Aacap 17 Teoria de Decisiones

7/31/2019 Aacap 17 Teoria de Decisiones

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TEORA DE

DECISIONES

Objetivos

Contenido del captulo

c a p t u l o

17 Aprender mtodos de toma de

decisiones bajo incertidumbre

Usar el valor esperado y lautilidad como criterios dedecisin

Comprender por qu la

informacin adicional es tily calcular su valor

Ayudar a los tomadores dedecisiones a proporcionar

valores de probabilidadnecesarios, aun cuando nocomprendan la teora deprobabilidad

Aprender a usar rboles dedecisin para estructurar yanalizar problemas complejos

de toma de decisiones

17.1 El entorno de la decisin 75617.2 Ganancia esperada en

condiciones de incertidumbre:asignacin de valores deprobabilidad 757

17.3 Uso de distribucionescontinuas: anlisis marginal765

17.4 Utilidad como criterio dedecisin 773

17.5 Ayuda para que lostomadores de decisionesproporcionen las probabi-lidades correctas 776

17.6 Anlisis de rboles dedecisiones 780

Estadstica en el trabajo 790 Del libro de texto al mundo

real 791

Trminos introducidos en elcaptulo 17 793

Ecuaciones introducidas enel captulo 17 793

Ejercicios de repaso 794

17


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La Acme Fruit and Produce Wholesalers compra jitomates paravenderlos a minoristas.Actualmente,Acme paga 20 dlares porcaja; las cajas vendidas el mismo da cuestan 32 dlares cada una.

Por ser en extremo perecederos, los jitomates que no se venden elprimer da, valen slo 2 dlares la caja. Acme ha calculado que la mediade las ventas diarias histricas es 60 cajas y que la desviacinestndar de las ventas diarias es 10 cajas. Usando las tcnicasintroducidas en este captulo, podremos indicar a Acme cuntas cajasordenar diariamente para maximizar las ganancias.

En la seccin 5-3, introdujimos la idea de usar el valor esperado en la toma de decisiones. Trabajamoscon un problema sencillo que involucraba la compra de fresas para su reventa. Esa clase de problemasforma parte de un conjunto de problemas que puede resolverse mediante las tcnicas desarrolladasen ese captulo.

En los ltimos 35 aos, los administradores han utilizado tcnicas estadsticas de reciente desarro-llo para solucionar problemas con informacin incompleta, incierta o, en algunos casos, casi inexis-tente. Esta nueva rea de la estadstica tiene varios nombres: teora estadstica de decisiones, teorade decisiones bayesiana (en honor al reverendo Thomas Bayes, quien se mencion en el captulo 4),o simplemente teora de decisiones. Estos nombres se usan indistintamente.

Cuando hicimos la prueba de hiptesis, tuvimos que decidir si aceptar o rechazar la hiptesis formu-lada. En la teora de decisiones, debemos decidir entre varias opciones tomando en cuenta las reper-cusiones monetarias de nuestras acciones. Un administrador que ha de seleccionar de entre variasinversiones disponibles debe considerar la ganancia o prdida que pudiera resultar de cada opcin.La aplicacin de la teora de decisiones implica seleccionar una alternativa y tener una idea razona-ble de las consecuencias econmicas de elegir esa accin.

17.1 El entorno de la decisinLa teora de decisiones puede aplicarse a problemas que abarcan un periodo de cinco aos o un da,ya sea que involucre administracin financiera o una lnea de ensamble en una planta, o que se rela-cione con el sector pblico o el privado. Independientemente del entorno, la mayor parte de estosproblemas tiene caractersticas comunes. Por ello, quienes toman decisiones enfocan sus solucionesde manera bastante consistente. Los elementos comunes a la mayora de los problemas de la teora dedecisiones son los siguientes:

1. Objetivo que el tomador de decisiones trata de lograr. Si el objetivo es minimizar el tiem-po de fallas de maquinaria costosa, el administrador puede tratar de encontrar el nmero pti-mo de motores de repuesto que debe tener reparaciones rpidas. El xito de encontrar esenmero puede medirse contando las fallas mensuales.

2. Varios cursos de accin. La decisin debe involucrar una eleccin entre alternativas (llama-das actos). En el ejemplo de motores de repuesto, los diversos actos posibles para el tomadorde decisiones incluyen almacenar cero, uno, dos, tres, cuatro o cinco motores de repuesto.

3. Medida calculable del beneficio o valor de las diversas alternativas. En general, estos cos-

tos pueden ser negativos o positivos, y se denominanpagos. Los contadores deben determinarel costo del tiempo perdido de produccin, resultante de la descompostura de un motor, cuan-do se tiene a mano un repuesto y cuando no. Pero algunas veces, los pagos implican con-secuencias que no slo son financieras. Imagnese intentando decidir el nmero ptimo de

Elementos comunesa los problemas deteora de decisiones

Qu es la teorade decisiones?


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generadores de repuesto que un hospital requerira en caso de presentarse una falla de energaelctrica. No tener suficientes podra costar vidas, adems de dinero.

4. Eventos que estn fuera del control del tomador de decisiones. Este tipo de hechos incon-trolables a menudo se denominan resultados o estados de la naturaleza, y su existencia creadificultades as como inters en la toma de decisiones bajo incertidumbre. Tales eventos po-dran ser el nmero de motores de nuestra costosa maquinaria de produccin que fallarn enun mes dado. El mantenimiento preventivo reducir estas fallas, pero seguirn ocurriendo.

5. Incertidumbre respecto a qu resultado o estado de la naturaleza ocurrir realmente. Ennuestro ejemplo, no estamos seguros respecto a cuntos motores se quemaron. Esta incerti-dumbre suele manejarse con probabilidades asignadas a los diversos eventos que pudieran te-ner lugar; digamos, una probabilidad de 0.1 de que fallen cinco motores al mes.

Ejercicios 17.1Aplicaciones

17-1 La empresa Wholesale Lamps ha estado en contacto con Leeries, una tienda local minorista de lmparas,para surtirle una lmpara especial de pie cromado, que la tienda desea usar como atraccin en sus ventasprximas. Wholesale Lamps debe ordenar la fabricacin de las lmparas 2 das antes para entregarlas enla fecha de venta. El costo de las lmparas para Wholesale es $49 y las vende a Leeries en $54. Whole-sale no est seguro de la cantidad que Leeries desea, pero supone que sern entre 15 y 20. Uno de los ad-ministradores ha asignado probabilidades a los distintos nmeros de lmparas que Leeries podra orde-nar. El gerente de Wholesale Lamps pronostica que no tendr mercado para las lmparas que no venda aLeeries. Se espera que Leeries presente la orden maana. Debe el gerente de Wholesale Lamps usar lateora de decisiones para ordenar las lmparas que le pedir Leeries?

17-2 Adventures, Inc., es una fuente de capital para empresarios que inician compaas en el campo de la in-geniera gentica. Lisa Levin, socia de Adventures, ha estado estudiando varias propuestas de negociosrecientes. Cada propuesta describe una nueva empresa, delinea su mercado potencial y solicita la inver-sin de Adventures. Lisa acaba de terminar de leer el captulo de teora de decisiones en el libro de esta-dstica de su padre. Piensa que esta tcnica proporciona una metodologa que puede ayudarle a decidirqu empresas respaldar y a qu nivel. Est Lisa en lo correcto? Si es as, qu informacin requiere pa-ra aplicar la teora de decisiones a su problema? Si no es as, por qu?

17-3 La 8th Avenue Book Store depende de Grambler News Service para el suministro de varias revistas co-nocidas. Cada semana, Grambler entrega un nmero predeterminado de Todays Romances, entre otras, yrecoge los ejemplares no vendidos durante la semana anterior. No se sabe con seguridad el nmero deejemplares que vender la librera, pero el gerente cuenta con datos histricos de las ventas. Grambler co-bra $1.60 a la librera por ejemplar que se vende en $2.95. El gerente de la librera desea obtener una m-xima rentabilidad de la venta de revistas y quiere determinar el nmero ptimo de Todays Romances aordenar. Debe usar la teora de decisiones para decidir el nmero de revistas que debe tener?

17.2 Ganancia esperada en condicionesde incertidumbre: asignacin devalores de probabilidad

Comprar y vender fresas, como en el ejemplo del captulo 5, es slo un caso en que las decisiones

deben tomarse bajo incertidumbre. Otro de ellos sera el del comerciante de peridicos que compracada ejemplar a $0.30 cada uno y lo vende a $0.50. Los peridicos no vendidos al final del da care-cen completamente de valor. El problema del comerciante es determinar el nmero ptimo a orde-nar diariamente. En los das en los que tiene ms peridicos de los que vende, sus ganancias se re-

Decisin de compra

bajo incertidumbre


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ducen por el costo de los peridicos no vendidos. En los das en que los compradores piden msejemplares de los que tiene, pierde ventas y tiene menores ganancias de las que podra haber tenido.

El comerciante ha mantenido un registro de sus ventas en los 100 das anteriores (tabla 17-l). Estainformacin es una distribucin de las ventas pasadas del comerciante. Como el volumen de ventaspuede tomar slo un nmero limitado de valores, la distribucin es discreta. Supondremos en esteanlisis, que el comerciante slo vender las cantidades enumeradas; no 412,525 ni 637. Ms an,

no tiene una razn para pensar que el volumen de ventas tomar cualquier otro valor en el futuro.Esta informacin dice algo sobre el patrn histrico de ventas del comerciante. Aunque no da la

cantidad que los compradores pedirn maana, s dice que existen 45 oportunidades en 100 de quela cantidad sea 500 peridicos. Por consiguiente, se asigna una probabilidad de 0.45 a la cifra de ven-tas de 500 peridicos. La columna de probabilidades de la tabla 17-1 muestra la relacin entre lasobservaciones totales de ventas (100 das) y el nmero de veces que apareci cada valor posible deventas diarias en las 100 observaciones. As, la probabilidad de cada nivel de ventas se obtiene divi-diendo el nmero total de veces que aparece cada valor en las 100 observaciones entre el nmero to-tal de ellas, esto es, 15/100, 20/100, 45/100, 15/100 y 5/100.

Maximizar ganancias en vez de minimizar prdidasEn la seccin 5-3, cuando presentamos por primera vez el valor esperado en la toma de decisiones,usamos un enfoque que minimizaba prdidas y nos conduca a un patrn de inventario ptimo paranuestro comerciante de fresas. Es igual de fcil encontrar el patrn de inventario ptimo al maximi-

zar ganancias, y eso es justo lo que haremos aqu.

Recuerde que el comerciante de frutas y verduras del captulo 5 compraba fresas a $20 la caja ylas venda a $50. Supusimos que el producto no tena valor si no se venda el primer da (una restric-cin que pronto quitaremos). Si maana los compradores piden ms cajas de las que el comerciantetiene, las ganancias potenciales disminuyen $30 (el precio de venta menos el costo) por cada cajaque no pueda vender. Por otra parte, tambin se tienen costos de almacenar demasiadas unidades enun da dado. Si el comerciante tiene 13 cajas pero slo vende 10, obtiene una ganancia de $300, o$30 por caja en 10 casos. Pero esta ganancia debe reducirse $60, el costo de las tres cajas no vendi-

das y carentes de valor.Una observacin de 100 das de ventas histricas proporciona la informacin de la tabla 17-2. Losvalores de probabilidad se obtienen igual que en la tabla 5-6.

Observe que slo hay cuatro valores discretos para el volumen de ventas, y hasta donde sabemos,no existe un patrn discernible en la secuencia en que ocurren estos cuatro valores. Suponemos queel comerciante no tiene razones para creer que el volumen de ventas se comportar de manera dis-tinta en el futuro.

Clculo de las ganancias condicionalesPara ilustrar este problema, podemos construir una tabla que muestre los resultados en dlares de to-das las combinaciones posibles de compras y ventas. Los nicos valores de compras y ventas quetienen significado para nosotros son 10, 11, 12 y 13 cajas, porque el comerciante no tiene razonespara considerar la compra de menos de 10 o ms de 13 cajas.

Un problema delcaptulo 5 trabajadode otra manera

Clculo de lasprobabilidades paralos niveles de ventas

Distribucin de la ventade peridicos

Tabla 17-1 Nmero de das Probabilidad de cadaVentas diarias que se venden nmero que se vende

300 15 0.15

400 20 0.20500 45 0.45600 15 0.15700 5 0.05

00 00


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La tabla 17-3, denominada tabla de ganancias condicionales, muestra la ganancia resultante de cual-quier combinacin posible de oferta y demanda. Las ganancias podran ser positivas o negativas(aunque todas son positivas en este ejemplo) y son condicionales en cuanto a que una ganancia dadaes el resultado de tomar una accin especfica de inventario (ordenar 10, 11, 12 o 13 cajas) y venderun nmero especfico de cajas (10, 11, 12 o 13 cajas).

La tabla 17-3 refleja las prdidas ocurridas cuando quedan existencias sin vender al final de un

da. Observe, asimismo, que el comerciante no aprovecha las ganancias potenciales adicionalescuando los clientes demandan ms cajas de las que tiene.Observe que el inventario diario de 10 cajas siempre dar una ganancia de $300. Incluso en los

das en los que los compradores quieren 13 cajas, el comerciante slo puede vender 10. Cuando al-macena 11 cajas, su ganancia ser $330 en los das en que los compradores solicitan 11, 12 o 13cajas. Pero en los das que tiene 11 cajas y los compradores compran slo 10, la ganancia baja a $280.La ganancia de $300 por las 10 cajas vendidas se reduce $20, el costo de la caja no vendida. Un in-ventario de 12 cajas incrementa las ganancias diarias a $360, pero slo en los das en que los com-

pradores deseen 12 o 13 cajas. Si los compradores slo quieren 10 cajas, la ganancia se reduce a$260; la ganancia de $300 sobre la venta de 10 cajas se reduce $40, el costo de las dos cajas no ven-didas. Almacenar 13 cajas producir una ganancia de $390 ($30 por cada caja vendida cuando sevenden todas) si existe mercado para las 13 cajas. Cuando los compradores adquieren menos de 13cajas, esa accin de inventarios da ganancias menores que $390. Por ejemplo, con 13 cajas y unaventa de slo 11 cajas, la ganancia es $290; la ganancia de 11 cajas, $330, se reduce por el costo dedos cajas no vendidas ($40).

La tabla de ganancias condicionales no muestra al comerciante cuntas cajas debe tener cada da

para maximizar sus ganancias. Slo revela el resultado de tener en inventario un nmero especfico decajas cuando se vende un nmero especfico de ellas. En condiciones de incertidumbre, el comercian-te no sabe de antemano el tamao del mercado de cada da. Sin embargo, debe decidir qu nmero decajas tener en existencia continua para maximizar las ganancias durante un periodo largo.

Clculo de las ganancias esperadasEl siguiente paso para determinar el mejor nmero de cajas que debe tener es asignar probabilida-

des a los resultados o ganancias posibles. En la tabla 17-2 vimos que las probabilidades de los valo-res posibles para las ventas del comerciante son las siguientes:

Cajas 10 11 12 13Probabilidad 0.15 0.20 0.40 0.25

Funcin de la tabla

de gananciascondicionales

Explicacin de loselementos de latabla de gananciascondicionales

Tabla de gananciascondicionales

Cajas vendidas

en 100 das

Tabla 17-2 Nmero de das Probabilidad de cada

Ventas diarias que se venden nmero que se vende

10 15 0.1511 20 0.20

12 40 0.4013 25 0.25

100 1.00


Tabla 17-3Posible accin de inventario

Demanda posible(ventas) en cajas 10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas

10 $300 $280 $260 $24011 $300 $330 $310 $29012 $300 $330 $360 $34013 $300 $330 $360 $390


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Usando estas probabilidades y la informacin contenida en la tabla 17-3, podemos calcular la ganan-cia esperada de cada posible accin de inventario.

En el captulo 5 establecimos que podemos calcular el valor esperado de una variable aleato-ria ponderando cada valor posible de la variable con la probabilidad de que tome ese valor.Usando este procedimiento, podemos calcular la ganancia diaria esperada de tener en existencia 10cajas al da. Vea la tabla 17-4. Las cifras de la columna 4 de esa tabla se obtienen multiplicando la

ganancia condicional de cada volumen de ventas posible (columna 2) por la probabilidad de que ocu-rra esa ganancia condicional (columna 3). La suma de la ltima columna es la ganancia esperada dia-ria al tener en inventario 10 cajas al da. No es sorprendente que esta ganancia esperada sea $300,puesto que vimos en la tabla 17-3 que almacenar 10 cajas al da siempre dar una ganancia de $300 porda, sin importar si los compradores quisieran 10, 11, 12 o 13 cajas.

Se puede hacer el mismo clculo para un inventario de 11 unidades, como se ve en la tabla 17-5.Esto nos dice que si el comerciante tiene en existencia 11 cajas cada da, su ganancia diaria espera-da con el tiempo ser $322.50. El 85% del tiempo, la ganancia diaria ser $330; en estos das, loscompradores piden 11, 12 o 13 cajas. Sin embargo, la columna 3 nos dice que el 15% del tiempo elmercado tomar slo 10 cajas, produciendo una ganancia de slo $280. Esto reduce la ganancia dia-ria esperada a $322.50.

Para 12 y 13 unidades, la ganancia diaria esperada se calcula segn se muestra en las tablas 17-6y 17-7, respectivamente.

Calculamos la ganancia esperada para cada una de las acciones de inventario abiertas al comer-ciante. Estas ganancias esperadas son:

Si se almacenan 10 cajas cada da, la ganancia diaria esperada es $300.00. Si se almacenan 11 cajas cada da, la ganancia diaria esperada es $322.50. Si se almacenan 12 cajas cada da, la ganancia diaria esperada es $335.00. Si se almacenan 13 cajas cada da, la ganancia diaria esperada es $327.50.

La accin de inventario ptima es la que proporciona la mayor ganancia esperada, es decir, lasmayores ganancias promedio diarias y, por tanto, las ganancias totales mximas en un periodo dado.En esta ilustracin, el nmero adecuado en inventario es 12 cajas, porque esta cantidad rendir lasganancias diarias promedio ms altas posibles.

No disminuimos la incertidumbre en el problema que enfrenta el comerciante. Ms bien, usamossu experiencia pasada para determinar su mejor accin de inventario. Contina ignorando cuntascajas le pedirn en un da determinado. No hay garanta de que maana obtendr una ganancia de

Significado dela solucin

Solucin optima

Para 12 y 13unidades

Para 11 unidades

Clculo de laganancia esperada

Para 10 unidades

Ganancia esperadaal tener 10 cajasen inventario

Tabla 17-4 Tamao del Ganancia Probabilidad del Ganancia

mercado en cajas condicional tamao de mercado esperada

(1) (2) (3) (4)

10 $300 0.15 = $ 45.0011 300 0.20 = 60.0012 300 0.40 = 120.0013 300 0.25 = 75.00

1.00 $300.00


Tabla 17-5 Tamao del Ganancia Probabilidad del Gananciamercado en cajas condicional tamao de mercado esperada

10 $280 0.15 = $ 42.0011 330 0.20 = 66.0012 330 0.40 = 132.0013 330 0.25 = 82.50

1.00 $322.50


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$335.00. Sin embargo, si almacena 12 cajas cada da bajo las condiciones dadas, tendr gananciaspromedio de $335.00 diarios. Esto es lo mejorque puede hacer, porque la opcin de cualquiera delas otras tres acciones posibles de existencias ocasionar una ganancia diaria esperada menor.

Ganancia esperada con informacin perfectaAhora, supongamos que el comerciante de nuestro ejemplo pudiera eliminar toda la incertidumbrede su problema al obtener informacin completa y precisa respecto al futuro, denominada infor-macinperfecta. Esto no significa que las ventas variaran de 10 a 13 cajas diarias. Las ventas seguiransiendo 10 cajas diarias el 15% del tiempo, 11 el 20%, 12 el 40% y 13 cajas el 25%. Sin embargo,con informacin perfecta, el comerciante sabra de antemano cuntas cajas le pediran cada da.

En estas circunstancias, el comerciante tendra en existencia hoy el nmero exacto de cajas quelos compradores desearan maana. Para ventas de 10 cajas, el comerciante tendra 10 cajas y obten-

dra una ganancia de $300. Cuando las ventas fueran de 11 cajas, almacenara exactamente 11 cajas,obteniendo una ganancia de $330.00.

La tabla 17-8 muestra los valores de la ganancia condicional aplicables al problema del comer-ciante si tiene una informacin perfecta. Conociendo el tamao del mercado con antelacin para unda particular, el comerciante elije la accin de inventario que maximizar sus ganancias. Esto sig-nifica que puede comprar y tener en inventario cantidades que evitan todas las prdidas por existen-cias obsoletas, as como todas las prdidas por demanda de fresas no satisfecha.

Ahora podemos calcular la ganancia esperada con informacin perfecta. Esto se muestra en la ta-

bla 17-9. El procedimiento es el mismo que usamos, pero observe que las cifras de ganancia condi-cional de la columna 2 de la tabla 17-9 son las ganancias mximas posibles para cada volumen deventas. Cuando los compradores adquieren 12 cajas, por ejemplo, el comerciante siempre obtendruna ganancia de $360 con informacin perfecta, porque habr almacenado exactamente 12 cajas.

Ganancia esperada

con informacinperfecta

Uso de lainformacin

perfecta

Definicin deinformacinperfecta




10 $240 0.15 = $ 36.0011 290 0.20 = 58.00

12 340 0.40 = 136.00

13 390 0.25 = 97.501.00 $327.50




10 $260 0.15 = $ 39.0011 310 0.20 = 62.0012 360 0.40 = 144.0013 360 0.25 = 90.00 Accin de

1.00 $335.50, inventario ptima

Tabla de gananciascondicionales coninformacin perfecta

Tabla 17-8Accin de inventario posible

Venta posiblesen cajas 10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas

10 $300 11 $330 12 $360 13 $390


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Con informacin perfecta, entonces, el comerciante podra confiar en tener una ganancia promediode $352.50 diariamente. sta es una cifra significativa porque es la mxima ganancia esperadaposible.

Valor esperado de la informacin perfecta

Suponiendo que un comerciante pudiera obtener un pronosticador perfecto del futuro, cul sera suvalor para l? Debe comparar el costo de esa informacin con la ganancia adicional que obtendracomo resultado de tener la informacin.

El comerciante de nuestro ejemplo puede obtener ganancias diarias promedio de $352.50 si tie-ne informacin perfecta acerca del futuro (vea la tabla 17-9). Su mejor ganancia diaria esperada sinel pronosticador es slo $335.00 (vea las tablas 17-4 a 17-7). La diferencia de $17.50 es la cantidadmxima que el comerciante estara dispuesto a pagar, por da, por un pronosticador perfecto, porquesa es la cantidad mxima en que puede incrementar su ganancia diaria esperada. La diferencia es el

valor esperado de informacin perfecta y se conoce como VEIP. No tiene sentido pagar ms de$17.50 por el pronosticador; hacerlo costara ms que lo que vale el conocimiento.El clculo del valor de la informacin adicional en el proceso de toma de decisiones es un pro-

blema serio para los administradores. En el ejemplo que estamos trabajando, encontramos que nues-tro comerciante pagara $17.50 al da por un pronosticador perfecto. Sin embargo, rara vez podemosasegurar un pronosticador perfecto. En la mayora de los casos de toma de decisiones, los adminis-tradores en realidad intentan evaluar el valor de la informacin que les permitir tomar mejores de-cisiones, aunque no perfectas.

Por qu senecesita el valorde la informacinperfecta?

Valor de la infor-macin perfecta

Ganancia esperadacon informacinperfecta

Tabla 17-9 Ganancia condicional Probabilidad Ganancia esperada

Tamao del con informacin de tamao de con informacin

mercado en cajas perfecta mercado perfecta

10 $300 0.15 = $ 45.0011 330 0.20 = 66.0012 360 0.40 = 144.0013 390 0.25 = 97.50

1.00 $352.50

Advertencia: todos los ejemplos usadosen esta seccin involucraron distribucio-nes discretas; es decir, se permiti quelas variables aleatorias tomaran slo unos

cuantos valores. Esto no refleja la mayora de las situacio-nes del mundo real, pero facilita los clculos necesarios pa-ra presentar esta idea. Con eventos discretos, la ganancia

esperada no necesariamente es uno de los eventos. Suge-rencia: un 50% de posibilidad de una ganancia esperada de

$10, unida a un 50% de posibilidad de no tener gananciasda una ganancia esperada de $5. Pero con una distribucindiscreta el resultado ser ya sea $10 o cero! Algunas situa-ciones del mundo real tambin se comportan de esta ma-nera. Una parcela de tierra no desarrollada puede valerya sea $5 millones o $250,000, dependiendo de dnde vana construir un nuevo aeropuerto. La tierra puede tambin

venderse por $500,000 a un especulador que espera obtenerel precio de venta final de $5 millones.

SUGERENCIAS

Y

SUPOSICIONES

Ejercicios 17.2

Ejercicios de autoevaluacin

EA 17-1 La Writers Workbench opera una cadena de franquicias de procesamiento de palabras en ciudades uni-versitarias. Por una tarifa de $8.00 por hora, Writers Workbench proporciona acceso a una computadorapersonal, software de procesamiento de palabras y una impresora a los estudiantes que necesitan elaborar


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trabajos escritos para sus clases. El papel se proporciona sin costo adicional. La compaa estima que el costovariable por hora por mquina (principalmente por el papel, las cintas, electricidad y desgaste de las compu-tadoras e impresoras) es alrededor de $0.85. Deborah Rubin est considerando abrir una franquicia de Wri-ters Workbench en Ames, Iowa. Una investigacin de mercado preliminar arroj la siguiente distribucinde probabilidad del nmero de mquinas requeridas por hora durante las horas que planea operar:

Nmero de mquinas 22 23 24 25 26 27

Probabilidad 0.12 0.16 0.22 0.27 0.18 0.05Si desea maximizar sus beneficios, cuntas mquinas debe Deborah planear tener?, cul es el valor es-perado de la informacin perfecta en esta situacin? Aunque Deborah pudiera obtener un pronstico pre-ciso de la demanda para cada hora, por qu no estara dispuesta a pagar el VEIP por esa informacin enesta situacin?

Aplicaciones

17-4 La Center City Motor Sales se acaba de constituir en sociedad. Su principal activo es una franquicia paravender automviles de un importante fabricante estadounidense. El gerente general de la Center City estplaneando cunto personal ocupar en las instalaciones del taller del negocio. A partir de informacin pro-porcionada por el fabricante y por otros negocios cercanos, ha estimado el nmero de horas de mecnicaanuales que es probable que requiera el taller.

Horas 10,000 12,000 14,000 16,000Probabilidad 0.2 0.3 0.4 0.1

El gerente planea pagar a cada mecnico $9.00 por hora y cobrar a su cliente $16.00. Los mecnicos tra-bajan una semana de 40 horas y tienen 2 semanas de vacaciones anuales.a) Determine cuntos mecnicos debe contratar Center City.b) Cunto debe pagar Center City por la informacin perfecta del nmero de mecnicos que necesita?

17-5 Airport Rent-A-Car es un negocio local que compite con varias compaas importantes. La administra-cin de Airport Rent-A-Car planea un nuevo trato para los clientes que desean rentar un automvil por unsolo da y regresarlo al aeropuerto. Por $24.95, la compaa rentar un automvil econmico pequeo aun cliente cuyo nico otro gasto ser ponerle gasolina al final del da. La empresa planea comprar al fa-bricante varios automviles pequeos al reducido precio de $6,750. La gran pregunta es cuntos comprar.

Los ejecutivos de la compaa han decidido aplicar la siguiente distribucin de probabilidad estimada delnmero de automviles rentados por da:

Nmero de automviles rentados 10 11 12 13 14 15Probabilidad 0.18 0.19 0.21 0.15 0.14 0.13

La compaa pretende ofrecer el plan 6 das a la semana (312 das al ao) y anticipa que su costo varia-ble por automvil por da ser $2.25. Despus de usar los automviles durante un ao, la Airport Rent-A-Car espera venderlos y recuperar el 45% del costo original. Ignorando el valor del dinero en el tiempo ycualesquiera otros gastos no monetarios, determine el nmero ptimo de automviles que la Airpor Rent-

A-Car debe comprar. 17-6 Durante varios aos, la tienda departamental Madison Rhodes ha ofrecido lpices personalizados como

artculo especial de Navidad. Madison Rhodes compraba los lpices a su proveedor, quien proporciona-ba la mquina de grabado en relieve. La personalizacin se haca en los departamentos de la tienda. A pe-sar del xito en la venta de los lpices, Madison Rhodes recibi comentarios respecto a que la mina de loslpices era de mala calidad, y la tienda encontr un proveedor diferente. El nuevo proveedor, sin embar-go, no puede comenzar a surtir a la tienda antes del primero de enero. Madison Rhodes se vio forzada acomprar sus lpices una ltima vez con su proveedor original para satisfacer la demanda navidea. Era

importante, por un lado, que no hubiera exceso de lpices y, por otro, que hubiera suficientes para no per-der clientes por faltantes. Los lpices vienen empacados en estuches de 15 unidades, en cajas de 72 estu-ches. Madison Rhodes pag $60 por caja y vendi los lpices a $1.50 el estuche. Los costos de mano deobra son de 37.5 centavos por estuche vendido. Basndose en las ventas del ao anterior, la gerencia cons-truy la siguiente tabla:

Ventas esperadas (cajas) 15 16 17 18 19 20Probabilidad 0.05 0.20 0.30 0.25 0.10 0.10


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a) Cuntas cajas debe ordenar Madison Rhodes?b) Cul es la ganancia esperada?

17-7 Emily Scott, jefa de una pequea compaa consultora de negocios, debe decidir cuntos egresados de lamaestra en administracin (MBA) contratar como asesores de tiempo completo el ao siguiente. (Emilyha decidido que no contratar empleados de tiempo parcial.) Emily sabe por experiencia que la distribu-cin de probabilidad del nmero de trabajos de consultora que su compaa obtiene cada ao es la si-guiente:

Trabajos de consultora 24 27 30 33

Probabilidad 0.3 0.2 0.4 0.1

Emily tambin sabe que cada MBA contratado podr manejar exactamente tres trabajos de consultora alao. El salario de cada uno es $60,000. Cada trabajo de consultora que gana la compaa pero que nopuede concluir le cuesta $10,000 por la prdida de negocios futuros.a) Cuntos MBA debe contratar Emily?b) Cul es el valor esperado de la informacin perfecta para Emily?

17.8 Algunos estudiantes de la sociedad de alumnos, como organizacin que colecta fondos, han decidido ven-der pizzas individuales en la entrada de sus instalaciones los viernes. Cada pizza cuesta $0.77 y se puedevender a $1.75. Las ventas histricas indican que se vendern entre 66 y 60 docenas de pizzas con la si-guiente distribucin de probabilidad:

Docenas 55 56 57 58 59 60

Probabilidad 0.15 0.20 0.10 0.35 0.15 0.05

Para maximizar la contribucin a la ganancia, cuntas pizzas deben ordenar? Suponga que las pizzas de-

ben ordenarse por docena. Cul es el valor esperado de la informacin perfecta en este problema? Cules la cantidad mxima que la organizacin estara dispuesta a pagar por la informacin perfecta?

17-9 Manfred Baum, gerente de comercializacin de la Grant Shoe Company, est planeando las decisiones deproduccin para la lnea de zapatos de verano del ao entrante. Su principal preocupacin es estimar lasventas de un nuevo diseo de sandalias de moda. Estas sandalias han planteado problemas en el pasadopor dos razones: 1) la temporada de ventas limitada no proporciona tiempo suficiente para que la compa-a produzca una segunda corrida del popular artculo y 2) los estilos cambian drsticamente de un aopara otro, y las sandalias no vendidas pierden todo valor. Manfred discuti el nuevo diseo con la gente

de ventas y formul las siguientes estimaciones sobre las ventas del artculo:Pares (miles) 45 50 55 60 65

Probabilidad 0.25 0.30 0.20 0.15 0.10

La informacin del departamento de produccin revela que la fabricacin de las sandalias costar $15.25el par, y los estudios de mercado informan a Manfred que el precio total por par ser $31.35. Usando elcriterio de decisin del valor esperado, calcule el nmero de pares que Manfred debe recomendar que pro-duzca la compaa.

Soluciones a los ejercicios de autoevaluacin

EA 17-1 La siguiente tabla de pagos da las ganancias tanto esperadas como condicionales:

Mquinas necesarias 22 23 24 25 26 27 GananciaProbabilidad 0.12 0.16 0.22 0.27 0.18 0.05 esperada

22 157.30 157.30 157.30 157.30 157.30 157.30 157.30

23 156.45 164.45 164.45 164.45 164.45 164.45 163.49Mquinas 24 155.60 163.60 171.60 171.60 171.60 171.60 168.40

provistas 25 154.75 162.75 170.75 178.75 178.75 178.75 171.5526 153.90 161.90 169.90 177.90 185.90 185.90 172.5427 153.05 161.05 169.05 177.05 185.05 193.25 172.09

Debe tener 26 mquinas.

VEIP 157.30(0.12) 164.45(0.16) 171.60(0.22) 178.75(0.27)


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Como el nmero de mquinas que tendr disponibles no puede ajustar cada hora, un pronstico de la de-manda cada hora ser de poco valor en esta situacin.

17.3 Uso de distribuciones continuas:anlisis marginal

En muchos problemas de inventarios, el nmero de clculos requeridos dificulta el uso de las tablasde ganancias condicionales y ganancias esperadas. El ejemplo anterior contena slo cuatro accio-nes de existencias posibles y cuatro niveles de ventas posibles, que daban como resultado una tablade ganancias condicionales con 16 posibilidades. Si tuviramos 300 valores posibles para el volu-men de ventas y un nmero igual de clculos para determinar la ganancia condicional y esperada,tendramos que hacer muchsimos clculos. El enfoque marginal evita este problema.

El anlisis marginal se basa en el hecho de que cuando se compra una unidad adicional de un ar-

tculo, pueden ocurrir dos cosas: la unidad se vende o no se vende. La suma de las probabilidades deestos dos eventos debe ser 1. (Por ejemplo, si la probabilidad de vender la unidad adicional es 0.6,entonces la probabilidad de no venderla debe ser 0.4.)

Si hacemos quep represente la probabilidad de vender una unidad adicional, entonces 1 p debeser la probabilidad de no venderla. Si se vende la unidad adicional, lograremos un incremento denuestras ganancias condicionales como resultado de la ganancia de la unidad adicional. Nos referi-mos a esto como ganancia marginal, o GM. En el ejemplo anterior sobre el comerciante, la ganan-cia marginal resultante de la venta de una unidad adicional es $30, el precio de venta ($50) menos el

costo ($20).La tabla 17-10 ilustra esto. Si tenemos 10 unidades cada da y la demanda diaria es 10 o ms uni-dades, nuestra ganancia condicional es $300 diarios. Ahora decidimos tener 11 unidades cada da.Si la onceava unidad se vende (y ste es el caso cuando la demanda es 11, 12 o 13 unidades), nues-tra ganancia condicional se incrementa a $330 diarios. Observe que el incremento en la gananciacondicional no es consecuencia simplemente de tener en existencia la onceava unidad. En las con-diciones supuestas en el problema, este incremento en la ganancia se obtiene slo cuando la deman-da es 11 unidades o ms. Esto ocurrir el 85% del tiempo.

Tambin debemos considerar que afectar las ganancias tener almacenada una unidad adicionalque no se vende. Esto reduce nuestra ganancia condicional. La cantidad de la reduccin se conocecomo laprdida marginal (PM) que resulta de tener en existencia un elemento que no se vende. Enel ejemplo anterior, la prdida marginal era $20 por unidad, el costo del artculo.

La tabla 17-10 tambin ilustra la prdida marginal. Una vez ms decidimos tener en inventario 11unidades. Si la onceava unidad (la unidad marginal) no se vende, la ganancia condicional es $280.La ganancia condicional de $300, con un inventario de 10 unidades y una venta de 10, se reduce en$20, el costo de la unidad no vendida.

Las unidades adicionales deben almacenarse mientras la ganancia marginal esperada de tener ca-da una de ellas sea mayor que la prdida marginal esperada de almacenarlas. El tamao de la ordende cada da debe incrementarse hasta el punto en que la ganancia marginal esperada de alma-cenar una unidad ms si sta se vende sea justo igual a la prdida marginal esperada de al-macenar esa unidad si no se vende.

Derivacin de la reglade inventario

Prdida marginal

Obtencin de laganancia marginal

Limitaciones delenfoque tabular


Tabla 17-10 Demanda Probabilidad

posible del tamao

(ventas) delen cajas mercado 10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas

10 0.15 $300 $280 $260 $24011 0.20 $300 $330 $310 $29012 0.40 $300 $330 $360 $34013 0.25 $300 $330 $360 $390

Posible accin de inventario


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En nuestro ejemplo, la distribucin de probabilidad de la demanda es:

Tamao Prob. del tamao

del mercado del mercado

10 0.1511 0.2012 0.40

13 0.251.00

Esta distribucin nos dice que al aumentar el inventario, la probabilidad de vender una unidad adi-cional (p) disminuye. Si incrementamos el inventario de 10 a 11 unidades, la probabilidad de ven-der las 11 es 0.85. sta es la probabilidad de que la demanda sea 11 unidades o ms. Los clculosson los siguientes:

Probabilidad de que la demanda sea 11 0.20Probabilidad de que la demanda sea 12 0.40

Probabilidad de que la demanda sea 13 0.25

Prob. de que la demanda sea 11 o ms unidades 0.85

Si aadimos una doceava unidad, la probabilidad de vender las 12 unidades se reduce a 0.65 (lasuma de las probabilidades de demanda de 12 o 13 unidades). Por ltimo, la adicin de una trecea-va unidad lleva consigo slo una probabilidad de 0.25 de vender las 13 unidades, porque la deman-da ser 13 unidades slo el 25% del tiempo.

Derivacin de la ecuacin de probabilidad mnimaLa ganancia marginal esperada de almacenar y vender una unidad adicional es la ganancia margi-nal de la unidad multiplicada por la probabilidad de que se venda dicha unidad; esto esp(GM). La

prdida marginal esperada de almacenar y no vender una unidad adicional es la prdida marginalen que se incurre si no se vende la unidad multiplicada por la probabilidad de que no se venda; esdecir (1 p)(PM). Podemos generalizar que el comerciante en esta situacin mantendra existen-cias hasta el punto en que:

p(GM) (1 p)(PM) [17-1]

Esta ecuacin describe el punto hasta el cual la ganancia marginal esperada de almacenar y ven-der una unidad adicional,p(GM), es igual a la prdida marginal esperada de almacenar y no venderla unidad (1 p)(PM). Mientrasp(GM) sea mayor que (1 p)(PM), se deben almacenar unidadesadicionales, porque la ganancia esperada de esa decisin es mayor que la prdida esperada.

En cualquier problema de inventario, habr un solo valor dep para el que la ecuacin de maxi-mizacin es cierta. Debemos determinar ese valor para conocer la accin de inventario ptima. Po-demos hacer esto tomando nuestra ecuacin de maximizacin y despejando p de la siguiente ma-nera:

p(GM) (1 p)(PM) [17-1]

Multiplicando los dos trminos del lado derecho de la ecuacin, obtenemos

p(GM) PMp(PM)Reuniendo los trminos que contienen ap, tenemos

p(GM) p(PM) PM

o

p(GM PM) PM

Accin de inventarioptima

Definicin degananciay prdidamarginal esperada


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El smbolop* representa la probabilidad mnima requerida de vender al menos una unidad adicionalpara justificar la existencia de esa unidad adicional. El comerciante debe tener unidades adicionalessiempre y cuando la probabilidad de vender al menos una unidad adicional sea mayor quep*.

Ahora podemos calcularp* para nuestro ejemplo. La ganancia marginal por unidad es $30 (el pre-cio de venta menos el costo); la prdida marginal por unidad es $20 (el costo de cada unidad); portanto,

p* 0.40 [17-2]

Este valor de 0.40 parap* significa que para justificar el almacenamiento de una unidad adicio-nal, debemos tener al menos 0.40 de probabilidad acumulada de vender esa unidad o ms. Con el finde determinar la probabilidad de vender cada unidad adicional que pensamos almacenar, debemoscalcular una serie de probabilidades acumuladas, como se ve en la tabla 17-11.

Las probabilidades acumuladas de la columna derecha de la tabla 17-11 representan las probabi-lidades de que las ventas alcancen o excedan cada uno de los cuatro niveles de ventas. Por ejemplo,el 1.00 que aparece junto al nivel de ventas de 10 unidades significa que estamos 100% seguros devender 10 o ms unidades. Esto debe ser cierto porque nuestro problema supone que siempre ocu-

rrir uno de los cuatro niveles de ventas.El valor de probabilidad de 0.85 junto a la cifra de ventas de 11 unidades significa que slo es-tamos 85% seguros de vender 11 o ms unidades. Esto puede calcularse de dos maneras. Primero,podemos sumar las posibilidades de vender 11, 12 o 13 unidades:

11 unidades 0.2012 unidades 0.4013 unidades 0.25

13 unidades 0.85 probabilidad de vender 11 o ms

O podemos razonar que las ventas de 11 o ms unidades incluyen todos los resultados posibles,excepto la venta de 10 unidades, que tiene una probabilidad de 0.15.

Todos los resultados posibles 1.00Probabilidad de vender 10 0.15

Todos los resultados posibles 0.85 probabilidad de vender 11 o ms

El valor de la probabilidad acumulada de 0.65 asignado a ventas de 12 unidades o ms puede estable-cerse de una manera similar. La venta de 12 o ms significa ventas de 12 o 13 unidades; de esta forma

Probabilidad de vender 12 0.40Probabilidad de vender 13 0.25

0.65 probabilidad de vender 12 o ms

Clculo de lasprobabilidadesacumuladas

$20

$50$20

$30 $20PM

GM PM

Probabilidad mnima requerida para almacenar otra unidad

p* [17-2]PM

GM PM

Ecuacin deprobabilidad mnima

Probabilidadesacumuladas deventas

Tabla 17-11 Probabilidad Probabilidad acumulada

Unidades de este nivel de que las ventas estn

de ventas de ventas en este nivel o en uno mayor

10 0.15 1.0011 0.20 0.8512 0.40 0.6513 0.25 0.25

Por supuesto la probabilidad acumulada de vender 13 unidades sigue siendo 0 25 ya que las ventas


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Por supuesto la probabilidad acumulada de vender 13 unidades sigue siendo 0.25, ya que las ventasnunca excedern 13.

Como mencionamos, el valor dep disminuye al aumentar el nivel de inventario. Esto ocasionaque la ganancia marginal esperada disminuya y la prdida marginal esperada aumente hasta que, enalgn punto, almacenar una unidad adicional no sea rentable.

Hemos afirmado que las unidades adicionales deben almacenarse mientras la probabilidad de

vender al menos una unidad adicional sea mayor quep*. Ahora podemos aplicar esta regla a nues-tra distribucin de probabilidad de ventas y determinar cuntas unidades deben almacenarse.En este caso, la probabilidad de vender 11 o ms unidades es 0.85, cifra claramente mayor que

nuestrop* de 0.40; por consiguiente, debemos tener en existencia una onceava unidad. La gananciamarginal esperada de tener esta unidad es mayor que la prdida marginal esperada. Podemos verifi-car esto de la siguiente manera:

p(GM) 0.85($30) $25.50 de ganancia marginal esperada

(1 p)(PM) 0.15($20) $3.00 de prdida marginal esperada

Debe almacenarse una doceava unidad porque la probabilidad de vender 12 o ms unidades (0.65)es mayor que lap* requerida de 0.40. Tal accin ocasionar la siguiente ganancia marginal espera-da y prdida marginal esperada:



Doce es el nmero ptimo de unidades que debe haber en inventario, porque agregar una trecea-va unidad tiene una probabilidad de slo 0.25 de venderse, y eso es menos que lap* requerida de0.40. Las siguientes cifras revelan por qu la treceava unidad no debe tenerse en existencia:



Si almacenamos una treceava unidad, aadimos ms a la prdida esperada que a la ganancia esperada.Observe que el uso del anlisis marginal nos conduce a la misma conclusin que obtuvimos conlas tablas de ganancia condicional y ganancia esperada. Ambos mtodos de anlisis sugieren que elcomerciante debe tener en inventario 12 unidades cada periodo.

Nuestra estrategia, tener 12 cajas cada da, supone que las ventas diarias es una variable aleato-ria. Sin embargo, en la prctica las ventas diarias a menudo siguen patrones detectables, dependiendodel da de la semana. En las ventas al menudeo, se sabe en general que el sbado es un da con unvolumen ms alto que, digamos, el martes. De manera similar, las ventas al menudeo del lunes son

por lo general menores que las del viernes. En situaciones con patrones reconocibles de ventas diarias,podemos aplicar estas tcnicas calculando un nivel de inventario ptimo para cada da de la sema-na. Para el sbado, usaramos como datos de entrada la experiencia de ventas anteriores de los sba-dos nicamente. Cada uno de los otros seis das podra tratarse de la misma manera. Bsicamente, esteenfoque no representa ms que el reconocimiento, y la reaccin, a patrones discernibles en lo que a pri-mera vista podra parecer un entorno completamente aleatorio.

Uso de la distribucin de probabilidad normal estndarVimos el concepto de distribucin de probabilidad normal estndar en el captulo 5. Ahora podemosusar esa idea como ayuda para resolver un problema de teora de decisiones empleando una distri-bucin continua.

Suponga que un gerente ofrece un artculo que tiene ventas con distribucin normal con media de50 unidades diarias y desviacin estndar en las ventas diarias de 15 unidades El gerente compra es-

Solucin de unproblema usando

Ajuste del nivel deinventario ptimo

Nivel de existenciasptimo para esteproblema

Regla de inventario

pierde su valor Usando el mtodo marginal de calcular niveles de compra de inventario ptimos


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pierde su valor. Usando el mtodo marginal de calcular niveles de compra de inventario ptimos,podemos calcular nuestrap* requerida:

p* [17-2]

0.44

Esto significa que el gerente debe estar 0.44 seguro de vender al menos una unidad adicional an-tes de almacenar esa unidad. Reproducimos aqu la curva de las ventas histricas para determinar c-mo incorporar el mtodo marginal con distribuciones continuas de ventas diarias histricas.

Ahora consulte la figura 17-1. Si trazamos una lnea vertical b en 50 unidades, el rea bajo la cur-va a la derecha de esta lnea es la mitad del rea total. Esto nos dice que la probabilidad de vender50 o ms unidades es 0.5.El rea a la derecha de cualquier lnea vertical de este tipo representa la

probabilidad de vender esa cantidad o ms. Al disminuir el rea a la derecha de cualquier lnea ver-

tical, tambin disminuye la probabilidad de que vendamos esa cantidad o ms.Supongamos que el gerente desea almacenar 25 unidades, la lnea a. La mayor parte del rea com-

pleta bajo la curva est a la derecha de la lnea vertical trazada en 25; por tanto, la probabilidad deque el gerente venda 25 unidades o ms es alta. Si piensa almacenar 50 unidades (la media), la mi-tad del rea total bajo la curva est a la derecha de la lnea vertical b; por consiguiente, est 0.5 se-guro de vender las 50 unidades o ms. Ahora, digamos que considera almacenar 65 unidades. Slouna pequea porcin de toda el rea bajo la curva cae a la derecha de la lnea c; en consecuencia, laprobabilidad de vender 65 o ms unidades es bastante pequea.

La figura 17-2 ilustra la probabilidad de 0.44 que debe existir antes de que convenga a nuestrogerente almacenar otra unidad. Mantendr en inventario unidades adicionales hasta que llegue alpunto Q. Si almacena una cantidad mayor, el rea sombreada bajo la curva es menor que 0.44 y laprobabilidad de vender otra unidad o ms ser menor que el 0.44 requerido. Cmo podemos locali-zar el punto Q? Como vimos en el captulo 5, podemos usar la tabla 1 del apndice para determinarcuntas desviaciones estndar se necesitan para incluir cualquier porcin del rea bajo la curva, mi-diendo desde la media hasta cualquier punto como Q. En este caso particular, como sabemos que elrea sombreada debe ser 0.44 del rea total, entonces el rea desde la media hasta el punto Q debeser 0.06 (el rea desde la media hasta la cola derecha es 0.50). Al consultar el contenido de la tabla,encontramos que 0.06 del rea bajo la curva se localiza entre la media y un punto a 0.15 de la des-viacin estndar a la derecha de la media. Por tanto, sabemos que el punto Q est a 0.15 de la desvia-cin estndar a la derecha de la media (50).

Tenemos la informacin de que 1 desviacin estndar para esta distribucin es 15 unidades; as,esto por 0.15 seran 2.25 unidades. Como el punto Q est 2.25 unidades a la derecha de la media (50),

Solucin ptimapara este problema

Uso de la distribucinde probabilidadnormal estndaren el anlisismarginal

$4

$5

$4

PM

GM PM

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Media de 50

a

b

c

FIGURA 17-1

Distribucinnormal de ventasdiarias histricas


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debe estar aproximadamente en 52 unidades. sta es la cantidad a ordenar ptima para el gerente:52 unidades cada da.

Una vez terminado un problema usando una distribucin de probabilidad continua, podemos tra-bajar en nuestro problema de inicio del captulo con los datos siguientes de las ventas diarias quesiguen una distribuciln normal:

Media de ventas diarias histricas 60 cajasDesviacin estndar de distribucin

de ventas diarias histricas 10 cajasCosto por caja $20

Precio de venta por caja $32Valor si no se vende el primer da $ 2

Igual que en el problema anterior, primero calculamos lap* que se requiere para justificar el inven-tario de una caja adicional. En este caso:

p* [17-2]

0.60

Ahora podemos ilustrar la probabilidad sobre una curva normal marcando 0.60 del rea bajo lacurva, comenzando desde la cola derecha de la curva, como se muestra en la figura 17-3.

El administrador desea incrementar su tamao de orden hasta el punto Q. Ahora bien, el punto Qest a la izquierda de la media, mientras que en el problema anterior estaba a la derecha. Cmo

$18

$30

$18

$12 $18

$20 $2

$12 ($20 $2)

PM

GM PM

Problema de iniciodel captulo

Probabilidad mnima

requerida

Observe que el valor de recupera-

cin de $2 se deduce del costo de$20 para obtener la PM

0 50 100

Punto Q

0.44 del rea

FIGURA 17-2Distribucin deprobabilidadnormal, con 0.44del rea bajo lacurva sombreada

FIGURA 17-3

Distribucin deprobabilidadnormal, con 0.60del rea bajo la 0 60 120

0.60 del rea

0.25 de la

desviacin

estndar

podemos localizar el punto Q? Como se tiene 0.50 del rea bajo la curva entre la media y la cola de-


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recha, debemos tener 0.10 del rea sombreada a la izquierda de la media (0.60 0.50 0.10). Enla tabla 1 del apndice, el valor ms cercano a 0.10 es 0.0987, de manera que, deseamos encontrarun punto Q con 0.0987 del rea bajo la curva contenida entre la media y el punto Q. La tabla indicaque el punto Q est a 0.25 de desviacin estndar de la media. Ahora obtenemos el valor del puntoQ de la siguiente manera:

0.25

desviacin estndar

0.25

10 cajas

2.5 cajasPunto Q media menos 2.5 cajas

60 2.5 cajas 57.5, o 57 cajas

Solucin ptima parael problema de iniciodel captulo

Advertencia: usar la ganancia esperadamxima calculada de una sola distribu-cin de ventas como regla de decisin

supone que la distribucin de ventas quese maneja representa toda la informacin que tiene acercade la demanda. Si sabe, por ejemplo, que las ventas el s-bado se representan mejor con otra distribucin, entoncesdebe manejar el sbado como una decisin separada y calcu-lar un nivel de inventario para los sbados, que tal vez di-fiera del de los otros seis das. Sugerencia: de todos modos,

sta es la manera en que los buenos administradores tomandecisiones. En lugar de aceptar que todos los das de la se-mana tienen caractersticas de mercado idnticas, se sabe

desde hace mucho que existen diferencias fuertes y discer-nibles. Estas diferencias entre los das son en s distintas enciertos pases. Sugerencia: mientras que el sbado es el dams importante para las compras en Estados Unidos, lasventas del sbado seran nulas en Israel, debido a sus creen-cias religiosas.

SUGERENCIAS

Y

SUPOSICIONES

Ejercicios 17.3Ejercicios de autoevaluacin

EA 17-2 Floyd Guild atiende un puesto de peridicos cerca de la estacin de la lnea suburbana de la calle 53. ElCity Heraldes el ms popular de los peridicos que tiene Floyd. Durante muchos aos, ha observado quela demanda diaria delHeraldqueda bien descrita por una distribucin normal con media 165 y des-viacin estndar 40. l vende los ejemplares delHeralda 30 centavos, y los compra a la casa editora

a 20 centavos cada ejemplar. Si quedan algunosHeraldal final de las horas de trasbordo de la tarde, Floydlos vende al mercado de pescado de Jesselman de la misma calle a 10 centavos cada uno. Si Floyd deseamaximizar su ganancia diaria esperada, cuntos ejemplares delHeralddebe ordenar?

Aplicaciones

17-10 La construccin de carreteras en Dakota del Norte se concentra en los meses de mayo a septiembre. Paraproporcionar proteccin a las cuadrillas de trabajo en las carreteras, el Departamento de Transporte (DT)

requiere que se coloquen grandes letreros anaranjados de HOMBRES TRABAJANDO antes de cualquierconstruccin. Debido al vandalismo, el desgaste y el robo, el DT compra nuevos letreros cada ao. Aun-que los letreros se hacen con el apoyo del Departamento de Correccionales, el DT paga un precio equiva-lente al que pagara por los letreros a una fuente externa. El cargo interdepartamental por los letreros es$21 si se ordenan ms de 35 del mismo tipo; de otra forma, el costo por letrero es $29. Debido a las pre-siones de presupuesto, el DT intenta minimizar sus costos no comprando demasiados letreros, a la vez queintenta comprar una cantidad suficiente para obtener el precio de $21. En los ltimos aos, el departamen-to ha promediado compras de 78 letreros al ao, con una desviacin estndar de 15. Determine el nme-ro de letreros que el DT debe comprar.

17-11 La ciudad de Green Lake, Wisconsin, se est preparando para la celebracin del 79 Da Anual de Pro-ductos Lcteos. Para recolectar fondos, el ayuntamiento nuevamente planea vender camisetas de recuer-do. Las camisetas, impresas en seis colores, tendrn la imagen de una vaca y las palabras 79 Da Anualde Productos Lcteos al frente. El ayuntamiento compra parches de aplicacin trmica a un proveedor

en $0.75 y camisetas blancas de algodn a $1.50. Un comerciante local provee el dispositivo para aplicar


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calor y tambin compra todas las camisetas blancas que no se venden. El ayuntamiento planea establecerun puesto en la avenida principal y vender las camisetas a $3.25. La impresin de la camiseta se realiza-r en el momento de la venta. El ao anterior, las ventas de camisetas similares promediaron 200 con unadesviacin estndar de 34. El ayuntamiento sabe que no habr mercado para los parches despus de la ce-lebracin. Cuntos parches debe comprar?

17-12 Jack compra salchichas todas las maanas para su puesto de hot-dogs en la ciudad. Se enorgullece de ven-

der slo salchichas frescas, rostizadas lentamente y, por ello, puede vender slo las que compra en la ma-ana. El precio de cada hot-dog es $1.50; su costo es $0.67. Suponga que Jack puede comprar cualquiercantidad de salchichas. Como maana es viernes, sabe que la demanda tendr una distribucin normal conmedia de 375 hot-dogs y varianza de 400. Si Jack se queda con alguna salchicha, deber comrsela l mis-mo o regalarla a los pobres, sin ingresos por ella. Para maximizar sus ganancias, cuntas salchichas de-ber comprar Jack? Cuntas comprara si cada salchicha sobrante pudiera venderse a $0.50 cada una?

17-13 Bike Wholesale Parts se estableci a principios de la dcada de 1980 como respuesta a la demanda de va-rias tiendas de bicicletas pequeas recin establecidas que requeran acceso a una amplia variedad de

partes, pero que no podan financiarse a s mismas. La compaa tiene en existencia una gran diversidadde partes y accesorios pero no bicicletas completas. La gerencia est preparando un pedido de rines de27 11/4 que comprar a la Flexspin Company, anticipndose a una mejora comercial esperada en al-rededor de dos meses. Flexspin fabrica un producto superior, pero el tiempo de entrega requerido obligaa que los mayoristas hagan un solo pedido, que les debe durar los meses crticos del verano. En el pasa-do, Bike Wholesale Parts ha vendido un promedio de 120 rines en verano, con una desviacin estndar de28. La compaa espera que su inventario se agote para el momento en que llegue el nuevo pedido. BikeWholesale Parts ha tenido bastante xito y planea trasladar sus operaciones a una planta mayor durante

el invierno. La gerencia calcula que el costo combinado de trasladar algunos productos, como los rines, y elcosto existente de financiarlos es al menos igual al costo de compra de la compaa de $7.30. Aceptandola hiptesis de la gerencia de que los rines no vendidos al final del verano ya no se venden, determine elnmero de rines que la compaa debe ordenar si el precio de venta es de $8.10.

17-14 La cafetera B&G ofrece pollo a la parrilla todos los jueves y Priscilla Alden, la gerente, desea asegurarque la cafetera obtendr ganancias por este platillo. Incluyendo los costos de mano de obra y prepara-cin, cada porcin de pollo cuesta $1.35. El precio de venta de $2.15 por porcin es una ganga, por lo queel especial de pollo a la parrilla se ha vuelto un plato muy popular. Los datos tomados del ltimo ao in-dican que la demanda del plato especial sigue una distribucin normal con media 190 porciones ydesviacin estndar 32 porciones. Si la cafetera B&G prepara dos porciones del pollo a la parrillapor cada pollo entero que cocina, cuntos pollos debe ordenar Priscilla cada jueves?

17-15 Paiges Tire Service almacena dos tipos de llantas radiales: con banda de polister y con banda de acero.Las llantas de banda de polister cuestan a la compaa $30 cada una y las vende en $35. Las de banda deacero le cuestan $45 cada una y las vende en $60. Por varias razones, Paiges Tire Service no podr vol-ver a ordenar neumticos a la fbrica este ao, as que debe ordenar slo una vez para satisfacer la deman-da de los clientes todo el ao. Al final de ste, debido a los nuevos modelos de llantas, Paiges tendr quevender todo su inventario como caucho de desecho a $5 cada pieza. Las ventas anuales de ambos tipos de

llantas radiales tienen distribucin normal con las siguientes medias y desviaciones estndar:

Tipo de llanta radial Ventas medias anuales Desviacin estndar

Banda de polister 300 50

Banda de acero 200 20

a) Cuntas llantas de banda de polister debe ordenar?b) Cuntas llantas de banda de acero debe ordenar?

Soluciones a los ejercicios de autoevaluacin

EA 17-2 GM 50 20 30 PM 20 10 10

p* 0.25, que corresponde a 0.67, de manera que debe ordenar 0.6710

40PM

GM PM

17.4 Utilidad como criterio de decisin


19/45

17.4 Utilidad como criterio de decisinEn lo que va de este captulo, utilizamos el valor esperado (ganancia esperada, por ejemplo) comonuestro criterio de decisin. Supusimos que si la ganancia esperada de la alternativa A es mejor quela de la opcin B, entonces el tomador de decisiones sin duda elegir la alternativa A. De manera in-versa, si la prdida esperada de la opcin C es mayor que la prdida esperada de la opcin D, enton-

ces el tomador de decisiones seguramente elegir D como el mejor curso de accin.

Inconvenientes del valor esperadocomo un criterio de decisinExisten situaciones, en las que el uso del valor esperado como criterio de decisin causara proble-mas serios a un administrador. Suponga que un empresario posee una nueva fbrica con un valor de$2 millones. Suponga tambin que existe slo una posibilidad en 1,000 (0.001) de que se incendie

este ao. A partir de estas cifras, podemos calcular la prdida esperada:

0.001 $2,000,000 $2,000 prdida esperada por incendio

Un agente de seguros le ofrece asegurar el edificio por $2,250 este ao. Si el empresario aplica laidea de minimizar prdidas esperadas, se negar a asegurar el inmueble. La prdida esperada de ase-gurar ($2,250) es mayor que la prdida esperada por incendio. No obstante, si el empresario piensaque una prdida no asegurada de $2 millones lo arruinara, probablemente descarte el valor espera-do como su criterio de decisin y compre el seguro al costo adicional de $250 por ao de la pliza($2,250 $2,000). Elegira no minimizar la prdida esperada en este caso.

Tome un ejemplo quiz ms cercano a la vida estudiantil. Usted es un estudiante con el dinerojusto para acabar el semestre. Un amigo le ofrece una oportunidad de 0.9 de ganar $10 por $1. Esprobable que usted analice el problema en trminos de valores esperados y razone de la siguientemanera: Es 0.9 $10 mayor que $1? Como $9 (el valor esperado de la apuesta) es nueve vecesmayor que el costo de la apuesta ($1), puede sentirse inclinado a aceptar la oferta de su amigo. Aunsi pierde, la prdida de $1 no afectar su situacin monetaria.

Ahora su amigo le ofrece una oportunidad de 0.9 de ganar $1,000 por $100. Ahora se plantearala pregunta: Es 0.9 $1,000 mayor que $100? Claro est que $900 (el valor esperado de la apues-ta) sigue siendo nueve veces el costo de la apuesta ($100), pero es ms que seguro que lo piense dosveces antes de dar su dinero. Por qu? Porque aunque el placer de ganar $1,000 sera alto, el dolorde perder sus $100 ganados con esfuerzo podra ser mayor que el que deseara experimentar.

Digamos, por ltimo, que, su amigo le ofrece una oportunidad de 0.9 de ganar $10,000 por todossus bienes, que resultan ser $1,000. Si utiliza el valor esperado como su criterio de decisin, se pre-guntara: Es 0.9 $10,000 mayor que $1,000? Obtendra la misma respuesta que antes: s. El

valor esperado de la apuesta ($9,000) sigue siendo nueve veces mayor que el costo de la apuesta

Un ejemplo personal

El valor esperadoalgunas veces esinadecuado

Diferentes criteriosde decisin

FIGURA 17-4

Utilidad dediferentesgananciasy prdidas

1,000

1,000 5,000 9,000

Ganancia monetariaen dlares

Prdida monetariaen dlares

Utilidad

positiva

Utilidad

negativa

($1,000), pero ahora probablemente se negar a apostar, no porque el valor esperado de la apuestai i l id d d d l d l i bl


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no sea atractivo, sino porque la idea de perder todo es un resultado completamente inaceptable.En este ejemplo, cambi el criterio de decisin del valor esperado cuando la idea de perder $1,000

era demasiada dolorosa, a pesar del placer que podra constituir ganar $10,000. En este punto, ya noconsider el valor esperado; slo pens en la utilidad. En este sentido, la utilidad es el placer o dis-gusto que se derivara de ciertos resultados. Su curva de utilidad, en la figura 17-4, es lineal alrededor

del origen (en esta regin $1 de ganancia es tan deseable como $1 de prdida es doloroso), pero dis-minuye rpidamente cuando la prdida potencial aumenta a niveles cercanos a $1,000. En particu-lar, esta curva de utilidad muestra que desde su punto de vista, el disgusto de perder $1,000 es casiigual al placer de ganar nueve veces esa cantidad. La forma de la curva de utilidad personal es pro-ducto de la constitucin sicolgica, las expectativas personales respecto al futuro y la decisin o actoparticular que se est evaluando. Una persona puede tener una curva de utilidad para una situaciny otra bastante diferente para la siguiente.

Diferentes utilidadesLas curvas de utilidad para la decisin de tres administradores se muestran en la grfica de la figura17-5. Damos los nombres arbitrarios de David, Ann y Jim a estos administradores. Sus actitudes sonevidentes a partir del anlisis de sus curvas de utilidad. David es un hombre de negocios cauto y con-servador. Un movimiento a la derecha del punto de ganancias cero incrementa slo un poco su uti-lidad, mientras que un movimiento a la izquierda de ese punto disminuye su utilidad rpidamente.En trminos de valores numricos, la curva de utilidad de David indica que ir de una ganancia de $0a $100,000 incrementa su utilidad en un valor de 1 en la escala vertical, mientras que moverse al in-tervalo de prdida de slo $40,000 disminuye su utilidad en el mismo valor de 1 en la escala verti-cal. David evitar situaciones en que puedan ocurrir grandes prdidas; se dice que tiene aversin alriesgo.

Ann es otra historia. Vemos en su curva de utilidad que una ganancia incrementa su utilidadmucho ms de lo que la disminuye una prdida de la misma cantidad. Especficamente, aumentar susganancias en $20,000 (de $80,000 a $100,000) aumenta su utilidad de 0 a 5 en la escala vertical,

pero disminuirlas $20,000 (de $0 a $20,000) disminuye su utilidad en slo 0.33, de 4 a 4.33.Ann es una apostadora arriesgada; est convencida de que una gran prdida no empeorara demasiadolas cosas, pero que una gran ganancia sera bastante remuneradora. Se arriesgar para tener ganan-cias an mayores.

Actitudes hacia elriesgo

Funcin de utilidad

FIGURA 17-5

Tres curvas

Utilidad

80 000 40 000 40 000 80 0000

+5

+4

+3

+2

+1

0

1

2

3

4

5

David

Jim

Ann

Jim, una persona con buenas finanzas, es la clase de hombre de negocios que no sufrira muchopor una prdida de $60 000 y que tampoco incrementara significativamente su riqueza con una ga-

Quin usara elvalor esperado?


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por una prdida de $60,000 y que tampoco incrementara significativamente su riqueza con una ga-nancia de $60,000. El placer de obtener $60,000 adicionales o de perderlos tendra casi la mismaintensidad. Como su curva de utilidad es lineal, puede usar efectivamente el valor esperadocomo su criterio de decisin, mientras que David y Ann deben usar su utilidad. Jim actuarcuando el valor esperado sea positivo, David pedir un valor esperado alto en su resultado yAnn quiz acte cuando el valor esperado sea negativo.

valor esperado?

Un requisito importante para entender elcomportamiento de los inversionistas esadvertir que sus curvas de utilidad no soniguales. En especial, los grandes apos-

tadores se sienten atrados por inversiones de alto riesgoque pueden dar como resultado la prdida de la inversincompleta o la ganancia de una fortuna. Es de suponerse queesas personas con fortunas significativas pueden darse el

lujo de perder. Por otro lado, las personas con fortunas mo-deradas y fuertes obligaciones familiares tienden a sentiraversin al riesgo e invierten slo cuando el resultado espe-rado es positivo. Una pregunta interesante para analizar consus compaeros es por qu las personas de edad avanzadason vctimas de los esquemas de inversin para hacerse ri-cos rpido, muy por arriba de la proporcin que corres-ponde a su nmero en la poblacin.

SUGERENCIAS

Y

SUPOSICIONES

Ejercicios 17.4

Aplicaciones

17-16 El ingreso de Bill Johnson lo sita en la categora del 50% en trminos de impuestos federales por ingre-sos. Johnson a menudo proporciona capital de riesgo a pequeas compaas que inician, a cambio de algntipo de participacin en la compaa. Recientemente, Bill fue contactado por Circutronics, una pequeacompaa que intenta ingresar a la industria de microcircuitos. Circutronics le solicit $1.6 millones derespaldo. Debido a su posicin fiscal, Bill invierte en valores municipales exentos de impuestos cuandono encuentra empresas atractivas que respaldar. Actualmente, tiene una cantidad grande colocada enbonos de la Agencia Energa Municipal del Este de Carolina del Norte, cuyo rendimiento es 9.43%. Billconsidera que este rendimiento despus de impuestos es su punto de equilibrio de utilidad. Arriba de es-te punto, su utilidad aumenta con rapidez; abajo, disminuye un poco, ya que bien puede permitirse perder

el dinero.a) Qu rendimiento en dlares debe prometer Circutronics antes de que Bill considere financiarlo?b) Grafique la curva de utilidad de Bill.

17-17 La Enduro Manufacturing Company es una sociedad que produce componentes de acero estructural parala construccin. El gerente financiero y socio William Flaherty est examinando proyectos potencialesque la compaa podra emprender en el siguiente ao fiscal. La compaa tiene una tasa de rendimientometa del 10% sobre su inversin, pero como no existe financiamiento ni interferencia externa, los socioshan aceptado proyectos con tasas de rendimiento entre 0 y 100%. Arriba del 10%, la utilidad de los so-cios se incrementa muy rpido; entre 0 y 10%, se incrementa slo un poco arriba de 0; abajo de 0, cae

muy rpido. Flaherty est considerando varios proyectos que implican que Enduro invierta $250,000. Gra-fique la curva de utilidad de la compaa. 17-18 Una inversionista est convencida de que el precio de unas acciones de movimiento rpido (PDQ) se in-

crementar en el futuro cercano. Las acciones PDQ se venden actualmente a $57 la accin. Despus deinspeccionar las ltimas cotizaciones del mercado, la inversionista se da cuenta que puede comprar unaopcin a un costo de $5 por accin, que le permite comprar acciones PDQ a $55 por accin en los siguien-tes dos meses. Tambin puede adquirir una opcin de compra de acciones en un periodo de 4 meses; es-ta opcin, con costo de $10 por accin, tambin tiene un precio de uso de $55 por accin. Ella ha estima-do las siguientes distribuciones de probabilidad para el precio de las acciones en los das en que expiran

las opciones:Precio 50 55 60 65 70 75Probabilidad en 2 meses 0.05 0.15 0.15 0.25 0.35 0.05Probabilidad en 4 meses 0 0.05 0.05 0.20 0.30 0.40

La inversionista planea ejercer su opcin justo antes de la expiracin si las acciones PDQ se venden enms de $55 y venderlas de inmediato al precio de mercado Claro est que si las acciones se venden en $55


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ms de $55 y venderlas de inmediato al precio de mercado. Claro est que si las acciones se venden en $55o menos, cuando la opcin expire, perder todo el costo de compra de la opcin. La inversionista es rela-tivamente conservadora, con los siguientes valores de utilidad para cambios en sus bienes en dlares:

Cambio 1,500 1,000 500 0 500 1,000

Utilidad 1.0 0.9 0.8 0.7 0.1 0.0

Ella est considerando una de tres opciones:

1) Comprar una opcin a 2 meses sobre 100 acciones.2) Comprar una opcin a 4 meses sobre 100 acciones.3) No comprar en absoluto.

Cul de estas alternativas maximizar su utilidad esperada?

17.5 Ayuda para que los tomadoresde decisiones proporcionenlas probabilidades correctas

Los dos problemas que trabajamos usando la distribucin de probabilidad normal requeran que co-nociramos la media () y la desviacin estndar (). Pero, cmo podemos usar una distribucin

de probabilidad cuando los datos histricos faltan o estn incompletos? Al trabajar un problema, ve-remos cmo muchas veces podemos generar los valores requeridos utilizando un enfoque intuitivo.

Un enfoque intuitivo para estimar la mediay la desviacin estndarSuponga que est pensando en comprar una mquina que reemplace la mano de obra de una opera-

cin. La operacin de la mquina costar $10,000 al ao y ahorrar $8 por cada hora que opere.Entonces, para quedar a mano, deber operar al menos $10,000/$8 1,250 horas al ao. Si estinteresado en la probabilidad de que trabaje ms de 1,250 horas, debe saber algo acerca de la distri-bucin de los tiempos de operacin, en especial, la media y la desviacin estndar de esta distribu-cin. Pero como no tiene un registro de la operacin de la mquina, dnde encontrara esas cifras?

Podramos pedir al supervisor, quien ha estado estrechamente involucrado en el proceso, quecalcule el tiempo de operacin promedio de la mquina. Digamos que su mejor estimacin es 1,400horas. Pero cmo reaccionara l si usted le pidiera la desviacin estndar de esta distribucin? Es-te trmino podra no tener significado para l, y sin embargo, quiz tenga alguna nocin intuitiva dela dispersin de la distribucin de los tiempos de operacin. La mayora de las personas entiendenlas posibilidades de una apuesta, as que lo abordamos con esa idea.

Comenzamos por descontar una distancia igual a cada lado de su media, digamos, 200 horas. Es-to produce un intervalo de 1,200 a 1,600 horas. Entonces podemos preguntarle al supervisor, cules la posibilidad de que el nmero de horas caiga entre 1,200 y 1,600 horas? Si l ha apostado algu-na vez, debe poder contestar. Supongamos que dice, creo que la posibilidad de que opere entre

1,200 y 1,600 horas es de 4 a 3. Mostramos su respuesta en una distribucin de probabilidad en lafigura 17-6.

La figura 17-6 ilustra la respuesta del supervisor de que las posibilidades son de 4 a 3 de que lamquina corra entre 1,200 y 1,600 horas, y no fuera de esos lmites. Cul es el siguiente paso? Pri-mero, etiquetamos el punto de 1,600 horas en la distribucin de la figura 17-6 como el punto Q.Despus vemos que el rea bajo la curva entre la media y el punto Q, de acuerdo con las estimacio-nes del supervisor, es 4/7 de la mitaddel rea bajo la curva, o 4/14 (0.2857) del rea total bajo

Estimacin de ladesviacin estndar

Estimacin dela media

Informacin faltante


23/45

Observe la figura 17-7. Si consultamos el valor 0.2857 en la tabla 1 del apndice, encontramosque el punto Q est a 0.79 de desviacin estndar a la derecha de la media. Como sabemos que ladistancia desde la media hasta Q es de 200 horas, vemos que

0.79 de desviacin estndar 200 horas

y, por tanto,

1 desviacin estndar 200/0.79

253 horas

Ahora que conocemos la media y la desviacin estndar de la distribucin del tiempo de opera-cin, podemos calcular que la probabilidad de que la mquina opere menos horas que su punto deequilibrio de 1,250 horas:

0.59 de desviacin estndar

La figura 17-8 ilustra esta situacin. En la tabla 1 del apndice, encontramos que el rea entre la me-dia de la distribucin y un punto a 0.59 de desviacin estndar abajo de la media (1,250 horas) es0.2224 del rea total bajo la curva. A 0.2224 sumamos 0.5, el rea de la media a la cola derecha. Es-to nos da 0.7224. Como 0.7224 es la probabilidad de que la mquina opere ms de 1,250 horas, laposibilidad de que opere menos de 1,250 horas (su punto de equilibrio) es 1 0.7224 o 0.2776. Apa-

rentemente, sta no es una situacin demasiado riesgosa.Este problema ilustra cmo podemos usar el conocimiento de otras personas respecto a una situa-

cin sin requerir que comprendan lo intrincado de las diversas tcnicas estadsticas. Si hubiramosesperado que el supervisor comprendiera la teora en que se basan los clculos, o si hubiramos in-tentado explicarle esa teora, tal vez nunca hubiramos aprovechado su conocimiento prctico de lasituacin. Al usar un lenguaje y trminos comprensibles para l, pudimos hacer que nos diera esti-

Obtencin deinformacin paralos modelos

150

2531,250 1,400

253

Clculo de laprobabilidad dequedar a mano

FIGURA 17-6

Intervalos deposibilidades del

supervisor paratiempos deoperacin de lasmquinaspropuestas

1,200 1,400 1,600

Media Q

43 4 3

FIGURA 17-7

Determinacin dela desviacinestndar a partir

de las posibilida-des del encargado1,200 1,400

Q= 1,600

Horas

0.79 de desviacinestndar

0.59 de desviacinestndar


24/45

maciones manejables de la media y la desviacin estndar de la distribucin de los tiempos de ope-racin para la mquina que pensbamos comprar. En este ejemplo (y para el caso, tambin en mu-chos otros), es mejor ajustar las ideas y el conocimiento de otras personas dentro de sus modelos quebuscar hasta encontrar una situacin que se ajuste a un modelo que ya est desarrollado.

FIGURA 17-8

Probabilidad deque la mquinaopere entre1,250 y 1,400horas

1,250 1,400

Horas

Horasde operacinpara quedar

a mano

Si se usan slo los mtodos descritos eneste captulo para tomar decisiones, nohay muchas posibilidades de xito; si lonico que emplea para tomar decisiones

es la intuicin, habr muchas situaciones en que pierdaoportunidades. Pero al combinar una gran inteligencia, unafuerte intuicin y los modelos cualitativos slidos, la opor-tunidad de ganar aumenta de manera drstica. Sugerencia:

las personas con las ideas intuitivas ms firmes acerca decmo funcionan las cosas y qu es posible y ms probableque ocurra no son deportistas numricos sino personasnormales que tienen mucha experiencia y quiz poco cono-cimiento de los modelos de valor esperado. El reto real escaptar la sabidura industrial de estos veteranos y enfocar-la en una toma de decisiones ms sensata cuando se desco-noce el futuro.

SUGERENCIAS

Y

SUPOSICIONES

Ejercicios 17.5

Ejercicio de autoevaluacin

EA 17-3 John Stein es el director de programacin de SATPlus Services, una empresa que garantiza que su curso

de preparacin para el examen de admisin a la universidad elevar la calificacin combinada de las par-tes oral y cuantitativa de esos exmenes por lo menos 120 puntos. El precio del curso es $275 para cadaestudiante y el costo del mismo para SATPlus es alrededor de $3,300 en salarios, suministros y renta deinstalaciones. John no programar el curso en lugares donde no tenga una certeza de por lo menos el 90%de que SATPlus obtendr una ganancia mayor o igual que $2,200. De acuerdo con un estudio de merca-do que acaba de recibir de Charlottesville, Virginia, ha decidido que si ofrece el curso ah, puede esperarque se inscriban alrededor de 30 estudiantes. Tambin piensa que tiene posibilidades de 8 a 5 de que elnmero real de inscritos est entre 25 y 35 estudiantes, y que es apropiado usar la distribucin normal pa-ra describir la inscripcin. Debe John programar el curso en Charlottesville?

Aplicaciones

17-19 La Northwestern Industrial Pipe Company est considerando la compra de un nuevo soldador de arcoelctrico a $2,100. Se espera que el soldador ahorre a la compaa $5 por hora cuando pueda usarse en lu-gar del actual, un soldador menos eficiente. Antes de tomar la decisin, el gerente de produccin de North-western observ que slo haba cerca de 185 horas al ao de soldaduras en las que el nuevo soldador dearco poda sustituir al actual. Calcul una posibilidad de 7 a 3 de que el resultado real estara dentro de las25 horas de su estimacin. Adems, se senta seguro al suponer que el nmero de horas estaba bien des-

crito por una distribucin normal. Puede Northwestern estar 98% segura de que se recuperar lo gasta-do en el nuevo soldador de arco elctrico en un periodo de 3 aos?

17-20 La Relman Electric Battery Company ha sentido los efectos de una economa en recuperacin al aumen-tar la demanda de sus productos en los meses recientes. La compaa est considerando contratar seis per-

sonas ms para su operacin de ensamble. El gerente de produccin de la planta, Mike Casey, cuyo de-sempeo se valora en parte por la eficiencia en costos, no desea contratar empleados adicionales a menos


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que se espere que tendrn trabajo durante al menos 6 meses. Si se corre a los empleados involuntariamen-te antes de ese tiempo, la compaa est forzada por las reglas del sindicato a pagar un bono sustancial dedespido. Adems, si se despide a los empleados antes de 6 meses de haberlos contratado, la tasa de segu-ro de desempleo de la compaa se eleva. El economista corporativo de Relman espera que el alza en laeconoma dure al menos 8 meses y da posibilidades de 7 a 2 de que la duracin de la mejora est en un

intervalo de un mes de esa cifra. Casey desea estar 95% seguro de que no tendr que despedir a ningnempleado recin contratado. Debe contratar a seis personas en este momento? 17-21 El servicio de mensajera Speedy Rabbit opera una flota de 30 vehculos que cubren muchas millas por

da. En la actualidad los vehculos usan gasolina normal a un costo de $1.059 por galn, y la eficiencia dela gasolina en la flota es alrededor de 36 millas por galn (mpg). Un informe reciente indica que si cam-bian a gasolina premium, a un costo de $1.229 por galn, cada vehculo tendr un incremento de 6.4 mpg.La compaa cambiar de gasolina siempre que puedan tener una certidumbre del 95% de que ahorrarndinero, lo que ocurrir si la eficiencia en gasolina para la flota es mayor que 40 mpg. Creen que las posi-bilidades son de 6 a 4 de que la eficiencia actual est entre 33 y 39 mpg y que es adecuado usar una dis-

tribucin normal para describir la eficiencia de la gasolina. Deben cambiar de combustible? 17-22 Natalie Larsen, representante de ventas de viajes Nova Products, est considerando comprar un nuevo au-

tomvil para usarlo en el trabajo. El automvil que quiere tiene un precio de $13,497, pero piensa quepuede negociarlo con el vendedor y bajarlo a $12,250. Como su auto se usa slo para propsitos comer-ciales, Natalie puede deducir $0.31 por milla por gastos de operacin. Comprar el auto slo si el ahorroen impuestos resultante compensa el costo durante su vida til. Natalie ha estado en una categora com-binada de 34% de impuestos federales y estatales durante algunos aos y parece que seguir all en el fu-turo previsible. Una afamada revista de automotores afirma que la vida promedio del automvil que est

pensando comprar es de 120,000 millas. El artculo adems establece que las posibilidades son de 4 a 3de que la vida real del automvil est dentro de 12,000 millas arriba o abajo de 120,000. Cul es la pro-babilidad de que el automvil dure lo suficiente para que Natalie no pierda dinero en su inversin?

17-23 El Departamento de Polica de Newton Pines est considerando comprar una unidad de radar VASCARpara instalarla en la nica va rpida de la ciudad. El ayuntamiento se ha opuesto a la idea porque no es-t seguro de que la unidad valga su precio de $2,000. El jefe de polica, Buren Hubbs, afirma que con se-guridad la unidad se pagar con el mayor nmero de multas de $20 que levantarn l y su adjunto. Se oya Buren decir que calcula posibilidades de 9 a 1 de que el incremento en multas el primer ao ser entre95 y 135 si se compra la unidad. Espera levantar 115 multas ms si la va se equipa con el VASCAR. Pue-

de el ayuntamiento estar 99% seguro de que la unidad se pagar con el aumento en los ingresos por mul-tas durante el primer ao? 17-24 Usted planea invertir $15,000 en acciones comunes de Infometrics si puede estar razonablemente seguro

de que su precio subir hasta $60 por accin en 6 meses. Pregunta a dos corredores expertos lo siguiente:a) Cul es su mejor estimacin del precio ms alto al que se vender Infometrics en los prximos 6 meses?b) Qu posibilidades da a que su estimacin falle en no ms de $5?

Las respuestas son las siguientes:

Corredor Mejor estimacin Posibilidades

A 68 2 a 1B 65 5 a 1

Si ha decidido que comprar las acciones slo si cada corredor est al menos 80% seguro que se vende-rn en al menos $60 en algn momento dentro de los 6 meses siguientes, qu debe hacer?

Solucin al ejercicio de autoevaluacin

EA 17-3 8/26 0.0377, correspondiente a 0.87, de manera que 5/0.87 5.75 estudiantes. Para tenerganancias de $2,200 tendrn que inscribir al menos 20 estudiantes, corresondientes a

z 1.74.

P(z 1.74) 0.9591. Como esto excede el 0.90 necesario, debe programar el curso en Charlottesville.

20 30

5.75

3,330 2,200

275

17.6 Anlisis de rboles de decisiones


26/45

Un rbol de decisiones es un modelo grfico de un proceso de decisin. Con l podemos introducirprobabilidades al anlisis de decisiones complejas que involucran muchas opciones y condicionesfuturas que no se conocen, pero que pueden especificarse en trminos de un conjunto de probabili-dades discretas o de una distribucin de probabilidad continua. El anlisis de rboles de decisiones

es una herramienta til en la toma de decisiones referentes a inversiones, adquisicin o disposicinde propiedades fsicas, administracin de proyectos, personal y estrategias de nuevos productos.

El trmino rbol de decisiones se deriva de la apariencia fsica de la representacin grfica usualde esta tcnica. Un rbol de decisiones se parece a los rboles de probabilidades presentados en elcaptulo 4; pero un rbol de decisiones no slo contiene las probabilidades de los resultados, sinotambin los valores monetarios (o de utilidad) condicionales vinculados con esos resultados. Por es-to, podemos usar estos rboles para indicar los valores esperados de las diferentes acciones que po-damos tomar. Los rboles de decisin tienen smbolos estndar:

Los cuadrados simbolizanpuntos de decisin, donde el tomador de decisiones debe elegir en-tre varias acciones posibles. De estos nodos de decisin, sale una rama para cada accin posible.

Los crculos representan eventos aleatorios, donde ocurre algn estado de la naturaleza. Estoseventos aleatorios no estn bajo el control del tomador de decisiones. De estos nodos aleato-rios sale una rama para cada resultado posible.

Utilicemos un rbol de decisiones para ayudar a Christie Stem, la propietaria y gerente generaldel centro de esqu Snow Fun, a decidir cmo debe administrar el hotel la prxima temporada. Lasganancias de Christie de la temporada de esqu de este ao dependern de cuntas nevadas haya du-rante el invierno. Con base en la experiencia, cree que la distribucin de probabilidad de las nevadasy la ganancia resultante puede resumirse en la tabla 17-12.

Hace poco, Christie recibi una oferta de una cadena de hoteles para operar el centro durante elinvierno, garantizndole una ganancia de $45,000; por otro lado, ha estado considerando la renta deequipo de fabricacin de nieve para la temporada. Si renta el equipo, la estacin podra operar tiem-

po completo, sin importar la cantidad de nieve natural que caiga. Si decide usar nieve fabricada pa-ra complementar las nevadas naturales, su ganancia de la temporada ser $120,000, menos el costode rentar y operar el equipo de fabricacin de nieve. El costo de renta ser cerca de $12,000 por latemporada, independientemente de cunto se use. El costo de operacin ser $10,000 si cae ms de40 pulgadas de nieve natural, $50,000 si cae entre 20 y 40 pulgadas y $90,000 si cae menos de 20pulgadas.

La figura 17-9 ilustra el problema de Christie como un rbol de decisiones. Las tres ramas quesalen del nodo de decisin representan las tres formas posibles de operar el centro este invierno:contratar la cadena de hoteles, administrarlo sin equipo de fabricacin de nieve y administrarlo conequipo de fabricacin de nieve. Cada una de las dos ltimas ramas termina en un nodo aleatorio querepresenta la cantidad de nieve que caer durante la temporada. Cada uno de

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Aacap 17 Teoria de Decisiones