TEMA 5 SERIES NUMRICAS

1

Serie numrica Dada una sucesin an , se llama serie numrica aa1, a2 , a3 ,KK : Trminos de la serie

an=1

n

Sumas parciales de una serie Sea an una sucesin. Se llama sucesin de sumas parciales de la serie

an=1

n

a la sucesin

Sn = a1 + a2 + LLL+ an

Carcter de una serie Sea Sn la sucesin de sumas parciales de la serie Si lim Sn = S entoncesn

an=1

n

an=1 n

n

= S y se dice que la serie es convergente

Si lim Sn = entonces nn

an=1

= y se dice que la serie es divergente

Si lim Sn no existe entonces se dice que la serie

an=1

n

es oscilante

2

Series geomtricas Se llama serie geomtrica de razn q a la serie

qn=1

n

, q

Se verifica que Si q < 1 entonces la serie es convergente y Si q 1 entonces la serie es divergente y Si q 1 entonces la serie Nota

n=1 n=1

qn = =

q 1 q

q

n

qn=1

n

es oscilante

qk Si q < 1 entonces q = 1 q n=k Ejemplo Estudiar el carcter de las siguientes series 1 2n n 3 n=1 n=1n

(1)n=1

n

Solucin

3

Ejercicio Estudiar el carcter de las siguientes series 1 an , a 7n 4n n=1 n=1

Serie armnica Se llama serie armnica a la serie Nota La serie armnica1 n n=1

nn=1

1

es divergente

Series telescpicas Se caracterizan por que los trminos (sumandos) se van cancelando, quedando solo unos pocos que nos indican lo que vale la suma. Ejemplo 1 1 Estudiar el carcter de la serie n n +1 n=1 Solucin

Ejercicio Estudiar el carcter de la serie

( n +1 n ) n=1

4

Propiedades Si

an=1

n

y

bn=1 n

n

son series convergentes entonces las

series

(an=1

+ bn ) y

C an=1

n

son convergentes. Adems

(an=1

n

+ bn ) = an +bnn=1 n=1

C an=1

n

= C ann=1 n

Las series

an=1

y

n=n0

a

n

tienen el mismo carcter (no la misma suma)

Ejemplo Estudiar el carcter de la serie Solucin

1+ 2n1 4n n=1

Ejercicio

3n +1 n + n +1 n Estudiar el carcter de la serie 5 n(n + 1) n =1

5

Condicin necesaria de convergencia de una serie Si una serie Ejemplo Estudiar el carcter de la serie Solucin

an=1

n

es convergente entonces lim an = 0n

n =1

1 Log 2 n

Ejercicio Estudiar el carcter de las siguientes series nn 1 n! 3 cos (1 n ) n=1 n =1

Series de trminos positivos Se dice que Nota Una serie de trminos positivos puede ser convergente divergente, pero nunca puede ser oscilante

an=1

n

es una serie de trminos positivos si an 0 , n N

6

Series mayorantes y minorantes Sean

an=1

n

y

bn=1

n

series de trminos positivos. Se dice que

an=1

n

es una mayorante (minorante) de Criterio de comparacin Sean Si Si

bn=1

n

si an bn ( an bn ) para n N0

an=1

n

y

bn=1

n

series de trminos positivos.

an=1 n=1

n

es una mayorante de es una minorante de

bn=1

n

y y

an=1

n

< entonces

bn=1

n

1 entonces la serie Ejercicio Estudiar el carcter de las siguientes series n 3 + cos 7 + sen2 (n3 ) 2 n2 + 5 n +1 n =1 n=1

nn=1

1

es divergente

1 n es convergente n=1

8

Criterio de comparacin en el lmite Sean

an yn=1

bn series de trminos positivos tales que limn=1

n

Si 0 < < entonces

an=1

n

y

bn=1

an = bn

n

tienen el mismo carcter

Si = 0 entonces an es una minorante de Si Si

b an=1 n=1

n=1

bn=1

n

. Por lo tanto

n

< entonces = entonces

abn=1 n=1

n

0 , la serie Ejercicio

n =1

an es convergente an + bn

Sea a n una sucesin de nmeros reales tal que 0 < a n 13 . Estudiar el carcter de la serie

n =1

1 a n Log 1 + sen 2 n + n + 13

11

Criterio del producto (Pringsheim) Sea

an=1

n

una serie de trminos positivos y tal que lim n an = n

Si 0 < <

> 1 entoncesy

a an=1 n=1

n

es convergente es divergente

1 entoncesSi = 0 y > 1 entonces Si = y 1 entonces Ejemplo

n

a an=1 n=1

n

es convergente es divergente

n

Estudiar el carcter de las siguientes series n+3 n nLog (n ) n6 + n + 3 n=2 n =1

Solucin

12

Criterio del cociente Sea

an=1

n

una serie de trminos positivos tal que a lim n+1 = n a n

Si < 1 entonces Si > 1 entonces Ejemplo

a an=1 n=1

n

es convergente es divergente

n

Estudiar el carcter de las siguientes series an 2n a>0 n n! n =1 n =1

Solucin

13

Criterio del Raabe Sea

an=1

n

una serie de trminos positivos tal que a lim n+1 = 1 n a n

Supongamos que a lim n 1 n+1 = a n n Si > 1 entonces an es convergente

Si < 1 entonces

an=1

n=1

n

es divergente

14

Ejemplo Estudiar el carcter de las siguientes series 1 3 5 L L (2 n 1) 2 4 6 L L (2 n ) n =1

n =1

Solucin

( + 1)( + 2 )L L ( + n 1) n x ( + 1)( + 2 )L L ( + n 1)

1 3 n =1

1 1 1 1+ + +LL+ 2 3 n

,,x > 0

15

Criterio de la raz Sea

an=1

n

una serie de trminos positivos tal quelim n an = n

Si < 1 entonces Si > 1 entonces Ejemplo

a an=1 n=1

n

es convergente es divergente

n

Estudiar el carcter de la serie

n =1

n + 1 n 6n 2 + 2n + 1 + 2 n 3n + 7 n 8

n

Solucin

16

Criterio logartmico Sea

an=1

n

una serie de trminos positivos tal que1 Log a n = lim n Log n

Si > 1 entonces Si < 1 entonces Ejemplo

a an=1 n=1

n

es convergente es divergente

n

Estudiar el carcter de la serie Solucin

n =1

1n

1 1 + n

17

Criterio de condensacin Sea an una sucesin montona decreciente de trminos positivos. Entonces las series Ejemplo Estudiar el carcter de la serie 1 >0 2 n = 2 n (Log (n ))

an=1

n

y

2 an n=1

2n

tienen el mismo carcter

Solucin

18

Ejercicio Estudiar el carcter de las siguientes series

n =1 n =1

n

2 3

+1

n4 + 7n + 5 2 5 8 L L (3n 1) 3 4 5 L L (n + 2 )

n =1

(n!) 4 (2 n )!2 n =1

1 3 n =1 2n n cos 2n + 4

n

1 1 1 1+ + +LL+ 2 3 n

( n =1

n

n 1

)

n

n =1

1 4 7 L L (3n 2 ) 3 6 9 L L (3n )

2

Ejercicio Estudiar el carcter de las siguientes series segn los valores de los parmetros que se indican: n2 (3 n k + 4 ) b n k , b > 0 a 3 2 e an n + 3n + 2 n n =1 n =1

n =1

( + 1)( + 2 )LL ( + n )n!

>0

n =1

1 1 1 1 + 2 + 4 + 6 L L n + 2 n 2 4 8 2 n k n!

k>0

Log 1

+

Log 2

+

Log 3

+ LL +

Log ( n )

+ LL

>0

n=2

5 n 5 1 + 2 1 n (Log (n ))

>019

Series alternadas Una serie

an=1

n

es alternada si sus trminos son alternativamente

positivos y negativos Nota La forma ms comn de presentar una serie alternada es

(1) an n=1

n

, an 0

Criterio de Leibniz Sea

an=1

n

una serie alternada tal que

lim an = 0n

bn = an

es montona decreciente

Entonces la serie

an=1

n

es convergente

20

Ejemplo Estudiar el carcter de la serie Solucin

n =1

( 1)nn

Ejemplo Dgase, justificando la respuesta, si es cierta o falsa la proposicin siguiente: Si a n es una sucesin acotada de nmeros reales tal que para todo n N se an verifica a n a n +1 < 0 y a n +1 < a n , entonces la serie es convergente. n +1 n =1 Solucin

21

Ejemplo Dgase razonadamente si es convergente la sucesin a n que verifica que ( 1)n para todo n N a1 = 13 y a n +1 = a n + n Solucin

Ejercicio Estudiar el carcter de la serie Ejercicio

n =1

( 1)nn

Sea a n una sucesin que verifica a1 = 7 y a n +1 = a n Estudiar la convergencia de la sucesin a n Estudiar la convergencia de la serie valores del parmetro real > 0

( 1)n +n2

. Se pide:

n =1

an 3 + n

segn los diversos

22

Series de trminos arbitrarios Son series donde los trminos (sumandos) son arbitrariamente positivos y negativos Serie absolutamente convergente Una serie

an=1

an=1

n

es absolutamente convergente si

n

es convergente.

Teorema Si

an=1

n

es absolutamente convergente entonces es convergente

Serie condicionalmente convergente Una serie

an=1

n

es condicionalmente convergente si es

convergente pero no absolutamente convergente Nota Para analizar la convergencia de una serie

an=1

n

de trminos arbitrarios,

estudiaremos previamente el carcter de la serie

an=1

n

, que es una

serie de trminos positivos mucho mas fcil de tratar

23

Ejemplo Estudiar la convergencia de las siguientes series ( 1)n sen (nx ) x 2 n + 2n + 2 n3 n =1 n =1

Solucin

Ejercicio Estudiar la convergencia ( 1)n 1 tg 1 n n n =1

de las siguientes series cos (n ) n2 n =1

24

Suma de series Serie geomtrica Es una serie de la forma

qn=k

n

, q n

qk Si q < 1 entonces q = 1 q n =kEjemplo Hallar la suma de la serie Solucin

n=0

2n + 5n 6n

25

Serie aritmtico-geomtrica Se llama serie aritmtico-geomtrica de orden k a la serie

P(n) qn=1

n

P(n) : Polinomio de grado k

q : Razn

Nota Si q < 1 entonces Nota

P(n) qn=1

n

es convergente

Si S = P(n) qn , los pasos para calcular S son Hallar S qS que se obtendr sumando una serie geomtrica un serie aritmtico-geomtrica de orden menor que k Despejar S Ejemplo Hallar la suma de las siguientes series 4n 1 n2 2n 3n n =1 n =1 Solucinn=1

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Serie telescpica Se caracteriza por que los trminos (sumandos) se van cancelando, quedando solo unos pocos que nos indican lo que vale la suma. Ejemplo Hallar la suma de las siguientes series 1 n 1 n2 + n n (n + 1)(n + 2 ) n =1 n =1 n +1 (n + 2 )! n =1 1 n Log 1 + (1 + n ) n n +1 nLog (n )Log (n + 1)

n=2

Solucin

27

Ejemplo Sea a n una sucesin tal que a1 = 1 y lim an = 14 . Sea la serie n bn = a n a n 1 . Se pide: Estudiar la convergencia de dicha serie En caso afirmativo, hallar su suma Solucin

bn =2

n

donde

Ejercicio Hallar la suma de las siguientes series n n + ( 1) 7 3 n 1 + 2 n 5n 4n2 n =1 n=2

n=2

2 n 1 2 n + 3 3 n n

n =1

1 (n + 1) n + n n + 1

3n + n 2 + n 3n +1 n (n + 1) n =1 1 Log 1 2 n n=2

Ejercicio Estudiar el carcter de la serie Hallar su suma para r = 1

(2 4 6 LL (2n )) r n 6n (n 1)! n =1

, r>0

28

Suma de aproximada de series Resto de una serie Se llama resto de orden n de la serieRn =k =n+1

ak

an=1

n

a

Clculo aproximado de la suma Aproximamos

an=1

n

Sn = a1 + a2 +LLL+ an

Error : Rn Estimacin del error cometido Si

an=1

n

es alternada y bn = an es decreciente entoncesRn an+1

Si

an=1

n

es una serie de trminos positivos, acotaremos el

error Rn , en la medida de lo posible, mediante expresiones donde aparezcan series geomtricas.

29

Ejemplo Hallar una suma aproximada de las siguientes series con un error menor que una milsima. 1 2n n n +1 ( 1) n n! n! (5n + 3 ) 7 n =1 n =1 n =1

Solucin

Ejercicio Hallar una suma aproximada de las siguientes series con un error menor que una milsima. n ( 1)n n n! n2 + 1 n =1 2 n =1

30