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RAZONAMIENTOMATEMÁTICO
RAZONAMIENTOMATEMÁTICO
.... d E D 1 To R Es S . A.C.
ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS: 6° GRADO DE PRIMARIA
LISTA DE CONTENIDOSIntroducción .......................................................................................................................................... 6Carta para los padres........................................................................................................................... 8Evaluación de entrada ....................................................................................................................... 9Carta para los estudiantes.................................................................................................................. 11Correlación estándar del CNMM...................................................................................................... 12Introducción a las estrategias ....................................................................................................... 14
Pag.
UNIDAD ESTRATEGIA
Unidad 1: Conjuntos y lógica proposicional
Un paso a paso... con repaso Usar una guía de pasos 16Hazlo tú Usar una guía de pasos 17Ven con diagramas... de venn Usar un diagrama 18Hazlo tú Usar un diagrama 19Dibujas ... y encuentras Usar un dibujo 20Hazlo tú Usar un dibujo 21
¡La negación ... en acción! Usar el razonamiento lógico 22
Taller de problemas Varias estrategias 23Matemática De-mente Varias estrategias 27
Unidad 2: Estadística y gráficas
Barras para la comida preferida Usar una gráfica 28Doble valor de las verduras Usar una gráfica 29Unos bebés ... alineados Usar una gráfica 30Gráficas en altura Usar una gráfica 31Dibujos por televisión Usar una gráfica 32Gastos en varios tajos Usar una gráfica 33¿Qué gráfica utilizamos? Usar una gráfica 34Taller de problemas Varias estrategias 35Matemática De-mente Varias estrategias 39
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Unidad 3: Razonamiento Lógico
Un cargo... Por encargo Usar lógica y tablas 40Hazlo tú Usar lógica y tablas 41Pistas... para hacer listas Usar lógica y tablas 42¿Especial... lo espacial? Usar lógica y tablas 43Muy atentos ... con talentos Usar lógica y tablas 44Las comidas ... preferidas Usar lógica y tablas 45Las materias ... favoritas Usar lógica y tablas 46Taller de problemas Varias estrategias 47Matemática De-mente Varias estrategias 51
Unidad 4: Adición y sustracción
Información ... sin exageración Demasiada información 52Eliminando los datos extras Demasiada información 53¡Decisión sin vacilación! Escoger la operación 54Terminar …. para comenzar Reordenar los datos 55Paso a paso … sin repaso Utilizar varios pasos 56Un dibujo... un embrujo Usar un dibujo 57Con los cinco... sentidos Usar el razonamiento lógico 58Taller de problemas Varias estrategias 59Matemática De-mente Varias estrategias 63
Unidad 5: Multiplicación y división
Acción….en una operación Escoger la operación 64Casos... para dar pasos Utilizar varios pasos 65Juego... pero compruebo Probar y comprobar 66Un cangrejo... y regreso Reordenar los datos 67Cuentos extraterrestres Identificar dato extra o faltante 68Volar … para estimar Estimar 69Hora del sándwich Usar una tabla 70Taller de problemas Varias estrategias 71Matemática De-mente Varias estrategias 75
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Unidad 6: Propiedades de los números
Múltiplos con el gordo y el flaco Usar una tabla 76Edades con los divisores Usar una tabla 77¡Estos… sí son primos! Probar y comprobar 78Criterios … para la divisibilidad Usar el razonamiento lógico 79¡Vamos a una máxima … potencia! Reordenar los datos 80La intuición... da solución Probar y comprobar 81Orden... orden ... en la sala Usar algoritmos 82Taller de problemas Varias estrategias 83Matemática De-mente Varias estrategias 87
Unidad 7: Fracciones y decimales
Un paseo… en bicicleta Hacer un diagrama 88Una tabla ... muy lista Hacer una tabla 89Las partes ... también nos ayudan Escoger la operación 90Mente sana... en cuerpo sano Usar el razonamiento lógico 91Unas compras ... con pruebas Probar y comprobar 92Estimar… para comprar Estimar 93¿Mucha o poca diversión? Identificar dato extra o faltante 94Taller de problemas Varias estrategias 95Matemática De-mente Varias estrategias 99
Unidad 8: Razones y proporciones
Cuentos ... que te cuento Usar una gráfica 100¡Y ahora…. vamos a comer! Escribir una sentencia numérica 101El sueño de la casa propia Usar un dibujo 102¡Vamos a combatir el frío! Usar una tabla 103Un descuento... sin cuento Usar un diagrama 104Los deportes… para clientes Usar una gráfica 105
Negocios… son negocios Hacer un diagrama 106
Taller de problemas Varias estrategias 107Matemática De-mente Varias estrategias 111
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Unidad 9: Geometría y medición
Unas fórmulas muy listas Usar una fórmula 112Medidas ... que estimas Estimar 113
¡El agua ... se nos acaba! Escoger la operación 114
¿Sabemos relacionar las medidas? Utilizar una tabla 115Ojito, ojito ... con el dibujito Hacer un dibujo 116
Ángulos en acción Usar un modelo 117
¿Analogía o semejanza? Usar un modelo 118Taller de problemas Varias estrategias 119Matemática De-mente Varias estrategias 123
Unidad 10: Matemática para la vida
Una mesa modelo Usar un modelo 124Figuras… que no las figuras Modificar el problema 125Cuerpos muy sólidos Usar una analogía o semejanza 126Una piscina… para la vecina Usar una analogía o semejanza 127¿Cuánto miden los sólidos? Modificar el problema 128Mis amigas… las fórmulas Usar una fórmula 129Formulas… las fórmulas Usar una fórmula 130Una torre ... bien simple Simplificar el problema 131Hazlo tú Simplificar el problema 132Nos vamos para el Cusco Hallar el patrón 133Hazlo tú Hallar el patrón 134La unión hace a la fuerza Varias estrategias 135Hazlo tú Varias estrategias 136El famoso... Robin Hood Hacer una lista 137Taller de problemas Varias estrategias 138Matemática De-mente Varias estrategias 146
Evaluaciones Trimestrales
Evaluación 1 De la unidad 1 a la 4 147Evaluación 2 De la unidad 5 a la 8 149Evaluación 3 De la unidad 9 a la 10 151Evaluación Final. De la unidad 1 a la 10 153Solucionario 155
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El Consejo Nacional de Maestros de Matemática (CNMM) tiene establecido modelos estándar específicos, para ayudar a los estudiantes a tener seguridad en sus habilidades. Comunicarse matemáticamente y resolver problemas, son las claves para ayudar a los estudiantes a adquirir destrezas y aplicarlas en su vida diaria y posteriormente en su profesión.
Basados en la opinión que los estudiantes aprenden a razonar matemáticamente en orden para llegar a resolver problemas, las estrategias de este libro muestran a los estudiantes más de una forma de resolver problemas. Estas estrategias no son técnicas absolutas, por muy buenas que sean. Aprender una variedad de formas de abordar un problema es parte de la filosofía del desarrollo del pensamiento en el grupo de estrategias para resolver problemas.
ORGANIZACIÓN
Los capítulos presentan varias estrategias para resolver un tipo de problema sobre los temas de: Conjuntos, Lógica Proposicional, Estadística, Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Fracciones,Números Mixtos, Medición, Decimales, Geometría y Matemática para la vida.
CARACTERÍSTICAS ESPECIALESCada capítulo finaliza con una “Matemática
De-mente”, página de actividad que presenta una oportunidad para que el estudiante escoja su propia estrategia para resolver problemas. El personaje: Daniela, la “Mujer Genio”, tiene ese rasgo principal en cada una de esas páginas.
Daniela suministra a los estudiantes una de las formas de aprovechar los desafíos. Estas lecciones desarrollan el pensamiento holístico, es decir el pensamiento convergente y divergente.
ESTRATEGIAS Y TÉCNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
A continuación, se explican una por una, cada estrategia utilizada en la resolución de problemas:
Usar una guía de pasos. Los estudiantes siguen una secuencia de etapas que desarrollan sus habilidades para resolver problemas.
Usar / hacer un dibujo. Los estudiantes aprenden a utilizar o crear imágenes visuales de información para hacer fácil el análisis de los datos.
Usar / hacer diagramas. En esta estrategia se utilizan flechas, rectas, círculos, planos, etc; para representar y facilitar la solución del problema.
Usar el razonamiento lógico. Usar el razonamiento lógico es igual a usar el sentido común para comprender y resolver los problemas.
Usar lógica y tablas. En esta estrategia los estudiantes aprenden a reconocer enlaces entre los datos para responder la pregunta. La estrategia incluye un proceso de eliminación de respuestas y la representación visual de la información para organizar los elementos del problema.
Usar / hacer gráficas. Se organiza la información con gráficas y así se puede hacer la comparación visual de estas.
Identificar datos extras o faltantes. Para identificar información pertinente, el estudiante aprende a reconocer datos que sobran o que faltan.
Estimar. Los estudiantes aprenden el qué y cómo estimar respuestas, basándose en el redondeo de números y cumpliendo la operación apropiada. La estimación como estrategia anima a encontrar respuestas razonables en la resolución de problemas.
Escoger la operación. Los estudiantes determinan qué operación (adición, sustracción, multiplicación o división) aplicar con la información dada.
Reordenar los datos. Esta sección introduce una estrategia para resolver problemas complicados donde el resultado final es conocido pero no el inicial. Para reconocer el orden de las pistas y usarlo luego en la solución del problema, los estudiantes pueden trabajar hacia atrás para llegar a la respuesta. Esta habilidad permitirá después el fácil manejo del álgebra.
INTRODUCCIÓN
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Utilizar varios pasos. Algunos problemas complicados requieren utilizar más de un paso para la solución. Esta estrategia pone especial énfasis en la importancia de identificar la información y el orden de las operaciones para llegar a la solución.
Calcular, probar y comprobar. Los estudiantes aprenden una variedad de métodos ordenados para reducir el número de pruebas de ensayo y error con esfuerzos necesarios para llegar a la respuesta exacta.
Usar / hacer una tabla. Reconocer patrones, identificar los datos extras o faltantes y disponer de datos de una forma visual, demuestran la efectividad de usar una tabla.
Escribir una sentencia numérica. Convertir relatos escritos en sentencias numéricas para resolver algo desconocido, es la base del aprendizaje del álgebra. Esta estrategia demuestra la identificación de información conocida y desconocida para el desarrollo de solución con ecuaciones.
Usar una fórmula. Aprender a usar fórmulas para resolver algo desconocido es desarrollar la base fundamental del álgebra.
Simplificar el problema. Algunas veces, resulta muy útil, reducir el problema a casos más sencillos del que se nos presenta para descubrir pautas de solución.
Usar ecuaciones. Traducir un problema del lenguaje cotidiano, al matemático, utilizando incógnitas, es una forma de resolver los problemas.
Hacer una lista. Ordenar los datos en una lista, permite descubrir todas las soluciones de una manera sencilla.
Usar varias estrategias. En muchos problemas es conveniente utilizar más de una estrategia para resolver con mayor facilidad los problemas.
UTILIZACIÓNEste libro está diseñado para usarlo independiente-mente por los estudiantes que tienen a la mano las
instrucciones en las habilidades específicas cubiertas para estas lecciones. Copias de las actividades pueden ser entregadas en forma individual, por parejas de estudiantes o en pequeños grupos determinados. Pueden usarlo también en una actividad central. Si los estudiantes se familiarizan con el contenido, los temas pueden trabajarse en la casa para revisar y reforzar conceptos de los problemas resueltos. Para comenzar, determine los implementos adecuados que necesitan los estudiantes y la organización del salón de clases. Sugerimos el siguiente plan como forma de implementación:1. Explique el propósito del tema para el aula.2. Revise la mecánica de cómo desea que los
estudiantes trabajen los problemas.3. Revise la habilidad específica para que los
estudiantes que no puedan recordar el proceso puedan completar con éxito el cálculo.
4. Oriente a los estudiantes en los procesos y el propósito de las actividades. Distribuya el temario a los estudiantes.
5. Realice una actividad práctica juntos.6. Permita que los estudiantes experimenten,
discutan y exploren una variedad de formas de resolver un problema dado.
NOTAS ADICIONALES1. Comunicación con los padres. Envíe la carta
para los padres y estimule a sus alumnos a compartir y conversar con ellos.
2. Boletín de registro. Exhiba las hojas progresivas completas de los estudiantes para mostrar sus progresos.
3. Actividades centrales. Use las hojas progresivas como actividades centrales para dar a los estudiantes la oportunidad de trabajar cooperativamente.
4. Diversión. Trabajar con alegría estas actividades puede ser importante para el aprendizaje de cada estudiante.
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Para los padres.
Estimado Padre (madre):
Durante el presente año escolar, en las clases de matemática se utilizarán es-trategias para resolver problemas matemáticos. Para desarrollar la capacidad de resolver problemas de su hijo(a), necesitaremos que estén completas las hojas de actividades que se entregarán como práctica para asegurar las destrezas de estas importantes habilidades.
De tiempo en tiempo, puede Ud. iniciar en la casa las hojas de actividades. Para la mejor ayuda de su hijo (a), por favor considere las siguientes sugerencias:
• Asigneunlugartranquiloparatrabajar.
• Repaselasinstruccionesyejemplosdelosproblemas,enconjunto.
• Entusiasmeasuhijo(a)aserelmejor.
• Chequeequelalecciónestécompleta.
• Repaseeltrabajoconsuhijo(a)yanotesuavanceeinterés,puestoenél.
Ayudealniño(a)amantenerunaactitudpositivaenlasactividadesderesolu-cióndeproblemas.Permítaleconocerquecadalecciónproduceunaoportunidadparatenerdiversiónya lavezaprender.Sielniñoexpresaansiedadsobreestasestrategias, ayúdelo a comprender qué causa su estrés. Luego converse sobre como se puede eliminar la ansiedad matemática.
Sobretodo,disfruteeltiempoquepaseconsuhijo(a).Ellossonelcentrodetodovuestro apoyo y deben mejorar sus habilidades al completar cada actividad.
¡Gracias por su ayuda!
Cordialmente,
El autor.
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E VALUACIÓN DE E NTRADA
2. Respecto a la rá ca e barras mostra a, cuántos estu antes no esco eron el c ne o
los paseos? ctividades avoritas para los s ados
a) 11 b) 13 c) 14 ) 15 e) 12
1. str bu e los n meros 2 en ca a c rculo e manera que la suma en la
la or ontal ertical sea la m sma. u n mero pue e ser el el centro
I. 5 II. 4 III. 2 a) S olo I b) S olo II c) S olo III ) I II e) I III
3. uatro estu antes acen cola para entrar al Parque e as e en as. sar está elante
e a . u s está etrás e a . sar está etrás e Pe ro. u n está en tercer lu ar
a) a b) sar c) u s ) Pe ro e) H ugo
6. an ra tiene 2 mone as que solo son e un nue o sol o e c nco nue os soles. el mporte
e las mone as es e . , cuántas mone as son e un nue o sol
a) 11 b) 13 c) 15 ) 10 e) 8
Nueve
4. A a, ren a arla comen ela os e resa, c ocolate l cuma, aunque no necesar amente en ese or en. arla no come ela o e l cuma.
ren a está cerca a la que come ela o e resa. arla está lejos e ren a, qu n
come el ela o e c ocolate a) A a b) ren a c) Carla
) Raquel e) ualqu era
5. n una esta e s races a n os, e los cuales 2 tienen b otes, 2 tienen lentes 8 tienen b otes lentes. uántos n os no tienen n b otes n lentes
a) 1 b) 3 c) 5 ) 4 e) 2
. n jue o e amas cuesta . 2 . n jue o e monopol o cuesta . más que el e amas.
uánto cuestan los os juntos a) . b) . c) .
) . e) . 8
8 . rnesto compr tres pelotas. a e básquet cost . más que la e tbol. a pelota e
tbol cost . 2 más que la e le . la pelota e le cost . 2 , cuánto cost la pelota e básquet
a) 1 k g b) 10 k g c) 50 k g ) 2 k g e) 30 k g
10. os pesca ores ten an pesca os. espu s e en er pesca os el pr mero
pesca os el se un o, en un merca o, a los os le que el m smo n mero e pesca os. cuántos pesca os ten a al com en o el que en más pesca os
a) 2 b) 8 8 c) ) e) 104
. un pollo pesa apro ma amente 2 , c anto pesará apro ma amente un pa o
a) 1 k g b) 10 k g c) 50 k g ) 2 k g e) 30 k g
Museos
bl otecaDeportes
neP aseos
mero e estu antes
Acti
aes
0 1 2 3 4 5 6 8 10 11 12
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10
11. n equ po e tbol el mun al tiene titulares al unos suplentes. l arquero
titular tiene 2 suplentes ca a uno e los otros ju a ores titulares tiene suplente. uántos ju a ores tiene un pa s en el mun al e tbol
a) 2 ) 23 b) 22 e) 24 c) 25
16. n la ura se muestra un rectán ulo que a s o o en rectán ulos A, , cu as áreas
son cm2, 2 cm2 2 cm2, respecti amente. los per metros e los rectán ulos A, son cm, cm P cm respecti amente, cuál es
el alor e P a) 24 ) 32 b) 18 e) 20 c) 30
. a s u ente ura se a arma o con tr ánulos, on e ca a tr án ulo está orma o con pal tos e s oro. uántos pal tos a en la
ura
a) 132 b) c) 8 ) 165 e)
12. se e un cua ra o e cm e la o en os rectán ulos uales me ante un corte
or ontal, la suma e los per metros e esos rectán ulos ser a cm, como se muestra en la ura.
otro cua ra o e cm e la o se e en rectán ulos uales, me ante cortes
or ontales, cuál ser a la suma e los per metros e esos rectán ulos
a) cm b) cm c) 2 cm ) 8 cm e) 2 cm
13. uál e los s u entes s mbolos ebe ser coloca o entre los par ntes s para que la s u ente e pres n matemática sea correcta
a) + ) b) – e) = c) +
14. n la s u ente secuenc a e uras, on e caa ura tiene e la o cm
uál es el área e la ura a) 28 cm2 b) cm2 c) cm2
) cm2 e) cm2
Diez
c c
c
c
. . 2 .
1 2. . .
...
. . .. . .. . . . . .10
. . .. . .
c
18 . n tonel lleno e no pesa 2 . uan o está asta la m ta e su capac a pesa
. uánto pesa el tonel ac o a) 40 k g b) 45 k g c) 50 k g ) 55 k g e) 60 k g
. a tiene en su male n tres mone as e . 2 muc as mone as e . . qu ere
pa ar una cuenta s n rec b r uelto, cuál e las s u entes canti a es no po r a pa ar
a) . b) . c) . ) . 8 e) .
20. n un jue o n antil se an c en o n meros consecuti os el al se aplau e ca a e que se ce un m ltiplo e o un n mero
que term na en . l jue o term na cuan o se lle a al n mero . uántas eces se aplau
urante el jue o a) 10 b) 15 c) 21 ) e) 18
15. uántas c ras a en la numerac n e las pá nas e un l bro es e la asta la
a) 20 b) 23 c) ) 15 e) 14
A B C
614 21 = 3
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Estimado alumno:
Este año vas a trabajar con estrategias para resol-ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con esto. Resolver problemas matemáticos es una habili-dad importante y de vez en cuando, la gente se puede sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las actividades te ayudaran a practicar y así poder estar más seguro acerca del funcionamiento de los problemas matemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estrate-gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que puede ser el aprender a resolver problemas.
Para completar las tareas, recuerda lo siguiente:• Lee las instrucciones cuidadosamente.• Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los
pasos de cada estrategia.• Lee cuidadosamente cada pregunta.• Chequea la respuesta después de terminar un pro-
blema.Puedes aprender varias formas de resolver proble-
mas matemáticos.
¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!
Estimado alumno:Estimado alumno:Estimado alumno:Estimado alumno:Estimado alumno:Estimado alumno:Estimado alumno:
Este año vas a trabajar con estrategias para resolEste año vas a trabajar con estrategias para resolEste año vas a trabajar con estrategias para resolEste año vas a trabajar con estrategias para resolEste año vas a trabajar con estrategias para resolEste año vas a trabajar con estrategias para resolEste año vas a trabajar con estrategias para resolEste año vas a trabajar con estrategias para resolEste año vas a trabajar con estrategias para resolEste año vas a trabajar con estrategias para resolEste año vas a trabajar con estrategias para resolEste año vas a trabajar con estrategias para resolEste año vas a trabajar con estrategias para resol-ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con ver problemas matemáticos. Te vas a sorprender con esto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habiliesto. Resolver problemas matemáticos es una habili-dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede dad importante y de vez en cuando, la gente se puede sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las sentir ansiosa al no comprenderlo inmediatamente. Las actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar actividades te ayudaran a practicar y así poder estar más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas más seguro acerca del funcionamiento de los problemas matemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estratematemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estratematemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estratematemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estratematemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estratematemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estratematemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estratematemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estratematemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estratematemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estratematemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estratematemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estratematemáticos. Vas a utilizar y analizar muchas estrate-gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma gias para resolver problemas, con ejemplos y en forma ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que puede ser el aprender a resolver problemas.puede ser el aprender a resolver problemas.puede ser el aprender a resolver problemas.puede ser el aprender a resolver problemas.puede ser el aprender a resolver problemas.puede ser el aprender a resolver problemas.puede ser el aprender a resolver problemas.puede ser el aprender a resolver problemas.puede ser el aprender a resolver problemas.puede ser el aprender a resolver problemas.puede ser el aprender a resolver problemas.
Para completar las tareaPara completar las tareaPara completar las tareaPara completar las tareaPara completar las tareaPara completar las tareas, recuerda lo siguiente:s, recuerda lo siguiente:s, recuerda lo siguiente:s, recuerda lo siguiente:s, recuerda lo siguiente:s, recuerda lo siguiente:• Lee las instrucciones cuidadosamente.Lee las instrucciones cuidadosamente.Lee las instrucciones cuidadosamente.Lee las instrucciones cuidadosamente.Lee las instrucciones cuidadosamente.Lee las instrucciones cuidadosamente.Lee las instrucciones cuidadosamente.Lee las instrucciones cuidadosamente.Lee las instrucciones cuidadosamente.•• Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los
pasos de cada estrategia.pasos de cada estrategia.pasos de cada estrategia.pasos de cada estrategia.pasos de cada estrategia.pasos de cada estrategia.pasos de cada estrategia.• Lee cuidadosamente cada pregunta.Lee cuidadosamente cada pregunta.Lee cuidadosamente cada pregunta.Lee cuidadosamente cada pregunta.Lee cuidadosamente cada pregunta.Lee cuidadosamente cada pregunta.Lee cuidadosamente cada pregunta.Lee cuidadosamente cada pregunta.Lee cuidadosamente cada pregunta.•• Chequea la respuesta después de terminar un proChequea la respuesta después de terminar un proChequea la respuesta después de terminar un proChequea la respuesta después de terminar un proChequea la respuesta después de terminar un proChequea la respuesta después de terminar un proChequea la respuesta después de terminar un proChequea la respuesta después de terminar un proChequea la respuesta después de terminar un proChequea la respuesta después de terminar un proChequea la respuesta después de terminar un proChequea la respuesta después de terminar un proChequea la respuesta después de terminar un pro-
blema.blema.blema.Puedes aprender varias formas de resolver problePuedes aprender varias formas de resolver problePuedes aprender varias formas de resolver problePuedes aprender varias formas de resolver problePuedes aprender varias formas de resolver problePuedes aprender varias formas de resolver problePuedes aprender varias formas de resolver problePuedes aprender varias formas de resolver problePuedes aprender varias formas de resolver problePuedes aprender varias formas de resolver problePuedes aprender varias formas de resolver problePuedes aprender varias formas de resolver proble-
mas matemáticos. mas matemáticos. mas matemáticos. mas matemáticos. mas matemáticos. mas matemáticos.
¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!
Estimado alumno (a):
Este año vas a trabajar con estrategias para resolver problemas matemáticos.
Tevasa sorprenderconesto.Resolverproblemasmatemáticosesunahabilidad
importante y de vez en cuando, la gente se puede sentir ansiosa al no comprenderlo
inmediatamente. Las actividades te ayudarán a practicar para poder estar más
seguro acerca del funcionamiento de los problemas matemáticos. Vas a utilizar
y analizar muchas estrategias para resolver problemas, con ejemplos y en forma
ordenada. Estas actividades muestran lo divertido que puede ser el aprender a
resolver problemas.
Para completar las tareas, recuerda lo siguiente:
• Lee las instrucciones cuidadosamente.
• Estudia los ejemplos de los problemas y sigue los pasos de cada estrategia.
• Lee cuidadosamente cada pregunta.
• Chequealarespuestadespuésdeterminarunproblema.
Puedes aprender varias formas de resolver problemas matemáticos.
¡Tienes que divertirte para adquirir estas habilidades!
Afectuosamente
El autor
Para los estudiantes.
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ND
AR
1 M A T E M Á T I C A C O M O R E S O L UC I Ó N D E P R O B L E M A S .
Adquiere nuevos conocimientos matemáticos. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●Usa la matemática en la vidad cotidiana. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●Desarrolla y aplica variadas estrategias. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●Reflexiona y verifica su proceso y resultado. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
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AR
2 M A T E M Á T I C A C O M O C O M UN I C A C I Ó N
Reflexiona y comunica su pensamiento. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●Se comunica con claridad y coherencia. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●Analiza y evalúa el pensamiento de otros.Usa el lenguaje matemático con precisión.
ESTÁ
ND
AR
3 M A T E M Á T I C A C O M O R A Z O N A M I E N T O Y D E M O S T R A C I Ó N
Reconoce el razonamiento y la demostración. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●Formula e investiga conjeturas matemáticas.Usa y evalúa argumentos y demostraciones.Elige y usa varios tipos de razonamiento. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
ESTÁ
ND
AR
4 C O N E X I Ó N M A T E M Á T I C A
Vincula la parte conceptual y procedimental. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●Relaciona las representaciones y los conceptos. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●Usa la matemática en otras áreas. ●Reconoce relaciones en otros temas matemáticos. ● ● ● ●
ESTÁ
ND
AR
5 M A T E M Á T I C A C O M O R E P R E S E N T A C I Ó N
Representa de diversas maneras ideas matemáticas. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●Usa representaciones para resolver problemas. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●Aplica la representación en modelos matemáticos.Usa objetos, figuras, diagramas, etc. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
CORRELACION ESTANDAR DEL CNMMEstos cuadros indican las habilidades matemáticas específicas incorporadas en las actividades por el
Consejo Nacional de Maestros de Matemática en su correlación estándar para el 6° grado.
.... d E D 1 To R Es S . A.C.
TEMÁTICA
UN
IDA
D 1
UN
IDA
D 2
UN
IDA
D 3
UN
IDA
D 4
UN
IDA
D 5
UN
IDA
D 6
UN
IDA
D 7
UN
IDA
D 8
UN
IDA
D 9
UN
IDA
D 1
0
ESTÁ
ND
AR
6 CONCEPTO OPERACIONES DE NÚMEROS NATURALESDesarrolla significado de las operaciones. ● ● ● ●Relaciona el lenguaje matemático. ● ● ● ● ● ● ●Reconoce una amplia variedad de problemas. ● ● ● ● ● ●Desarrolla el sentido operacional. ● ● ● ● ● ●
ESTÁ
ND
AR
7 CÁLCULO DE NÚMEROS ENTEROSModela, explica y descubre experiencias razonables. ● ● ●Usa variedad de cálculo mental. ● ● ● ● ●Aplica apropiadamente calculadoras.Selecciona y utiliza técnicas de cálculos. ● ● ● ● ● ● ●
ESTÁ
ND
AR
8
GEOMETRÍA Y JUICIO ESPACIALDescribe, modela, dibuja, clasifica figuras.Investiga y predice resultados - cambiando figuras.Desarrolla sentido espacial.Relaciona ideas geométricas para números y mediciones.Reconoce y aprecia geometría.
ESTÁ
ND
AR
9 MEDICIÓNComprende los atributos. ● ●Desarrolla el proceso de medición. ● ●Hace y usa estimaciones. ● ●Hace y usa medición. ● ●
ESTÁ
NDAR
10 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
Recolecta, organiza y describe datos. ●Construye, lee e interpreta. ●Formula y resuelve problemas.Explora conceptos al azar. ●
ESTÁ
ND
AR
11 FRACCIONES Y DECIMALES
Desarrolla conceptos. ● ● ●Desarrolla juicio numérico. ● ● ●Usa modelos para relacionar. ● ● ●Usa modelos para explorar operaciones. ● ●Aplica fracciones y decimales. ● ● ●
ESTÁ
NDAR
12 PATRONES Y RELACIONES
Reconoce, describe y amplía. ● ● ● ● ● ●Representa y describe relaciones matemáticas. ● ● ●Explora el uso de variables. ● ● ● ● ●
.... d E D 1 To R Es S . A.C.
14
ri er c lculo entradasP ueba: 4 × S/. 2 = S/. 8 4 × S/. 3 = S/. 12 Total = S/. 20Su primer cálculo fue muy bajo.Revisóelcálculoyutilizóunnúmeromayor.
egundo c lculo entradasP rueba: 5 × S/. 2 = S/. 10 5 × S/. 3 = S/. 15 Total = S/.
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRATEGIAS
• Usar objetos• Hacer un dibujo• Buscar un patrón• Probar y comprobar• Usar lógica• Hacer una lista• Hacer una tabla• Simplificar el problema• Reordenar los datos• Otros...
Resolución de problemas
ESTRATEGIA
Los problemas, cuentos y juegos que recorreremos juntos, sepuedenconcebircomohistoriaspolicíacas, en las que nosotrosmismosseremoslosdetectives.
Lo que nos ofrece estelibro, para ayudarnos, es unacoleccióndeestrategiasquelosdetectivesdetodoslostiemposhanutilizadoensustareas.Aquítienesunejemplo:
uliavendióelmismonúmerodeentradasdeadultoquedeniños.LaentradadeadultocuestaS/.3yladeniñoS/.2.ObtuvoS/.25entotal.¿Cuántasentradasdecadaclasevendió?
CALCULAR, PROBAR Y REVISAR
HACER UNA TABLA
Catorce
ero de entradas
recio de las entradas otal
1 S/. 2 S/. 3 S/. 5
2 S/. 4 S/. 6 S/. 10
3 S/. 6 S/. 9 S/. 15
4 S/. 8 S/. 12 S/. 20
S/. 10 S/. 15 S/. 15
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
.... d E D 1 To R Es S . A.C.
15
EN TUS PALABRAS
1. ¿Cuántasentradasdecadaclasesevendió?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¿Quéestrategiahubierasescogidopararesolveresteproblema?¿Porqué?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¿Porquécreesquehayvariasmanerasderesolveresteproblema?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quince
Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo tútútútútútú Usa cualquier estrategia para resolver los problemas.
Escoge cuatro dígitosy distribúyelos en losrecuadros para obtener elproductoqueallíaparece.¿Cuántassolucioneshallaste?Escríbelas.
Clara compró 3 paquetes de platosdescartables a S/. 7 el ciento. Tambiéncompró vasos por S/. 2 y tenedores por S/. 5. Si pagó con S/. 50, ¿cuánto decambiorecibió?
Una foto se debe pegar sobre uncartón. La foto mide 25 cm de base y 16cmdealtura.Sisedebedejarunbordede3cmenlaparteinferioryde2cmenlosotrostreslados,¿dequéáreadebeserelcartón?
El libro de Édgar está abierto. Elproducto de los números de las dospáginasalavistaes182.¿Cuálessonlaspáginas?.
Leonorcomprótresjuguetes.Elautole costó S/. 4 más que el tren. El trenle costó S/. 7 más que la muñeca. Si lamuñeca lecostóS/.12,¿cuánto lecostóelauto?
1
2 5
3 6
¿Cuál es el número de 3 cifras, par,menor que 400, cuya centenas y unidadessonigualesylasdecenasson2másquelasunidades?.
4 × 9 4 2 .... d
E D 1 To R Es S . A.C.
16
1
1 2 3 4 5 6 7
Laresolucióndeproblemasesconsideradalapartemásesencialdelaeducaciónmatemática.Pararesolver un problema, es recomendable proceder de un modo ordenado, siguiendo una guía de pasos.Observayanalizaloquesedebehacerencadaunodeellos.
Paso a paso. . . con repaso
Comprender.
Paso 1: ¿Qué sabemos?
Paso 2: ¿Qué queremos saber?.
¿Qué puedo hacer?
Llevar acabo el plan:
¿Es correcta la respuesta?
Paso 1: ¿Qué aprendimos?
Paso 2: ¿Cuándo lo aplicamos?
Planear.
Intentar.
Comprobar.
Ampliar.
PASO 1
PASO 2
PASO 3
PASO 4
PASO 5
Escribe los números del 1 al 7 para que cada fila, columna y diagonalsume 12. ¿Cuál es el número delcentro?
Hayqueescribirnúmerosdel1al7ycadahileradebesumar12.
Elnúmerodelcentro.
Hallarseriesdenúmerosquesumen12.
Sí. El númerodel centroes4 y la sumadecadafilada12.
Hay problemas que se resuelven con series ylógica.
Enotrosproblemasimilares.
1+4+7 1+5+62+3+7 2+4+63+4+5Elnúmerodelcentroes4.
Dieciséis
1
4
2
5 3
6 7
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Conjuntos y lógica proposicional
Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo tútútútútútútútútútútú Usa la guía de pasos para resolver los problemas.
Diecisiete
Escribe los números del 1 al 9 para que los números de cada diámetrosumen15.¿Quénúmeroeseldel centro?
Escribe los números del 1 al 9 para que cadaladodeltriángulosume20.¿Quénúmerosvanenlasesquinas?
Colocalosnúmerosdel1al12paraquepuedas contar en forma correcta del 1 al 12, siguiendolasflechas.
Escribe los números del 0 al 8 para que la suma sea correcta. Repite con otradisposicióndelosnúmeros.
Escribe los números del 2 al 10 de tal maneraqueencadafila,columnaydiagonalla suma sea 18. ¿Qué número es el delcentro?
Escribe los números del 1 al 8 pero que dosnúmerosnoesténenformaconsecutiva,horizontal,verticalodiagonal.¿Quénúmerosvan en el centro?
1 4
25
3 6
+
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181818
Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo tútútútútútú
La colección o agrupación de objetos bien definidos llamados elementos, nos da una idea de conjuntos.Porejemplo,losdepartamentosdelPerú.Los conjuntos sedenotanpor letrasmayúsculas y se les representaporfiguras cerradas,denominadas diagramas de Venn.Utilizadiagramaspararesolverlosproblemas.
Ven con diagramas. . . de Venn
Leer el problema.
Usar el diagrama de Venn.
Completar los datos que faltan.
Resolver el problema.
PASO 1
PASO 2
PASO 3
PASO 4
En un aula del sexto grado con 36 alumnos, 18alumnospracticanfútboly20básquet.Si 5 alumnos no practican ninguno de los dosdeportes,¿cuántospracticanambosdeportes?
Practicanambosdeportes,7personas.
Utiliza el diagrama de Venn para resolver el problema.
De un grupo de 33 personas, 15 prefierencarnede res,20prefierencarnedepescadoy3 prefieren otras carnes. ¿Cuántos prefierencarne de res y de pescado?
Dieciocho
alumnos que no practicanninguno de los dos deportes
alumnos que practicanambos deportes
alumnos que practican básquet
Alumnos que practicanfútbol
5
~ F Ù ~ B = 5
F = 18
F = 18
36 – 5 = 31
U = 36
U = 36
B = 20
B = 20
Alumnos del 6º grado
18 + 20 = 38
38 – 31 = 7
.... d E D 1 To R Es S . A.C.
19
Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo tútútútútútútútútútútútú Haz un diagrama de Venn para resolver cada problema.
Doceniñostienenlápizoborradorensucartuchera.Sicinconiñostienensololápizyseistienen lápizyborrador,¿cuántosniñostienensoloborrador?
De39estudiantesencuestados,15tie- nen televisor, 28 tienen lavadora y 6 no tienen televisor ni lavadora. ¿Cuántosestudiantestienenambosartefactos?
En el mes de abril, Santiago desayunóhuevo o jamón. Si 12 días comió jamón, 5díashuevocon jamóny10díasnihuevonijamón,¿cuántosdíascomiósolohuevoosolo jamón?
De 234 estudiantes de una escuela, 92 reciben un libro de regalo, 87 reciben un lapicero y 120 no reciben ningún regalo. ¿Cuántos recibieron ambos regalossimultáneamente?
De 50 niños, 30 practican natación y25 karate. Además, 15 practican natacióny karate. ¿Cuántos niños no practican ninataciónnikarate?
En un grupo de 18 estudiantes, 5 notoman leche ni yogurt, 12 no toman leche y 4notomanyogurt.¿Cuántostomanlecheyyogurt a la vez?
Se entrevistó a 30 estudiantes acerca delconsumodemanzanaynaranja.Quinceprefieren solomanzana, losque consumensolo naranja son el doble de los que consumenambasfrutas.Sitodosconsumenmanzana o naranja, ¿cuántos consumenmanzana?
Ungrupode14niñoscomieronhelados.Lacantidaddeniñosquecomieronheladosde chocolate fue el doble de los que comieron defresaylacantidadquecomieronsolodefresa es igual a los que no comieron ni de chocolate ni de fresa. Si 3 niños comieronfresa y chocolate, ¿cuántos comieron solofresa?
1 5
2 6
3 7
4 8
Diecinueve
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20
Muchos de los problemas sobre conjuntos, se resuelven con mayor facilidad, represetándolos con dibujos.Generalmenteseutilizanregionesplanascomorectángulosycírculos.Utilizadibujospararesolverlosproblemas.
Dibujas. . . y encuentras
Comprender el problema.
Hacer un dibujo
Completar los datos que faltan.
Resolver el problema.
PASO 1
PASO 2
PASO 3
PASO 4
En una librería hay 45 personas ha-ciendocompras.Cuatropersonascom- pran libros y cuadernos; 10 solo cua- dernos, 13 compran libros y 15male-tines. ¿Cuántas personas no hicieroncompras?
Al haber conjuntos, utilizamos diagra-mas de Venn. Observa que hay unconjunto mayor (universal) y tres conjuntosmenores.
Alobservareldibujo,sededuceque9personascompransololibros.El total de personas que compran son:9+4+10+15=38El número de personas que no compranson:45–38=7
Hay7personasquenohicieroncompras.
2020
Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo tútútútútútú Haz un dibujo para resolver el problema.
Veinte
De un total de 40 vendedores de unmercado, 18 venden zapatos; 15, ropa y8, juguetes. Si 5 venden ropa y zapatos,¿cuántosnovendenningúnartículo?
De 35 estudiantes de un aula, 15 to- maroncafé;18, leche,9, jugodenaranjay8lecheperosincafé.¿Cuántosnotomaronningún líquido?
1 2
M = 15
M = 15
4
49
10
10
L = 13
L = 13
U = 45
U = 45
C = ?
C = 14.... d
E D 1 To R Es S . A.C.
21
Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo tútútútútútútútútútútútú Haz un dibujo para resolver los problemas.
Veintiuno
Delos28alumnosdeunaula,15tienenlibro de matemática y 3, de matemática ylectura. Si dos alumnos no tienen ningunodeloslibros,¿cuántosalumnostienenlibrode lectura?
De40estudiantesdeunaula,25prac-ticanfútbol;18,básquety10,losdosdepor- tes.Si4estudiantessolopracticannatación,¿cuántosnopracticanningúndeporte?
De 100 estudiantes que fueron de paseo, 50 comieron pollo y 40, choclo. ¿Cuántosestudiantes no comieron ni pollo ni choclo, si 20 comieron solo pollo?
De48amasdecasa,30compraronpapas;14, carne; 27, verduras; 8, papas y carne; 21,papasyverduras;9,carneyverdurasy5,los tres alimentos. ¿Cuántas no compraronnada?
De25amasdecasa,13compraroncarnedepollo;8,deresy5,de lasdosclases.Si4 amas de casa compraron solo verduras,¿cuántas amas de casa, no compraronningúnartículo?
De55niños,donde30eranvarones,seobservóque15teníanbicicletay25varonesno tenían bicicleta. ¿Cuántas mujeres notenían bicicleta?
De 60 niños, 30 practican karate; 54natación;25,ajedrez;26,karateynatación;15ajedrezykarate;20nataciónyajedrezy12lostresdeportes.¿Cuántospracticansolouno de los tres deportes?
De 55 estudiantes, 30 son varones y13 mujeres no tienen mochila. Si 34 dedichosestudiantestienenmochila,¿cuántosvaronesnotienenmochila?
1 5
2 6
3 7
4 8
.... d E D 1 To R Es S . A.C.
22
Siempreestamosnegandooafirmandoalgoquehablamosoescuchamos;sinembargo,paranotenererroresenlacomunicación,debemoshacerlocorrectamente.Así,porejemplo: •Silaexpresiónes:12esiguala9. Lanegacióncorrectaes:12noesiguala9. •Silaexpresiónes:Raúlesalto. Lanegacióncorrectaes:Raúlnoesalto.Pararesolverunproblema,determinasiesunaafirmaciónounanegación.Luegoutilizalaspistaspararesolverelproblema.
La negación. . . en acción
Comprender el problema.
Determinar su valor de verdad.
Resolver el problema.
PASO 1
PASO 2
PASO 3
Tres amigos de 9, 10 y 11 años de edad tienenlasiguienteconversación:Mario:Yosoyelmenordetodos.Lucas:Yotengo11años.Carlos:Yonotengo10años.Silastresafirmacionessonfalsas,¿quéedadtienecadaunodeellos?
AldecirCarlosquenotiene10años,lanegación:Carlostiene10añosesverdadera.Luego,Carlostiene10años.AldecirMarioqueeselmenordetodos,lanegación:Marionoeselmenordetodos,esverdadera.LuegoMariotiene11años.AldecirLucasquetiene11años,lanegación:Lucasnotiene10añosesverdadera.Luego,Lucastiene9años.
Lucastiene9años,Carlos10añosyMario11años.
Veintidós 22 Veintidós 22 Veintidós
Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo Hazlo tútútútútútú Utiliza la negación para resolver el problema.
Tresestudiantestienenunperro,ungatoyuncanario.Elloscomentan:Andrés :Brunonotieneelperro.Bruno :Carlosnotieneelloro.Carlos :Andréstieneelgato.Silastresafirmacionessonverdaderas,¿quéanimaltienecadauno?
perro gato loro
Andrés
Bruno
Carlos
9 años 10 años 11 años
Mario
Lucas
Carlos
¿Sí? ¿No?
.... d E D 1 To R Es S . A.C.
Taller de problemasTaller de problemasTaller de problemasTaller de problemasTaller de problemasTaller de problemas
23
Ejemplo 1:Determina por extensión:
A={2x2 – 1/x ∈ N ∧ 1≤x≤5}Resolución:Losvaloresparaxson:{1;2;3;4;5}LoselementosdelconjuntoA,son:{2(1)2 – 1; 2(2)2 – 1; 2(3)2 – 1; 2(4)2–1;2(5)2 – 1}{1;7;17;31;49}
Rpta. A = {1; 7; 17; 31; 49}
Determina por comprensión el conjunto:B={18;27;36;45;54;63;72}Solución:•Cadanúmerosepuedeexpresarpor:18=9x2;27=9x3;36=9x4…•Términogeneral:9nDondenvaríaentre2y8.Rpta. {9n/ n ∈ N ∧ 2 ≤ n ≤ 8}
En un taller de arte hay 32 niños. De estos,16 llevan pintura, 18 guitarra y 12 pintura yguitarra.¿Cuántosdetodoslosniñosnollevanni pintura ni guitarra?Resolución:• En el Diagrama de Venn:•Delafigura:+12=16⇒=4 + 12 = 18 ⇒=6•Llevanpinturaoguitarra:4+12+6=22• No llevan ninguno de ellos: 32 – 22 = 10Rpta. 10
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 5:
Resolución:
Ejemplo 4:
Ejemplo 6:
Dados los conjuntos:A={1;3;5;7;9} B={4;5;8;11;35}C={1;2;3;5;7;11}Determina:(A∪C)–B
Resolución:•A∪C={1;2;3;5;7;9;11}•B={4;5;8;11;35}•(A∪C)–B={1;2;3;7;9}Rpta. B = {1; 2; 3; 7; 9}
Lasiguientegráficacorrespondea:I.(A∪ B) ∩ (B – D)II.(A∩B)∪ (B – D)III.(B–D)∪(A–D)
Resolución:a)A∩ B
b) B – D
(A∩B)∪ (B – D)
Representadetresformasdiferentes,medianteoperaciones de conjunto, el siguiente diagrama de Venn:
1°forma:B–A
2°forma:B–(A∩ B)
3°forma:(A∪B)–A
PROBLEMAS RESUELTOS:
Veintitrés
A
P = 16 G = 18
12
32
sn
A
A
A
B
BD
D
B
D U
B
Rpta. La II
A B
.... d E D 1 To R Es S . A.C.
24 Veinticuatro
Ejemplo 7: Ejemplo 10:
Ejemplo 11:
Ejemplo 8:
Ejemplo 9:
Si:A={pato,cuy,loro};¿cuántossubconjuntostieneP(A)? ¿Cuálesson?Resolución:Nospiden:[P(A)]Recuerda,sin(A)=k;entoncesn[P(A)]=2k
Comon(A)=3 n[P(A)]=23
Esdecir,n[P(A)]=8elementosP(A)={{p},{c},{l},{p,c},{p,l},{c,l},{p,c,l},{}}.Rpta. P(A) tiene 8 subconjuntos.
Dados los conjuntos:A={x∈N/0≤x≤4}B={x∈ N/ x2<50}C={3;5;6}yelconjuntouniversal:U={0;1;2;3;4;5;6;7}Determina: (CA∪C)∩ [C(A∩B)-CC]Resolución:Los tres conjuntos son:A={0;1;2;3;4}B={0;1;2;3;4;5;6;7}C={3;5;6}Luego:CA∪ C={5;6;7}∪ {3;5;6}={3;5;6;7}C(A∩ B) = C({0;1;2;3;4}={5;6;7}CC={0;1;2;4;7}∴ (CA∪ C)∩ [C(A∩ B) – CC]es:{3;5;6;7}∩ [{5;6;7}–{0;1;2;4;7}]otambién:{5;6}
Rpta. {5; 6}
En una fiesta de cumpleaños asistieron48 personas, entre varones y damas. Si 25 asistentes eran damas; 36 asistentes bailaron y 5 damas no bailaron, ¿cuántosvarones no bailaron?Resolución:Utilizando un diagrama doble y completandolos espacios que faltan:V={varones}D={damas}B={bailan}U={total}=48VNB={varonesquenobailan}DNB={damasquenobailan}Comon(DNB)= 5;n(DB) =20.Comon(B) = 36;n(VB) =16.Comon(V) = 23;n(VNB)=7.
Rpta. Varones que no bailaron: 7
Silosconjuntos:A={m;n},B={n;p}y C={3p–2;4}sonconjuntosunitarios;hallar:m+p+n.Resolución:•ComoA,ByCsonunitarios,debecumplirse: m=n;n=py3p–2=4.•Resolviendo:3p–2=4→3p=6yp=2•Porlotanto:m=n=p=2•Ylasumadem+n+p=2+2+2=6Rpta. 6
Dado el conjunto: A = {4; 7; {8}; 9}; indica sison verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes proposiciones:a)4∈A b){7}∈A c){8}⊂ Ad){4;7}⊂A e){8}∉A f){{8}}⊂AResolución:a) 4∈A (V)4eselementodeA.b) {7}⊂A (V)Pues,{7}essubconjuntodeA.c) {8}⊂A (F){8}esunelementodeA.d) {4;7}⊂ A(V)Pues,{4;7}essubconjuntodeA.e) {8}∉A (F)Pues,{8}esunelementodeA.f) {{8}}⊄A (F){{8}}essubconjuntodeA.
Rpta. V, V, F, V, F, F.
V = 23B = 36
D = 25
16 20
VNB = 7 DNB = 5
.... d E D 1 To R Es S . A.C.
25
5. En los diagramas de Venn, ¿a quéoperación corresponde cada región sombreada?
a) (A∩ B) ∪ C a) R–P) ∪Qb) (A∩B)–(A∩ B ∩ C) b) PΔR)_ Qc) (A∪B)–(A∩ B) c) C(A∩ B) d) (A∩ B)–(A∪ B) d) C(A∪ B)
1. Sea el conjunto "E" formado por los siguientes objetos: lápiz, lapicero, martillo,cincel,serrucho,regla,tiza,sierra,escuadra,plomada.
Determina los siguientes conjuntos formados por todos los objetos que:A={sirvenparacortarmadera}B={sirvenparagolpear}C={sirvenparatrabajosenelcuaderno dematemática}D={sirvenparacomprobarqueuna paredestáverticalmentederecha}
Con los datos del problema anterior,encuentra e interpreta el resultado de:
a)A∪ B b)AΔC c)A∩Dd)D–A e)CE D f) CE(BΔD)g)(A∪ B) ∩ D h)(A∪ D) ∩ (B ∪ C)i ) CEA–(B∩c) j)(AΔC)∩ (BΔ F)k)[(B∪C)Δ(A∪F)]∪ D
3. Dados los conjuntos del diagrama:I.Determinaporextensión:A=B =C=
II.Escribeverdadero(V)ofalso(F).a) 1∈ B b) 9∉(A∩C)c)5∉ B d) 2∈Ce) 3∈(A∩ B) f) 0∉ Bg) 3∈A h)5∈(A∩C)i) 7∉A j)9∈[(A∪ B) ∩ C]k)4∈[(A∩ B) ∩ (C–B)]III.Escribeelconjunto:a)C∪A b)B∩C c)A–Cd)A∩ (C–B)e)[(A–B)∪(C–B)]∩ (AΔC)f)(AΔB)–CBAg)CA(B–C)∩ CB(CΔA)
4. Sean los conjuntos:P={2;3;4;5;6;7;8;9}Q={3;5;7;9}R={1;3;5;7;9}Escribe una V o una F según sea verdadera o falsacadaafirmación.a)Q⊂P b)R⊂P c)(R_Q)⊂Pd)P⊂R e)P⊄Q f)(P∩R)⊂Qg)P–Q={2;4;6} h)(QΔR)–CPQ=Ø
6. Determina por extensión:A={x∈N/x=2n–1;1<x<6}B={x∈ N/x = a2+4a+4;1≤a≤4}C={2x+1/x∈ N; x = a2–4y2≤a≤5}D={3x–1/x∈Ny0<x<4}E={x∈N/4<x – 3<6}
7. Determina por comprensión:A={3;5;7;9;11} B={5;9;13;17;21}C={1;5;11;19;29} D={1;4;9;16;25;36}
8. SiA={3;2a-1};B={b–8;7};además:A=B;hallar:P={x∈N/a<x<b}
PROBLEMAS PROPUESTOS
Veinticinco
A
AI. II.
C
B
B
C
1•
2•
4•3•
6•7•
8•5•
9• 0•
P Q
R
2.
2
.... d E D 1 To R Es S . A.C.
26 Veintiséis
9. Dados los conjuntos:A={{a},{b,c}}yB={a,b,d}Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:a) a ∈A b){a}∈A c)A=Bd) B ⊄A e){a,b}⊂B f){a}⊂A
16. En una fiesta hay 80 personas, deestas,50notienenlentesy20notienenbi-gotes.Sisolohay20personasquetienenlentes, ¿cuántas personas hay que solotienenlentesosolotienenbigotes?
17. En una escuela, en el mes de febrero del 2 012, los niños tomaron jugo de papaya o depiña.Si20díastomaronjugodepapaya y17días,depiña,¿cuántosdíastomaronsolamentejugodepapaya?.
18. Enunaulade36estudiantes,a9nolesgustani InglésniReligiónya13 lesgustasoloReligión.Sia7lesgustaamboscursos,¿acuántoslesgustasoloInglés?
20. Deungrupode78estudiantes,38prac- tican natación; 33 básquet, 40 vóley, 15natación y básquet, 18 natación y vóley, 21básquetyvóleyy11lostresdeportes.¿Cuántosnopracticanningúndeporte?
19. Aunareuniónasistieron66personas.Deestas,25eranvarones,36teníanbuzoy 17 varones no tenían buzo. ¿Cuántasmujeresasistieronconbuzo?
21. Unaempresainternacionalconvocóaunconcursoparasusoficinasconelrequisitodesaberunidiomaextranjero.Delosquesepresentaron,25sabeninglés,21francésy 17 alemán. Además, 17 saben inglés yfrancés, 14 inglés y alemán, 11 francésy alemán y 9 los tres idiomas. ¿Cuántaspersonas se presentaron?
22. De30estudiantes,a14nolesgustaverdeportes, a 11 no les gusta ver dibujos y a 6no lesgustaverdeportesnidibujos.¿acuántos les gusta ver deportes y dibujos?
10. Dados:U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}; M={x∈U/2≤x<8}y N={x∈U/x=2n+1,n∈N}Determina los conjuntos:a) C(M ∪N) b)(M–N)U(N–M)c) (M ∪ N) – (M ∩ N)
11. Dados los conjuntos:A={x∈ N/ x2-7=9}B={x∈N/xesundivisorde36}C={x∈N/x≤13,x2tienea6comocifra delasunidades}Determina:(A∪C)∩ B
13. De un total de 100 estudiantes; 65 aprobaron Matemática, 25 aprobaronMatemática y Comunicación y 15 apro-baron sólo Comunicación. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos men-cionados?
14. Si:A={a,e,i,o,u},¿cuántossubcon-juntosdetreselementostieneA?
15. Si:B={1;2;3;4;5},¿cuántossubcon-juntos que tengan a lo más 2 elementos tieneB?
12. Dados los conjuntos:A={x∈N/2x+3≤12}B={3;5;8;9}C={x∈ N/x2notienemásde2cifras}U={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}(C.Universal)Determina: (CA∪ C)∩ [C(A∩ B) – CC]
.... d E D 1 To R Es S . A.C.
MATEMÁTICADE - MENTE
27
Daniela se encuentra en el circo Ingenio, conversando con algunos artistas quienes plantean varios problemas. ¿Puedes ayudarle a resolverlos?
1 3
2 4
El domador de leones le muestra cinco trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, que los debe unir para formar unasolacadena.Leindicaqueabriendoel eslabón extremo de cuatro de ellos se podría hacer el trabajo; entonces le pagaría a un herrero 20 nuevos soles, a razónde5nuevossolesporcadaeslabónquetienequecortaryluegosoldar.LuegolepreguntaaDaniela:¿Hayotramaneramás económica de formar la cadena y cuánto costaría?
El vendedor de boletos le cuenta que cierto día llegó una señora que le com-próvariasentradaspor40nuevossoles, pagándoleconunbilletedeS/.100.Comoélnoteníacambio,enesemomento,fuedonde el dueño del circo, quien le entre-gó diez billetes de 10 nuevos soles, con los cuales pudo dar vuelto a la señora.Pero,minutosmástarde,eldueño,sediocuenta que el billete era falso, y le recla-mó;porloqueéltuvoquedevolverlelos100 nuevos soles. Luego, le pregunta aDaniela:¿Cuántoperdíentotal,esavez?
El encargado de los animales le muestra un par de conejos que dan una vez al mes una cría de dos conejitos (uno macho y unahembra).Leindicaquealcabodedosmeses de nacimiento, los conejitos recien nacidosyadancría.Luego,lepreguntaaDaniela:¿Cuántosconejoshabránalcabode tres meses, si al comienzo solo están los dos mostrados?
El entrenador de los camellos, le entrega a Daniela dos relojes de arena, que mideneltiempode7y4minutoscadauno, respectivamente. Él reta a Danielaa que utilizando los dos relojes midaexactamenteeltiempode9minutos.Leadvierte que ella no puede utilizar otroreloj ni tampoco estimar al ojo. ¿Cómopuede resolver Daniela el problema?
Veintisiete
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