Appunti di Analisi Complessa - .Appunti di Analisi Complessa Tommaso R. Cesari APPUNTI NON UFFICIALI

  • View
    228

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Appunti di Analisi Complessa - .Appunti di Analisi Complessa Tommaso R. Cesari APPUNTI NON UFFICIALI

-

Appunti di Analisi Complessa

Tommaso R. Cesari

APPUNTI NON UFFICIALI1

(Analisi Complessa - corso di Maura Salvatori)

1Nota del redattore

Questi appunti sono stati scritti da me durante il Corso (A.A. 2012-2013). Sono assoluta-mente indipendenti dall'iniziativa del Docente. Di queste carte non fornita alcuna garanziaesplicita o implicita di correttezza o di completezza. In particolare, assai probabile che ri-sultino presenti numerosi errori delle tipologie pi svariate, in primo luogo concettuali, dovutiall'imperizia del curatore. Si sottolinea inoltre che non vi stato da parte mia alcuno sforzoper rendere gli argomenti formalmente corretti, n tanto meno per dare loro una veste chiarae lineare. Usate dunque le informazioni qui contenute a vostro rischio e pericolo.Tommaso R. Cesari

Indice

1 Richiami sui numeri complessi 41.1 Denizioni e risultati preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Derivabilit complessa 102.1 Derivabilit e dierenziabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Funzioni armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 L'esponenziale complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Studio qualitativo di funzioni complesse . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Il logaritmo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8 Potenze ad esponente complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Integrazione su curve complesse 333.1 Denizioni e risultati preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Il teorema integrale nullo di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 La formula integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Conseguenze della formula integrale di Cauchy . . . . . . 453.4 Integrali di tipo Cauchy e Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . 543.5 Omotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.6 Omologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Serie bilatere o di Laurent 654.1 Convergenza delle serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2 Classicazione per innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3 Il teorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 Funzioni armoniche 845.1 Denizioni e primi risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2 Problemi di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

INDICE 3

6 Rappresentazioni conformi 946.1 Gruppi di automorsmi e lemma di Schwarz . . . . . . . . . . . . 946.2 Trasformazioni di Mbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3 Il teorema della mappa di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7 Zeri di funzioni intere 1077.1 Prodotti (inniti) di numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2 Prodotti (inniti) di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8 Prolungamenti analitici 1348.1 Denizioni e primi risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.2 La funzione di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.3 Costante di Eulero-Mascheroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.4 La funzione di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Capitolo 1

Richiami sui numeri complessi

1.1 Denizioni e risultati preliminari

Denizione 1. Nel corso di queste dispense si utilizzeranno i simboli := e =:ed il simbolo

.= per indicare cose ben diverse. Tutti e tre i simboli possono essere

letti come uguale per dezione ma, mentre nel primo caso (simboli := e =:)si pone un'uguaglianza per dezione, nel secondo (

.=) si intende specicare che

l'uguaglianza in esame discende direttamente da una dezione.Ad esempio: siano a := 2 e 3 =: b, allora a+ b

.= 5.

Denizione 2. Nel corso di questi appunti si utilizzeranno le seguenti notazioni

N := {1, 2, . . .} ; R+ := (0,+); R := (, 0);N0 := {0, 1, 2, . . .} ; R+0 := [0,+); R

0 := (, 0].

Denizione 3 (C). Si considerino su R R l'usuale somma tra vettori

+ : (R R) (R R) R R((a, b) , (c, d)) 7 (a, b) + (c, d) := (a+ c, b+ d)

e il prodotto denito da

: (R R) (R R) R R((a, b) , (c, d)) 7 (a, b) (c, d) := (ac bd, ad+ bc) .

Posto C := R R, si dice campo dei numeri complessi la struttura algebrica(C,+, ). Si pongono inoltre

i := (0, 1) C, detta unit immaginaria;

1 := (1, 0) C;

per ogni (a, b) C,(a, b) := (a,b);

1.1 Denizioni e risultati preliminari 5

per ogni (a, b) C,Re ((a, b)) := a R;

per ogni (a, b) C,Im ((a, b)) := b R;

per ogni z C, si denisce modulo di z il numero reale non negativo

|z| :=

(Re (z))2

+ (Im (z))2.

Esercizio 4. Si verichi che C sia un campo rispetto alle leggi di composizionedate e si determinino gli inversi rispetto al prodotto.

Esercizio 5. Si verichi che l'applicazione || denita sopra una norma su Ce che (C, ||) uno spazio vettoriale normato completo e separabile. Si noti chela topologia indotta su C da || coincide con la topologia euclidea su R2.

Proposizione 6 (Forma algebrica). Per ogni z C esistono unici a, b R taliche

z = a+ ib.

Proposizione 7 (Forma polare). Per ogni z C \ {0} esistono r R+, Rtali che

z = r (cos () + i sin ()) .

Denizione 8. Per ogni z C \ {0} si denisce argomento di z e si indica conarg(z) l'insieme

arg(z) := { R | r (0,+), z = r (cos () + i sin ())} .

Proposizione 9. La successione delle somme parziali, denita per ogni k Nda

Sk : C C,

z 7k

n=0

zn

n!

converge totalmente sui compatti contenuti in C (quindi in particolare convergepuntualmente ovunque su C).

Denizione 10. La funzione

e() : C C,

z 7 ez :=+n=0

zn

n!

si denisce funzione esponenziale.

1.2 Serie di potenze 6

Teorema 11 (Identit di Eulero). Per ogni R si ha

ei = cos() + i sin().

Proposizione 12 (Forma esponenziale). Per ogni z C\{0} esistono r R+, R tali che

z = rei.

Teorema 13 (Formula di De Moivre). Per ogni n Z, per ogni z C \ {0},se esistono (r, ) R+ R tale che

z = rei,

allorazn = rnein.

Teorema 14 (Radici). Per ogni n N n 2 e per ogni w C\{0}, se esistono(, ) R+ R tali che

w = ei,

allora esistono esattamente n soluzioni distinte dell'equazione

zn = w,

i.e. esistono esattamente n valori distinti z0, . . . , zn1 C tali che, per ognik {0, . . . , n 1},

znk = w;

per ogni k {0, . . . , n 1} si ha

zk = 1/nei

+2kn .

1.2 Serie di potenze

Denizione 15. Sia z0 C. Si considerino la successione {an}nN0 C e lasuccessione delle somme parziali denita per ogni k N0 da

Sk : C C,

z 7 Sk(z) :=k

n=0

an (z z0)n .

Sia denisce insieme di convergenza l'insieme

I :=

{z C | lim

k+

kn=0

an (z z0)n}.

Si denisce serie di potenze la funzione denita per ogni z I da

S(z) :=

+n=0

an (z z0)n := limk+

kn=0

an (z z0)n .

1.2 Serie di potenze 7

Si denisce raggio di convergenza della serie di potenze S, il numero reale nonnegativo esteso R denito da

R :=

0, se lim supn+

n|an| = +,

1

lim supn+n|an|

, se lim supn+n|an| R,

+ se lim supn+ n|an| = 0.

Teorema 16. Con le stesse notazioni della denizione precedente, si hanno iseguenti casi:

se R = 0, allora la serie di potenze converge solo nel centro z0;

se R R+, allora

la serie di potenze converge puntualmente e assolutamente in D (z0, R),

la serie di potenze non converge nemmeno puntualmente in C\D (z0, R), la serie di potenze converge uniformemente in ogni compatto di D (z0, R);

se R = +, allora

la serie di potenze converge puntualmente e assolutamente in tuttoC,

la serie di potenze converge uniformemente nei compatti di C.

Proposizione 17. Con le stesse notazioni della denizione precedente, se esisteil limite

L := limn+

|an+1||an|

,

detto R il raggio di convergenza, si ha R = 1/L (denito in modo ovvio seL {0,+}).

Osservazione 18. Poich dove convergono, convergono assolutamente, chiaroche sull'intesezione degli insiemi di convergenza la somma di due serie di potenzecoincida con la serie della somma.

Osservazione 19. Poich dove convergono, convergono assolutamente, possibilefare il prodotto di Cauchy di due serie di potenze. Detto R il minimo tra i dueraggi di convergenza, si ha

+n=0

an (z z0)n+n=0

bn (z z0)n =+n=0

cn (z z0)n ,

dove per ogni n N:

cn :=

nj=0

ajbnj .

1.3 Topologia 8

Denizione 20. Siano z0 C. Si considerino la successione {an}nN0 C ela successione delle somme parziali denita per ogni k N0 da

Sk : C C,

z 7 Sk(z) :=k

n=0

an (z z0)n .

Si denisce successione derivata di {Sk}kN0 , la successione delle somme parzialidenita per ogni k N0 da

Sk : C C,

z 7 Sk(z) :=k

n=1

nan (z z0)n1 .

In modo analogo a quanto gi visto, si denisce la serie derivata.

Proposizione 21. Sia S una serie di potenze con raggio di convergenza R.Allora la serie derivata ha raggio di convergenza R.