AppuntI ANALISI Uno

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APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA UNO

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Appunti di Analisi Matematica UnoFrancesca Alessio e Piero Montecchiari

PrefazioneLe seguenti note sono una raccolta degli appunti dei corsi di Analisi Matematica 1 per i Corsi di Laurea in Ingegneria (Biomedica, Civile ed Ambientale, Elettronica, Meccanica, Informatica e Telecomunicazioni) e di Matematica per il Corso di Laurea in Scienze Biologiche tenuti dagli autori negli ultimi anni presso lUniversit` a Politecnica delle Marche. Essendo al momento una semplice bozza, saranno sicuramente presenti errori che vi preghiamo volerci segnalare allindirizzo alessio@dipmat.univpm.it

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IndicePrefazione Capitolo 1. Numeri Reali 1. Assiomi dei numeri reali 2. Estremo superiore ed inferiore 3. Numeri Naturali e Numeri Razionali 4. Appendice: numeri complessi Capitolo 2. Successioni numeriche 1. Limiti di successioni numeriche 2. Teoremi di confronto 3. Successioni monotone e Numero di Nepero 4. Criterio del rapporto ed inniti di ordine crescente 5. Relazione di asintotico 6. Appendice: Sottosuccessioni e Teorema di BolzanoWeierstrass 7. Esercizi Capitolo 3. Funzioni reali 1. Qualche richiamo 2. Limiti di funzioni 3. Relazione di asintotico e simboli di Landau 4. Ordine di innitesimo 5. Ordine di innito 6. Esercizi 3 7 7 15 19 23 29 29 36 39 48 51 54 59 61 61 69 80 83 86 88

Capitolo 4. Funzioni continue 91 1. Classicazione delle discontinuit` a 93 2. Immagine di una funzione continua 95 3. Continuit` a della funzione inversa 102 4. Appendice: Funzioni uniformemente continue e Teorema di Heine-Cantor 103 5. Esercizi 105 Capitolo 5. Funzioni derivabili 1. Denizione di derivata5

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INDICE

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Regole di derivazione Teoremi fondamentali del calcolo dierenziale Funzioni convesse Applicazioni del calcolo dierenziale Teorema di De lH opital Formula di Taylor Esercizi

114 117 123 127 133 138 150 155 155 161 164 178 181 183 183 191 203 207 208 214 216 218 221 222 226 230 239 241 241 243 253

Capitolo 6. Funzioni integrabili 1. Integrale di Riemann 2. Teorema fondamentale del calcolo integrale 3. Integrali indeniti 4. Calcolo di integrali deniti: aree e lunghezze 5. Esercizi Capitolo 7. Integrali impropri 1. Integrali impropri su intervalli limitati 2. Integrali impropri su intervalli illimitati 3. Esercizi Capitolo 8. Serie numeriche 1. Serie a termini non negativi 2. Serie a termini di segno alterno 3. Operazioni tra serie 4. Esercizi Capitolo 9. Serie di potenze 1. Insieme di convergenza di una serie di potenze 2. Derivata ed integrale di una serie di potenze 3. Serie di Taylor 4. Esercizi Capitolo 10. Serie di Fourier 1. Diseguaglianza di Bessel 2. Convergenza puntuale della Serie di Fourier Indice analitico

CAPITOLO 1

Numeri RealiIniziamo con il presentare linsieme dei numeri reali, denotato con R. Particolari e familiari numeri reali sono numeri naturali, N: 1, 2, 3, ... numeri interi, Z: ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, .... numeri razionali, Q: p con p Z e q N dove si considerano idenq ticate nel medesimo numero razionale frazioni del tipo p e mp con q mq m Z \ { 0 }.

Valgono ovviamente le inclusioni N Z Q R. I numeri razionali non esauriscono i numeri reali, ovvero linsieme R \ Q = {x R | x Q} ` e non vuoto ed i suoi elementi vengono chiamati numeri irrazionali. Ne sono esempi 2, ed il numero di Nepero e, che deniremo nel seguito.

I numeri reali possono essere introdotti mediante un procedimento di completamento dellinsieme dei numeri razionali (a loro volta deniti a partire dai numeri naturali) ma tale costruzione necessita di sosticati concetti dellanalisi matematica che esulerebbe dai nostri intenti. I numeri reali possono invece introdotti in modo assiomatico nel seguente senso: postuliamo che esista un insieme ove siano denite due operazioni binarie interne (somma e prodotto) ed una relazione dordine (minore o uguale) soddisfacente a delle stabilite propriet` a, gli assiomi. Tale insieme verr` a chiamato insieme dei numeri reali. 1. Assiomi dei numeri reali Linsieme dei numeri reali R ` e un insieme soddisfacente i seguenti assiomi: (A) Assiomi algebrici: sono denite in R due operazioni binarie interne, somma a + b e prodotto a b soddisfacenti le seguenti propriet` a: 1. Propriet` a commutativa di somma e prodotto: 2. Propriet` a associativa di somma e prodotto: a + b = b + a e a b = b a, a, b R a, b, c R

( a + b) + c = a + ( b + c ) e ( a b) c = a ( b c ) ,7

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1. NUMERI REALI

3. Propriet` a distributiva della somma rispetto al prodotto: a (b + c) = a b + b c, a, b, c R

Tali propriet` a sono caratteristiche di un campo algebrico. Si usano le seguenti notazioni: a + (b) = a b e a 1 =a . b b Utilizzando le precedenti propriet` a si pu` o provare lunicit` a dellelemento neutro di somma e prodotto, cos` come lunicit` a dellopposto e del reciproco di ciascun numero reale non nullo. Dalle precedenti propriet` a` e inoltre possibile ottenere le usuali regole dellalgebra. Vediamone solo alcune: Se a + b = c + b allora a = c. Infatti, dalla denizione di opposto e dalla propriet` a associativa si ha: a = a + 0 = a + ( b b ) = (a + b ) b = ( c + b) b = c + ( b b) = c + 0 = c

4. Esistenza dellelemento neutro della somma o zero : esiste 0 R tale che a + 0 = a per ogni a R. 5. Esistenza dellelemento neutro del prodotto o unit` a : esiste 1 R tale che a 1 = a per ogni a R. 6. Esistenza dellopposto: per ogni a R esiste a R tale che a + (a) = 0. 1 7. Esistenza del reciproco: per ogni a R con a = 0 esiste a R 1 tale che a a = 1.

Risulta a 0 = 0 per ogni a R. Infatti, essendo a 1 = a per ogni a R, dalla propriet` a distributiva e dalla denizione di 0 si ottiene: a + a 0 = a 1 + a 0 = a (1 + 0) = a 1 = a = a + 0 e dalla precedente propriet` a segue che a 0 = 0. Risulta a (1) = a per ogni a R. Infatti, dalla denizione di 1, utilizzando la propriet` a distributiva si ha: a + a (1) = a 1 + a (1) = a (1 1) = a 0 = 0 e per lunicit` a dellopposto si ha che a (1) = a. 1 1 1 1 Risulta a1 = ovvero che a b ` e il reciproco di a b. Difatti, b a b dalla propriet` a commutativa e associativa del prodotto e dalla denizione di reciproco e di elemento neutro risulta 1 1 1 1 ( a b) ( ) = ( a ) ( b ) = 1 1 = 1 a b a b

1. ASSIOMI DEI NUMERI REALI

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(B) Assiomi dordine: ` e denita in R una relazione tra coppie di numeri reali, denotata con e detta minore o uguale, soddisfacente alle seguenti propriet` a: 1. Propriet` a riessiva: per ogni a R risulta a a. 2. Propriet` a antisimmetrica: se a b e b a allora a = b. 3. Propriet` a transitiva: se a b e b c allora a c. Tali propriet` a sono caratteristiche di una relazione dordine. Si richiede inoltre che tale relazione sia totale ovvero che sia vericata la seguente propriet` a 4. Propriet` a di dicotomia: per ogni a, b R si ha a b oppure b a. Inne si richiede che in relazione alle operazioni algebriche siano vericate 5. se a b e c R allora a + c b + c 6. se a b e 0 c allora a c b c. A partire dalla relazione minore o uguale vengono denite inoltre le seguenti relazioni: < , minore: a < b se a b e a = b; , maggiore o uguale: a b se b a; > , maggiore: a > b se b a e a = b. I numeri a R tali che a > 0 si dicono positivi mentre quelli tali che a < 0 si dicono negativi. Si dicono inoltre non negativi (rispettivamente non positivi) i numeri a R tali che a 0 (rispettivamente, a 0). Dalle precedenti propriet` a seguono direttamente le usuali regole. Vediamone alcune. se a 0 allora a 0. Infatti, dallassioma B.5 si ha che essendo a 0 risulta se a b e c 0 allora a c b c. Infatti, essendo per quanto sopra, c 0 dallassioma B.6 si ha a (c) b (c) e quindi dallassioma B.5 da cui, sempre per B.5, 0 = a c + a ( c) a c + b ( c) 0 = a + (a) 0 + (a) = a.

per ogni a R, a2 = a a 0. Infatti, se a 0 allora da B.5 si ha a2 = a a a 0 = 0. Se invece a 0, dalla precedente propriet` a si ha a2 = a a a 0 = 0.

b c (a c + b (c)) + b c = a c

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1. NUMERI REALI

Le propriet` a sopra elencate riguardano lalgebra e lordinamento dellinsieme dei numeri reali R ma non sono sucienti a descrivere completamente tale insieme (infatti risultano vericate anche dallinsieme dei numeri razionali Q). Quello che manca ` e una propriet` a che ci ` e familiare e che renda conto di una delle caratteristiche pi` u importanti dei numeri reali: la completezza, la continuit` a, la possibilit` a di rappresentare i numeri reali mediante una retta. Tale propriet` a distingue i numeri reali dai numeri razionali e rende linsieme dei numeri reali R linsieme pi` u adatto alle necessit` a dellanalisi matematica, ad esempio al concetto fondamentale di limite ma anche alla semplice operazione di estrazione della radice quadrata (ovvero alla risoluzione dellequazione x2 = 2). Tale propriet` a pu` o essere formalizzata nel seguente modo: (C) Assioma di completezza: per ogni coppia di insiemi non vuoti A, B R tali che a b per ogni a A e b B esiste c R, detto elemento separatore, tale che a c b per ogni a A e b B . Un classico esempio di applicazione dellassioma di completezza ` e la denizione di 2. Denotato con a2 = a a per ogni a R, si considerino gli insiemi A = {a R | a > 0, a2 < 2} e B = {b R | b > 0, b2 > 2}. Risulta a b per ogni a A e b B in quanto se fosse a > b per qualche a A e b B avremo, per gli assiomi dordine, 2 > a2 > a b > b2 > 2 che ` e impossibile. Dunque, per lassioma di completezza, avremo che esiste c R tale che a c b per ogni a A e b B . Proviamo che lelemento separatore c verica c2 = 2. Abbiamo che 2 c2 c A. Infatti, se c A allora c2 < 2 e sia > 0 tale che < 2 (sar` a c+1 2 2 c suciente considerare = 2(2 ). Allora c + > 0 e c+1) (c + )2 = c2 + 2 + 2 c < c2 + (2c + 1) < 2