Bloque2b series numericas

EJERCICIOS RESUELTOS:

Series numéricas

Matemáticas 1

1

Elena Álvarez Sáiz

Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Universidad de Cantabria

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ejercicios: Series numéricas Ingeniería de Telecomunicación

Fundamentos Matemáticos I

2

1 Calcular la suma de las siguientes series:

(a) 2 3 4

1 1 1 1 14 ... ...

2 2 2 2 2nπ+ − + + + + + (b)

3 21

3 2

3 2n

n

n n n

∞

=

+

+ +∑

Solución:

(a) 2

1

1 24 42 1

12

π π+ − + = +−

(b) Descomponiendo en fracciones simples

3 2

3 2 1 1 2

1 23 2

n

n n nn n n

+= + −

+ ++ +

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 21 ... ... ...

2 3 2 3 1 3 4 1 21 1 1 2 2 1 2

1 22 2 1 1 2 1 2

nSn n n n n n

n n n n n

= + + + + + + + + + − + + + + + = + + + = + + + − + = − − + + + + +

1 2lim 2 2

1 2nS

n n→∞

= − − = + +

2 Dada la serie

1n

n

∞

=∑ . Se pide:

• Determina su carácter

• Encuentra una sucesión sencilla del mismo orden que la sucesión de sus sumas parciales.

Justificar los pasos seguidos.

• Demuestra que la sucesión obtenida en el apartado anterior es del mismo orden que su suma

parcial n-ésima.

Profesora: Elena Álvarez Sáiz S

Ingeniería de Telecomunicación

Fundamentos Matemáticos I Ejercicios: Series numéricas

3

Indicación: Utilizar que si la función es creciente y positiva en )1, ∞ se verifica

( ) ( ) ( ) ( )11 1

n nn

k

f x dx f k f x dx f n=

< < +∑∫ ∫

Forma 1:

En general para una función f decreciente y positiva en ( )1,∞ la sucesión ( )1

n

k

f k=∑ es

del mismo orden que ( )1

n

f x dx∫ .

Si la función f es creciente se verifica

( ) ( ) ( ) ( )11 1

n nn

k

f x dx f k f x dx f n=

< < +∑∫ ∫

En este caso ( )f x x= es creciente por lo que:

( ) ( )3/2 3/2 1/2

11 1

2 21

3 3

n nn

k

n xdx S n k xdx n n n=

− = < = < + = +∑∫ ∫

Como el infinito 3/2n es de orden superior a 1/2n se tiene que:

( ) 3/22

3S n n≈

En efecto,

( )( )3/2 3/23/23/2

3 1 2 3 ... 3lim lim lim

2 1 2 13

n n Stolz n

S n n n

n n nn→∞ →∞ →∞

+ + + += =

− −

( )( )( )

3/23/2

33

13

lim2 1Multiplicando n

por el conjugado

n n n

n n→∞

+ −= =

− −

( )( ) 2

3/2

3/22 1/2

3 3 2 2

11 1

13 3lim lim 1

2 23 3 1 3 3 1n Dividiendo npor n

n n n n

n n n n n n→∞ →∞

+ + + − = = =

− − + − − +




4

Luego son asintóticamente equivalentes.

Forma 2:

Basta considerar la equivalencia:

1

1 2 3 ...1

kk k k k n

nk

++ + + + ≈

+

En nuestro caso 1

2k = .

3 Determinar la suma parcial enésima que permite calcular

( )31

1

2 1n n

∞

= +∑ con un error menor

que 210−

Solución:

Consideramos la serie ( )3/2

1

1

2 1n

S

n

∞

=

=+

∑ que es convergente (por comparación con la

serie armónica generalizada: 1

1p

n n

∞

=∑ con p=3/2>1) y nS la suma parcial n-ésima de

la serie.

Teniendo en cuenta que ( )( )3/2

1

2 1f x

x

=+

es decreciente y positiva en )1, ∞ se

cumple

( ) ( )( ) ( )

3/2 3/21

1 1... lim

2 3 2 5

h

nh

k n n

S S f k f x dx

n n

∞

→∞= +

− = + + = ≤+ +

∑ ∫

Como




5

( )( ) ( ) ( )3/2

1 1 1 1lim lim lim

2 1 2 1 2 12 1

h h

h h hn n

f x dx dxh n nx

→∞ →∞ →∞

= = − + =

+ + + + ∫ ∫

Por lo tanto, el error al considerar como suma de la serie la suma parcial n-ésima

está acotado por

1

2 1nerror S S

n= − ≤

+

Si queremos ahora que este error sea menor que una centésima basta encontrar el

valor de n cumpliendo: 4

2

1 1 999910 2 1

2102 1n n

n< ⇔ < + ⇔ <

+. Basta tomar

entonces los 5000 primeros sumandos

( )

5000

5000 3/21

1

2 1n

S S

n=

≈ =+

∑

4 Utilizando el criterio integral demuestra que la serie

1

n

n

r

∞

=∑ es convergente para valores

0 1r< < .

Solución:

Vamos a acotar la sucesión de sumas parciales por dos sucesiones convergentes.

En este caso la función ( ) 1x

f xr

= es positiva y decreciente en ( )1,∞ .

En primer lugar observamos que la serie solo puede ser convergente o

divergente ya que se trata de una serie de términos positivos. Utilizando el

criterio integral se tiene la siguiente acotación

21 1

1 1 1 1 1 1...

n n

nx n xdx S dx

r rr r r r≤ = + + + ≤ +∫ ∫

Como




6

( )1 1

1 1 1 1 1

log loglog

nn

x x ndx

r r rr r r r

− −= = +∫

se cumple que la suma parcial n-ésima está acotada

( ) ( )2

1 1 1 1 1 1 1...

log loglog lognn n nS

r r r r rr r r r r r

− −+ ≤ = + + + ≤ +

Como tanto la cota superior como la cota inferior son sucesiones convergentes

la sucesión de sumas parciales también lo será y por lo tanto la serie 1

1n

n r

∞

=∑ es

convergente.

5 (a) Determinar el carácter de las siguientes series:

(i) 1

1

3 nn e

∞

=∑ (ii)

( )( )1 2n

Ch n

Ch n

∞

=∑

(b) Calcular el valor exacto de la serie 2 3

11

2

9

n

nn

∞ +

+=∑

(c) Determinar el número de términos que es necesario considerar para obtener el valor

aproximado de 2 3

11

2

9

n

nn

∞ +

+=∑ con un error menor que 0.01

Solución:

(a) Teniendo en cuenta

1 1

1 1 1

33

n

nn ne e

∞ ∞

= =

= ∑ ∑

la serie es geométrica de razón 1

1re

= < , luego es convergente.

Para la segunda serie se tiene en cuenta la expresión de Ch(n) en función de la

exponencial:




7

( )( )

( )2

2 3

2 2 4 4 41 1 1 1 1

2

11

22 1 1 1

2

nn n

n n n nn

n n n n nn n n n n

n

ee ee eCh n e ee

Ch n e e e e e

e

−∞ ∞ ∞ ∞ ∞

−= = = = =

+++ +

= = = =+ + + +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Comparamos esta serie con 1

1n

n e

∞

=∑ y como el límite

3 4 2

4 4

1lim : lim 1

1 1

n n n n

n n nn n

e e e e

e e e→∞ →∞

+ + = = + +

es distinto de cero y de infinito ambas series tienen el mismo carácter, es decir,

convergentes.

(a) Como la serie es geométrica el valor de la suma es:

2 3

11 1

42 8 4 8 329

9 9 9 4 459 19

nn

nn n

∞ ∞+

+= =

= = = −

∑ ∑

(b) Teniendo en cuenta que ( ) 8 4

9 9

x

f x =

es continua, decreciente y positiva

en )1, ∞ y llamando ( ) 8 4

9 9

n

na f n = =

se tiene que:

1 2

4 4

8 4 8 9 8 9...

9 9 9 4 9 9log log

9 4

x n

x

n n n

n

n

R a a dx

∞

∞

+ +

= + + ≤ = =

∫

Basta encontrar n cumpliendo:

1

4

8 9 80 910

9 9 9 4log 9 og

4 4

n

n

l

−

< ⇔ <

Dando valores se ve que bastaría considerar n=3 para conseguir obtener el

valor de la serie con el error considerado. El valor aproximado será:




8

2 3

3 2 3

8 4 4 4 42560.6487

9 9 65619 9S

= + + = ≈

6 (a) Demostrar que: 2

1 1 1 1...

3 15 35 2 14 1

nn

nn+ + + + = ∀ ∈

+−�

(b) Determinar el valor de 2

1

1

4 1n n

∞

= −∑

Solución:

(a) Demostramos la igualdad por inducción

Para n=1 la igualdad es cierta: 1 1

3 2 1 1=

⋅ +

Suponiendo cierta para n veamos si se cumple:

( ) ( )2 2

1 1 1 1 1 1...

3 15 35 2 1 14 1 4 1 1

n

nn n

++ + + + + =

+ +− + −

Por hipótesis de inducción:

( ) ( )2 2 2

2 1

1 1 1 1 1 1...

3 15 35 2 14 1 4 1 1 4 1 1n

n

n

nn n n

=+

+ + + + + = ++− + − + −��

Operando:

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )( )( )

2

2

1 1

2 1 2 1 2 1 2 34 1 1

2 3 1 1 2 12 3 1 1

2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3

n n

n n n nn

n n n nn n n

n n n n n n n

+ = + =+ + + ++ −

+ + + ++ + += = = =

+ + + + + + +

(b) La serie es convergente por comparación con la serie armónica generalizada

21

1

n n

∞

=∑ . Para calcular el valor tenemos en cuenta el apartado (a):

2

1 1 1 1...

3 15 35 2 14 1n

nS

nn= + + + + =

+−




9

1lim lim

2 1 2nn n

nS

n→∞ →∞= =

+

Luego, 2

1

1 1

24 1n n

∞

=

=−

∑

7 Sea { }1n n

a∞

= una sucesión de números reales monótona creciente.

(a) Demostrar que la sucesión de término general nS

n es también monótona creciente

siendo 1 2 ...n nS a a a= + + + .

(b) Si además 1n

n

a

∞

=∑ es convergente, calcular lim n

n

S

n→∞, siendo 1 2 ...n nS a a a= + + + .

Solución:

(a) Se quiere probar

( ) ( ) ( )11 11 1

1n n

n n n n n

S

n

SS n nS S n n S a

n

++ +< ⇔ + < ⇔ + < +

+

1 1 2 1...n n n nS na a a a na+ +⇔ < ⇔ + + + <

Esta última desigualdad es cierta ya que 1 1,...,k na a para k n+< = por ser

{ }1n n

a∞

=monótona creciente

(b) Aplicando el criterio de Stolz se tiene que ( )

1lim lim lim1

n n n

nn n n

S S Sa

n n n

−

→∞ →∞ →∞

−= =

− −

que es cero ya que 1n

n

a

∞

=∑ es convergente.

8 Estudiar el carácter de la serie en función del parámetro a ∈ �

1

1a

n

n senn

∞

=

∑

Solución:




10

El término general es :

1

1 1 1a an aa n sen n

n n n −

= ≈ =

Aplicando el criterio de comparación por paso al límite se concluye que:

• Si 1 1a− ≤ la serie es divergente

• Si 1 1a− < la serie es convergente

9 Estudiar el carácter de la serie siguiente en función de los posibles valores de x

( )( )1

02 5

n

nn

xx

n n x

∞

=

>+ +

∑

Solución:

Como x es mayor que cero se trata de una serie de términos positivos con término

general

( )( )2 5

n

n n

xa

n n x=

+ +

Aplicando el criterio del cociente:

( )( )

( )( )

( )( )( )( )

1

11

3 1 5 2lim lim lim

5 3 1 5

2 5

n

nn

nn n nn

n

x

n n x x n n xa x

a n n xx

n n x

+

++

→∞ →∞ →∞

+ + + + += = =

+ + +

+ +

se concluye que:

• Si 5x < la serie es convergente

• Si 5x > la serie es divergente

• Si x=5 la serie es:

( )( ) ( )( )1 1

5 1

22 5

n

nn n n n xn n x

∞ ∞

= =

=+ ++ +

∑ ∑




11

que es convergente por comparación con la serie armónica generalizada para p=2:

( )( ) ( )( )1 1

5 1

22 5

n

nn n n n xn n x

∞ ∞

= =

=+ ++ +

∑ ∑

10 Estudiar la convergencia absoluta y condicional de la serie:

( )1

1,1

n

nn

xa x a

n a

∞

=

> ≠+

∑

Solución:

Se trata de una serie que para valores de x positivos es de términos positivos y para

valores de x negativos es de términos negativos. Estud¡amos por ello la convergencia

absoluta mediante el criterio de la raíz:

( ) ( )lim lim

1 1

n

nn nn n n

x xL

n a n a→∞ →∞= =

+ +

como

( )1

( (log ) log )

lim 1 lim lim 1nnn nn

n n n

atomar tomararimtos arimtos

n a n a a→∞ →∞ →∞

= =

+ = + =��

se tiene que: x

La

=

• si x a< , la serie es convergente

• Si x a> , la serie es divergente

11 Estudiar la convergencia de la serie




12

( )2 2

2

1

12 1

4

11 cosn

n senn

n

∞

=

− −

∑

Solución:

El término general de la serie es

( )2 2

2

12 1

4

11 cos

n

n senn

a

n

− =

−

que es equivalente a ( ) ( )

22

2 22

2 4

12 1

2 14

16 21

2!

n

nn nn

bn

n

− − = =

⋅

ya que

2

2 2

1

1 1 11 cos

24 4

nsen

nn n

≈ − ≈

Por lo tanto la serie no es convergente ya que el término general de la serie no

tiende a cero (condición necesaria de convergencia). Como además es una serie de

términos positivos es divergente.

12 (a) Calcular el siguiente límite: 2 2 2

1 1 1lim ...

1 4 2 4 4n n n n n→∞

+ + + + + +

(b) Estudiar el carácter de la serie:

2 2 21

1 1 1...

1 4 2 4 4n n n n n

∞

=

+ + + + + +∑

Solución:

(a) Se cumple que:

2 2 2 2 2

1 1 1...

4 1 4 2 4 4 1 4

n n

n n n n n n n≤ + + + ≤

+ + + + +




13

Por otro lado

2

2

1lim

241

lim21 4

n

n

n

n nn

n

→∞

→∞

=+

=+

Luego, aplicando el teorema del encaje

2 2 2

1 1 1 1lim ...

21 4 2 4 4n n n n n→∞

+ + + = + + +

(b) Como el término general no tiende a cero la serie no es convergente. Por ser una

serie de términos positivos al no ser convergente debe ser divergente.

13 Determinar el carácter de las siguientes series:

(1) 3

11

2

3

n

nn

∞ +

−=∑ (2)

1

2 9log

7n

n

n

∞

=

+ +∑ (3) 2

21

2 5

3 8n

nsen

n

∞

=

+ +∑

Solución:

• La serie (a) es una serie geométrica de razón 2/3<1, luego es convergente.

3 4 5 6

1 21

2 2 2 2...

33 3 3

n

n on

∞ +

−=

= + + +∑

• La serie 1

2 9log

7n

n

n

∞

=

+ +∑ es una serie de términos positivos ya que 2 9

17

n

n

+>

+

cuyo término general no tiende a cero (condición necesaria de convergencia):

( )2 9og log 2

7n n

na l

n →∞

+ = → +

Se trata entonces de una serie divergente.

• La serie 2

21

2 5

3 8n

nsen

n

∞

=

+ +∑ es una serie de términos positivos, teniendo en

cuenta además que

2 22

2 2 2

2 5 2 5 2 4

33 8 3 8 9

n nsen

nn n n

+ + ≈ ≈ = + +




14

la serie tiene el mismo carácter que 2

1

1

n n

∞

=∑ (criterio de comparación por paso

al límite) se trata de una serie convergente.

14 Determinar el carácter de las siguientes series:

(1) ( )

( )22

1

log

n

n n n

∞

=

−∑ (2)

( )3

1

1

1

n

n n

∞

=

−

+∑

Solución:

• La serie ( )

( )22

1

log

n

n n n

∞

=

−∑ es una serie alternada convergente por el criterio de

Leibnitz:

o ( )2

1lim lim 0

logn

n na

n n→∞ →∞= =

o { }na es monótona decreciente:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22

2 2 log

1 1log 1 log 1

log1 log 1 el aritmoes una funcióncreciente

n n n nn nn n

< ⇔ < + ++ +

Estudiamos ahora la convergencia absoluta, es decir, la convergencia de la serie:

( )22

1

logn n n

∞

=∑ . Como ( ) ( )2 2log 2 logn n n≤ se tiene que

( ) ( )2 2

1 1

log log 2n n n≤

⋅

y, por el criterio de comparación es convergente. Luego la serie es absolutamente

convergente.

• La serie ( )3

1

1

1

n

n n

∞

=

−

+∑ es una serie alternada convergente por el criterio de

Leibnitz:

o 3

1lim lim 0

1n

n na

n→∞ →∞= =

+




15

o { }na es monótona decreciente:

( )3 3

33

1 11 2

1 1 1n n

n n< ⇔ + < +

+ + +

Estudiamos ahora la convergencia absoluta, es decir, la convergencia de la serie:

31

1

1n n

∞

= +∑ . Como

3 1/3

1 1

1 nn≈

+

por el criterio de comparación es divergente. Luego la serie no converge

absolutamente.

15 Calcular el carácter de las siguientes series:

(a) 1

1 1

n

senn n

∞

=∑ (b)

( )1

1

1 11 ...

2

n

n

n

∞

=

−

+ + +∑

Solución.-

(a) Convergente por comparación con 2

1

1

n n

∞

=∑ .

(b) Convergente por Leibniz 1

1 11 ...

2

na

n

=+ + +

es monótona decreciente y

tiende a cero porque en el denominador se tiene la suma parcial enésima de la

serie armónica.

16 Estudia el carácter de las siguientes series. Justifica adecuadamente las respuestas.

(a) 1

1,

an

n na

n

∞

=

+ −∈∑ � (b)

2

21

2 1log

2n

n n

n n

∞

=

+ + +∑




16

Solución:

(a) En primer lugar analizamos la condición necesaria de convergencia. Cuando n

tiende a infinito el numerador presenta una indeterminación luego el término

general de la serie lo escribimos como

( )( )( ) ( )

1 11 1

1 1n a a a

n n n nn na

n n n n n n n

+ − + ++ −= = =

+ + + +

El denominador es un infinito del mismo orden que 1

2a

an n n+

= (ver *)

� En el caso de que 1 1

02 2

a a−

+ ≤ ⇒ ≤ el término general no tiende a

cero luego la serie, por ser de términos positivos al no converger, será

divergente.

� En el caso de que 1

2a

−> el término general tiende a cero.

Comparando con la serie 1

12

1

ann

∞

+=∑ se tiene que como:

( ) 1

2

1

2

1

2

1 1lim lim lim 0,

1 21 11 1a

a

n

an n dividiendo n

por na

a n

n n n

nn

+

+

→∞ →∞ →∞

+

= = = ≠ ∞ + + + +

(*)

aplicando el criterio de comparación por paso al límite las series

1

1a

n

n n

n

∞

=

+ −∑ y 1

12

1

ann

∞

+=∑ tienen el mismo carácter.




17

Como la segunda serie es la armónica generalizada se tiene que:

� Para 0 1p< ≤ la serie 1

1p

n n

∞

=∑ es divergente. Luego la serie

11

2

1

ann

∞

+=∑ es divergente si

10 1

2a< + ≤ . En consecuencia para

1 1

2 2a

−< ≤ la serie

1

1a

n

n n

n

∞

=

+ −∑ es divergente.

� Para 1p < la serie 1

1p

n n

∞

=∑ es convergente. Luego la serie

11

2

1

ann

∞

+=∑ es convergente si

11

2a< + . Concluimos que para

1

2a< la serie

1

1a

n

n n

n

∞

=

+ −∑ es convergente.

17

Estudiar la convergencia de la serie 1

2a

n

nsen

n

π

∞

=

∑ para 1a = y 2a = .

Solución:

Observar que ( )( )1 1

12

2 1

n

a an n

nsen

n n

π

∞ ∞

= =

− =

−∑ ∑ . Es convergente por Leibniz.

18 Se considera la sucesión ( )( )1 2

n n

na

n n b=

+ + con b ∈ � . Se pide:

a) Estudiar la convergencia de la serie 1n

n

a

∞

=∑

b) Encontrar el valor de la suma 1n

n

a

∞

=∑ para 1b = .

c) Consideramos Sn la suma parcial n-ésima de la serie

1n

n

a

∞

=∑ para 1b = . Sin obtener la




18

expresión exacta de Sn encontrar una sucesión equivalente y demostrar que la expresión

obtenida realmente es equivalente a Sn.

Solución:

(a) Por el criterio del cociente

( )( )

( )( )

( )( )

1 2

1

1

2 3 1 1lim lim lim

3

1 2

n

n

n n nn

n

n

n n b na

a n b n n b

n n b

+

+

→∞ →∞ →∞

+

+ + += = =

+

+ +

• si 1b > la serie converge absolutamente y por tanto es convergente.

• Si 1b < la serie no converge porque el término general no tiende a

cero, ya que:

( )( ) 2

1

1 2 n n

n

n n b n b≈

+ +

y por comparación de infinitos

( )( )

21 /lim lim

1 2 n nn n

nn

n n b b→∞ →∞= = ∞

+ +

el término general tiende a infinito.

• Para b=-1 la serie es convergente por Leibniz. Para

• b=1 la serie es divergente comparándola con la serie 1

1

n n

∞

=∑ .

(b)

• Para b=1 es divergente comparándola con la serie 1

1

n n

∞

=∑ por lo tanto la

suma de la serie es infinito.




19

(c) Por el criterio integral ( ) ( )2 2

1

2 2log log

1 1n

n nK S K

n n

+ + + ≤ ≤ + + + donde K y K1

son constantes. Por lo tanto,

( )( )

22

log log1

n

nS n

n

+ ≅ + �

19 Dada la serie

2

1

( 1) , 0, 0,n n

n

n

a ba b

n

∞

=

− > >∑ estudiar su convergencia y convergencia absoluta

según los valores de a y b.

Solución:

(a) Convergencia absoluta

Se trata de estudiar la convergencia de la serie 2

1

, 0, 0n n

n

a ba b

n

∞

=

> >∑ . Puesto que

esta serie es de términos positivos, se puede estudiar aplicando el criterio de la

raíz,

2

1/lim lim

n n nn

nn n

a b ab

n n→∞ →∞= =

0 si 0 1 convergente

si 1 divergente

si 0 1, convergente

si 1 si 1, divergente

si 1 ?

b

b

a

a b a

a

< < ⇒∞ > ⇒ < < = ⇒ > =

En el caso 1a b= = , se obtiene la serie armónica 1

1

n n

∞

=∑ , que es divergente.

Por tanto la serie es absolutamente convergente para los valores

{ } { }0, 0 1 1, 0 1a b b a> < < ∪ = < < .

b) Convergencia




20

Para los valores de a y b para los que la serie es absolutamente convergente, la

serie alternada es convergente. Se trata de estudiar, por tanto los demás casos.

• b = 1, a = 1. Se obtiene las serie1

1( 1)n

n n

∞

=

−∑ , que es convergente ya que la

sucesión 1

n

es decreciente y convergente a 0 (Criterio de Leibnitz).

• b = 1, a > 1 . Se obtiene las serie ( 1)n

n a

n−∑ , que no es convergente ya que

la sucesión ( 1)n

n a

n

− es oscilante y por tanto no se cumple la condición

necesaria de convergencia.

• b > 1, la serie no es convergente por la misma razón que en el caso anterior.

Por tanto la serie es convergente para los valores

{ } { }0, 0 1 1, 0 1a b b a> < < ∪ = < ≤

20 Estudiar la convergencia y convergencia absoluta de la serie

1

cosn

an

x

n

∞

=∑ con 0, ,x aπ ∈ ∈ �

según los valores de x y a.

Solución:

Se trata de una serie de términos que según los valores de x puede ser de

términos positivos o alternada. Por ello estudiamos la convergencia absoluta y

aplicamos el criterio de la raiz para la serie de los valores absolutos:

cos 1lim cos lim cos

n

na n an n

xx x

n n→∞ →∞= = a∀ ∈ �

por tanto




21

• La serie converge absolutamente (y por tanto es convergente) para

valores tales que que cos 1x < , es decir,

cos 1x < ; (0, )x π∈

Los casos 0x = y x π= hay que estudiarlos por separado

• 0x = , se obtiene la serie 1

1a

n n

∞

=∑ que por ser una serie armónica es

convergente si a>1

divergente si a 1

≤

• x π= , se obtiene la serie 1

( 1)n

an n

∞

=

−∑ , serie alternada. Estudiamos según

los diferentes valores de a ∈ �

o Si 0a < , /∃( 1)

limn

an n→∞

− ya que �

0

lim ( 1)n a

na

n−→∞ − >

− = ±∞

o Si 0a = , { }( 1)1,1, 1,1,...

n

an

− = − − luego lim

n→∞/∃

En estos casos no se verifica la condición necesaria de convergencia

por lo que la serie no es convergente.

o Si 0a > , la sucesión 1an

es decreciente y tiende a cero por lo que,

según el criterio de Leibnitz, la serie 1

( 1)n

an n

∞

=

−∑ es convergente.

Luego,

convergente si a 0

a 0no convergente

> ≤

21 Se considera para cada número natural n ∈ � la ecuación:

6 2 13 5

2 2n x − =




22

y se define para cada natural n ∈ � el número na como la suma de las raíces positivas de esta

ecuación. Se pide:

Apartado 1.- Encontrar el supremo, ínfimo, máximo y mínimo del conjunto formado por

los números reales na , es decir, el conjunto

{ }/na n ∈ �

Apartado 2.- Calcular la suma aproximada de la serie 1n

n

a

∞

=∑ con un error menor que una

décima.

Solución:

Apartado 1:

Para cada número natural n consideramos la ecuación 6 2 13 5

2 2n x − = . Las raíces de

esta ecuación son los valores x que cumplen:

6 2 13 5

2 2n x − = ó 6 2 13 5

2 2n x − − =

Nota: En este paso aplico la definición de valor absoluto. Si el valor absoluto

de A es 5/2 es porque A es 5/2 ó A es –5/2. También podría haber elevado al

cuadrado y resolver la ecuación pero me quedaría de grado cuatro y habría que

realizar más cálculos.

� Resolviendo 6 2 6 2 2

6 3

13 5 9 39

2 2n x n x x x

n n− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

� Resolviendo 6 2 6 2 2

3 3

13 5 4 24

2 2n x n x x x

n n

− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±




23

Para cada n la suma de las raíces positivas de la ecuación 6 2 13 5

2 2n x − = es

3 3

3 2

n n+ .

El conjunto para el que hay que calcular el supremo, ínfimo, máximo y mínimo es

3

5/A n

n

= ∈ � se cumple que el supremo es 5 y el ínfimo es 0. Como el supremo

está en el conjunto (para n=1) se trata del máximo pero el ínfimo no es mínimo

porque no es un elemento del conjunto A.

Apartado 2:

Consideramos la serie 3

1

5

n

Sn

∞

=

= ∑ que es convergente (es una serie armónica

generalizada 1

5p

n n

∞

=∑ con p=3>1) y nS la suma parcial n-ésima de la serie.

Teniendo en cuenta que ( )3

5f x

x= es decreciente y positiva en )1, ∞ se cumple

( ) ( )( ) ( )

3 31

5 5... lim

1 2

h

nh

k n n

S S f k f x dx

n n

∞

→∞= +

− = + + = ≤+ +

∑ ∫

Como

( )3 2 2 2

5 5 5 5lim lim lim

2 2 2

h h

h h hn n

f x dx dxx h n n→∞ →∞ →∞

= = − + =

∫ ∫


está acotado por

2

5

2nerror S S

n= − ≤

Si queremos ahora que este error sea menor que una décima basta encontrar el valor

de n cumpliendo: 2

2

5 125

102n

n≤ ⇔ ≤ . Basta tomar entonces los cinco primeros

sumandos




24

3 3 3 3

5 5 5 5 5

1 2 3 4 5S ≈ + + + +

22

Hallar los valores de a ∈ � para los que la serie ( )2

2

1

21

3

n

nn

aa sen

n∞

=

+ +∑ sea convergente. Dar la

solución en términos de intervalos justificando la respuesta.

Solución:

Por el criterio del cociente

( )

( )( )

( )

( )

( )( )

2

22 2

2 2

2 2

21 2

2

23 1 21lim lim 1 2 332 3

1 13 1 1

n

n

nn n

n

a aasen

an anL a

aa asen

nn

−→∞ →∞

−

+ + + ++= = = < ⇔ + < + − + − +

Luego la serie es absolutamente convergente, y por lo tanto, convergente siempre que

( )2 3 2 3, 2 3a a+ < ⇔ ∈ − − − +

En los casos en los que ( )22

1 2 33

aa

+> ⇔ + > el término general no tiende a

cero luego no es convergente.

Estudiamos los valores de a en los que el criterio del cociente nos da duda.

Caso 1: 2 3a = − − , la serie es:

( ) ( )2 2

2 2

21 1 1

2 3 2 32 3 2 3

1 1 2 3

3 3 1

n n

n nn n n

sen senn n

senn

∞ ∞ ∞

= = =

− − − − − − + − + + − − = = + ∑ ∑ ∑




25

Como 2 2 2

2 3 2 3 1

1 1sen

n n n

− − − − ≈ ≈ + + la serie

21

2 3

1n

senn

∞

=

− − + ∑ es convergente por

comparación con la serie armónica generalizada.

Caso 2: 2 3a = − + , la serie es:

( ) ( )2 2

2 2

21 1 1

2 3 2 32 3 2 3

1 1 2 3

3 3 1

n n

n nn n n

sen senn n

senn

∞ ∞ ∞

= = =

− + − + − + + + + − + = = + ∑ ∑ ∑

Como 2 2 2

2 3 2 3 1

1 1sen

n n n

− + − + ≈ ≈ + + la serie

21

2 3

1n

senn

∞

=

− + + ∑ es convergente por

comparación con la serie armónica generalizada.

Luego el conjunto donde la serie es convergente es el intervalo 2 3, 2 3 − − − + .

23 (a) ¿Es convergente la serie 3 3

1

sen

cosn

n

n n

∞

= +∑ ? Justificar adecuadamente la respuesta.

(b) Determinar la suma parcial enésima que permite calcular

( )31

1

2 1n n

∞

= +∑ con un error menor

que 210−

Solución:

(a) Se tiene que:

3

3 3 3

3 3 3 3 31 cos1 cos

1 11

cos cos 1nn n n

sennn

n n n n n − ≤ − ≤ +

≤ ≤ ≠+ + −

La serie 3

1

1

1n n

∞

= −∑ es convergente por ser del mismo tipo que la serie

3/21

1

n n

∞

=∑ ya

que:




26

3/23

3

3/2

1

1lim lim 11 1n n

nn

n

n

→∞ →∞

− = =−

Por lo tanto, la serie dada es absolutamente convergente y por lo tanto es

convergente.

(b) Consideramos la serie ( )3/2

1

1

2 1n

S

n

∞

=

=+

∑ que es convergente (por comparación

con la serie armónica generalizada: 1

1p

n n

∞

=∑ con p=3/2>1) y nS la suma parcial n-

ésima de la serie.

Teniendo en cuenta que ( )( )3/2

1

2 1f x

x

=+

es decreciente y positiva en )1, ∞ se

cumple

( ) ( )( ) ( )

3/2 3/21

1 1... lim

2 3 2 5

h

nh

k n n

S S f k f x dx

n n

∞

→∞= +

− = + + = ≤+ +

∑ ∫

Como

( )( ) ( ) ( )3/2

1 1 1 1lim lim lim

2 1 2 1 2 12 1

h h

h h hn n

f x dx dxh n nx

→∞ →∞ →∞

= = − + =

+ + + + ∫ ∫


está acotado por

1

2 1nerror S S

n= − ≤

+

Si queremos ahora que este error sea menor que una centésima basta encontrar el

valor de n cumpliendo: 4

2

1 1 999910 2 1

2102 1n n

n< ⇔ < + ⇔ <

+. Basta tomar

entonces los 5000 primeros sumandos

( )

5000

5000 3/21

1

2 1n

S S

n=

≈ =+

∑




27

24 Se considera la serie de números reales ( )1 2

n

n

xx

n n

∞

=

∈+∑ � . Se pide:

(a) Estudiar para qué valores de x es convergente dicha serie

(b) Calcular su suma para x=1.

Solución:

(a) Como x es un número real estudiamos en primer lugar la convergencia

absoluta, es decir la convergencia de la serie de los valores absolutos

( )1 2

n

n

xx

n n

∞

=

∈+∑ �

Aplicando a esta última serie el criterio del cociente:

( )( )

( )

( )( )( )

1

21 3lim lim

1 3

2

n

nn n

x

x n nn nx

n nx

n n

+

→∞ →∞

++ += =

+ +

+

Si 1x < La serie ( )1 2

n

n

x

n n

∞

= +∑ converge absolutamente y por lo tanto es

convergente

Si 1x > La serie ( )1 2

n

n

x

n n

∞

= +∑ diverge absolutamente. Sin embargo el término

general no tiende a cero:

( )1

lim12

n

n

si xx

No existe si xn n→∞

∞ >= < −+

por lo tanto la serie ( )1 2

n

n

x

n n

∞

= +∑ no es convergente.




28

Si x=1 , La serie ( )1

1

2n n n

∞

= +∑ es convergente por el criterio de comparación por paso

al límite sin más que compararla con 2

1

1

n n

∞

=∑

Si x=-1 , La serie ( )( )1

1

2

n

n n n

∞

=

−

+∑ es convergente por el criterio de Leibniz (la sucesión

( )1

2na

n n=

+ es monótona decreciente y tiende a cero).

(b) Calculamos la suma para x=1, es decir, el valor de ( )1

1

2n n n

∞

= +∑ .

Descomponiendo el término general de la serie en fracciones simples:

( )1 1 1

,2 2 2 2

n

A Ba con A B

n n n n

−= = + = =

+ +

La suma parcial n-ésima es:

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 1 ... ...

2 2 3 4 2 3 4 1 2n nS a a a

n n n n

= + + + = + + + + + − + + + + + = + +

1 1 1 1 11

2 2 2 1 2n n

= + − + + +

Luego

1 1 1 1 1 1 1 3lim 1 1

2 2 2 1 2 2 2 4n n n→∞

+ − + = + = + +

y entonces

( )1

1 3

2 4n n n

∞

=

=+∑

Nota: Si en la solución de algún ejercicio crees que hay algún error ponte en contacto con la

profesora para su corrección.




29

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Bloque2b series numericas