Series Numericas Granada

8/8/2019 Series Numericas Granada

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Ejercicios de Anlisis Matemtico

Series numricas

1.Estudia la convergencia de las series: a)X

n>1

1

n.nC1/y b)X

n>1

log 1C1

n.

Solucin. a)1

k.k C 1/ D.k C 1/ kk.k C 1/ D

1

k 1k C 1

nXkD1

1

k.k C 1/ D 11

nC 1 :

LuegoXn>1

1

n.n C 1/ D1 1

n C 1

! 1, es decir la serie

Xn>1

1

n.n C 1/ es convergente y su

suma es igual a 1.

b) log

1C 1

k

D log k C 1

kD log.k C 1/ logk

nXkD1

log

1C 1

k

D log.n C 1/:

LuegoXn>1

log1C1

n Dflog.nC 1/g!C1, es decir la serieXn>1

1

n.n C 1/es positivamente

divergente.

2. Justifica las igualdades:

a)

1XkD1

1

4k 3 1

4k 2 C1

4k 1 1

4k

D log2.

b)1

2

1XkD1

1

2k 1 1

2k

D log2

2.

c)

1

XkD1

1

4k 3 C1

4k 1 1

2k

D 3

2log2.

Solucin. a) y b) Sabemos que la serie armnica alternada es convergente y su suma es igual

a log2.

1XnD1

.1/nC1n

D log2. Tambin sabemos que una serie obtenida asociando trminos en

una serie convergente tambin es convergente y con la misma suma. Las series en a) y en b) se

obtienen de la serie armnica alternada asociando trminos de 4 en 4 o de 2 en 2 respectivamente,

lo que justifica las igualdades en a) y en b). Finalmente, observa que la serie en c) se obtiene

sumando las series en a) y en b).

3. Demuestra que si los trminos de la serie armnica alternada se permutan de tal modo que a cada

grupo de p trminos positivos consecutivos le siga un grupo de q trminos negativos consecuti-

vos, entonces la nueva serie as obtenida es convergente con suma igual a log 2C 12

log.p=q/.

Solucin. Pongamos Sn DnX

kD1.1/

kC1

k. Consideremos la sucesin

Sn.pCq/

n2N que es preci-

samente la serie que se obtiene asociando trminos de p C q en p C q en la serie del enunciado.Si dicha sucesin es convergente se sigue que la serie del enunciado tambin es convergente y su

Dpto. de Anlisis Matemtico Universidad de Granada


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Ejercicios de Anlisis Matemtico 3

b/ Pongamos an D.nC 1/nnnC2

. Apliquemos el criterio del cociente:

anC1an

D .nC 2/nC1

.nC 1/nC3nnC2

.nC 1/n Dn C 2n C 1

nC3 n

nC 1n

n2

.n C 2/2D

D 1C1

nC 1nC3

11

nC 1n

n2

n2 C 4n C 4 ! e1

e D 1:

AdemsanC1an

6 1, por tanto el criterio del cociente no proporciona informacin sobre la conver-

gencia de esta serie. Cuando esto ocurre igual sucede con el criterio de la raz. Esto nos indica

que la serie no es comparable con una serie geomtrica. El criterio de Raabe no parece fcil de

aplicar. Podemos intentar el primer criterio logartmico. Tenemos que:

log.an/logn

D n log.nC 1/ C .n C 2/ lognlogn

D n logn

nC1logn

C 2 ! 2 > 1:

Por tanto la serie es convergente. Este criterio nos dice que la serieP

an es comparable con una

serie de Riemann de exponente D2. Que efectivamente esto es as es fcil de comprobar. Si nos

fijamos en an y recordamos que la sucesinnC 1n

n

es creciente y converge a e, enseguida

nos damos cuenta de lo que sigue:

an D.nC 1/nnnC2

DnC 1n

n1

n26

e

n2

lo que permite concluir, por el criterio de comparacin, que la serie es convergente.

Observacion. Antes de empezar a aplicar criterios de convergencia, fjate bien en la forma que

tiene el trmino general de la serie e intenta relacionarlo con alguna sucesin conocida.

e/ Pongamos an D 1n!

n

a n

. Apliquemos el criterio del cociente:

anC1an

D 1.n C 1/!

n C 1a

nC1n! an

nD a

n C 1n

n! a

e:

Deducimos que si 0 < a < e la serie es convergente, si a > e la serie es divergente. Para a D eel criterio no proporciona informacin. Ni el criterio de Raabe ni el primer criterio logartmico

parecen fciles de aplicar. Cuando no queda otro recurso hay que intentar aplicar el criterio de

comparacin. Supuesto que aD e, tenemos que:

an D nn

n!

1

en>

nn

n!

n!

.n C 1/nC1 D1

1C 1n

n 1nC 1 > 1e 1nC 1 > 15n :Donde hemos usado que para todo k

2N es e < 1C

1k

kC1

D kC1k

kC1, de donde se sigue que

para todo n2N:1

en>

nYkD1

k

k C 1

kC1D n!

.n C 1/n :

Concluimos, por comparacin con la serie armnica, que la serie es divergente para

aD e.

f / Pongamos an D

1

log.nC 1/logn

. Aqu no es apropiado aplicar el criterio del cociente

porque no hay factores que se simplifiquen al calcular el cociente de un trmino al anterior.

El criterio de la raz puede aplicarse, pero no proporciona informacin sobre el carcter de la



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serie porque, como debes comprobar, npan ! 1 y npan 6 1. Podemos aplicar el primer criterio

logartmico. log.an/

lognD log.log.n C 1// ! C1:

La serie es convergente. Deducimos que se trata de una serie que converge ms rpidamente que

cualquier serie de Riemann y menos rpidamente que cualquier serie geomtrica.

h/ Pongamos an D nlogn

.logn/n. Es apropiado aplicar el criterio de la raz.

npan D n

lognn

lognD e

.logn/2

n

logn! 0:

La serie es convergente.

i/ Pongamos anDe 1C1=n2n2 . Observa que como 1C 1

k

k< e para todo k2N , se tiene que

an > 0. Los criterios del cociente, de la raz, de Raabe y los logartmicos no parecen apropiados

para estudiar esta serie. Cuando esto sucede hay que intentar aplicar un criterio de comparacin.

Si recuerdas el lmite, que hemos visto varias veces:

lKmx!0

e .1C x/ 1xx

D e2

;

se deduce que si fxng ! 0 se verifica la equivalencia asinttica e .1 C xn/1=xn e2xn. Portanto:

an D e 1C 1=n2n2 e

2

1

n2;

y deducimos que la serie converge por el criterio lmite de comparacin. Tambin podemos usar

el criterio bsico de comparacin usando que para todo k 2N se verifica que e < 1 C 1k

kC1.

Con ello se tiene:

anD

e1C

1

n2n2

< 1C1

n2n2C1

1C1

n2n2

D 1C1

n2n2 1

n2 1.

l/ PongamosanD

n2 C 1n2 C nC 1

nD1 n

n2 C nC 1n

. Despus de pensarlo un poco, parece

apropiado usar el primer criterio logartmico. Tenemos que:

log.an/logn

D n

lognlog

1 n

n2 C nC 1

n

logn

n

n2 C nC 1 n1

logn:

Por tanto:

lKmn!1

log.an/logn

D C1; si > 1I

0; si < 1:



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La serie converge si > 1 y no converge si < 1. Para D 1 se tiene que fang ! 1e

y por tanto

la serie no converge porque su trmino general no converge a 0.

m/ Pongamos an D aPn

jD1 1=j . Es evidente que si a > 1 se tiene que an > 1 y, por tanto, la serie

no es convergente porque fang no converge a 0. Podemos aplicar el criterio del cociente.anC1

an D a1

nC1 ! 1:

Este criterio no proporciona informacin sobre la convergencia de la serie. Intentemos el criterio

de Raabe.

Rn D n1 anC1

an

D n1 a 1nC1 D n e loganC1 1 n log a

n C 1 ! loga:

Deducimos que si log a > 1, es decir, a < 1e

la serie converge, y si loga < 1, es decir, a > 1e

la serie no converge. En el caso en que aD 1e

se tiene que:

Rn D n1 e1nC1 6 1 e

1nC1 >1 1

n e61C

1

n

1

nC1:

Esta ltima desigualdad es cierta porque para todo k2N es e < 1C 1k

kC1 1:

La serie converge.

r / Pongamos an D n! en

nnC. Apliquemos el criterio del cociente.

anC1an

D e

n

nC 1n

n

nC 1

! 1:

Este criterio no proporciona informacin sobre la convergenciade la serie. Apliquemos el criterio

de Raabe en su forma alternativa.an

anC1

nD 1

en

nC 1n

n2C nD

1C 1n

ne

!nn C 1n

n

Tenemos que nC 1n

n

!e . La sucesin zn

D 1 C 1

nn

e!n

es una indeterminacin 11,

por tanto fzng ! eL donde L es el lmite de:

n

1 C 1

n

ne

1!

D 1e

1C 1

n

n e1n

! 12

:

Por tanto: an

anC1

n! e12 :

La serie converge si 12

> 1, esto es > 32

y no converge para < 32

. Para D 3=2 la serieno converge; de hecho se verifica que:

Rn D n1 e nn C 1nC3

2!6 1

pero esta desigualdad no parece que sea fcil de probar.

s/ Pongamos an D logn sen 1

n

. Despus de pensarlo un poco te dars cuenta de que hay que

aplicar un criterio de comparacin. Tenemos que:

an D log

sen 1n

1n

!:

Observa que an < 0 porque para x > 0 es senx < x. Esto lleva a considerar la funcin:

f .x/ D log senxx

:

Para x ! 0 tenemos las siguientes equivalencias asintticas:

f .x/ senxx

1D senx xx

16x2:

Deducimos que:

an D f1

n

1

6

1

n2:

Por el criterio lmite de comparacin se sigue que la serieP

.an/ D P

an es convergente y,

por tanto,P

an es convergente.



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5. Estudia la convergencia de las siguientes series donde ; 2R.

a/Xn>1

.n1=n2 1/I b/

Xn>1

.3pn C 1 3pn/ log

n C 1n

c/ Xn>1

2 4 6 .2n/

5 7 .2n C 3/

d/ Xn>1

n exp

n

XkD1

1

k!

Solucin. a/ Pongamos an D n1=n2 1. Tenemos que:

an D elogn

n2 1 lognn2

:

Por el criterio lmite de comparacin, la serie es convergente.

b/ Pongamos an D . 3pn C 1 3pn/ log

nC1n

. Tenemos que:

an D 3pn

r1 C 1

n 1

!log

1C 1

n

n 13 1

3

1

n2D 1

3

1

n5

3

:

Por el criterio lmite de comparacin, la serie es convergente.

c/ Pongamos an D

246.2n/57.2nC3/

. Aplicaremos el criterio del cociente.

anC1an

D

2 4 6 .2n/.2n C 2/5 7 .2n C 3/.2n C 5/

5 7 .2n C 3/2 4 6 .2n/

D2n C 22n C 5

Este criterio no proporciona informacin sobre la convergenciade la serie. Apliquemos el criterio

de Raabe en su forma alternativa.an

anC1

nD2n C 52n C 2

n! e 32 :

Por tanto, si 32

> 1, o sea, > 23

la serie converge, y si 32

< 1, o sea, < 23

la serie no

converge. Para D 23 la serie no converge, pero este caso requiere un estudio especfico que novamos a hacer.

Vamos a hacer este ejercicio con otro tipo de tcnica que resulta muy conveniente para series

cuyo trmino general es parecido al de la serie que nos ocupa.

Estrategia. Consideremos una serie del tipoXn>1

.cn/ donde cn D p1p2

pnq1q2 qn

y pj ; qj son

nmeros enteros positivos. Adems qn es de la forma qn Dpn C k donde k es un entero positivofijo. En el ejemplo que nos ocupa es pn D 2n y qn D 2n C 3 D pn C 3. Observa que paraque fcng ! 0 es necesario que > 0. Una estrategia bastante buena para estudiar estas seriesconsiste en acotar directamente cn usando la desigualdad (vlida por ser pn < qn):

pn

qn1

3nn!3pn 5 8 11 .5C 3n/

b)Xn>1.a

pa/.a

3pa/ .a

npa/ .a > 0/

Solucin. a) Pongamos an DXn>1

3nn!3pn 5 8 11 .5C 3n/ . Tenemos que:

anC1an

D 3nC1.n C 1/!

3pn C 1 5 8 11 .5C 3n/.5C 3.nC 1//

3pn 5 8 11 .5C 3n/

3nn!D

D

n

n C 1

13 3nC 33nC 8 ! 1:

El criterio del cociente no proporciona informacin sobre la convergencia de la serie. Aplicare-

mos el criterio de Raabe en su forma alternativa.an

anC1

nDn C 1n

n33nC 83nC 3

nD1C 1

n

n31C 5

3nC 3n

! e 13 e 53 D e2 :

La serie converge.

b) Pongamos an D .apa/.a 3pa/ .a npa/. Tenemos que:

anC1an

D a nC1pa ! a 1:

Por tanto, si a 1 < 1, o sea, 0 < a < 2, la serie converge; y si a 1 < 1 o sea a > 2 la serieno converge. Para el caso en que aD 2 el criterio del cociente no proporciona informacin sobrela convergencia de la serie. Aplicaremos el criterio de Raabe.

n

1 anC1

an

D n nC1p2 1 ! log2 < 1:

La serie no converge.

7. Sea fang una sucesin creciente de nmeros positivos. Dar condiciones que garanticen que laserie

Xn>1

1

a1a2a3 anes convergente.



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Solucin. Pongamos xn D 1a1a2a3 an

. Si fang no est mayorada, como es creciente se tieneque fang ! C 1. Por tanto, hay un nmero k2N tal que para todo n>k se verifica que an> 2.Deducimos que para n > k se verifica que:

1

a1a2

ak1akak

C1

an

D 2k

a1a2

ak1

1

2k1

akakC1

an6M

1

2k1

2nk

DM 12n

:

Donde hemos puesto MD 2k

a1a2a3 ak1que es una constante independiente de n. Concluimos

que la serie es convergente por comparacin con la serie geomtrica de razn 1=2.

Si fang est mayorada, como es creciente se tiene que fang ! L donde L > 0. Si L > 1,podemos tomar un nmero tal que 1 < < L, con lo que podemos asegurar que hay algnk2N tal que an> para n>k. Podemos ahora repetir el razonamiento anterior con 2 sustituidopor y concluimos que la serie converge por comparacin con la serie geomtrica de razn 1=.

Si 0 < L 6 1, entonces como 0 < an 6 L, se tiene que 0 < an 6 1 para todo n 2N, lo queimplica que xn > 1 por tanto fxng no converge a 0, lo que implica que la serie no converge.Tambin puede aplicarse el criterio del cociente.

xnC1

xn D1

anC1 !1

L

donde fang ! L2RC[fC1g. Por lo que si L > 1 o si LDC1, se tiene que 1L < 1 y la serieconverge. Si L < 1 la serie no converge, y si LD1 tampoco converge porque entonces xnC1

xn>1.

8. Dar ejemplos de sucesiones fang ! 1 y decrecientes tales que la serieXn>1

1

a1a2a3 ansea en

un caso convergente y en otro caso divergente.

Solucin. La sucesin an D 1C 1n D nC1n decrece y converge a 1. Tenemos que:

a1a2 : : : an D2 3 4 .n C 1/

12

3

nD n C 1:

La correspondiente serie es divergente.

La sucesin an D 31=n es decreciente y converge a 1. Tenemos que:

xn D1

a1a2a3 anD1

3

PnjD1

1

j

:

Esta serie es convergente porque aplicando el criterio de Raabe obtenemos:

n

1 xnC1

xn

D n

1 nC1

r1

3

!! log 1

3D log3 > 1:

9. Sea an> 0 para todo n2N . Prueba que las series X

n>1

an y Xn>1

an

1 C anambas convergen o ambas

divergen.

Solucin. Pongamos bnDan

1C an. Como 1Can>1, la desigualdad bn6an prueba que si la serieP

an es convergente tambin es convergente la serieP

bn. Recprocamente, si la serieP

bn es

convergente entonces debe ser fbng ! 0, por lo que hay algn k 2N tal que para todo n> k esbn 1=2. Concluimos

que la serieXn>1

.1/n 1nC.1/n converge si > 1=2. En resumen, la serie converge absolutamen-

te si > 1 y converge no absolutamente si 1=2 < 6 1. La serie no converge para 6 1=2.

b) Pongamos an D log1C .1/n

n

. Observa que an D .1/n

xn donde xn D janj. Probemosque x2nC16x2n6x2n1, de donde se sigue que fxng decrece a 0. Usaremos la desigualdad (que tdebes comprobar), vlida para 0 < x < 1, log.1 x/6x. Tenemos:

x2n1 Dlog

1 1

2n 1D log

1 1

2n 1>

1

2n 1 >1

2n> log

1C 1

2n

D x2n

Luego x2n < x2n1 para n> 2. Por otra parte:

x2nC1 D log1C 1

2n C 1

D log

2n

2n C 1

D log

2n C 12n

D log

1C 1

2n

D x2n

Concluimos, por el criterio de Leibniz, que la serie

Pan es convergente. Puesto que:

janj Dlog

1C .1/

n

n

1n

la serie no es absolutamente convergente.

c) Estudiaremos primero la convergencia absoluta. Sea an D1 3 5 .2n 1/

2 4 6 2n

. Si 6 0

entonces fang no converge a 0 y la serie no es convergente. Supondremos en lo que sigue que > 0. Tenemos que:

anC1an

D2n C 12n C 2

! 1:

El criterio del cociente no proporciona informacin sobre la convergencia absoluta de la serie.

Aplicaremos el criterio de Raabe en su forma alternativa.an

anC1

n

D2n C 22n C 1

n

D1C 1

2n C 1

n

! e2 :

Por tanto, si 2

> 1, o sea > 2 la serie converge absolutamente; si 2

< 1, o sea < 2 la

serie no converge absolutamente. El caso en que D 2 requiere un estudio particular (ver msadelante). Nos queda por estudiar lo que ocurre si 0 < 62. Observa que para > 0 es evidenteque la sucesin fang es decreciente. Lo que no es evidente es que converja a 0. Para aplicar elcriterio de Leibniz a la serie

P.1/nC1an hay que probar que fang ! 0. Esto puedes hacerlo

comprobando que la sucesin log.an/ ! 1. Esto es fcil y te lo dejo para que lo hagas t. Yovoy a seguir otro camino. Aplicando la estrategia ?? a la sucesin xn D

1 3 5 .2n 1/2 4 6 2n se

obtiene fcilmente que:

12pn

< xn < 1p2n C 1 12n=2 < an < 1.2n C 1/=2

Desigualdad que implica que fang ! 0 para todo > 0. Adems esta desigualdad nos dice quepara D 2 es an > 12n lo que implica que la serie no converge absolutamente para D 2. Enresumen: hay convergencia absoluta para > 2 y hay convergencia no absoluta para 0 < 6 2.

14. Estudia, segn los valores de 2R, la convergencia absoluta y la convergencia no absoluta de laserie X

n>2

.1/nC1n1

n log

n 1n

:



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Solucin. Pongamos znD.1/nC1n1n

logn1n

. Estudiaremos primero la convergencia

absoluta. Tenemos que:

lKmx!0

x log.1 x/x2

D 12f .x/ 1

2x2

y por tantojznj D

nf 1n 12n2 . Por tanto, la serie P zn converge absolutamente si, y slosi, 2 > 1, o sea, < 1. Si 2 6 0, o sea > 2, entonces fzng no converge a 0 y por

tanto la serieP

zn no es convergente. Queda por ver lo que ocurre cuando 1 6 < 2. Para

dichos valores de se tiene que fzng ! 0. Probaremos que fzng es decreciente. Pongamosf .x/ D x.x log.1 x// donde 0 < x < 1. Observa que zn D .1/nC1f .1=n/. Tenemosque:

f 0.x/ D xC1

1 x C x1.x log.1 x//;

recordando que x log.1 x/ > 0 para 0 < x < 1, se sigue que f 0.x/ > 0 para 0 < x < 1.Por tanto f es estrictamente creciente en 0; 1 y, en particular, es f

1

nC1

< f1n

. El criterio

de Leibniz nos dice que la serieP

zn es convergente para 16 < 2.

15. Calcula la suma de las siguientes series.

a/Xn>1

1

4n3 n b/Xn>1

1

.nC 1/pnC npn C 1 c/Xn>1

1

2nnC 2

n.nC 1/

d/Xn>1

2n1

.1C 2n/.1C 2n1/ e/Xn>0

.1/nn3 nC 13nn!

f /Xn>2

.1/nn2 n3n

Solucin. a) Haremos la descomposicin en fracciones simples de la funcin racional1

4x3 x .Tenemos que 4x3xDx.4x21/Dx.2xC1/.2x1/. El denominador tiene tres races realessimples. Escribamos:

1

4x3 x DA

xC B

2x C 1 CC

2x 1 :Fcilmente se obtiene A

D 1, B

DC

D1. Por tanto:

1

4k3 k D 1

kC 1

2k C 1 C1

2k 1 :

Observa que cuando sumemos nos van a quedar expresiones que podremos relacionar con la

serie armnica alternada por lo que conviene sumar desde k D 1 hasta k D 2n. Como ya es usualponemos Hn D

PnkD1

1k

y usaremos la estrategia ?? que ya debes conocer.

2nXkD1

1

4k3 k D nX

kD1

1

2kC

nXkD1

1

2k C 1 C2nX

kDnC1

1

2k C 1 C2nX

kDnC1

1

2k 1D

D 1C2nC1

XkD1.1/kC1

kC 2

H4nC1 1

2H2n H2nC1 C 1

2Hn

C 1

2n

C1D

D 1C2nC1XkD1

.1/kC1k

C 2

log.4n C 1/ C 4nC1 12

.log.2n/ C 2n/

log.2n C 1/ 2nC1 C 12

.log.n/ C n/

C 12n C 1 !

! 1C log2C log2D 2 log2 1:

Luego

1XnD1

1

4n3 n D 2 log2 1.



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16/17


17/17


Puesto que2

ei 1 es una constante independiente de n, el criterio particular de Dirichlet nos

dice que la serie es convergente.

iii)

cos nC i senn

n2

D 1

n2. La serie es absolutamente convergente.

iv) La serie de las partes reales,Xn>1

cos

nn es una serie de trminos positivos divergente porque

cos n

n 1

n. Luego la serie no converge.

v)

.2C i/n.1C 2i /n 1n

D j2C ijnj1C 2i jn 1n D 1n . La serie no converge absolutamente.Para estudiar la con-

vergencia no absoluta podemos aplicar el criterio particular de Dirichlet. Pongamos bn D 1n yan D

2Ci1C2i

n. Tenemos que fbng es montona y converge a 0. Adems, poniendo w D 2Ci1C2i ,

tenemos que:

n

XkD1

ak D n

XkD1

wk D wnC1 w

w1 D

wnC1 wjw 1j6

jwjnC1 C jwj

jw

1

jD 2

jw

1

j:

Como2

jw 1j es una constante independiente de n, el criterio particular de Dirichlet nos diceque la serie es convergente.

Observa que el criterio particular de Dirichlet implica que las serie de nmeros complejos de la

formaXn>1

znbn donde fbng es una sucesin de nmeros reales montona y convergente a 0 y z es

un nmero complejo de mdulo 1 y distinto de 1, (z1; jzjD1), son convergentes.Naturalmentesi jzj < 1 tales series convergen absolutamente. vi) Es fcil comprobar que el trmino general de la serie no converge a cero y, por tanto, la serie

no es convergente.

17. Sea 2R con jj < 1 y # 2R. Calcula los lmites: 1XnD0

n cos.n#/ y1XnD0

n sen.n#/.

Sugerencia. Llama A a la primera suma y B a la segunda. Calcula AC iB.Solucin. Observa que por ser jj < 1 las dos series son absolutamente convergentes. Tenemosque:

A C iB D1XnD0

n

cos.n#/ C i sen.n#/D 1XnD0

ei#

n D 11 ei# D

D 1 ei#

1 C 2 2 cos # D1 cos #

1C 2 2 cos # C i sen #

1C 2 2 cos # :

Deducimos que:

AD1XnD0

n cos.n#/ D 1 cos #1C 2 2 cos # ; B D

1XnD0

n sen.n#/ D sen #1C 2 2 cos # :


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