Aspectos geométricos de las transformaciones lineales.

Alfredo Gómez Rodríguez Departamento de Materia

Condensada, Instituto de Física. División de Ciencias Básicas, Facultad

de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de

México. México D.F. C.P. 04510

Puntos

Para hacer geometría con álgebra lineal comenzamos identificando los puntos (geometría) con los vectores de un espacio vectorial V (álgebra).

En esta presentación V es R2.

Rectas I

Una recta en el espacio euclidiano de dos dimensiones puede expresarse como

L P P0 ta t R

Rectas II

Donde P0 es un punto fijo y dado en la recta. “a” es un vector no nulo.

Decimos que se trata de la recta que pasa por P0 y es paralela a a.

Rectas III

Gráficamente

Segmentos de recta I

El segmento de recta que conecta a los puntos a y b está dado por

L P b ta b t 0,1

Efecto de una transformación sobre una recta I

Si T es una transformación lineal, su efecto sobre una recta está dado por

TL Tx x L

Efecto de una transformación sobre una recta II

y

TL TP0 ta t R

Efecto de una transformación sobre una recta III

De modo que

TL TP0 tTa t R

Efecto de una transformación sobre una recta IV

Y si T(a)≠0 tendremos que la transformación mapea una recta en otra.

Análogamente, transforma segmentos en segmentos.

Puede demostrarse que T transforma rectas paralelas en rectas paralelas.

Efecto de una transformación sobre una recta V

T mapea rectas que se cortan en rectas que se cortan.

T mapea paralelogramos en paralelogramos.

Grupo general lineal I

Ya hemos visto que es deseable excluir el caso T(a)≠0 por lo que la atención, generalmente, se centra en el grupo de todas las transformaciones invertibles del espacio V en el espacio V.

Este grupo se llama grupo general lineal GL(2,R) (en dos dimensiones)

Grupo general lineal II

De hecho una transformación lineal invertible mapea conjuntos linealmente dependiente en conjuntos linealmente dependientes

Y conjuntos linealmente independientes en conjuntos linealmente independientes.

Transformaciones afines

Los elementos del grupo general lineal junto con las translaciones forman las transformaciones afines.

La geometría afín es la geometría de las propiedades que quedan invariantes bajo transformaciones afines.

Félix Klein y el programa de Erlangen

Una geometría es el estudio de las propiedades invariantes bajo un grupo.

Cambio de área I

Bajo una transformación lineal las figuras cambian de área

Cambio de área II

Para apreciar el efecto sobre el área, considere un paralelogramo de lados a y b formando un ángulo θ entre sí.

Su área es

A a h a b sen a b

Cambio de área III

pero

A a b a1b2 a2b1 deta1 b1

a2 b2

Cambio de área IV

Si la transformación tiene como matriz (en la base canónica)

M M11 M12

M21 M22

Cambio de área V

Tendremos que el área del nuevo paralelogramo será

A detM11 M12

M21 M22

a1 b1

a2 b2 det

M11 M12

M21 M22

deta1 b1

a2 b2

detM11 M12

M21 M22

A

Cambio de área VI

Por ello el valor absoluto del determinante nos da la razón de las áreas antes y después de la transformación.

Pero ¿el signo? El signo tiene que ver con el carácter

derecho o izquierdo de la transformación.

Cambiando derecha e izquierda

Si el determinante es mayor que cero, la figura transformada está cambiada en su área pero no en su quiralidad.

Si el determinante es menor que cero, la figura transformada está cambiada en su área y en su quiralidad. Hubo un espejo.

El mundo del espejo

¿podríamos viajar al mundo “al otro lado” del espejo?

Lewis Carroll en su obra Alicia a través del espejo especula con la idea

El mundo del espejo

El mundo del espejo

¿no es peligroso?

¿Te gustaría vivir en un espejo, gatito? Me pregunto si te darían leche allí. A lo mejor la leche que hay en el espejo no se puede beber.

Alicia (Lewis Carroll: Alicia a través del espejo)

¿son iguales el mundo y el mundo del espejo?

Considere usted un objeto O y su imagen especular O'. Si O y O' son idénticos, se dice que el objeto O es aquiral; en caso contrario que O es quiral (o tiene quiralidad).

Quiralidad

Viene de griego cheiros= mano. De ahí palabras como quiromancia,

quiropráctico, quirófano, cirujano, quiróptero.

Otra definición de quiralidad

Quiralidad: Es la capacidad de ciertos objetos de existir en versiones "derecha" o "izquierda" o en versiones "dextrógira " (como tornillo de rosca derecha) o "levógira" (como tornillo de rosca izquierda).

Enantiomorfos

Dos objetos, el uno la imagen especular del otro, se dice que son enantiomorfos (griego enantios=opuesto y morfé= forma).

Por ejemplo, un guante derecho y un guante izquierdo son enantiomorfos.

Objetos quirales

Objetos quirales

Definición de Kelvin

“Digo que una figura, o un grupo de puntos, es quiral, y digo que tiene quiralidad, si su imagen en un espejo plano, realizada idealmente, no puede hacerse coincidir con ella misma."

Kelvin

La quiralidad de las moléculas

La quiralidad de las moléculas II

La quiralidad de las moléculas III

Quiralidad y reacciones químicas

Talidomida I La talidomida aparece como una

mezcla de dos enantiómeros (llamados S y R).

El enantiómero R es responsable de la actividad anti-inflamatoria de la droga, mientras que el enantiómero S es el responsable de su actividad teratogénica (que produce malformaciones).

Talidomida II

Efecto en un cuadrado unitario I

El efecto geométrico de una transformación puede visualizarse usando un cuadrado unitario y viendo en qué se convierte.

Si la transformación tiene determinante diferente de cero (T está en GL(2,R) T mapea el cuadrado en un paralelogramo de área no cero.

Efecto en un cuadrado unitario II

Cuando la transformación es del tipo

M k 0

0 l

Efecto en un cuadrado unitario III

Su efecto es el de contraer o expandir en los dos ejes.

Cuando la matriz es del tipo

M a b

b c

Efecto en un cuadrado unitario IV

Es decir, simétrica, como toda matriz simétrica tiene dos eigenvectores perpendiculares, en la eigenbase la matriz será diagonal. En esta base vemos el efecto como contracciones y/o expansiones en estos nuevos ejes.

Reflexiones I

Cuando la matriz es del tipo

M 0 1

1 0

Reflexiones II

El determinante es negativo. Hay intercambio derecha/izquierda.

Esta matriz tiene un eigenvalor uno y otro menos uno.

Un eigenvector es (1,1) y el otro es (1,-1). El primero corresponde a eigenvalor 1 y los vectores en este eigenespacio no cambian.

Reflexiones III

En cambio los vectores en el eigenespacio -1 cambian de signo (son reflejados).

Deformación cortante I

Una transformación con matriz

M 1 0 1

Deformación cortante II

Que es una deformación cortante, o corte, o cizalladura.

La matriz no es diagonalizable (es un bloque de Jordan de 2X2)

Hay un sólo eigenespacio, corresponde al eigenvalor 1.

Su determinante es +1, no hay cambio de área ni de quiralidad.

Deformación cortante III

Los vectores en el eigenespacio no cambian. Forman una línea invariante para el corte.

Proyecciones

Las proyecciones, en dos dimensiones, tienen determinante cero, no son invertibles. Mapean un cuadrado en una línea.

Un ejemplo sería

M 1 0

0 0

Más ejemplos

Otros ejemplos se pueden apreciar en la presentación de Juan Velázquez y Sergio Arzamendi.