CAPITULO IV
Teora de decisin y anlisis de decisiones4.1 INTRODUCCIN La
mayora de las acciones de la vida requieren la eleccin de
alternativas bajo incertidumbre, esto es, elegir entre un conjunto
de cursos alternos de accin en condiciones en donde uno tiene
incertidumbre sobre las consecuencias reales de cada curso de
accin. A menudo, sin embargo, debemos elegir una alternativa y
frecuentemente nos preocupa que sea la alternativa mejor u optima.
Considere, por ejemplo, el rea de diseo y desarrollo de productos
nuevos y mejorados y de equipo. Los problemas de desarrollo de
productos relacionados con la investigacin y desarrollo (I &
D), produccin, finanzas y actividades de mercadeo, abundan tanto en
el campo tcnico como estratgico. En I & D, por ejemplo, los
tomadores de decisiones podran enfrentarse con el problema de
elegir si llevan a cabo o no una estrategia paralela versus una
secuencial (i. e., persiguiendo dos o mas diseos simultneos versus
el desarrollo del diseo mas promisorio si este falla, eligiendo el
siguiente diseo mas promisorio, etc.). En produccin, es posible que
se necesite decidir sobre un mtodo o proceso de produccin para
fabricacin; tambin si se debe alquilar, subcontratar, o fabricar o
seleccionar un plan de control de calidad. En finanzas, puede ser
necesario decidir si se invierte o no en una nueva planta, en
equipo, en programas de investigacin en mercadeo, en instalaciones,
aun en ordenes riesgosas. En mercadeo, tienen que determinar el
esquema de precios, si debe hacerse investigacin de mercado o no y
de que tipo y con que intensidad y el tipo de campaa publicitaria,
etc. Cada uno de estos problemas de decisin es caractersticamente
complejo. Es casi imposible para un tomador de decisiones tener en
cuenta todos los factores que inciden en la decisin simultneamente.
Por tanto, seria de gran utilidad encontrar alguna manera de
descomponer estos problemas de decisin para permitirle al tomador
de decisiones, pensar en las implicaciones de un conjunto de
factores, uno por uno, de una manera racional (consistente). El
anlisis de decisiones tiene que ver con la toma racional
(consistente) de decisiones, principalmente bajo condiciones de
incertidumbre. Esto es, le ayuda al tomador de decisiones a
contestar la pregunta Cual es la mejor alternativa que puedo
seleccionar con base en la informacin que tengo ahora? (Normalmente
es incompleta e incierta). El anlisis de decisin le permite al
tomador de decisiones analizar una situacin
compleja con muchos cursos de accin consistentes con los valores
bsicos (gustos) y conocimientos (creencias) del tomador de
decisiones. Para facilitar nuestra exposicin, adoptaremos tres
polticas primarias CV: (1) Evitar el uso de matemticas cuando no
haya necesidad real para ello. (2) Restringir la discusin
principalmente a problemas y (3) Explicar los diversos mtodos del
anlisis de decisin por medio de un ejemplo concreto simple.
Ejemplo: Aprovisionamiento de shorts de tenisUsted es el
propietario de un almacn de artculos de tenis y debe decidir
cuantos shorts de tenis para hombre debe pedir para la estacin de
verano. Para un tipo particular de shorts, usted debe pedir lotes
de 100. Si pide 100 shorts, su costo es de $10 por unidad. Si pide
200 su costo es de $9 por unidad y si pide 300 o mas su costo es de
$8.50. Su precio de venta es de $12, pero si algunas se quedan sin
vender al final del verano, estas deben venderse a mitad de precio.
Por sencillez, usted cree que la demanda de shorts es 100, 150 200.
Es claro, que usted no puede vender ms de lo que almacena. Sin
embargo si se queda corto hay una perdida de buen nombre de $0.50
por cada shorts que una persona desee comprar pero que no pueda
hacerlo por no tenerla en el almacn. Adems, usted debe colocar el
pedido ahora, para la estacin de verano venidera; y no puede
esperar a observar como varia la demanda de este short antes de
pedir, ni se pueden colocar varios pedidos. 4.2 CARACTERSTICAS DE
UN PROBLEMA DE DECISIN El problema descrito anteriormente, y en
realidad cualquier problema de decisin, tiene ciertas
caractersticas comunes. El problema de decisin en estudio puede
representarse por un modelo en trminos de los siguientes elementos:
1. El tomador de decisiones . Es el responsable de tomar la
decisin. Se le mira como una entidad y puede ser un solo individuo,
un comit, una compaa, una nacin, etc. 2. Cursos alternos de accin.
Una parte importante de la tarea del tomar de decisiones es
especificar y describir sus alternativas. Puesto que las
alternativas son especificadas, la decisin comprende la eleccin
entre cursos de accin alternos. Cuando la oportunidad de adquirir
informacin es disponible, el problema del tomador de decisiones es
escoger la mejor fuente de informacin y la mejor estrategia total.
Una estrategia es una regla de decisin que indica la accin
contingente que debe tomarse o una observacin especifica recibida
de una fuente de informacin elegida. En el problema anterior, tres
cursos de accin estn abiertos: (a1) pedir 100, (a2) pedir 200 y
(a3) pedir 300. 3. Eventos. Estas son situaciones o estados del
ambiente, que pueden ocurrir y que no estn bajo el control del
tomador de decisiones. Bajo condiciones de incertidumbre, el
tomador de decisiones no conoce con certeza que evento ocurrir
cuando decide. Vale la pena mencionar que el evento cierto puede
ser
un hecho, desconocido para el tomador de decisiones. Los eventos
se definen como mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos. Esto implica que ocurrir uno y solamente uno de todos
los eventos posibles especificados. Los eventos son sinnimamente
denominados estados, estados de la naturaleza, estados del mundo o
eventos importantes de pago. La incertidumbre se mide en trminos de
probabilidades asignadas a los eventos. Una de las caractersticas
distintivas del anlisis de decisiones es que estas probabilidades
son subjetivas (reflejan el estado de conocimiento o las creencias
del tomador de decisiones), u objetivas (i.e., determinadas tcnica
o empricamente). El tomador de decisiones debe identificar y
especificar los eventos y tambin evaluar sus probabilidades de que
se presenten. En el ejemplo anterior, los eventos son (1) cuando la
demanda es 100, (2) cuando la demanda es 150 y (3) cuando la
demanda es 200. 4. Consecuencias. Las consecuencias, las cuales
deben evaluarse por el tomador de decisiones, son una medida del
beneficio neto o pago recibido por el. Las consecuencias que
resultan de la decisin dependen no solamente de la decisin sino
tambin del evento que ocurra. As hay una consecuencia asociada con
cada par de accin-evento. Las consecuencias se denominan
sinnimamente pagos, resultados, beneficios o perdidas. Ellas se
resumen convenientemente en una matriz de pago o matriz de decisin
que exhibe las consecuencias de todas las combinaciones
accin-evento. Por ejemplo, en el problema de decisin del ejemplo,
si el pide 100 short y la demanda resulta ser 100, la consecuencia
es que el propietario obtendr una ganancia de $200. Debe
mencionarse que las consecuencias deben reflejar los valores
subjetivos del tomador de decisiones. Esto es, deben representar
las preferencias del tomador de decisiones o los valores de las
consecuencias objetivas correspondientes. En otras palabras, las
consecuencias objetivas tienen necesariamente que ser transformadas
en utilidades que reflejen el valor subjetivo de las consecuencias
del tomador de decisiones. Por tanto, ser necesario evaluar la
funcin de utilidad del tomador de decisiones. Para simplificar la
decisin, supondremos, a no ser que se diga lo contrario, que los
valores dados de las consecuencias ya han sido transformado en
utilidades. Existe un conjunto de eventos con probabilidades de
ocurrencia p() y un conjunto de acciones A. Asociado con cada accin
y evento hay una consecuencia objetivo formada con los beneficios b
y costos c, que es determinada por medio de una funcin consecuencia
objetivo compuesta del beneficio y las funciones de costo y . Una
consecuencia objetiva (b, c) se transforma en una consecuencia
subjetiva o de utilidad por medio de la funcin v de utilidad del
tomador de decisiones. Dados estos elementos y estructuras de un
problema de decisin, la nocin fundamental del analista de decisin,
derivada de ciertos axiomas del comportamiento racional, expresa
que el tomador de decisiones debe:
1. Asignar probabilidades personales a los eventos y utilidades
a las consecuencias asociadas por cada par accin - evento. 2.
Calcular una utilidad esperada por cada accin.
3. Elegir la accin que maximice la utilidad esperada. El tomador
de decisin tambin puede tener la opcin de adquirir ms informacin de
las consecuencias asociadas con los cursos de accin bajo evaluacin
por medio de la funcin de solicitud (fuente de informacin) que
relaciona los eventos de los mensajes. Bajo esta situacin el
tomador de decisin acta con base al mensaje o dato recibido de una
estrategia o funcin de decisin. Esta informacin es costosa, retrasa
la decisin y usualmente es poco menos que perfectamente confiable o
informativa. El teorema de Bayes es utilizado para revisar las
probabilidades o creencias de uno basado en la nueva informacin. El
anlisis de decisiones proporciona un modelo conceptual bsico para
determinar que informacin debe adquirirse y cuando debe obtenerse y
la eleccin que debe hacerse despus de recibida. Este aspecto ser
cubierto en el Capitulo 6. 4.2.1. La matriz de (Decisin) pago La
matriz de decisin de nuestro problema del propietario de la tienda
de artculos de tenis se ilustra en la tabla 4.1. En la matriz de
pago, las acciones se listan a la izquierda a lo largo de las
filas, los estados se listan en parte superiores de la matriz a lo
largo de las columnas y las consecuencias posibles se listan en las
celdas de la matriz, una consecuencia asociada con cada par accin
evento. Las consecuencias se determinan de la siguiente funcin de
consecuencia: Si el suministro es mayor que la demanda (i. e., si S
> D), entonces la ganancia es igual a D(R - C) (C - 6) (S D). Si
la demanda es mayor que el suministro (i. e., si D > S),
entonces la ganancia es igual a S(R - C) 0,50 (D S). R es el
ingreso unitario por unidad (precio de venta), C es el costo
unitario. El parmetro $6 es el precio mitad o precio de venta al
final del verano para los artculos no vendidos y $0,50 es la
perdida de prestigio por quedarse corto.
Evento Accin
a1: pedir 100 a2: pedir 200 a3: pedir 300
3: 100 200
1:
DEMANDA
2: 200 150600 450
150 175300 150
0 -150
Tabla 4.1 Matriz de pago (decisin) para el problema del
propietario de la tienda de tenis.
Si el evento que ocurre fuera conocido de antemano con certeza
por el tomador de decisiones, por ejemplo 2 (la demanda fuera 150),
entonces el propietario debera mirar para abajo en la columna 2 de
la matriz de pago y elegir la accin que le produjera el mas alto
pago [i.e., mx. (175, 300, 150 = 300)], que indica que debera
200 pantalonetas. Sin embargo, en el mundo real, el contexto de
los problemas de decisin es tal, que debido a que los estados de la
naturaleza estn fuera del control del tomador de decisiones, el no
sabe con certeza que evento especifico ocurrir (o ser cierto). La
eleccin de curso ptimo de accin frente a la incertidumbre es parte
crucial de problema del tomador de decisiones. Aunque el termino
incertidumbre se refiere a la ignorancia del tomador de decisiones
sabe cual es el evento que ocurrir (o cual evento ser el verdadero)
tambin el puede tener incertidumbre sobre varios aspectos de las
consecuencias. Por ejemplo, si el propietario de la tienda de
artculos de tenis no estuviera seguro de su perdida de prestigio,
entonces algunas de las ganancias de la matriz de decisin serian
inciertas. Estos anlisis lo pueden llevar a uno a expandir la
formulacin del problema para incluir mayor detalle y panorama. El
hacer esto o no depende de que tan complejo (y que tan realista)
desee uno que sea el modelo. Ver, por ejemplo, Raiffa (1968) para
una discusin posterior en este tema. Debe de notarse que algunos
autores distinguen entre lo que ellos llaman toma de decisiones
bajo riesgo (toma de decisiones cuando el estado del mundo no es
conocido pero se conocen las probabilidades para los diversos
estados posibles) y toma de decisiones bajo incertidumbre (toma de
decisiones cuando el estado del mundo no se conoce y las
probabilidades de los diversos estados no se conocen). Bajo la
interpretacin subjetiva de probabilidad, es siempre posible evaluar
las probabilidades para estos eventos o estados posibles, o estados
del mundo. Por tanto, la dicotoma riesgo versus incertidumbre es
extremadamente artificial (en realidad, no existe de acuerdo a la
interpretacin subjetiva de probabilidad) y en este libro cualquier
problema de toma de decisiones en que el estado del mundo no se
conozca con certeza se le denomina toma de decisin bajo
incertidumbre. El termino riesgo se reserva para una discusin
relativa a la utilidad. CRITERIOS DE ELECCIN Habiendo examinado los
elementos fundamentales y la estructura de los problemas de decisin
bajo incertidumbre, trataremos ahora diversos criterios que pueden
utilizarse para seleccionar un curso de accin. En primer lugar
investigaremos criterios de toma de decisiones que han sido
desarrollados y que se basan exclusivamente en la matriz de pago.
Estos criterios han sido desarrollados, por lo menos en parte, para
evitar la evaluacin de probabilidades. Tales criterios ignoran la
naturaleza probabilstica de la toma de decisiones bajo
incertidumbre. Aqu exploraremos los siguientes criterios de
eleccin: (1) dominacin (inadmisibilidad), (2) maximin, (3) mximax,
(4) Hurwicz , (5) mnimax arrepentido o perdida de oportunidad. En
segundo lugar investigaremos los criterios cuando el que toma la
decisin desea asignar una distribucin de probabilidad a los
eventos. Los criterios que se discuten aqu son (1) Laplace y (2)
maximizacin del valor esperado (MVE).
4.3.
4.3.1 Criterios no probabilsticos de eleccin Este tipo de
situacin de toma de decisiones no tiene distribucin de probabilidad
anterior; esto es, se caracteriza por la ignorancia completa de
cualquier distribucin de probabilidad de los estados de la
naturaleza. Mientras que uno podra argumentar que esta situacin es
algo rara en una situacin real, diversos eruditos en la toma de
decisiones bajo incertidumbre han propuesto diversos criterios para
resolver estos problemas. Dominacin. El principio de dominacin no
es tanto una manera de seleccionar una accin o estrategia como una
manera de decidir que acciones o estrategias eliminar. La dominacin
expresa que, si para cada evento la consecuencia de la accin a1 es
al menos tan deseable como la consecuencia de otra accin a2 y es
mas deseable por lo menos en un evento, entonces la accin a2 es
denominada o inadmisible y por consiguiente no debe elegirse. Uso
de este principio ampliamente aceptado se traducira en la
eliminacin de la accin del propietario de la tienda de tenis al
ordenar 300 pantalonetas (a3), puesto que no importa cual sea la
demanda, esta accin resultara siempre en menor ganancia que la que
resultara si el escoge 200. La accin a3 es por consiguiente
dominada por la accin a2, dejando al propietario que decida entre
a1 y a2. Maximin: Wald. El criterio maximin (o criterio del
pesimismo) fue sugerido por Abraham Wald. Bajo este principio, el
tomador de decisiones supone que una vez que el ha elegido un curso
de accin, la naturaleza seria malevolente (con una probabilidad
implcita de 1) y por tanto seleccionara el evento que minimizara el
pago del tomador de decisiones. Wald sugiri que el tomador de
decisiones debera elegir un curso de accin de tal manera que
recibir un pago tan grande como fuera posible bajo estas
circunstancias. En otras palabras escoger lo mejor de lo peor o
maximizar el mnimo. Expresado de otra manera, elegir una accin cuya
peor consecuencia sea tan buena como la peor consecuencia de cada
accin. El resultado de aplicar este criterio al propietario de la
tienda de artculos de tenis se muestra abajo (la accin a3: pedir
300 es dominada; por consiguiente, ya no se puede considerar como
una accin viable): Accin a1: pedir 100 a2: pedir 200 Pago mnimo 150
0
Por tanto, la mejor accin, suponiendo que la naturaleza ser
siempre malevolente, es escoger a1: pedir 100, puesto que esta
accin tiene el pago mximo mnimo. Obviamente, el mximo es un
criterio ultrancoservador, puesto que descansa sobre lo peor que
puede suceder. Un hombre de negocios que siga el maximin preferira
dejar
los negocios, puesto que en la mayor parte de las cosas que hace
perdera dinero, mientras que si el no hace nada no tendra perdidas
econmicas (y no tendra ganancias). Parece lo ms razonable,
argumentar que un tomador de decisiones debera tener una cuenta la
probabilidad de ocurrencia de todos los eventos diferentes
posibles. Como ejemplo extremo, si el evento que resulta en el
mnimo pago para un acto dado es raro (digamos, una oportunidad de
ocurrir en un milln), en general no tendra sentido concentrarse en
esta ocurrencia. A pesar de estos comentarios negativos sobre el
maximin, hay situaciones por ejemplo, en teora de juegos, en donde
parece ser un buen mtodo para seleccionar una estrategia. Mximax.
Si el maximin es extremadamente pesimista, el mximax es sper
optimista. Este criterio lo apetecen personas altamente
aventureras. El mximax el acto que es el mejor de lo mejor. Esto es
equivalente a elegir una accin cuya mejor consecuencia sea tan
buena como la mejor consecuencia de cualquier otra accin. En el
ejemplo del tenis, el mximax seria elegir a2: pedir 200. Accin a1:
pedir 100 a2: pedir 200 Pago (mximo) 200 600
Las crticas a este criterio son similares a las del maximin.
Nadie recomienda seriamente el maximax como un buen criterio de
eleccin, puesto que ignora las perdidas y no considera las
oportunidades de ocurrencia de los diferentes eventos posibles. Los
siguientes criterios de eleccin requieren la utilizacin plena de la
matriz correspondiente de valor y consecuencias. Hurwicz-Indice .
Leonid Hurwicz un econometrista contemporneo, se preguntaba: Por qu
siempre debemos suponer que la naturaleza sea malevolente?.
Supongamos que el tomador de decisiones fuera un optimista y
sintiera confianza sobre sus posibilidades de obtener un buen
evento. Si fuera completamente optimista, siempre supondra que la
naturaleza seria benvola y seleccionara el evento que le
proporcionara el mayor pago posible por la accin o estrategia que l
seleccionara. Por consiguiente, la mejor estrategia, suponiendo que
la naturaleza es benvola, es a2: pedir 200 (maximax). Sin embargo,
Hurwicz no vea que un tomador racional de decisiones fuera
completamente optimista pero si sugera que si un tomador de
decisiones se senta optimista, debera poder expresar su grado de
optimismo. As, se introdujo la nocin del coeficiente de optimismo.
El coeficiente de optimismo es un medio por el cual el tomador de
decisiones considera los pagos ms grandes y pequeos y los pesa de
acuerdo con sus propios sentimientos de optimismo y pesimismo. Por
ejemplo, supongamos que el tomador de decisiones tena un
coeficiente de optimismo de 1/3. Esto en efecto significa, que el
tomador de decisiones
tiene implcitamente asignada una probabilidad de ocurrencia de
1/3 de su mximo pago y 2/3 de su pago mnimo. Por el criterio de
Hurwicz, el debera determinar el valor esperado de cada accin,
suponiendo que el mximo o el mnimo ocurrirn con las probabilidades
anteriores; esto es,
Hi = Cmax + (1 - ) Cminy seleccionar el valor mayor de Hi . Un
valor de cerca de 1, refleja un tomador de decisiones optimista
puesto que, cuando = 0, Hurwicz es el mismo mximo. Un valor de
cerca de reflejara una actitud neutral hacia el destino. Los
resultados de aplicar el criterio de Hurwicz ( = 1/3) al problema
ejemplo son los siguientes: Accin a1: pedir 100 a2: pedir 200 Cmax:
Pago mximo 200 600 Cmin: Pago mnimo 150 0 Pago esperado 167 200
As, a2: pedir 200 debera elegirse. Las dificultades obvias de
este criterio comprenden (1) la dificultad para asignar un valor
especifico de , (2) el ignorar los valores de las consecuencias
intermedias para cada accin cuando existen mas de dos eventos, y
(3) la inhabilidad para elegir una accin particular cuando todas
las acciones tienen las mismas consecuencias peores y mejores.
Pesar Mnimax: Savage. Savage el notable estadstico, sealaba que
despus de que se ha tomado una decisin y de que ha ocurrido un
evento, el tomador de decisin puede experimentar pesar debido a que
conoce que evento ha ocurrido y desea quiz haber seleccionado una
accin diferente. Savage propuso que el tomador de decisiones deba
intentar minimizar su pesar mximo. El criterio de Savage requiere
del desarrollo de una matriz de pesar o de perdida de oportunidad y
el uso de mnimax para seleccionar una accin. El pesar se define
como la diferencia entre el pago actual y el pago que uno habra
recibido si uno supiera el evento que iba ocurrir. Para utilizar el
criterio de pesar mnimax, primero convertimos la matriz de pago en
una matriz correspondiente de pesar. Esto se hace quitando en cada
entrada de la matriz de pago la entrada ms grande en su columna. La
entrada mas grande en una columna tendr pesar cero. La matriz
resultante se denomina una matriz de pesar o una matriz de perdida
de oportunidad. La tabla 4.2 muestra la matriz de pesar para el
ejemplo de nuestro problema. Un pesar calculado como se describe
antes, representa la diferencia en valor entre lo que uno obtiene
por una accin dada y un evento dado y lo que uno obtendra si
supiera de antemano cual era el evento dado, en realidad, el evento
verdadero. En el ejemplo, si pedimos 100 unidades (a1) y la demanda
es 150 unidades (2), entonces su pesar es
$125 mas pidiendo 200 unidades si hubiera sabido de antemano
cual era el evento dado que la demanda seria en realidad 150
unidades. Sin embargo, usted hubiera ordenado 200 unidades (a2) y
la demanda fuera 150 unidades, su pesar sera cero, puesto que usted
no habra elegido una accin mejor si hubiera conocido por adelantado
que la demanda seria de 150 unidades. La accin ptima bajo este
criterio es a2, y se determina como sigue: Tabla 4.2 Matriz de
valor y pesar (perdida de Oportunidad) para el problema del
propietario de la tienda de tenis
MATRIZ DE PAGOEvento Accin a1: pedir 100 a2: pedir 200
1: 100$ 200 0
DEMANDA 2: 150 175 300
200150 600
3:
MATRIZ DE PESAREvento Accin a1: pedir 100 a2: pedir 200
DEMANDA
1:0 200
2:125 0 450 0
3:
Accin a1 a2
Pesar mximo (perdida de oportunidad) 450 200
En el caso que la tabla original estuviera en trminos de
perdidas (costos), uno escogera la menor perdida para cada evento y
la restara de cada entrada fila. Cada entrada en la tabla de pesar
es ahora, la perdida de la oportunidad asociada con la combinacin
acto-evento. Las celdas donde apareca antes la menor perdida,
muestran ahora ceros. Aqu el criterio mnimax se aplica como antes.
Las objeciones que se hicieron a los criterios maximin y mximax
tambin se aplican al pesar mnimax. Pero hay tambin otras objeciones
que pueden hacrsele. Una objecin surge cuando el pago (prdidas o
ganancias) se expresan en trminos de utilidad. En otras palabras,
no es generalmente posible decir que el pesar de llevar una
utilidad de 20 utils a una utilidad de 10 utils causa una mitad de
insatisfaccin comparable en pasar una utilidad de 100 utils a 80
utils. Esto es cierto tambin en las medidas de temperatura, en las
que no tenemos bases para decir que un incremento en la temperatura
de 70F A 80F producen la mitad de desagrado que uno que pasa de
80F, a 100F. As, es dudoso que las diferencias en utilidad como las
hemos definido reflejen pesares en el mismo sentido que las
diferencias, por ejemplo en ganancias monetarias. 4.3.2 Criterios
de eleccin probabilsticos Los dos criterios de eleccin restantes
que deben discutirse tienen una distribucin de probabilidad
asociada con los eventos. Ambos criterios utilizan el valor
esperado; esto es, en donde se asigna una accin o estrategia se
calcula un valor esperado, a partir de las consecuencias y pagos
junto con las probabilidades asignadas a los eventos. Cada mtodo de
valor esperado dice seleccionar una accin, cuyo valor esperado es
al menos tan grande (pequeo, si se trabaja con perdidas) como el
valor esperado de cualquier otra accin.
Laplace: Principio de Razn Insuficiente. Si ignoramos
completamente el evento que podra ocurrir, podramos proceder como
si todos los estados fueran igualmente posibles, esto es, asignar a
cada evento la misma probabilidad, calcular el pago (perdida)
esperado para cada acto y elegir el acto con el mayor (menor) pago
(perdida) esperado. As, trataramos el problema como si tuviramos
una distribucin de probabilidad uniforme, sobre los eventos y si
los pagos fueran expresados en trminos de utilidad, resolveramos el
problema encontrando la accin que maximiza la utilidad esperada. El
nombre de este mtodo procede de Pierre-Simn, marques de Laplace, un
matemtico de comienzos del siglo diecinueve que presento el punto
de vista de que, cuando uno se enfrenta a un conjunto de eventos y
tiene suficiente razn para suponer que uno ocurrira en lugar de
otro, los eventos deben considerarse igualmente probables. Para
nuestro problema la probabilidad asignada a cada evento seria 1/3.
El valor esperado para cada accin, es entonces,
EV (a1) = 1/3 (200) + 1/3 (175) + 1/3 (150) = $ 175 EV (a2) =
1/3 (0) + 1/3 (300) + 1/3 (600) = $ 300 Por consiguiente, el
criterio de Laplace elegira a2, pues su valor esperado es el mas
alto. Cuando pensamos en asignar probabilidades a los eventos, es
generalmente raro que estemos ignorando completamente la situacin;
por tanto, no le daremos a cada evento la misma probabilidad de
ocurrencia. En estas situaciones, el criterio de Laplace seria
inadecuado y uno naturalmente debe utilizar el mtodo ms general de
valor esperado.
Maximizacin del Valor Esperado (MVE). Como se indico
previamente, el criterio mximo valor esperado dice lo siguiente:
(1) asigne una probabilidad a cada evento de tal manera que las
probabilidades sumen 1; (2) calcule el valor esperado de cada accin
multiplicando cada valor por su probabilidad correspondiente y
sumando estos productos; (3) elija una accin cuyo valor esperado
sea el mayor. En otras palabras, el valor esperado de un acto es el
promedio ponderado de los pagos bajo el acto, en donde los pesos
son las probabilidades de los eventos mutuamente excluyentes que
pueden ocurrir.En un problema de decisin realista ser razonable
suponer que un tomador de decisiones tendra alguna idea de
posibilidad de ocurrencia de los diferentes eventos y este
conocimiento le ayudara a elegir un curso de accin. Por ejemplo, en
nuestro ejemplo ilustrativo, si el propietario de la tienda de
tenis cree que las ventas (demanda) ser de 200 unidades, esto
tendra la tendencia a hacerlo pedir 200 pantalonetas de tenis (a2).
De acuerdo al mismo raciocinio, si tiene gran confianza de que las
ventas sern (demanda) de 100 unidades, pedir 100 pantalonetas. Si
hay muchos eventos posibles y muchos cursos posibles de accin, el
problema se vuelve complejo y el tomador de decisiones, claramente
necesita algn mtodo ordenado para procesar toda la informacin
importante. Este procedimiento sistemtico lo proporciona el clculo
del valor esperado de cada curso de accin y la seleccin del acto
que conduce al ms alto de estos valores esperados. Tambin veremos
como se puede ajustar este mtodo para el clculo de utilidades
esperadas, en lugar de pagos esperados para los casos, en donde la
maximizacin de los pagos esperados no es un criterio de eleccin
adecuado. Para ilustrar los clculos utilizando el criterio del MVE
supongamos que el propietario de la tienda de tenis (con base a
datos pasados, experiencia e instinto) asigna la siguiente
distribucin de probabilidad subjetiva a los eventos:
Evento 1 : demanda es 100 2 : demanda es 150 3 : demanda es
200
Probabilidad p ( ) 0,5 0,3 0,2 1,0
Note que si la demanda es 100, ella no puede ser 200 (i.e., los
eventos son mutuamente excluyentes), y las probabilidades suman 1,
como debera ser (i.e., los eventos son colectivamente exhaustivos).
El valor esperado del propietario para cada acto se muestra en la
Tabla 4.3. Utilizando el criterio MVE, el propietario de la tienda
de tenis escoge a2 : pedir 200 pantalonetas, con un valor esperado
de $210.Tabla 4.3. Utilidades esperadas propietario tienda de tenis
ACTO a1: PEDIR 100 UNIDADES Evento Probabilidad Utilidad Utiliad
ponderada 1 : demanda es 100 0,5 $200 $100,00 2 : demanda es 150
0,3 150 45,0 3 : demanda es 200 0,2 100 20,0 1,0 Utilidad esperada
= $165,0 $165,0
ACTO a2: PEDIR 200 UNIDADES Evento Probabilidad 1 : demanda es
100 0,5 2 : demanda es 150 0,3 3 : demanda es 200 0,2 Utilidad $ 0
200 550 $210,0 Utiliad ponderada $ 0,0 90,0 120,0 $210,0 Utilidad
esperada =
Debe hacerse nfasis en que las consecuencias y probabilidades de
los eventos pueden interpretarse como objetivas o subjetivas. Las
consecuencias (valores) objetivas representan cantidades fsicas
tales como dlares, unidades de tiempo, etc. Las consecuencias
(valores) subjetivas representan las preferencias relativas del
tomador de decisiones, o los valores de las consecuencias
correspondientes. Se denominan
subjetivas puesto que sus entradas estn directamente
relacionadas con las preferencias del tomador de decisiones, en la
situacin de un problema particular. Minimizacin de la prdida
esperada de oportunidad (PEO) Un concepto til en el anlisis de
decisiones bajo incertidumbre es el de la perdida de oportunidad
que se ha descrito previamente cuando discutimos el criterio del
pesar mnimax de Savage. El clculo de la prdida esperada de
oportunidad, se hace de manera completamente anloga al clculo del
valor esperado. Esto es, utilizamos las probabilidades de los
eventos como ponderadores y determinamos la perdida de oportunidad
promedia para cada acto. El objetivo es seleccionar el acto que
tenga el mnimo PEO. El calculo de las PEO para las dos acciones del
propietario de la tienda de tenis se da en la tabla 4.4 (refirase a
la parte inferior de la tabla 4.2 para la perdida de la
oportunidad). Si el selecciona el acto que minimiza el PEO, escoger
a 2: pedir 200 unidades. Note que este es el mismo acto que el
selecciono bajo el criterio del MVE. Puede probarse que la mejor
accin de acuerdo al criterio del MVE es tambin la mejor utilizando
la minimizacin del PEO. Tambin debe notarse que la perdida de
oportunidad no son perdidas contables, sino que representan
oportunidades que se han escapado. Tabla 4.4. Perdida esperada de
oportunidad (PEO) en el problema del propietario de la tienda de
tenis.ACTO a1: PEDIR 100 UNIDADES Evento Probabilidad 1 : demanda
es 100 0,5 2 : demanda es 150 0,3 3 : demanda es 200 0,2 1,0 PEO
(a1) = $127,5 Perdida de Oportunidad $0 125 450 Perdida ponderada
de Oportunidad $ 0,0 37,5 90,0 $127,5
ACTO a2: PEDIR 200 UNIDADES Evento Probabilidad 1 : demanda es
100 0,5 2 : demanda es 150 0,3 3 : demanda es 200 0,2 1,0 PEO (a2)=
$100,0 Perdida de Oportunidad $ 200 0 0 Perdida ponderada de
Oportunidad $ 100,0 0,0 0,0 $100,0
4.3.3.
Resumen
Los resultados de emplear los siete criterios en nuestro
problema de toma de decisiones bajo incertidumbre se resumen a
continuacin: Criterio Dominacin Maximin Mximax Hurwicz alfa Laplace
MVE (min. PEO) Acto ptimo (Mejor) No selecciono el mejor acto
(eliminado a3 ) a1 a2 a2 a2 a2
Cinco de los seis criterios (no contando el de dominacin) eligen
a2. Solamente el criterio de wald elige a1 (la accin menos riesgosa
o ms conservadora). Sin embargo, puede que esta no sea la situacin
comn. En otros ejemplos, cada uno de los criterios podran
seleccionar una accin diferente. Por consiguiente, en general, bajo
condiciones de incertidumbre, la seleccin del criterio de decisin
puede ser de importancia crucial. La seleccin de un criterio o
criterios debe dejarse al tomador de decisiones y es dictada por su
propia actitud y la poltica de la compaa. Algunas de las
desventajas y falta de validez de los diversos criterios ya han
sido indicadas. El criterio de wald, en muchos casos, puede
conducir a que una compaa no haga nada o realice ningn negocio. El
criterio de hurwicz no considera todos los pagos, solamente el
mximo y el mnimo. El criterio de savage es pesimista y evala las
estrategias en trminos de perdida de oportunidad. El criterio de
laplace parece invlido, puesto que normalmente hay suficientes
razones para creer que quien toma la decisin no ignora
completamente la situacin y de este modo la asignacin de
probabilidades iguales no es razonable. En la parte que resta del
texto para los problemas de decisin bajo incertidumbre,
utilizaremos el criterio de eleccin de MVE. La minimizacin PEO, o
la maximizacin de la utilizacin esperada, a no ser que se indique
lo contrario. VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIN PERFECTA
4.4
Hasta este punto, hemos considerado situaciones en las cuales el
tomador de decisiones elige diversos cursos de accin con base en la
informacin que posee (i.e., su informacin previa) sin intentar
adquirir informacin posterior antes de que tome su decisin. Las
probabilidades utilizadas para calcular el valor esperado de la
accin,
como se muestra en la tabla 4.3. Por ejemplo, se denominan
probabilidades previas para indicar que se presentan probabilidades
establecidas antes de obtener la informacin adicional por medio de
pruebas, experimentos o muestreo. La eleccin de una accin optima
basados en el MVE se le denomina a menudo anlisis previo.
Consideramos el hecho de decidir si vale la pena o no reunir
informacin adicional (la cual si acaso, es raramente confiable) y
si es del caso que informacin recoger y que acciones tomar basados
en la accin recibida. Antes de contestar esta pregunta, es primero
deseable preguntar "cual es valor de la informacin perfecta?".
Supongamos que en nuestro problema del dueo de la tienda de tenis,
la informacin perfecta sobre la demanda de una pantaloneta dada de
tenis representa $ 100 y que la encuesta en consideracin cuesta $
200. En este caso, no realizaramos la encuesta, pues seria
irracional pagar $ 200 por una informacin que representa $ 100 para
hacer estos juicios necesitamos determinar el valor esperado de la
informacin perfecta (VEIP). Hay tres maneras de calcular el
VEIP.
4.4.1
Mtodo
Primero calculamos el valor esperado bajo certeza (i. e.,
teniendo informacin perfecta) y se lo restamos al valor esperado
bajo incertidumbre (la mejor accin elegida utilizando MVE). Primero
decimos que bajo certeza, tomaramos la accin a2 en nuestro ejemplo
de la tienda de tenis y obtendramos un MVE de 0.5 (0) + (0,2) (600)
= $210 (Tabla 4.3). Este es el valor esperado bajo incertidumbre.
Para obtener el valor esperado bajo certeza, nos preguntamos Cul es
su valor esperado si podemos escoger su accin despus de conocer el
evento verdadero (demanda), esto es, despus de obtener informacin
perfecta?. Claramente, la disponibilidad de la informacin perfecta
nos permite obtener una ganancia de $200 si 1 se obtiene, puestoque
elegiramos la accin a1 sobre la a2 en esta situacin. Si se obtiene
2 alcanzaramos una ganancia de $300 puesto que la accin a2 se
preferira sobre a1. Y similarmente, si supiramos que 3 es la accin
que ocurre, obtendramos una ganancia de $600 puesto que escogeramos
a2 sobre a1. Para entender y calcular el valor esperado bajo
certeza, es necesario adoptar el punto de vista de frecuencia
relativa a largo plazo. Esto es, debemos ponderar cada una de estas
ganancias con las probabilidades previas de que cada uno de estos
eventos ocurra. En otras palabras, desde el punto de vista de
frecuencia relativa, estas probabilidades son interpretadas como la
proporcin de veces que un predictor perfecto pronosticara que cada
uno de los eventos ocurrira si a la situacin actual nos
enfrentramos repetidamente. Cada vez que el predictor realiza un
pronstico el tomador de decisiones elige la accin de pago ptima. El
clculo de la probabilidad esperada con informacin perfecta se
muestra en la tabla 4.5 y es igual a $310. El VEIP es as $310 -
$210 = $100. Esto es la ganancia esperada (promedia) que se
obtendra si el propietario de la tienda de tenis tuviera informacin
perfecta sobre la demanda futura.
Tabla 4.5 Clculo de la ganancia esperada bajo certeza.
Evento Accin a1: pedir 100 a2: pedir 200P( 1 ) = 0,5
DEMANDAP( 2 ) = 0,3 P( 3 ) = 0,2
1 : 100
2 : 150
3 : 200
200a 0
175 300a
150 600a
Ganancia esperada bajo certeza = 200(0,5) + 300(0,3) + 600(0,2)
= $310 a Consecuencias ptimas (y acciones) para un evento dado.
Bibliografa: Moskowitz y Wright. Investigacin de Operaciones.
Editorial, Prentice-hall
PROBLEMA 1. El problema de nivel sencillo de Star ProductionsUna
productora de series de televisin, acaba de firmar un contrato para
producir un nuevo espectculo de primera lnea, New York Life. El
presidente de la empresa le ha pedido a usted que determine una
inversin inicial apropiada para el programa piloto de dos horas y
para los siguientes ocho episodios de una hora de la serie.
Formulacin del problema.El primer paso, al utilizar el anlisis
de decisiones, consiste en identificar un nmero finito de
alternativas de decisin. A pesar de que el objetivo ltimo es
determinar la cantidad a invertir, la decisin estratgica que usted
tiene que tomar es el nivel de la inversin. La junta directiva
divide las inversiones para nuevos programas en tres niveles
generales, que despus se convierten en las alternativas de decisin:
1. Nivel inferior (L): ninguno de los actores tiene un
reconocimiento sustantivo. 2. Nivel moderado (M): el actor
principal tiene reconocimiento, pero no asi ninguno de los actores
de apoyo. 3. Nivel (H): ms de uno de los actores tiene
reconocimiento. Las implicaciones financieras de estas decisiones
dependen del xito futuro, desconocido, de la serie. El siguiente
paso es caracterizar aquellos estados futuros mediante la
identificacin de un nmero finito de posibles resultados. En este
caso, usted podra identificar las siguientes posibilidades: 1.
Fracaso (F): menos del 10% de los espectadores ven el programa. 2.
xito (S): entre 10% y 20% de los espectadores ven el programa. 3.
Gran xito (G): ms de 20% de los espectadores ven el programa. Su
trabajo consiste en evaluar cada alternativa de inversin sobre la
base de las ganancias. La ganancia no solo esta basada en la
decisin de inversin inicial, sino tambin en el xito resultante del
programa. Para utilizar la tcnica del anlisis de decisiones, es
necesario recoger los datos apropiados para cada pareja
decisinresultado. Para el problema de Star Productions, esto se
lleva a cabo mediante la numeracin de cada pareja y estimando la
ganancia asociada. El sentido comn le dice que cuanto mas grande
sea el nivel de compromiso (cualquiera que sea el monto de la
inversin), mayor ser la cantidad que puede perder el estudio. Si
usted decide invertir en el nivel alto y el espectculo es un
fracaso, el estudio perder mucho. Esto es as porque un bajo nivel
de espectadores redundara en un nivel mas bajo de entradas por
publicidad de los patrocinadores y, al mismo tiempo, los costos de
produccin, el salario de los actores y otros gastos todava tienen
que hacerse. En el otro extremo, si usted decide invertir a un
nivel bajo y el espectculo resulta ser un gran xito, esto permitir
al estudio cobrar mayores tarifas por publicidad. En este caso, el
estudio
puede esperar que le vaya muy bien debido a que la inversin
inicial es baja y las entradas por publicidad sern altas. Usted
utiliza su experiencia, informacin industrial y al departamento de
contabilidad del estudio para determinar la probabilidad de
ganancia que se tendr de cada pareja decisin-resultado. Tales
estimaciones de ganancia aparecen en la tabla siguiente.Tabla de
ganancias ($ millones) para el problema de decisiones de Star
Productions RESULTADOS DECISIONESBaja (L) Moderada (M) Alta (H)
FRACASO (F) -2 -5 -8 XITO (S) 5 10 6 GRAN XITO (G) 8 12 15
TOMA DE DECISIONESLa tabla de ganancias indica que si usted
decide hacer una alta inversin inicial, el estudio podra obtener
una ganancia de $ 15 millones si el espectculo sea un gran xito.
Pero el estudio puede perder $ 8 millones si el programa resulta un
fracaso. Al contrario, si usted decide hacer una inversin inicial
baja, el estudio puede obtener una ganancia de solamente $ 8
millones si el programa es un gran xito. Sin embargo, solamente
perder $ 2 millones si el espectculo es un fracaso. Qu decisin
recomendara usted? La eleccin de la mejor alternativa de inversin
(L, M o H) depende del criterio de la administracin de Star
Productions. Diferentes criterios pueden conducir a diferentes
decisiones.
