толико се

често користе да су добили посебна имена и нотацију. Један од њих је већ

споменути празни скуп. Неки од осталих су:

означава скуп свих простих бројева.

означава скуп свих природних бројева. Другим ријечима, N= {1, 2, 3,

...}, или N0= {0, 1, 2, 3, ...}.

означава скуп свих цијелих бројева (било позитивних, негативних

или нуле). Стога је = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

означава скуп свих рационалних бројева (тј. скуп свих правих и

неправих разломака). Стога је = { : a,b и b ≠ 0}. На примјер,

и . Сви цијели бројеви су у овом скупу пошто се сваки

цијели број а може изразити као разломак .

је скуп свих реалних бројева. Овај скуп укључује све рационалне и

ирационалне бројеве (тј. бројеве који се не могу записати у облику

разломка, као што су и √2).

је скуп свих комплексних бројева.

Сваки од ових скупова бројева је бесконачан, премда вриједи

, иако се прости бројеви генерално користе

мање од осталих скупова изван теорије скупова и сродних дисциплина.

Међутим, не постоји само једна врста бесконачности. За скуп који је

еквипотентан (једнакобројан) са скупом природних бројева кажемо да је

пребројиво бесконачан (краће пребројив), а „већи“ скупови су непребројиво

бесконачни (краће непребројиви).

Пребројиво бесконачни скупови су, на примјер, скупови P, N, Z, Q, као и скуп свих природних бројева који су парни, непарни, дјељиви с 3,

дјељиви 4, итд. Примјери непребројиво бесконачних скупова су R и C.

23


1.3. Операције са скуповима

Један од начина како од већ познатих скупова можемо добити нове

скупове јесте примјеном разних операција на скуповима. Даље у тексту ћемо

обрадити сљедеће скуповне операције: унију, пресјек, разлику, комплемент и

Декартов производ.

1.3.1. Унија скупова

Унија скупова A и B је скуп A B који чине они и само они елементи

који припадају или скупу A или скупу B или и скупу A и скупу B.

A B = {x | x A x B}

Из дефиниције се једноставно види да унија скупова има сљедећа

својства:

1) A B= B A − комутативност

2) A A B и B A B

3) A Ø = A

4) A u = u

AA BB CC

==

C = A C = A B B

* * *

Дефиницију уније скупова у почетној настави математике ученицима

ћемо најлакше објаснити кроз игру. Ученици ће тако бити активни учесници, а

не пасивни посматрачи, а самим тим и стечено знање ће бити дуготрајније.

На поду ћемо уз помоћ вијача направити два круга и позваћемо да у један

круг уђу дјевојчице у сукњицама, а у други дјечаци у патикама. С обзиром на

то да су ученици већ усвојили појам скупа, закључићемо да смо на овај начин

24


добили два скупа – скуп А и скуп B. Затим ћемо направити трећи скуп тако

што ћемо вијачом обухватити скуп А и скуп B. Означићемо тај скуп са C.

Закључићемо да је скуп C унија скупова А и B, који садржи елементе ова

два скупа. На табли ћемо записати C = А B и графички представити:

А U B

А B

На овај начин смо образовали унију од два скупа који немају заједничких

елемената, а потом ћемо образовати унију од два скупа који имају заједничке

елементе. То ћемо учинити тако да бирамо ученике који припадају и једном и

другом скупу и који ће се налазити и у једном и у другом обручу. нпр.

закључићемо да дјевојчице у сукњицама и патикама припадају и једном и

другом скупу, те ће стога бити обухваћене са оба круга. Поново ћемо их

обухватити вијачом и закључити да смо формирали унију два скупа.

Операције са скуповима се ученицима могу на занимљив начин

представити и уз помоћ динамичког математичког софтвера – ГеоГебре. Код

овог рачунарског алата долазе до изражаја принцип активности, принцип

оперативности, принцип експеримениталности и принцип учења путем

откривања. Могућности које пружа Геогебра, да на овај начин креирају

анимације и једноставне илустрације школског садржаја, омогућавају

наставницима да за кратко вријеме и веома једноставно упознају ученике са

основним математичким појмовима и знањима.

Поред уније скупова, Геогебра пружа могућност обраде пресјека и

разлике скупова.

Примјер 1 :

A={1, 2, 3, 4}

B={3, 4, 5, 6, 7}

AUB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

25

4 65 75.


Примјер 2 :

A = {, ▲, }

B = { , , , }

AUB = {, ▲, , , , , }

BUA = {, , , ,, ▲, }

▲

▲

A B AUB

1.3.2. Пресјек скупова

Пресјек два скупа А и Б је скуп чији су елементи они и само они

елементи који припадају и скупу А и скупу B.

Пресјек скупова А и обиљежавамо са А ∩ B.

A ∩ B = {x | x A x }

Графички приказ би био:

При м ј ер:

A={1,2,3,4,5}

B={4,5,6,7}

A B = {4,5}

B A = {4,5}

A ∩ B

A B

За пресјек два скупа важи закон комутативности као и код уније скупова

26

1 23


A B = B A.

За скупове А и B кажемо да су дисјунктни ако и само ако је њихов пресјек

празан скуп, тј. А B = Ø.

Нека основна својства пресјека:

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ B је подскуп скупа A

A ∩ A = A

A ∩ ø = ø

ЗАДАТАК:

Нека је: A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, a, b} и C={a, b, c, d}

Испиши скупове: 1) A B, 2) B C, 3) A C

РЈЕШЕЊЕ:

1) A B = {3, 4} 2) B C= {a, b} 3) A C = Ø

1.3.3. Разлика скупова, комплемент скупа

Разлику скупова А и B чини онај скуп чији су елементи они и само они

елементи који припадају скупу А, а не припадају скупу B:

A/B = { x | x A x}

односно разлика скупова B и А јесте скуп чији су елементи они и само

они елементи који припадају скупу B, а не припадају скупу А:

B/A = { x | x B xA},

За разлику скупова не важи закон комутације, тј. комутативности:

A/B ≠ B/A

Примјер:

A= {3, 4, 5, 6}

B= {4, 5, 7, 8}

A/B = {3, 6}

B/A = {7, 8}

A

27


B

4 5

A / B B / A

Унија и пресјек су бинарне скуповне операције, односно то су

операције у којима учествују два скупа, а резултат операције је нови скуп.

Поред ове двије операције, поменућемо и унарну операцију комплемент. За

разлику од претходних, у овој операцији учествује само један скуп, а резултат

је скуп свих елемената који нису садржани у посматраном скупу.

Акo je B А, онда се разлика А \ B означава CАB и зове се комплемент

скупа B у односу на скуп А:

CAB = A \ B = {x | x A ˄ x B}.

Примјер:

A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

B= {1, 3, 5, 7, 9}

CAB = {2, 4, 6, 8}

1.3.4. Производ скупова (Декартов производ)

У математици, Декартов производ је директан производ скупова. Име је

добио по француском математичару Декарту.

Да бисмо дефинисали производ два скупа, прво је потребно одредити

појам „уређеног пара“ – за разлику од пара (двочланог скупа), код којег

редослијед елемената није битан, код уређеног пара увијек је битно који је

28

3 6

7 8


елемент први, а који други, тј. битан је редослијед елемената.

Док се двочлани скуп обиљежава са {а, b}, уређени пар се обиљежава са

(а, b). За двочлани скуп важи знак једнакости {а, b} = {b, а}, док за уређени пар

он не важи: (а, b) ≠ (b, а).

Елемент који се у уређеном пару појављује први назива се прва

компонента или прва координата, а елемент који се јавља иза њега назива се

други елемент или друга координата уређеног пара.

Према томе, може се рећи да су два уређена пара једнака ако и само ако

су им једнаке прве и друге компоненте.

(a, b) = (x, y) (a = x) (b = y)

Двочлани скуп {а, b} се графички приказује:

a .

. b

Уређен пар (а, b) се графички приказује:

a .

. b

Декартов производ два скупа А и B, у ознаци А x B, јесте скуп свих

могућих уређених парова код којих је прва компонента елемент скупа А, а

друга компонента елемент скупа B:

Примјер 1:

Дати су скупови и

Очигледно је , што значи да за Декартов производ скупова

не важи својство комутативности.

29


Декартов производ се означава са ; Декартов производ

представља реалну раван, тј.

.

Формирање уређених парова графички се представља повлачењем

стрелица од сваког скупа.

Примјер 2:

Дати су скупови А = {1, 2, 3} и B = {4, 5}

AxB = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

1 4

2

3 5

(3 4) (3 5)

3 (2 4) (2 5)2 (1 4) (1 5)1

1 2 3 4 5

Ако су скупови А и B једнаки, онда се то пише А x B = A2

A = {a,b}

A2 = A x A = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}

a a

b b

30


2. МЕТОДОЛОГИЈА ИСТРАЖИВАЊА

2.1. Проблем истраживања

Математичко образовање има главну улогу у изграђивању спонтаног

развоја апстрактног мишљења и интелигенције.

У већини савремених наставних програма у почетној настави математике

заступљени су садржаји о скуповима и скуповним операцијама. Увођење ових

садржаја у наставне програме изазвало је много дискусија о њиховој

методичкој, образовној и васпитној вриједности. Једно од основних неслагања

јесте шта да буде на почетку програма: скуп или број?

Поред дилеме да ли наставу треба почети скуповима или не, постоји још

низ несугласица о улози и значају скупова. Стога се пред нама нашао проблем

овог истраживања: да ли скупови имају значај у почетној настави математике.

2.2. Предмет истраживања

Да бисмо дошли до сазнања о улози и значају скупова у почетној настави

математике, спровешћемо истраживање међу наставницима и професорима

разредне наставе, ослањајући се на њихово дугогодишње искуство у пракси, и

доћи до података о њиховим ставовима и мишљењима везаним за улогу и

значај скупова у почетној настави математике.

2.3. Циљ и карактер истраживања

Истраживање је имало за циљ да утврди улогу и значај скупова у

почетној настави математике, на основу мишљења и ставова наставника и

професора разредне наставе.

Сама природа овог проблема указује на то да је ово истраживање

дијагностичко.

2.4. Задаци истраживања

Из постављеног циља произлазе сљедећи задаци:

1. Установити ставове наставника и професора разредне наставе о улози

скупова у усвајању основних математичких појмова.

31


2. Установити мишљење и ставове наставника и професора разредне

наставе о значају скупова код усвајања појма природног броја код

ученика нижих разреда.

3. Утврдити ставове наставника и професора разредне наставе о значају

скупова у формирању апстрактног мишљења код ученика нижих

разреда.

2.5. Хипотезе истраживања

На основу циља и задатака истраживања могу се поставити сљедеће

хипотезе:

1. Претпоставља се да наставници и професори разредне наставе сматрају

да скупови играју важну улогу у усвајању основних математичких

појмова.


да усвајање скупова олакшава ученицима усвајање појма природног

броја.


да скупови имају велики значај у формирању апстрактног мишљења

ученика.

2.6. Варијабле истраживања

Промјенљива обиљежја у истраживању васпитања и образовања називамо

варијаблама, због тога што су вриједности тих обиљежја варијабилне. Појам

варијабле се веже за појам величине, јер особине, својства, карактеристике

појединца могу попримити различите величине, спонтано или под утицајем

неких других појава или особина. Варијабле могу бити независне и зависне.

Независне варијабле претходе зависним варијаблама и утичу на друге

варијабле. Зависне варијабле представљају предмет опажања и мјерења током

истраживања.

За потребе овог истраживања издвојили смо сљедеће варијабле:

1. Независне варијабле истраживања:

- пол,

- стручна и педагошка оспособљеност наставника.

32


2. Зависне варијабле истраживања:

- ставови наставника и професора разредне наставе о улози скупова у

усвајању основних математичких појмова,

- ставови наставника и професора разредне наставе о значају скупова у

формирању апстрактног мишљења код ученика нижих разреда,

- мишљење и ставови наставника и професора разредне наставе о

значају скупова у усвајању појма природног броја код ученика нижих

разреда.

2.7. Научноистраживачке методе

Методе које ћемо користити у овом истраживању јесу: дескриптивна

метода и метода теоријске анализе.

Суштина дескриптивне методе у педагошким истраживањима је у описивању

педагошких појава. Дескриптивна метода ће у овом истраживању омогућити

прикупљање битних истраживачких података (ставова, мишљења) путем

анкетирања. Ова метода ће бити коришћена и у интерпретацији података и

извођењу закључака.

Метода теоријске анализе ће нам омогућити стварање теоријске основе

истраживања, са циљем да се теоријски расвијетли проблем истраживања,

дефинишу основни појмови, циљеви, задаци и хипотезе.

2.8 Технике и инструменти истраживања

У нашем истраживању користићемо технику анкетирања, а у оквиру ње

анкетни упитник као истраживачки инструмент.

Анкетирање је таква техника у којој испитаници у писменој форми

одговарају на питања која су дата, такође, у писаном облику. Предност

анкетирања је економичност, а недостатак субјективност и искреност одговора.

Анкетни упитник који смо конструисали (Прилог 1) јесте истраживачки

инструмент који ћемо користити у оквиру анкетирања као истраживачке

технике. Састоји се од сљедећих дијелова:

1. назива анкетног упитника;

2. упутства;

3. анкетних питања.

33


Анкетни упитник се састоји од питања затвореног и отвореног типа.

Њиме желимо да прикупимо ставове, мишљења и судове наставника о улози и

значају скупова у почетној настави математике.

2.9. Популација и узорак истраживања

Основни статистички скуп – популација јесте скуп оних истраживачких

јединица на којима се одвија процес педагошког истраживања, и то од

прикупљања информација на истраживачким јединицама, до доношења

статистичког закључка о карактеристикама скупа. Основни статистички скуп –

популацију, из кога су изабране статистичке јединице за узорак истраживања,

чине наставници и професори разредне наставе другог, трећег, четвртог и петог

разреда основних школа са подручја општина Бања Лука и Теслић.

„Под узорком истраживања се сматра коначан део основног скупа који се

на одређен начин издваја из основног скупа ради испитавања неког обележја“

(Гојков и др., 2002: 294). У овом истраживању узорак чине наставници

разредне наставе из три основне школе са подручја општина Бања Лука и

Теслић: основне школе „Иво Андрић“ из Бање Луке, основне школе „Петар

Петровић Његош“ из Теслића и основне школе „Вук Караџић“ из Теслића.

Табела 1: Структура узорка испитаника по школама

Основна школа Број испитаника ƒ %

„Иво Андрић“ 50 50 %

„Петар Петровић Његош“ 20 20 %

„Вук Стефановић Караџић“ 30 30 %

Σ 100 100,00

2.10. Организација и ток истраживања

Истраживање је било анонимно и реализовано је у јуну 2009.

Први корак истраживања односио се на упознавање литературе да би се

упознале теоријске и емпиријске поставке које су неопходне за реализацију

истраживања.

Други корак је конструисање и израда инструмената неопходних за

прикупљање података који се односе на улогу и значај скупова у почетној

настави математике.

34


Трећи корак је реализовање истраживања на узорку од 100 наставника у

основним школама на подручју општина Бања Лука и Теслић.

Четврти корак је сређивање, обрада и анализа добијених података те

извођење закључака на основу тих анализа.

2.11. Статистичка обрада података

За статистичку обраду података кориштени су поступци који су били

најпримјеренији за квантитативну анализу резултата и провјеру постојећих

хипотеза.

С обзиром на природу проблема, кориштени су сљедећи статистички

поступци:

1. израчунавање процената и фреквенција;

2. израчунавање хи квадрата и коефицијента контингенције;

3. графичко представљање резултата.

Обрасци за статистичку обраду података су:

a) за χ² тест:

χ² =

Σ

(ƒ0 – ƒt)

2

ƒt

гдје је: χ² − хи квадрат Σ − збир (сума)ƒ0 − емпиријске фреквенције у пољима ƒt − теоријске фреквенције у пољима

б) за коефицијент контингенције ______ С = χ²

N+ χ²

гдје је: С − коефицијент контингенцијеχ² − хи квадрат Ν − величина узорка или укупан број резултата

35


3. РЕЗУЛТАТИ ИСТРАЖИВАЊА


скупова у усвајању основних математичких појмова

Први задатак у овом истраживању био је да на основу мишљења

наставника и професора разредне наставе установимо значај скупова у

усвајању основних математичких појмова.

За ово процјењивање коришћена је нумеричка скала процјене са

модалитетима од 1 до 5. Испитаници су регистровали своју процјену тако што

су заокруживали број који одговара њиховом избору. Бројеви означавају: 1 – не

задовољава; 2 – слаб; 3 – просјечан; 4 – виши од просјека; 5 – високо изнад

просјека. Резултати добијени на овај начин приказани су у табелама:

Табела 2: Процјена наставника и професора разредне наставе о значају

скупова у усвајању основних математичких појмова

Модалитет Фреквенција Проценти

не задовољава 0 0 %

слаб 6 6 %

просјечан 22 22 %

више од просјека 49 49 %

високо изнад просјека 23 23 %

Укупно 100 100,00

На основу ових података из табеле видљиво је да 22% наставника и

професора разредне наставе сматра да је значај скупова у усвајању основних

математичких појмова просјечан, 49% их сматра да је виши од просјека, док

23% сматра да је њихов значај високо изнад просјека. Ни један испитаник није

процијенио да значај скупова у усвајању основних математичких појмова не

задовољава, а да има слаб значај оцијенило је 6% испитаника.

Модалитети „не задовољава“ и „високо изнад просјека“ у нашем

примјеру имају веома малу емпиријску фреквенцију. Из тог разлога неопходно

је извршити прегруписавање података и уврстити их у нову табелу:

36


Табела 3: Процјена испитаника о значају скупова у усвајању основних

математичких појмова (прегруписани подаци)

Мишљење наставника

не задовољава и слаб

просјечан

више од просјека и

високо изнад просјека

Укупно

ƒ0 6 22 72 100ƒt 5 15 80 100

ƒ0 - ƒt 1 7 8 -(ƒ0 – ƒt)2 1 49 64 -(ƒ 0 – ƒ t ) 2

ƒt1/5=0,2 49/15=3,2 64/80=0,8 4,2

χ² = 4,2 C = 0,205 df = 2 p = 0,01

Примјењујући хи квадрат тест израчунали смо да је χ² = 4,2 мањи од

граничне вриједности (5,991) уз одговарајући број степени слободе (df=2) на

нивоу значајности 0,01 па ћемо, на основу мишљења наставника и професора

разредне наставе, прихватити прву хипотезу да скупови играју важну улогу у

усвајању основних математичких појмова и закључити да се добијени

резултати не разликују статистички значајно од оних које бисмо очекивали.

Графикон 1: Приказ мишљења наставника и професора разредне наставе

о значају скупова у усвајању основних математичких појмова

37


3.2. Мишљења наставника и професора разредне наставе о томе да

ли скупови олакшавају усвајање појма броја

Наш други задатак у овом истраживању био је да на основу мишљења

наставника и професора установимо да ли скупови олакшавају усвајање појма

броја или не.

За ово процјењивање у упитнику смо користили затворени тип питања.

Испитаници су регистровали своје мишљење тако што су заокружили један од

понуђених одговора (ДА, НЕ, МОЖДА), који одговара њиховом избору. Од

100 наставника и професора разредне наставе који су учествовали у

испитивању, 83% сматра да скупови олакшавају ученицима усвајање појма

броја, 16% је било неодлучно у вези са овим питањем, тако да су дали одговор

„можда“, док 1% испитаника сматра да скупови уопште не олакшавају

усвајање појма броја.

Резултати добијени на овај начин приказани су у табели 4.

Табела 4: Мишљења наставника и професора разредне наставе о томе

да ли скупови олакшавају усвајања појма броја


ДА НЕ МОЖДА Укупно

ƒ0 83 1 16 100ƒt 80 5 15 100

ƒ0 - ƒt 3 -4 1 -(ƒ0 – ƒt)2 9 16 1 -(ƒ 0 – ƒ t ) 2

ƒt9/80=0,112 16/5=3,2 1/15=0,06 3,372

χ² = 3,372 C = 0,033 df = 2 p = 0,01

Примјењујући хи квадрат тест израчунали смо да је χ² = 3,372 мањи од

граничне вриједности (5,991) уз одговарајући број степени слободе (df=2) на

нивоу значајности 0,01 па ћемо закључити да се добијени резултати не

разликују статистички значајно од оних које бисмо очекивали. Дакле, овим се

потврђује хипотеза да наставници и професори разредне наставе сматрају да

усвајање скупова олакшава ученицима усвајање појма природног броја.

38


Графикон 2: Приказ мишљења наставника и професора разредне наставе

о томе да ли скупови олакшавају усвајања појма броја


скупова у формирању апстрактног мишљења код ученика

нижих разреда

Трећи наш задатак био је да, на основу мишљења наставника и професора

разредне наставе, утврдимо значај скупова у формирању апстрактног мишљења

код ученика нижих разреда.

Да бисмо дошли до резултата овог испитивања користили смо графичку

скалу процјене са понуђеним одговорима веома слаб, просјечан, високо изнад

просјека.

Резултати су показали да од 100 испитаних наставника и професора

разредне наставе, 68% сматра да је значај скупова у формирању апстрактног

мишљења код ученика нижих разреда виско изнад просјека, 20% сматра да је

њихова улога просјечна, а 12% испитаника сматра да скупови имају веома слаб

значај у формирању апстрактног мишљења код ученика нижих разреда.

Добијени резултати су презентовани у табели бр. 5 и графикону бр. 3.

39


Табела 5: Мишљење испитаника о значају скупова у формирању

апстрактног мишљења код ученика нижих разреда


веома слаб просјечанвисоко изнад

просјека Укупно

ƒ0 12 20 68 100ƒt 5 15 80 100

ƒ0 - ƒt 7 5 -12 -(ƒ0 – ƒt)2 49 25 144 -(ƒ 0 – ƒ t ) 2

ƒt49/5=9,8 25/15=1,666 144/80=1,8 13,266

χ² = 13,266 C = 0,342 df = 2 p = 0,01

На основу поређења израчунатог χ² = 13,266 са граничним вриједностима

(5,991 и 9,210) за број степени слободе df=2 и на оба нивоа значајности 0,05 и

0,01, уочавамо да је израчуната вриједност већа од наведених граничних

вриједности. Стога можемо констатовати да постоји статистички значајна

разлика у мишљењу наставника и професора разредне наставе о значају

скупова у формирању апстрактног мишљења код ученика нижих разреда,

односно можемо потврдити хипотезу да већина испитаника сматра да скупови

имају велики значај у формирању апстрактног мишљења код ученика нижих

разреда.

Графикон 3: Приказ мишљења наст. и проф. разредне наставе о значају

скупова у формирању апстрактног мишљења код ученика нижих разреда

40


З А К Љ У Ч Ц И

Да бисмо дошли до сазнања о улози и значају скупова у почетној

настави математике, неопходно би било спровести свеобухватно, комплексно,

дугорочно и систематско истраживање, као и праћење развоја ученика од уписа

у први разред до преласка на предметну наставу. Нажалост, с обзиром на

временске рокове постављене за израду овог дипломског рада, такву врсту

истраживачког рада није било могуће примијенити.

Због свега наведеног, спровели смо истраживање о улози и значају

скупова у почетној настави математике на основу мишљења наставника и

професора разредне наставе, ослањајући се при том на њихово дугогодишње

искуство у пракси. Тако смо, на основу њиховог мишљења, дошли до сљедећих

података о улози и значају скупова у почетној настави математике.

У психологији се под појмом подразумијева мисаони одраз особина

које су заједничке за објекат, групу предмета и појава. За појам је, дакле,

карактеристичан скуп својстава који га одликују. Претпоставка формирања

математичког појма је способност разликовања објекта од својства објекта. Ми

смо пред себе у овом истраживању поставили први задатак, а то је утврдити

улогу скупова у усвајању основних математичких појмова. Резултати нашег

истраживања показују да скупови играју важну улогу у усвајању основних

математичких појмова, с обзиром на то да је за појам карактеристичан скуп

својстава који га одликују, те смо тиме потврдили нашу прву хипотезу.

Иако смо у првом задатку утврдили да скупови играју важну улогу у

усвајању основних математичких појмова, задатак смо проширили на

утврђивање значаја скупова код усвајања појма природног броја, као темељног

математичког појма. У уводном дијелу смо навели и образложили одређене

дилеме везане за однос скупа и броја, а једна од њих се односи на то шта треба

да буде на почетку програма: скуп или број? Резултати нашег истраживања су

недвосмислено показали да скупови у почетној настави математике олакшавају

усвајање појма броја, чиме смо потврдили нашу другу хипотезу.

Како je број математички појам, a он je апстрактан, до развијања појма

броја стиже се преко конкретних објеката и основног математичког појма –

преко скупа. Скуповни приступ је ближи дјеци и у складу је са интуитивним

схватањима. Интелектуални развој дјеце, по Пијажеу, у фази је конкретних

41


операција. Активности се заснивају на операцијама са коначним објектима. У

почетној фази формирања броја дјеца оперишу са конкретним објектима. Ово у

потпуности омогућава скуповни приступ. Нужан редослијед поступака и мисли

при образовању појма броја јесте: рад на конкретном материјалу (образовање

класа истобројних скупова), рад са графичким материјалом (слике тих скупова

и Венов дијаграм и бројевни низ) – чиме се ствара ментална слика одређеног

броја, као квантитативног својства неке класе скупова и његовог места у низу

бројева и именовање броја и представљање броја – цифром.

Бројевни приступ се ослања на знање дјеце да умију да броје. То знање,

уколико није само пуко ређање ријечи, може да скрати припремну фазу за

формирање појма броја. Та фаза је нешто дужа код скуповног приступа, јер

захтијева изградњу скуповних појмова.

Апстракцијa je мисаоно издвајање неких особина и својстава

предмета од самог предмета. Апстрактно мишљење је врста мишљења која се

одликује тиме да високо надилази перцептивни ниво и конкретне појаве и да

оперише апстрактним симболима. За Песталоција, очигледност је полазна

тачка ка апстрактном мишљењу. Значајна фаза сазнајног процеса, у кретању од

опажања ка апстрактном мишљењу, јесте мисаона обрада чулно-искуственог

сазнања. У мисаоној обради учествују мисаоне операције, а најзначајнија је

апстракција. Наш трећи задатак се односио на утврђивање значаја скупова у

формирању апстрактног мишљења код ученика нижих разреда. Чак 68%

испитаника сматра да скупови играју веома важну улогу у формирању

апстрактног мишљења код ученика нижих разреда, те смо тиме потврдили и

нашу трећу хипотезу. Скупови играју важну улогу у усвајању апстрактних

појмова (број, релације, операције...), а самим тим и у развијању апстрактног

мишљења код ученика нижих разреда.

Општи закључак овог рада би био да је значај скупова у почетној

настави неоспоран. Упознајући садржаје о скуповима и скуповним

операцијама, ствара се и полазиште за формирање математичких појмова, прије

свега бројева и бројевних операција, као и рано увођење термина које

користимо у савременој математици. Поред тога што су веома значајни за

наставу математике, скупови у васпитно-образовном систему помажу да се

математика приближи дјеци, чинећи је приступачнијом, занимљивијом,

забавнијом, интересантнијом, разноврснијом…

42


Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Дејић, М. и Егерић, М. (2003): Методика наставе математике. Јагодина:

Учитељски факултет

2. Егерић, М. (2000): Практикум методике математике разредне наставе.

Јагодина: Учитељски факултет

3. Курепа, Ђ. Р. (1960): Скупови – што су и каква им је улога. Загреб:

Школска књига

4. Курепа, С. (1971): Увод у математику – скупови, структуре, бројеви.

Загреб: Техничка књига

5. Лекић, Ђ. (1991): Методика разредне наставе. Београд: Нова просвета

6. Милијевић, С. (2003): Интерактивна настава математике. Бања Лука:

Друштво педагога Републике Српске

7. Марјановић, М. (1996): Методика математике, први и други део. Београд:

Учитељски факултет

8. Тошић, Р. и Стојановић В. (2007): Математика за VI разред основне

школе. Источно Сарајево: Завод за уџбенике и наставна средства

9. Чекрлија, Б. и Ђаковић, П. (2008): Математика за I разред основне школе.

Источно Сарајево: Завод за уџбенике и наставна средства

10. http://www.fesb.hr/~borka/files/Diskretna1-05.pdf

11. http://www.matematiranje.com

12. http://www.chemistrydaily.com/chemistry/Venn_diagram

13. http:// www.fpmoz.ba/matematika/UMMostar03-skupovi.pdf

43

http://www.fpmoz.ba/matematika/UMMostar03-skupovi.pdf

http://www.chemistrydaily.com/chemistry/Venn_diagram

http://www.matematiranje.com/

http://www.fesb.hr/~borka/files/Diskretna1-05.pdf


П Р И Л О З И

ПРИЛОГ 1. Анкетни упитник за утврђивање ставова и мишљења наставника и професора разредне наставе о улози и значају скупова у почетној настави математике

Упутство:

Овим упитником желимо да сазнамо Ваше ставове и мишљење о улози

и значају скупова у почетној настави математике. Молимо Вас да одговарате

заокруживањем одговора за који сте се опредијелили или допуњавањем

одговора.

Резултати овог истраживања користиће се за утврђивање улоге и

значаја скупова у почетној настави математике. Надамо се да сте за то

заинтересовани и да ћете својим искреним одговорима дати свој допринос

како би се потпуније и објективније дошло до сазнања о истраживаном

проблему.

1. Пол: а) М б) Ж

2. Школска спрема: а) ВШС б) ВСС

3. Године старости:

4. Године стажа:

5. Тренутно водим разред

6. Процијените значај скупова у усвајању математичких појмова.

5 4 3 2 1

7. Уколико је одговор позитиван, навести који су то математички појмови

8. Сматрате ли да скуповне операције помажу ученицима

да правилно употребљавају математички језик?а) ДА б) НЕ

9. Да ли скупови у почетној настави математике олакшавају ученицима

44


усвајање појма природног броја?

а) ДА б) НЕ в) МОЖДА

10. Ученицима је теже да схвате разлику између:

а) скупа и његовог појма бројности

б) скупа и његових квалитативних обиљежја

ц) обоје је им је подједнако тешко

11. Код придруживања, дјеца најчешће гријеше:

а) повезују објекте различите боје

б) повезују објекте различитих облика

ц) повезују објекте који немају заједничка својства

д)

12. По Вашем мишљењу, значај скупова у формирању апстрактног мишљења

код ученика нижих разреда је:

веома слаб просјечан високо изнад просјека

13. Сматрате ли да је у разредној настави појму скупа

посвећен довољан број наставних часова? а) ДА б) НЕ

14. Уколико је одговор негативан, молимо Вас да наведете

Ваше мишљење о потребном броју часова.

Хвала Вам на сарадњи!

45


ПРИЛОГ 2. Примјер наставног часа − обрада броја

1. Разред: II

2. Наставна тема: Бројеви прве десетице

3. Наставна јединица: Појам, писање и читање броја три (3)

4. Тип часа: Обрада

5. Оперативни задаци

5.а Образовни: Увођење и усвајање појма броја три,

усвајање структуре броја три.

5.б Васпитни: Развијање прецизности, тачности,

његовање лијепог писања.

5.ц Функционални: Практична примјена усвојених знања

при рјешавању конкретних

практичних задатака; развијање

логичког мишљења, способности

уочавања и закључивања.

6. Наставне методе Метода разговора, метода илустрације,

демонстрације.

7. Наставна средства: Апликације, наставни листићи.

8. Наставни облици рада: Фронтални и индивидуални.

9. Корелација:Српски језик, ликовна култура.

АРТИКУЛАЦИЈА ЧАСА

46


А) УВОДНИ ДИО ЧАСА

(10 минута) Учитељ прича бајку о Златокосој

и три медвједића. Након завршеног

приповиједања, води се разговор са

ученицима о прочитаној бајци – Колико

је било медвједића? (три) Колико је

Златокоса видјела тањира на столу?

(три) Колико је кревета видјела

Златокоса? (три) Знате ли за још неку

бајку гдје се спомиње број три? (Три

прасета).

Б) ГЛАВНИ ДИО ЧАСА

(30 минута) Учитељ дјеци најављује да ће

данас учити број три, а потом показује

апликације скупа медвједића, скупа

тањира, скупа чаша. Учитељ пита –

Колико елемената има скуп медвједића?

(ученици броје и хорски одговарају –

три). На исти начин се закључује да и

скуп тањира има три елемента, као и

скуп чаша. Потом учитељ поставља

питање – По чему се разликују

приказани скупови? (састављени су од

различитих елемената). Видјели смо по

чему се разликују дати скупови, а шта

им је заједничко? (сви приказани

скупови имају исти број елемената).

Значи – заједничка особина скупа

медвједића, скупа тањира, скупа чаша,

скупа медвједића, скупа прасића и свих

47


скупова који имају исти број елемената

као и наведени скупови, јесте број три.

Број три има свој знак, симбол за

записивање и то је цифра 3 и пише се

овако: (учитељ показује и објашњава

начин писања броја три).

Учитељ црта на табли скупове од

по три елемента, нпр:

3То исто у својим свескама цртају и

ученици и пишу у једном реду цифру 3.

Учитељ обилази ученике, контролише

њихов рад и помаже, уколико је потребна

његова помоћ.

Након формирања појма и

записивања цифре, са ученицима се

анализира састав броја три од „три

јединице“ или „једне јединице и једне

двојке“ спајањем три једночлана скупа

или једног једночланог и једног

двочланог скупа (слијед цртежа који се

лијепе на таблу).

Резултат анализе састава броја

три исказујемо закључцима облика:

- број 3 се види као 1+1+1 или 2+1 или

48


1+2,

- број 3 је већи од броја 2 за 1,

- број 2 је мањи од броја 3 за 1,

- број 3 је већи од броја 1 за 2,

- број 1 је мањи од броја 3 за 2,

- бројеви 1 и 2 претходе броју 3,

- број 1 је испред броја 2, број 2 је испред

броја 3,

- број 2 слиједи иза броја 1, број 3 слиједи

иза броја 2.

Ученици записују закључке са табле у

свеску.

В) ЗАВРШНИ ДИО ЧАСА

(5 минута) Учитељ дијели ученицима

наставне листиће за самостално

рјешавање.

1. Пронађи и заокружи подскуп са три

иста елемента.

2. Нацртај три скупа од по три елемента.

Нека елементи у скуповима буду

слова: велика штампана, велика

писана, мала писана.

49


3. Заокружи све подскупове скупа

тачака тако да сваки скуп садржи три

елемента. Када завршиш, напиши

колико елемената је остало у скупу, а

да не припадају ниједном подскупу.

50

Documents

DIPLOMSKI - Uloga i Znacaj Skupova u Pocetnoj Nastavi Matematike