Teora de la Toma de DecisionesMtodos de Investigacin EstadsticaEn este folleto se brinda un somero atisbo sobre la teora de toma de decisione s y algunas de las herramientas que utilizaProf. Juan Manuel Jimnez Rodrguez, MBA Universidad Autnoma de Centro AmricaTabla de Contenido Generalidades .................................................................................................................................... ....... 3 Caractersticas del proceso de decisin ............................................................................................. ...... 3 Modelos de criterios de decisin. ....................................................................................................... ..... 4 Elementos de un problema de decisin ............................................................................................. ...... 4 Etapas de la toma de decisin para dar solucin a un problema ...................................................... .... 4 . Componentes de la decisin .............................................................................................................. ...... 5 . Tablas de decisin .............................................................................................................................. ...... 5 Valoracin de los resultados ........................................................................................................... ...... 6 Concepto de regla de decisin ....................................................................................................... ....... 8 Tablas de decisin bajo certidumbre .............................................................................................. ...... 8 Tablas de decisin bajo incertidumbre ........................................................................................... ...... 9 Reglas de decisin ...................................................................................................................... ....... 9 Criterio de Wald ....................................................................................................................... ..... 9 Criterio maximax ..................................................................................................................... .... 10 Criterio de Hurwicz .................................................................................................................. ... 11 Criterio de Savage ................................................................................................................... .... 13 Criterio de Laplace ................................................................................................................... ... 15 Axiomtica .............................................................................................................................. .... 16 . Tablas de decisin bajo riesgo ........................................................................................................ .... 18 Reglas de decisin ...................................................................................................................... ..... 18 Criterio del valor esperado .......................................................................................................... .... 19 Criterio de mnima varianza con media acotada ......................................................................... ... 20 Criterio de la media con varianza acotada .................................................................................. ... 20 Criterio de dispersin .................................................................................................................. .... 21 Criterio de la probabilidad mxima ............................................................................................. ... 22Generalidades Decidir es saber escoger, gracias a conocimientos, habilidades tcnicas y artsticas adquiridas o a la experiencia, entre varias alternativas para satisfacer las metas contenidas en una estrategia. La decisin es efectiva o eficiente, cuando satisface en la totalidad, o al menos en un alto porcentaje, el objetivo o fin deseado y en el momento oportuno en que la decisin debe ser tomada. El problema de la decisin, motivado por la existencia de ciertos estados de ambigedad que cons tan de proposiciones verdaderas (conocidas o desconocidas), es tan antiguo como la vida misma. Podemos afirmar que todos los seres vivientes, an los ms simples, se enfrentan con problemas de decisin. As, un organismo unicelular asimila partculas de su medio ambiente, unas nutritivas y o tras nocivas para l. La composicin biolgica del organismo y las leyes fsicas y qumicas determinan qu partculas sern asimiladas y cules sern rechazadas. Conforme aumenta la complejidad del ser vivo, aumenta tambin la complejidad de sus decisione sy la forma en que stas se toman. As, pasamos de una toma de decisiones guiada instintivamente, a procesos de toma de decisiones que deben estar guiados por un pensamiento racional en el ser humano. La Teora de la Decisin tratar, por tanto, el estudio de los procesos de toma de decisio nes desde una perspectiva racional. La teora de la decisin es un estudio formal sobre la toma de decisiones. Los estudios de casos re ales, que se sirven de la inspeccin y los experimentos, se denominan teora descriptiva de decisin; los estudios de la toma de decisiones racionales, que utilizan la lgica y la estadstica, se llaman teora preceptiva de decisin. Estos estudios se hacen mas complicados cuando hay ms de un individuo, cuando los resultados de diversas opciones no se conocen con exactitud y cuando las probabilidad es de los distintos resultados son desconocidas. La toma de decisin es tambin un proceso durante el cual la persona debe escoger entre dos o m s alternativas. Todos y cada uno de nosotros pasamos los das y las horas de nuestra vida teniendo que tomar decisiones. Algunas decisiones tienen una importancia relativa en el desarrollo de nuestra v ida, mientras otras son gravitantes en ella. La toma de decisiones se circunscribe a una persona o serie de personas que estn vinculadas co n una situacin dada. Se inicia por hacer una seleccin de decisiones, la cual es una de tarea de gran trascendencia ya que de la adecuada seleccin de alternativas depende en gran parte el xito de la decisin. Una decisin puede variar en trascendencia y connotacin. Caractersticas del proceso de decisin Un proceso de decisin presenta las siguientes caractersticas principales:1. Identificacin y diagnstico del problema. 2. Elaboracin de premisas. 3. Identificacin de alternativas. 4. Prediccin de las consecuencias de cada alternativa. Esta prediccin deber basarse en la experiencia y se obtiene por induccin sobre un conjunto de datos. La recopilacin de este conjunto de datos y su utilizacin entran dentro del campo de la Estadstica. 5. Valoracin de las consecuencias de acuerdo con una escala de bondad o deseabilidad. Esta escala de valor dar lugar a un sistema de preferencias. 6. Generacin de soluciones alternativas. 7. Seleccin de la mejor manera. 8. Evaluacin de alternativas en trminos de la meta deseada, mediante un criterio de decisin adecuado. Este punto lleva a su vez asociado el problema de eleccin del criterio ms adecuado para nuestra decisin, cuestin que no siempre es fcil de resolver de un modo totalmente satisfactorio. Componentes de de decisin 9. Evaluacin la la decisin. 10. Implantacin de la decisin. La tcnica de tomar decisiones en un problema est basada en cinco componentes primordiales: 1. Informacin: Estas se recogen tanto para los aspectos que estn a favor como en contra del problema, con el fin de definir sus limitaciones. 2. Conocimientos: Si quien toma la decisin tiene conocimientos, ya sea de las circunstancias que rodean el problema o de una situacin similar, entonces estos pueden utilizarse para seleccionar un curso de accin favorable. 3. Experiencia: Cuando un individuo soluciona un problema en forma particular, ya sea con resultados buenos o malos, esta experiencia le proporciona informacin para la solucin del prximo problema similar. 4. Anlisis: No puede hablarse de un mtodo en particular para analizar un problema, debe existir un complemento, pero no un reemplazo de los otros ingredientes. En ausencia de un mtodo para analizar matemticamente un problema es posible estudiarlo con otros mtodo s diferentes. Si estos otros mtodos tambin fallan, entonces debe confiarse en la intuicin. 5. Juicio: El juicio es necesario para combinar la informacin, los conocimientos, la experiencia y el anlisis, con el fin de seleccionar el curso de accin apropiado. No existen substitutos para el buen juicio. Tablas de decisin Muchos procesos de toma de decisiones pueden ser tratados por medio de tablas de decisin, en l as que se representan los elementos caractersticos de estos problemas: Los diferentes estados que puede presentar la naturaleza: e1, e2, ..., en. Las acciones o alternativas entre las que seleccionar el decisor: a1, a2,...,am. Las consecuencias o resultados xij de la eleccin de la alternativa ai cuando la naturaleza presenta el estado ej.Se supone, por simplicidad, la existencia de un nmero finito de estados y alternativas. El formato general de una tabla de decisin es el siguiente: Estados de la Naturaleza e1 e2 . . . en a1 x11 x12 . . . x1n Alternativas a2 x21 x22 . . . x2n ...... ... ...... am xm1 xm2 . . . xmn Ejemplo # 1 Un cocinero acaba de echar cinco huevos en un tazn con la intencin de hacer una tortilla. Dispo ne, adems, de un sexto huevo del que no conoce su estado, aunque es de esperar que en caso de encontrarse en buen estado y no ser utilizado, se estropear. Al cocinero se le presentan tres posi bles alternativas: Romper el huevo dentro del tazn donde se encuentran los cinco anteriores. Romperlo en otro tazn diferente. Tirarlo directamente. Dependiendo del estado del huevo, las consecuencias o resultados que pueden presentarse para c ada posible alternativa se describen en la siguiente tabla: Alternativas Estado del 6 huevo Bueno (e1) Malo (e2) Romperlo dentro del tazn Tortilla de 6 huevos 5 huevos desperdiciados y (a1) no hay tortilla Romperlo en otro tazn (a2) Tortilla de 6 huevos y un tazn ms Tortilla de 5 huevos y un que lavar tazn ms que lavar Tirarlo (a3) Tortilla de 5 huevos y un huevo Tortilla de 5 huevos bueno desperdiciado Valoracin de los resultados Aunque los resultados xij no son necesariamente nmeros (como ocurre en el ejemplo anterior), supondremos que el decisor puede valorarlos numricamente, es decir, se asumir la existencia de una funcin V() con valores reales tal que: V(xij)>V(xkl)si y slo si el decisor prefiere el resultado xij al resultado xkl As, en el ejemplo de la tortilla podra realizarse un proceso de valoracin en el que se asignasen nmeros a cada una de los resultados, dando lugar a una posible tabla como la que sigue:a1 a2 a3e1 10 8 5e2 0 6 7Por motivos de simplicidad, en lo que sigue identificaremos cada resultado con su valoracin numrica. As, xij har referencia tanto al propio resultado como al valor asignado por el decisor. Ejemplo # 2 En cierta ciudad se va a construir un aeropuerto en una de dos posibles ubicaciones A y B, que ser elegida el prximo ao. Una cadena hotelera est interesada en abrir un hotel cerca del nuevo aeropuerto, para lo cual tiene que decidir qu terrenos comprar. La siguiente tabla muestra el pre cio de los terrenos, el beneficio estimado que obtendr el hotel en cada posible localizacin si el aeropuerto se ubica all, y el valor de venta de cada terreno si finalmente el aeropuerto no se construye en ese lugar, los valores se expresan en millones de unidades monetarias. Cul es la decisin ms adecuada? AB Precio del terreno 18 12 Beneficio estimado del hotel 31 23 Valor de venta del terreno 64 Las alternativas posibles de que dispone el decisor son las siguientes: Comprar la parcela en A. Comprar la parcela en B. Comprar ambas parcelas. No comprar ninguna parcela.Por otra parte, los posibles estados de la naturaleza son: El aeropuerto se construye en A. El aeropuerto se construye en B. As, si la cadena hotelera compra el terreno en A y el aeropuerto se construye all finalmente, obtendr como rendimiento final el correspondiente a la explotacin del hotel, 31, menos la invers in realizada en la compra del terreno, 18, es decir, 3118 = 13. Por el contrario, si el aeropuerto se construye en B, el terreno adquirido en A deber ser vendido, por lo que se obtendr un beneficio de 6, al que habr que restar la inversin inicial en la compra, 18. Esto proporciona un rendimiento fi nal de 618 = 12. De manera anloga se determinan los resultados de las restantes alternativas ante cada uno de lo s posibles estados de la naturaleza, dando lugar a la siguiente tabla de decisin:Alternativas Estados de la Naturaleza Terreno comprado Aeropuerto Aeropuerto en A en B 13 12 A 811 B 5 1 AyB 00 Ninguno Concepto de regla de decisin La tabla de decisin es un mero instrumento para dar respuesta a la cuestin fundamental en tod o proceso de decisin: Cul es la mejor alternativa? Para la eleccin de la alternativa ms conveniente nos basaremos en el concepto de regla o criteri o de decisin, que podemos definir de la siguiente forma: Una regla o criterio de decisin es una aplicacin que asocia a cada alternativa un nmero, que expresa las preferencias del decisor por los resultados asociados a dicha alternativa. Notaremos por S a esta aplicacin y S(a) el valor numrico asociado por el criterio S a la alternativ a a. La descripcin de los diferentes criterios de decisin que proporcionan la alternativa ptima ser realizada de acuerdo con el conocimiento que posea el decisor acerca del estado de la naturaleza, es decir, atendiendo a la clasificacin de los procesos de decisin. Segn esto, distinguiremos: Tablas de decisin en ambiente de certidumbre Tablas de Decisin en ambiente de incertidumbre Tablas de Decisin en ambiente de riesgo Tablas de decisin bajo certidumbre En los procesos de decisin bajo certidumbre se supone que el verdadero estado de la naturaleza es conocido por el decisor antes de realizar su eleccin, es decir, puede predecir con certeza total las consecuencias de sus acciones. Esto es equivalente a considerar n=1 en la descripcin de la tabla de decisin, dando lugar a siguiente tabla trivial: Estado de la Naturaleza Alternativase1 a1 x11 a2 x21 ...... am xm1Conceptualmente, la resolucin de un problema de este tipo es inmediata: basta elegir la alternati va que proporcione un mejor resultado, es decir: Se selecciona como alternativa ptima aquella alternativa ak tal que xk1 = max {xi1: i m} El problema de decisin se reduce, por tanto, a un problema de optimizacin, ya que se trata de escoger la alternativa que conduzca a la consecuencia con mayor valor numrico asociado. Bsicamente, un problema de optimizacin puede expresarse en forma compacta como sigue: max { f(x): x S} donde: S es el conjunto de alternativas o conjunto factible. Se trata de un subconjunto del espacio eucldeo Rn, que puede contener un nmero finito o infinito de elementos. f: S Rn es la denominada funcin objetivo, que asigna a cada alternativa una valoracin, permitiendo su comparacin. x representa el vector n dimensional que describe cada elemento del conjunto factible. Cada una de sus componentes recibe el nombre de variable de decisin. Tablas de decisin bajo incertidumbre En los procesos de decisin bajo incertidumbre, el decisor conoce cules son los posibles estados de la naturaleza, aunque no dispone de informacin alguna sobre cul de ellos ocurrir. No slo es inca paz de predecir el estado real que se presentar, sino que adems no puede cuantificar de ninguna fo rma esta incertidumbre. En particular, esto excluye el conocimiento de informacin de tipo probabilsti co sobre las posibilidades de ocurrencia de cada estado. Reglas de decisin A continuacin se describen las diferentes reglas de decisin en ambiente de incertidumbre: Criterio Criterio Criterio Criterio Criterio de Wald Maximax de Hurwicz de Savage de LaplaceCriterio de Wald Bajo la alternativa ai, el peor resultado posible que puede ocurrir tiene un valor para el decisor da dovalor si se denomina nivel de seguridad de la alternativa ai y representa la cantidad mnima qu El por: e el decisor recibir si selecciona tal alternativa.En 1950, Wald sugiere que el decisor debe elegir aquella alternativa que le proporcione el mayor nivel de seguridad posible, por lo que S(ai)=si. As, la regla de decisin de Wald resulta ser:Este criterio recibe tambin el nombre de criterio maximin, y corresponde a un pensamiento pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al decisor cuando elige una alternativa. Ejemplo Partiendo del ejemplo de construccin del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de seguridad de las diferentes alternativas: Alternativas Estados de la Naturaleza Terreno comprado Aeropuerto en A Aeropuerto en B si A 13 12 12 B 8 11 8 A y B 5 1 1 Ninguno 0 0 0 La alternativa ptima segn el criterio de Wald sera no comprar ninguno de los terrenos, pues proporciona el mayor de los niveles de seguridad. En ocasiones, el criterio de Wald puede conducir a decisiones poco adecuadas. Por ejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisin, en la que se muestran los niveles de seguridad de las diferentes alternativas. Estados de la Naturaleza Alternativase1 e2 si a1 1000 99 99 a2 100 100 100 El criterio de Wald seleccionara la alternativa a2, aunque lo ms razonable parece ser elegir la alternativa a1, ya que en el caso ms favorable proporciona una recompensa mucho mayor, mien tras que en el caso ms desfavorable la recompensa es similar. Criterio maximax Bajo la alternativa ai, el mejor resultado posible que puede ocurrir tiene un valor para el decisor d ado por:El valor oi se denomina nivel de optimismo de la alternativa ai y representa la recompensa mxim a que el decisor recibir si selecciona tal alternativa.El criterio maximax consiste en elegir aquella alternativa que proporcione el mayor nivel de optimismo posible, por lo que S(ai)=oi. Esta regla de decisin puede enunciarse de la siguiente for ma:Este criterio corresponde a un pensamiento optimista, ya que el decisor supone que la naturaleza siempre estar de su parte, por lo que siempre se presentar el estado ms favorable. Ejemplo Partiendo del ejemplo de construccin del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de optimismo de las diferentes alternativas: Estados de la Naturaleza Alternativas Terreno comprado Aeropuerto en A Aeropuerto en B oi A 13 12 13 B 8 11 11 AyB515 Ninguno 0 0 0 La alternativa ptima segn el criterio maximax sera comprar la parcela en la ubicacin A, pues proporciona el mayor de los niveles de optimismo. Al utilizar el criterio maximax las prdidas pueden ser elevadas si no se presenta el estado de la naturaleza adecuado. Adems, en ocasiones puede conducir a decisiones pobres o poco convenientes. Por ejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisin, en la que se muestran los niveles de optimismo de las diferentes alternativas. Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 oi a1 100 10000 100 a2 99 99 99 El criterio maximax seleccionara la alternativa a1, aunque lo ms razonable parece ser elegir la alternativa a2, ya que evitara las enormes prdidas de a1 en el caso desfavorable, mientras que e n el caso favorable la recompensa sera similar. Criterio de Hurwicz Se trata de un criterio intermedio entre el criterio de Wald y el criterio maximax. Dado que muy pocas personas son tan extremadamente pesimistas u optimistas como sugieren dichos criterios, Hurwicz (1951) considera que el decisor debe ordenar las alternativas de acuerdo con una media ponderada de los niveles de seguridad y optimismo:donde es un valor especfico elegido por el decisor y aplicable a cualquier problema de decisin abordado por l, por lo que T(ai) = si + (1)oi. As, la regla de decisin de Hurwicz resulta ser: os valores de prximos a 0 corresponden a una pensamiento optimista, obtenindose en el caso L extremo =0 el criterio maximax. Los valores de prximos a 1 corresponden a una pensamiento pesimista, obtenindose en el cas o extremo =1 el criterio de Wald. Eleccin de Para la aplicacin de la regla de Hurwicz es preciso determinar el valor de , valor propio de cada decisor. Dado que este valor es aplicable a todos los problemas en que el decisor interviene, pued e determinarse en un problema sencillo, como el que se muestra a continuacin, y ser utilizado en adelante en los restantes problemas que involucren al decisor. Estados de la naturaleza Alternativase1 e2 si oi S(ai) a1 1 0 0 1 1 a2 Si las alternativas a1 y a2 son indiferentes para el decisor, se tendr 1 = , por lo que = 1 . Por tanto, para determinar el decisor debe seleccionar repetidamente una alternativa en esta tabla, modificando el valor de en cada eleccin, hasta que muestre indiferencia entre ambas alternativ as. Ejemplo Partiendo del ejemplo de construccin del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con la media ponderada de los niveles de optimismo y pesimismo de las diferente s alternativas para un valor =0.4: Estados de la Naturaleza Aeropuerto Aeropuerto Terreno comprado si oi S(ai) en A en B A 13 12 12 13 3 B 8 11 8 11 3.4 A y B 5 1 1 5 2.6 Ninguno 0 0 0 0 0 La alternativa ptima segn el criterio de Hurwicz sera comprar la parcela en la ubicacin B, pues proporciona la mayor de las medias ponderadas para el valor de seleccionado. AlternativasEl criterio de Hurwicz puede conducir en ocasiones a decisiones poco razonables, como se muestr a en la siguiente tabla: Estados naturaleza Alternativas e1 e2 a1 0 1 ... 1 0 1 a2 1 0 ... 0 0 1 de la ... e50 si oi S(ai) 1 1Segn el criterio de Hurwicz ambas alternativas son equivalentes, aunque racionalmente la altern ativa a1 es preferible a la alternativa a2. Ms an, si el resultado de la eleccin de la alternativa a2 cuan do la naturaleza presenta el estado e1 fuese 1.001, se seleccionara la segunda alternativa, lo cual pare ce poco razonable. Criterio de Savage En 1951 Savage argumenta que al utilizar los valores xij para realizar la eleccin, el decisor compa ra el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza con todos los dems resultados, independientemente del estado de la naturaleza bajo el que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es controlable por el decisor, por lo que el resultado de una alternativa slo debera ser comparado con los resultados de las dems alternativas bajo el mismo estado de la naturaleza . Con este propsito Savage define el concepto de prdida relativa o prdida de oportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de la mejor alternativa dado que e j es si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es ej y el decisor elige la alternativa ai As, el verdadero estado de la naturaleza y el resultado de la alternativa ai bajo el estado ej: que proporciona el mximo resultado xij, entonces no ha dejado de ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera ar, entonces obtendra como ganancia xrj y dejara de ganar xijxrj. Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las mayores prdidas relativas, es decir, si se define ri como la mayor prdida que puede obtenerse al seleccionar la alternativa ai, el criterio de Savage resulta ser el siguiente:Conviene destacar que, como paso previo a la aplicacin de este criterio, se debe calcular la matri z de prdidas relativas, formada por los elementos rij. Cada columna de esta matriz se obtiene calculan do la diferencia entre el valor mximo de esa columna y cada uno de los valores que aparecen en ell a.Ejemplo Partiendo del ejemplo de construccin del hotel, la siguiente tabla muestra la matriz de prdidas relativas y el mnimo de stas para cada una de las alternativas. Alternativas Estados de la NaturalezaAeropuerto Aeropuerto Terreno compradoi en A en B A 0 23 23 B 21 0 21 A y B 8 12 12 Ninguno 13 11 13 El mayor resultado situado en la columna 1 de la tabla de decisin original es 13; al restar a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen las prdidas relativas bajo el estado de la naturaleza Aeropuerto en A. De la misma forma, el mximo de la columna 2 en la tabla original es 11; restando a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen los elementos rij correspondientes al estado de la naturaleza Aeropuerto en B. Como puede observarse, el valor i menor se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisin ptima segn el criterio de Sav age sera comprar ambas parcelas. El criterio de Savage puede dar lugar en ocasiones a decisiones poco razonables. Para comprobarl o, consideremos la siguiente tabla de resultados: Estados de la Naturaleza Alternativase1 e2 a1 9 2 a2 4 6 La tabla de prdidasseleccionacorrespondiente a ptima aquella que proporciona un mayor resulta La regla de Laplace relativas como alternativa esta tabla de resultados es la siguiente: do Estados de la Naturaleza esperado: Alternativas e1 e2 i a1 0 4 4 a2 5 0 5 La alternativa ptima es a1. Supongamos ahora que se aade una alternativa, dando lugar a la Ejemplo siguiente tabla de resultados: Partiendo del ejemplo de construccin del hotel, la siguiente tabla muestra los resultados esperad Estados de la Naturaleza os Alternativase1 e2 para cada una de las alternativas. a1 9 2 a2 4 6 a3 3 9 La nueva tabla de prdidas relativas sera: Estados de la Naturaleza Alternativase1 e2i a1 0 7 7 a2 5 3 5Estados de la Naturaleza Alternativas Aeropuerto Aeropuerto Resultado Terreno comprado en A en B esperado 13 12 0.5 A 8 11 1.5 B 5 1 2 AyB 0 tendra probabilidad ocurrencia 1/2. El resultado esper En este caso, cada estado de la naturaleza0 0 Ninguno ado mximo se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisin ptima segn el criterio de Laplace sera comprar ambas parcelas. La objecin que se suele hacer al criterio de Laplace es la siguiente: ante una misma realidad, pue den tenerse distintas probabilidades, segn los casos que se consideren. Por ejemplo, una partcula puede moverse o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/2. En cambio, tambi n puede considerarse de la siguiente forma: una partcula puede moverse a la derecha, moverse a la izquierda o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/3. Desde un punto de vista prctico, la dificultad de aplicacin de este criterio reside en la necesidad de elaboracin de una lista exhaustiva y mutuamente excluyente de todos los posibles estados de la naturaleza. Por otra parte, al ser un criterio basado en el concepto de valor esperado, su funcionamiento debe ser correcto tras sucesivas repeticiones del proceso de toma de decisiones. Sin embargo, en aquel los casos en que la eleccin slo va a realizarse una vez, puede conducir a decisiones poco acertadas si la distribucin de resultados presenta una gran dispersin, como se muestra en la siguiente tabla: Estados de la Naturaleza Resultado Alternativase1 e2 esperado a1 15000 50005000 a2 5000 4000 4500 Este criterio seleccionara la alternativa a1, que puede ser poco conveniente si la toma de decision es se realiza una nica vez, ya que podra conducirnos a una prdida elevada. Axiomtica Los criterios descritos anteriormente no son los nicos que pueden utilizarse en ambiente de incertidumbre; muchas otras reglas de decisin son vlidas en este contexto, por lo que parece preciso determinar propiedades que hagan un criterio preferible a otro. Con este propsito vamos a describir los axiomas o principios de racionalidad basados en la propuesta realizada por Milnor en 1954, y que pueden ser considerados propiedades razonables p ara ser verificadas por toda regla de decisin.Axioma 1: Orden El criterio debe proporcionar una ordenacin total de las alternativas del problema. Esta propiedad es deseable, pues en caso de no darse existiran alternativas no comparables, siendo preciso un nuevo criterio para dilucidar entre elementos maximales. Axioma 2: Simetra El criterio debe ser simtrico, es decir, independiente del orden fijado a priori en el conjunto de alternativas y del orden en que se definan los estados de la naturaleza. Axioma 3: Linealidad La relacin de orden establecida por el criterio no debe cambiar si los resultados xij son reemplazados por otros yij tales que yij = ij + con >0 Axioma 4: Dominancia fuerte Si en una tabla de decisin existen dos alternativas ai y ak tales que xij>xkj para todos los estado s de la naturaleza ej, entonces el criterio debe asignar valores a las alternativas de modo que T(ai)>T (ak). Axioma 5: Independencia de alternativas irrelevantes El criterio debe ser abierto, es decir, el valor asignado por dicho criterio a una alternativa no de be variar al ser definido en otro conjunto de alternativas que contenga al primero con las mismas valoraciones (el orden entre dos alternativas no cambia por la adicin de una nueva alternativa) . Esta propiedad es muy importante, ya que garantiza que al aumentar el conjunto de alternativas , los clculos efectuados con anterioridad siguen siendo vlidos. Axioma 6: Linealidad de columnas La relacin de orden establecida por el criterio no debe cambiar si se aade una constante a tod os las valoraciones correspondientes a un estado de la naturaleza. Axioma 7: Independencia de permutacin de filas Si en una tabla de decisin existen dos alternativas ai y ak tales que el conjunto de valoraciones de la alternativa ak es una permutacin del conjunto de valoraciones correspondiente a la alternativ a ai, entonces el criterio debe asignar idntico valor a ambas, es decir, T(ai)=T(ak). Axioma 8: Independencia de duplicacin de columnas El criterio debe ser invariante por extensin, es decir, el orden establecido por el criterio no deb e cambiar si se aade una nueva columna (estado de la naturaleza) idntica a alguna columna ya existente. La siguiente tabla resume la compatibilidad de los diferentes criterios analizados con los axiomas anteriores. El smbolo indica que el criterio satisface el correspondiente axioma, mientras que indica que no lo verifica.Decisin bajo riesgo: Ejemplo Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 e3 e4 a1 11 9 11 8 a2 8 25 8 11 a3 8 11 10 11 Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1Criterio del valor esperado El resultado o valor esperado para la alternativa ai, que notaremos E[R(ai)], viene dado p or:por lo que el criterio del valor esperado resulta ser:Obsrvese que esta regla de decisin es una generalizacin del criterio de Laplace en la que desaparece el requisito de equiprobabilidad para los diferentes estados de la naturaleza. Ejemplo Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisin bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado esperado para cada una de las alternativas. Criterio del valor esperado Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)] a1 11 9 11 8 10.3 a2 8 25 8 11 11.7 a3 8 11 10 11 9.9 Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1 La alternativa ptima segn el criterio del valor esperado sera a2, pues proporciona el mximo de los valores esperados.Criterio de mnima varianza con media acotada Para la utilizacin de este criterio se consideran exclusivamente las alternativas a cuyo valor esper ado E[R(a)] sea mayor o igual que una constante K fijada por el decisor. Para cada una de las alternati vas ai que cumpla esta condicin se determina la varianza V[R(ai)] de sus resultados,y se selecciona la que presente menor varianza, de esta forma se consigue la eleccin de una alternativa con poca variabilidad en sus resultados y que proporciona, por trmino medio, un resultado no demasiado pequeo. En resumen, el criterio de mnima varianza con media acotada es el siguiente: Ejemplo Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisin bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado esperado y su varianza para cada una de las alternativas. Criterio de mnima varianza con media acotada Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)]V a1 11 9 11 8 10.3 1.21 a2 8 25 8 11 11.7 45.01 a3 8 11 10 11 9.9 1.09 Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1 Si el decisor selecciona un valor 10 para la constante K, quedara excluida del proceso de decisin la alternativa a3, que es la que posee menor varianza. Excluida sta, la eleccin ptima corresponde a la alternativa a1, pues es la que posee menor varianza entre las que cumplen la condicin E[R(ai)]0 1. Criterio de la media con varianza acotada Para la utilizacin de este criterio se consideran exclusivamente las alternativas a cuya varianza V[R(a)] sea menor o igual que una constante K fijada por el decisor. Para cada una de las alternativas ai que cumpla esta condicin se determina el valor esperado E[R(ai)] de sus resultados,y se selecciona la que presente mayor valor esperado, de esta forma se consigue la eleccin de u na alternativa con poca variabilidad en sus resultados y que proporciona, por trmino medio, un buen resultado. En resumen, el criterio de la media con varianza acotada es el siguiente:Ejemplo Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisin bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado esperado y su varianza para cada una de las alternativas. Criterio de la media con varianza acotada Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)]V a1 11 9 11 8 10.3 1.21 a2 8 25 8 11 11.7 45.01 a3 8 11 10 11 9.9 1.09 Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1 Si el decisor selecciona un valor 20 para la constante K, quedara excluida del proceso de decisin la alternativa a2, que es la que posee mayor valor esperado. Excluida sta, la eleccin ptima corresponde a la alternativa a1, pues es la que posee mayor valor esperado entre las que cumplen la condicin V. Criterio de dispersin Para cada alternativa ai se calcula el siguiente valor medio corregido:donde K es una valor fijado por el decisor, y se selecciona la de mayor valor resultante. De esta fo rma se consigue limitar la influencia de alternativas con un valor esperado grande, pero tambin alta variabilidad. Por tanto, el criterio de dispersin puede resumirse de la siguiente forma:Ejemplo Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisin bajo riesgo, la siguiente tabla muestra, para cada una de las alternativas, el valor esperado, la varianza y el valor esperado corregido correspondiente a un factor K=2.Criterio de dispersin Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 e3 e4 E[R(ai)] V a1 11 9 11 8 10.3 1.21 a2 8 25 8 11 11.7 45.01 a3 8 11 10 11 9.9 1.09 Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1CR 8.10 1.72 7.81La alternativa ptima segn el criterio de dispersin sera a1, pues proporciona el mximo de los valores corregidos. Criterio de la probabilidad mxima Para cada alternativa ai se determina la probabilidad de que la variable aleatoria que proporciona el resultado tome un valor mayor o igual que una constante K fijada por el decisor:y se selecciona aquella alternativa con mayor probabilidad asociada. Por tanto, el criterio de probabilidad mxima puede resumirse de la siguiente forma:Ejemplo Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisin bajo riesgo, la siguiente tabla muestra, para cada una de las alternativas, la probabilidad de que el resultado sea mayor o igual que K=10. Criterio de probabilidad mxima Estados de la Naturaleza Alternativas e1 e2 e3 e4 P a1 11 9 11 8 0.7 a2 8 25 8 11 0.3 a3 8 11 10 11 0.8 Probabilidades 0.2 0.2 0.5 0.1 Para la alternativa a1, slo los resultados correspondientes a los estados e1 y e3 superan el valor 1 0, siendo sus probabilidades asociadas 0.2 y 0.5; sumando ambas se obtiene la probabilidad de obte ner un resultado mayor o igual que 10 para la alternativa a1. De manera anloga se determinan las restantes probabilidades. La alternativa ptima segn este criterio sera a3, pues proporciona la probabilidad ms alta.