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Appunti di 23ACINZ - Analisi Matematica II 1
Studente: MACI SamuelePolitecnico di Torino
Anno Accademico 2011/[email protected]
Docente: SCUDERI LetiziaProf. Associato Confermato
Docente: BAZZANELLA DaniloRicercatore [email protected]
Ultima revisione: 10 gennaio 2012
1Il presente quaderno di appunti e stato redatto completamente con l’applicativo TEXnicCenter
Indice
I Analisi Matematica II 3
1 Riepilogo Successioni e Serie Numeriche 51.1 Serie Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Studio di una generica serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Criteri per stabilire il carattere di una serie numeriche 92.1 Serie a termini positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Teorema del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Criterio del confronto asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.3 Criterio del rapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4 Criterio del rapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.5 Criterio integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Serie a termini alterni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Criterio di Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Criterio di convergenza assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Successioni e serie di funzioni 133.1 Successioni di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Convergenza puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2 Convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.1 Convergenza puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.3 Operazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Integrazione in più variabili 254.1 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Funzioni in più variabili, ripasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.2 Propeità degli integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.3 Teorema di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1.4 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.1 Cambiamenti di base negli integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II Calcolo numerico 33
5 Aritmetica del calcolatore 355.1 Rappresentazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Operazioni di macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.1 Cancellazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Problema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Sistemi Lineari 436.1 Riepilogo vettori, matrici e norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2 Risoluzione numerica di sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.1 Condizionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.3 Tecniche numeriche di tipo diretto alla risoluzione di sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . 45
6.3.1 Tecnica di sostituzione all’indietro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3.2 Tecnica di sostituzione in avanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
I
6.3.3 Metodo delle eliminazioni di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.3.4 Fattorizzazioni di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3.5 Riepilogo metodi diretti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Metodi risolutivi di tipo iterativo alla risoluzione di sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . 536.4.1 Metodo di Jacobi, Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.4.2 Convergenza dei metodi iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4.3 Riepilogo metodi iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 Approssimazione di dati e funzioni 577.1 Classi di funzioni approssimanti standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2 Interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2.1 Rappresentazione di Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.2.2 Rappresentazione di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2.3 Rappresentazione di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
III Esercizi di Analisi Matematica 63
8 Successioni e Serie 65
9 Successioni e Serie di funzioni 699.1 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729.2 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.3 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10 Integrali multipli 8310.1 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.2 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
IV Laboratorio di Calcolo Numerico 89
11 Laboratorio 1 9111.1 Definizione comandi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.2 Definizione variabili scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.3 Definizione variabili vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.4 Definizione variabili matriciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12 Laboratorio 2 95
13 Laboratorio 3 99
14 Labotatorio 4 103
Elenco delle figure
3.1 Grafico dell’andamento di fn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Grafici realizzati con Matlab R2011b
III
Elenco dei Sorgenti
6.1 Non ottimizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Ottimizzato con i comandi base Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.3 Metodo delle eliminazioni di Gauss non ottimizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48capitoli/CalcoloNumerico/codici/gauss1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48capitoli/CalcoloNumerico/codici/gauss1_ott.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.4 Metodo delle eliminazioni di Gauss ottimizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.5 Algoritmo di fattorizzazione di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.6 Metodo di Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.7 Metodo di Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55capitoli/CalcoloNumerico/codici/esempio_interpolazione_1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58capitoli/CalcoloNumerico/codici/esempio_interpolazione_2.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.1 Function per il calcolo delle differenze divise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2 Function simile a poliyval per la rappresentazione di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 6112.1 Esercizio 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.2 Esercizio 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.3 Esercizio 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9712.4 Esercizio 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9712.5 Esercizio 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9712.6 Esercizio 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9812.7 Esercizio 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9813.1 Esercizio 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9913.2 Esercizio 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9913.3 Esercizio 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9913.4 Esercizio 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10013.5 Esercizio 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10013.6 Esercizio 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10013.7 Esercizio 3.7 - Metodo iterativo Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10113.8 Esercizio 3.7 - Metodo iterativo GaussSeidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10113.9 Esercizio 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
V
Presentazione
Il corso è composto da due blocchi:
• Analisi Matematica II (5 CFU)
• Calcolo numerico (3 CFU)
Il corso consiste in lezioni frontali, teoriche di Analisi Matematica e Calcolo Numerico (con esercitazionidi laboratorio mediante l’utilizzo dell’applicativo Matlab.Le lezioni saranno tenute essenzialmente da 2 docenti, uno per blocco.Le lezioni si svolgeranno nel periodo compreso tra il 3 ottobre 2011 e il 27 gennaio 2012, con il seguenteorario settimanale:
• Lunedì dalle ore 08.30 alle ore 11:30, per lezioni del blocco di Analisi Matematica
• Lunedì dalle ore 14.30 alle ore 15:00, per laboratorio di Matlab
• Giovedì dalle ore 10.00 alle ore 13:00, per lezioni di Analisi Matematica nelle prime sette settimanee successivamente lezioni di Calcolo Numerico.
I testi consigliati per il corso sono essenzialmente dispense reperibili su internet e materiale fornito dalpersonale docente, e il libro:Claudio Canuto & Anita Tabacco - Analisi matematica II: Teoria ed esercizi con complementi in rete(ISBN 978-88-470-0873-1)
Presesentazione corso Calcolo numericoIl corso sarà composto dai seguenti moduli:
• Aritmetica del calcolatore (3 ore)
• Sistemi lineari (6 ore)
• Approssimazione di dati e funzioni (6 ore)
• Equazioni non lineari (3 ore)
• Integrali (3 ore)
1
2
Parte I
Analisi Matematica II
3
Capitolo 1
Riepilogo Successioni e Serie Numeriche
Nel corso di Analisi Matematica I sono state date le definizioni di successioni 1, simboleggiandole nelseguente modo:
ann∈N = a1, a2, a3, . . .
É interessante, anche, vedere il comportamento della successione al limite, quindi a +∞, in tali condizioniil limite può esistere finito o infinito e può anche non esistere.Studiare serie numeriche invece comporta non solo considerare come si comporta la successione al limite,ma conoscerne la somma.Per espletare tale interesse occorre introdurre una funzione denominata Ridotta n-esima. La Ridottan-esima consiste nalla somma dei primi n elementi della successione e si definisce come:
Sn =
n∑i=1
ai con n ∈ N
Per conoscere il valore della Ridotta n-esima occorre solo effettuare un buon esercizio di aritmetica classica(spesso ciò può essere molto lungo, pensa se bisognasse calcolare il valore di S100 di una successione). Perconoscere il valore della somma al limite occorre semplicemente fare:
limn→+∞
Sn = l
Mentre per il carattere della serie occorre valutare se:
• ∃ l
– l ∈ R allora si dice che la serie converge
– l = ±∞ allora si dice che la serie diverge positivamente o negativamente
• 6∃ l allora si dice che la serie è oscillante, ma tale risultato non può essere mai considerato, in quantoè già insensato usare tale formulazione.
Esempio 1 Potremmo dimostrare che 1 = 0 utilizzando una serie oscillante del tipo an = −1n. Infatti
1 = 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . .
Utilizzando ue raggruppamenti distinti la prima volta −1 + 1 e la seconda volta +1 − 1 (rispettandol’ordine) si arriverebbe nel primo caso ad avere 1 e nel secondo caso ad avere 0 e ciò è contraddittorio.Ma ciò è dovuto all’utilizzo di una serie oscillante, che per sua natura è priva di senso (era già sbagliatala supposizione).
Generalmente per indicare le serie numeriche si utilizza una notazione simile a quella riportata in seguito:
limn→+∞
Sn = s ∈ R =
+∞∑n=1
an
1insiemi ordinati di elementi, ottenuti da una definizione (an)
5
1.1 Serie GeometricaSi definisce serie geometrica di ragione q, una serie di potenze, cioè:
+∞∑n=0
qn = 1 + q + q2 + q3 + . . .
Questo tipo di serie è molto ben studiata in quanto conoscendo la ragione si può subito definire il suocarattere ed eventualmente il valore a cui converge.
1.1.1 Studio di una generica serie geometricaCalcoliamo la Sn, utilizzando un fattore semplificativo2 di (1− q)
Sn · (1− q) = (1 + q + q2 + q3 + . . .+ qn) · (1− q) == 1 + q + q2 + q3 + . . .+ qn − q − q2 − q3 + . . .− qn+1 == 1− qn+1
Per ottenere S dovremmo avere Sn, per ottenere tale valore occorre dividere 1− qn+1 per 1− q e ciò nonè possibile farlo nel caso in cui q = 1. In tale condizione è chiaro che la serie diverge a +∞ in quanto∀n 1n = 1 e quindi Sn = n Negli altri casi è possibile dividere quindi:
Sn =1− qn+1
1− q
S = limn→+∞ Sn = limn→+∞1−qn+1
1−q =
= 1−limn→+∞ qn+1
1−q =
|q| < 1 S = 1
1−q|q| < 1 OR q = 1 La serie è divergenteq = −1 La serie è oscillante
Una proprietà molto importante nelle serie è che serie con la medesima definizione, anche se partono dapunti differenti, hanno lo stesso carattere. (Convergenza e non convergenza non dipendono dalla partenzadella somma.)
Esempio 2 Il comportamento della serie+∞∑n=0
(1
2
)nsi ottiene mediante un’esplicita applicazione della formulazione precedente, quindi si vede che è conver-gente (|q| < 1)
S =1
1− q=
1
1− 12
= 2
Mentre in base alla proprietà sopra esposta si osserva che
+∞∑n=3
(1
2
)n=
+∞∑n=0
(1
2
)n−
2∑n=0
(1
2
)n=
+∞∑n=0
(1
2
)n−(
1 +1
2+
1
4
)=
1
4
É possibile comunque avere una formulazione rapida senza dover considerare il valore di Sn−1.Infatti
+∞∑n=M
qn = qM + qM+1 + qM+2 + . . . = qM ·(1 + q + q2 + q3 + . . .
)= qM · 1− qn+1
1− q
Se |q| < 1 si ha che
S =qM
1− q
Esempio 3 Riprendendo l’esempio precedente:
+∞∑n=3
(1
2
)n=
(12
)31− 1
2
=1812
=2
8=
1
4
2si usa tale valore in quanto in tal modo si ha una somma telescopica (una somma nel quale si eliminano tutti i terminitranne un numero fisso)
6
Non tutte le serie sono di semplice risoluzioni infatti serie con definizione del tipo an = 1nα si vedrà in
seguito che vi sono criteri per determinarne il carattere ma non fer avere valori esatti.
Esempio 4 La serie
+∞∑n=1
1
n2=π2
6dimostrato attraverso le serie di Fourier
mentre+∞∑n=1
1
n3non si sa ancora esattamente quanto vale
7
8
Capitolo 2
Criteri per stabilire il carattere di unaserie numeriche
Una condizione necessaria alla convergenza (ma non sufficiente) di una serie è la seguente:
limn→+∞
an = 0
2.1 Serie a termini positiviSi deviniscono serie a termini positivi quelle serie nelle quali ∀n, an ≥ 0. Tali serie possono essere soloconvergenti o divergenti, in quanto la loro Ridotta n-esima è sempre crescente.
Dimostrazione 1∀n > 0, Sn+1 = Sn + an+1 ≥ Sn
2.1.1 Teorema del confrontoPrese due serie ∑
ak∑
bk
definite positive tali che∀k ≥ 0 0 ≤ ak ≤ bk
• Se∑bk converge allora anche
∑ak converge
• Se∑ak diverge allora anche
∑bk diverge ∑
bk si dice maggiorante∑ak si dice minorante
2.1.2 Criterio del confronto asintoticoSiano date sue serie ∑
ak,∑
bk / ak bk k → +∞
allora le due serie hanno lo stesso carattere.
Dimostrazione 2 Poichè per definizione le due serie sono equigrandi si ha che:
limk→+∞
akbk
= l ∈ R
Quindi le successioni akbk
,
bkak
convergono, quindi sono limitate superiormente da M1,M2 ∈ R+. Quindi si ha che
akbk≤M1,
bkak≤M2 ⇒ ak ≤M1 · bl, bk ≤M2 · ak
e utilizzando il teorema del confronto si possono ottenere i risultati voluti.
9
Esempio 5 Data+∞∑n=1
1 + 1n + e−n
2+n−7
2n + n− ln2 nstudiarne il carattere
1 +
0︷ ︸︸ ︷1
n+ e−n
2+n−7
2n + n− ln2 n︸ ︷︷ ︸0
∼ 1
2n⇒
+∞∑n=1
1 + 1n + e−n
2+n−7
2n + n− ln2 n∼
+∞∑n=1
1
2n
poiche∑+∞n=1
12n converge allora
∑+∞n=1
1+ 1n+e−n
2+n−7
2n+n−ln2 nconverge.
A volte l’utilizzo del confronto asintotico può essere problematico pertanto si possono provare altri criteri.
2.1.3 Criterio del rapporto
Sia∑ak con ak>0 se
∃ limk→+∞
ak+1
ak
Se limk→+∞
ak+1
ak> 1 allora la serie diverge, altrimenti se lim
k→+∞
ak+1
ak< 1 allora la serie converge.
Tale criterio è molto utile in presenza di fattoriali.
Esempio 6 Data la serie+∞∑n=1
2n · (n+ 1)
n!stabilirne il carattere.
limk→+∞
an+1
an= limk→+∞
2 · 2n · (n+ 1 + 1)
(n+ 1) · n!· n!
2n · (n+ 1)= limn→+∞
2 · (n+ 2)
(n+ 1)2= 0
poichè limk→+∞an+1
an= 0 < 1 allora
∑+∞n=1
2n·(n+1)n! converge.
2.1.4 Criterio del rapporto
Sia∑ak con ak≥0 se
∃ limk→+∞
n√ak
Se limk→+∞
n√ak > 1 allora la serie diverge, altrimenti se lim
k→+∞n√ak < 1 allora la serie converge.
Tale criterio è molto utile in presenza di definizioni elevate a n.
Esempio 7 Stabilire il carattere della seguente serie+∞∑n=1
(n+ 1
n
sin(
1n
)+ e−n
)n
limn→+∞
n
√√√√( n+ 1n
sin(
1n
)+ e−n
)n= limn→+∞
n+ 1n
sin(
1n
)+ e−n
n+ 1n
sin(
1n
)+ e−n
∼ n1n
∼ n2 → 0 per n→ +∞
Pertanto la serie è convergente.
Esempio 8 Stabilire il carattere della seguente serie+∞∑n=1
(1n + 1
n2·lnnsin(
1n
)+ e−n
)n
limn→+∞
n
√√√√( 1n + 1
n2·lnnsin(
1n
)+ e−n
)n= limn→+∞
1n + 1
n2·lnnsin(
1n
)+ e−n
n+ 1n
sin(
1n
)+ e−n
∼1n1n
∼ 1 per n→ +∞
Pertanto il criterio della radice non è utilizzabile.
10
2.1.5 Criterio integraleSia f una funzione positiva, decrescente e f ∈ C0 ([ko,+∞)). Allora vale
+∞∑n=k0+1
f(k) ≤∫ +∞
k0
f(x) dx ≤+∞∑n=k0
f(k)
Se∫ +∞
k0
f(x) dx converge allora+∞∑n=k0
f(k) converge.
Se∫ +∞
k0
f(x) dx diverge allora+∞∑n=k0
f(k) diverge.
Il crtirerio integrale consente la risoluzione del carattere delle serie armoniche generalizzate, cioè delleserie del tipo:
+∞∑n=1
1
nα
Poichè∫ +∞
1
1
xαdx converse se α > 1 e diverge se α ≤ 1, allora anche le serie con α > 1 convergono e
divergono con α ≤ 1.
Se di una ak si prende la sua parte principale e si annulla con ordine di infinitesimo di almeno 1 allorala serie
∑ak converge.
Proprietà del criterio integrale
Sotto tutte le ipotesi del criterio integrale, se la serie
+∞∑n=k0
f(k)
converge, allora ∫ +∞
n+1
f(x) dx ≤ rn ≤∫ +∞
n
f(x) dx
Sn +
∫ +∞
n+1
f(x) dx ≤ S ≤ Sn +
∫ +∞
n
f(x) dx
2.2 Serie a termini alterniLe serie a termine alterno hanno come termine generatore
an = (−1)k · bk n, k ∈ N
2.2.1 Criterio di LeibnizLe serie a termine alterno sono convergenti se:
• limk→+∞
bk = 0 (condizione necessaria)
• la successione bk è monotona decrescente, cioè ∀k ∈ N, bk+1 ≤ bk
Detta S la somma della serie∀n ∈ N, |rn| = |S − Sn| ≤ bn+1
L’errore, |rn|, è più piccolo del valore assoluto del primo termine trascurato.
2.2.2 Criterio di convergenza assolutaPer la disuguaglianza triangolare ∣∣∣∑ an
∣∣∣ ≤∑ |an|
Si può dimostrare che se∑|an| converge allora
∑an converge.
11
12
Capitolo 3
Successioni e serie di funzioni
3.1 Successioni di funzioni
Come per le successioni numeriche ann∈N = a1, a2, . . . sono un insieme ordinato e infinito di numerianche le successioni di funzioni fn(x)n∈N = f1(x), f2(x), . . . sono un insieme ordinato e infinito difunzioni, della variabile x nel caso specifico.Per effettuare il limite della successione di funzioni si può procedere per diverse vie:
• Disegnando f1, f2, . . . si può vedere l’andamento nei vari intervalli
• Fissando x e vedere come si comporta la successione numerica f1(x), f2(x), . . . = b1, b2, . . .
3.1.1 Convergenza puntuale
Definizione 1 Si definisce convergenza puntuale se si effettua il limite punto per punto fissando ognivolta il parametro x
Esempio 9
limn→+∞
xn =
+∞ x > 11 x = 10 x ∈]− 1, 1[6 ∃ n ≥ −1
Si dice che esiste il limite di una successione di funzioni se
limn→+∞
fn(x) = f(x)
N.B. occorre anche definire il dominio di esistenza della funzione
Esempio 10
limn→+∞
fn(x) = f(x) x ∈]− 1, 1]
f(x) =
1 x = 10 x 6= 1
Si può osservare graficamente il comportamento della fn(x), si osserva che con n→ +∞
fn(x) ∼ f(x)
13
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5f1f2f3f4f5f10
Figura 3.1: Grafico dell’andamento di fn(x)
3.1.2 Convergenza uniformePer poter definire convergenza uniforme occorre definire il concetto di distanza.
Definizione di distanza
Si definisce la distanza d in uno spazio vettoriale V una funzione che ha le seguenti proprieta:
1. d : V × V → R
2. d(x, y) ≥ 0
3. d(x, y) = 0↔ x = y
4. ∀x, y ∈ V d(x, y) = d(y, x)
5. d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) ∀x, y, z ∈ V , occorre cioè che la distanza trovata sia la minima possibile.
Sia ora V lo spazio delle funzioni continue in [a, b]. (V = C0[a, b]).
Definizione 2 (Distanza d1) Si definisce
d1(f, g) = max |f(x)− g(x)| ,∀x ∈ [a, b]
In base a tale definizione di distanza si possono verificare che sono valide tutte le proprietà richieste dalladistanza.
Dimostrazione 3 (Verifica che d1 rispetti tutte le proprietà della distanza, DA FARE)
Definizione 3 (Distanza d2 o distanza quadratica) Poichè la distanza deve rispettare delle proprie-tà fondamentali, è possibile definire infinite distanze distinte, quindi si definisce distanza quadratica
d2(f, g) =
√∫ b
a
(f(x)− g(x))2dx
In base a tale definizione di distanza si possono verificare che sono valide tutte le proprietà richieste dalladistanza.
Dimostrazione 4 (Verifica che d2 rispetti tutte le proprietà della distanza, DA FARE)
Definizione 4 Si ha convergenza uniforme se
dMAX(fn, f)→ 0, n→ +∞
cioè (considerando f(x) il limite puntuale di fn)
limn→+∞
supx∈[a,b]
|fn(x)− f(x)| = 0
14
Se vi è convergenza uniforme con x ∈ [a, b] allora nello stesso intervallo vi è anche convergenza puntuale:
limn→+∞
supx∈[a,b]
|fn(x)− f(x)| = 0⇒ limn→+∞
|fn(x)− f(x)| = 0
poichè se l’estremo superiore tende a zero allora ogni punto tende a zero. Tale relazione non vale alcontrario, come esplicitato negli esercizi svolti in seguito.
Teorema 1 Sia I = [a, b] un intervallo chiuso e limitato e sia fnn≥n0una successione di funzioni
integragili su I e tali che fn(x)→ f(x) uniformemente su I. Allora f è integrabile su I∫ b
a
fn(x) · dx −→∫ b
a
f(x) · dx n→ +∞
cioè la convergenza uniforme consente lo scambio tra le operazioni di limite e di integrazione.
limn→+∞
∫ b
a
fn(x) · dx =
∫ b
a
limn→+∞
fn(x) · dx
Teorema 2 Sia fnn≥n0una successione di funzioni di classe C1 su I = [a, b]. Supponendo che esistano
due funzioni f , g definite su I tali che:
• fn → f uniformemente su I
• f ′n → g uniformemente su I
Allora f è di classe C1 su I e si ha che f ′ = g. Sotto tali ipotesi è quindi possibile scambiare le operazionidi limite con la derivazione.
limn→+∞
f ′n(x) =
(lim
n→+∞fn(x)
)′
3.2 Serie di funzioniVi è una forte affinità tra successioni/serie numeriche e successioni/serie di funzioni. É bene comprendereche le succession/serie di funzioni sono una generalizzazione delle serie numeriche1
ann∈R+∞∑n=0
an
fn(x)n∈R+∞∑n=0
fn(x)
fn(x) ≡ an
3.2.1 Convergenza puntuale
Definizione 5 Una serie converge puntualmente se fissando x la serie converge
+∞∑n=n0
fn(x)
La ridotta n-esima di una serie di funzioni è
sn(x) = f1(x) + f2(x) + . . .+ fn(x)
se sn(x)→ s(x) puntualmente su A, dove A è l’insime di convergenza, allora
+∞∑n=0
fn(x) = s(x) x ∈ A
In realtà il calcolo della ridotta n-esima con un numero finito di termini è assai difficile, quindi sarannonecessari criteri per stabilire semplicemente la convergenza e non il valore a cui converge.
1poichè è una generalizzazione è chiaro che vi saranno delle complicazioni aggiuntive al loro interno
15
Teorema 3 Sia fkk≤k0 una successione di funzioni continue su un intervallo I ⊆ R reale tali che laserie
+∞∑n=k0
fk(x)
converga uniformemente a s(x) con x ∈ I. Allora s è continua su I.
Teorema 4 (Integrazione per serie) Sia I = [a, b] un intervallo chiuso e limitato e sia fn(x)n≥n0
una succesisone di funzioni integrabili su I e tali che la serie converga uniformemente a una funziones(x) su I
+∞∑n=n0
fn(x)
Allora s(x) è integrabile su I e si ha che∫ b
a
+∞∑n=n0
fn(x) · dx =
+∞∑n=n0
∫ b
a
fn(x) · dx
Teorema 5 (Derivazione per serie) Sia fnn≥n0una successione di funzioni di classe C1 su I =
[a, b]. Supponendo che esistano due funzioni s, t definite su I tali che:
•+∞∑n=n0
fn(x) = s(x)∀x ∈ I
•+∞∑n=n0
f ′n = t(x)∀x ∈ I e la convergenza sia uniformemente su I
Allora s ∈ C1(I) e si ha che s′(x) = t(x). Inoltre
•+∞∑n=n0
fn(x) converge uniformemente a s su I
•+∞∑n=n0
f ′n(x) converge uniformemente a s′ su I.
Teorema 6 (Criterio di Weierstrass) Sia fnn≥n0una successione di funzioni definite in X e sia
Mnn≥n0una successione di numeri reali tali che
∀n ≥ n0, |fn(x)| ≤Mn ∀x ∈ X
Supponiamo inoltre che la serie numerica+∞∑n=n0
Mn converga, allora anche la serie+∞∑n=n0
fn(x) converge
uniformemente su X.
3.2.2 Serie di potenze
Definizione 6 (Serie di potenze) Si definisce serie di potenza una serie di funzioni della forma
+∞∑n=n0
an · (x− x0)n
Il punto x0 si dice centro, mentre ann≥n0sono detti coefficienti della serie.
Si può osservare che una serie di potenze è sempre convergente, almeno nel centro.
Teorema 7 Se la serie+∞∑n=0
ak · xk, con x 6= 0, ha i termini limitati (e quindi converge) allora la serie di
potenze converge assolutamente∀x : |x| < |x|
16
Teorema 8 (Corollario teorema 7) Se una serie di potenze converge in xi 6= 0, allora convergeassolutamente con
x ∈ (−|xi|, |xi|)Se non converge in x2 6= 0 allora non converge in nessun punto |x| > |x2|.
Dimostrazione 5 Il corollario lo si può dimostrare per assurdo. Supponendo che in t = |x2|+ ε ε > 0la serie converge, per il teorema 7 si avrebbe che converge in x ∈ (−|x2| − ε, |x2|+ ε) ma ciò implica checonverge anche in |x2| e ciò è contro le ipotesi.
Il dominio di convergenza di questa serie di potenze è sempre “ben fatto”, cioè è sempre convergente in ununico intervallo centrato in x0 (il caso limite è che il dominio di convergenza sia solo composto da x0).
Teorema 9 Data una serie di potenze, si ha che solo uno dei seguenti casi può essere verificato:
1. converge solo in A = x0
2. converge puntualmente e assolutamente in A = R, e converge uniformemente in x ∈ [a, b], ∀a, b ∈ R
3. ∃R > 0 tale che la serie converge in x ∈ (−R,R) e uniformemente per ogni intervallo [a, b] ⊂(−R,R), la serie non converge ∀x : |x| > R
Definizione 7 (Raggio di convergenza) Si definisce raggio di convergenza della serie
+∞∑n=n0
an · (x− x0)n
la quantità
R = sup
x ∈ R :
+∞∑n=n0
an · (x− x0)n
R può valere (è mantenuta la stessa numerazione del teorema 9.
1. R = 0
2. R = +∞
3. R = R
Grazie al teorema 9 e alla definizione 7 non è più necessario calcolare esplicitamente i domini di conver-genza, ma è sufficiente calcolare il raggio di convergenza per avere valori esatti sui domini di convergenza.(N.B. se sono richiesti i domini di convergenza anche se tutto è legato a R è bene esplicitarli!)
Teorema 10 (Abel) Supponiamo R > 0 finito, se la serie convercge con x = R allora la convergenza èuniforme in ogni intervallo [a,R] ⊂ (−R,R].Analogamente si ha che se la serie convercge con x = −R allora la convergenza è uniforme in ogniintervallo [R, b] ⊂ [−R,R).Se la serie convercge con x = R e con x = −R allora la convergenza è uniforme in [R,R].
Metodi calcolativi per il calcolo del raggio di convergenza
Teorema 11 (Criterio del rapporto) Data la serie di potenze
+∞∑n=n0
an · (x− x0)n
se ak 6= 0 ∀k ≥ 0 se esiste
limn→+∞
∣∣∣∣ak+1
ak
∣∣∣∣allora l = limn→+∞
∣∣∣ak+1
ak
∣∣∣ eR =
0 se l = +∞
+∞ se l = 0
1
lse 0 < l < +∞
17
Teorema 12 (Criterio della radice) Data la serie di potenze
+∞∑n=n0
an · (x− x0)n
se esistelim
n→+∞n√|an|
allora l = limn→+∞n√|an| e
R =
0 se l = +∞
+∞ se l = 0
1
lse 0 < l < +∞
A questo punto tutti gli esercizi si ridurranno al calcolo di R (un limite), e alla determinazione dellaconvergenza in x = −R e x = R (due serie numeriche).
3.2.3 Operazioni algebriche
É possibile effettaure operazioni algebriche tra serie come la somma/differenza, il prodotto, la derivazionee l’integrazione. Ma quanto vale il raggio di convergenza della nuova serie, quella ottenuta in seguito alleoperazioni algebriche?
Somma
Teorema 13 (Somma di serie di potenze) Date due serie di potenze
Σ1 =
+∞∑n=0
an · (x− x0)n Σ2 =
+∞∑n=0
bn · (x− x0)n
con rispetivamente raggio di congergenza R1 r R2, la serie somma delle serie
Σ = Σ1 + Σ2 =
+∞∑n=0
(an + bn) · (x− x0)n
ha raggio di convergenza pari a:
• R = min(R1, R2) se R1 6= R2
• R ≥ min(R1, R2) se R1 = R2
N. B.: è essenziale avere lo stesso centro della serie
Se i raggi di convergenza sono uguali è possibile che i termini esterni all’intervallo (−min(R1, R2),min(R1, R2))si elidano tra loro portando quindi ad avere un intervallo di convergenza maggiore (−R,R), mentre se iraggi di convergenza sono distinti non si può avere elisione di termini all’esterno dell’intervalo minimo diconvergenza, per tale ragione vi è il segno di uguaglianza.
Prodotto
Date due serie
Σ1 =
+∞∑n=0
an · (x− x0)n = a0 + a1 · (x− x0) + a2 + ·(x− x0)2 + . . .
Σ2 =
+∞∑n=0
bn · (x− x0)n = b0 + b1 · (x− x0) + b2 + ·(x− x0)2 + . . .
18
Σ = Σ1 · Σ2 =
(+∞∑n=0
an · (x− x0)n
)·
(+∞∑n=0
bn · (x− x0)n
)=
=(a0 + a1 · (x− x0) + a2 + ·(x− x0)2 + . . .
)·(b0 + b1 · (x− x0) + b2 + ·(x− x0)2 + . . .
)=
= a0 · b0 + (a0 · b1 + a1 · b0) · (x− x0) + (a0 · b2 + a1 · b1 + a2 · b0) · (x− x0)2 + . . . =
=
+∞∑n=0
cn · (x− x0)n cn =
n∑j=0
aj · bn − j
Si osserva che la costruzione di tali serie è molto laboriosa, è spesso più difficile (calcolativamente) diricavare la ridotta n-esima.
Teorema 14 (Prodotto di serie di potenze) Date due serie di potenze
Σ1 =
+∞∑n=0
an · (x− x0)n Σ2 =
+∞∑n=0
bn · (x− x0)n
con rispetivamente raggio di congergenza R1 r R2, la serie prodotto delle serie
Σ = Σ1 · Σ2 =
(+∞∑n=0
an · (x− x0)n
)·
(+∞∑n=0
bn · (x− x0)n
)
ha raggio di convergenza pari a R ≥ min(R1, R2).N. B.: è essenziale avere lo stesso centro della serie
Derivazione e integrazione
Teorema 15 (Lemma calcolativo del raggio di convergenza) Le serie
Σ1 =
+∞∑n=0
an · (x− x0)n Σ2 =
+∞∑n=0
k · an · (x− x0)n
hanno lo stesso raggio di convergenza.
Teorema 16 (Derivazione e integrazione di serie di potenze) Si consideri la serie+∞∑n=0
an · (x −
x0)n, per semplicità si pone x0 = 0
Σ =
+∞∑n=0
an · xn
e si supponga che il suo raggio di convergenza sia definito positivo, finito o infinito.Allora
• la somma della serie s(x) ∈ C∞(−R,R); inoltre la derivata di ordine n di s(x) con x ∈ (−R,R)può essere calcolata derivando la serie Σ termine a termine n volte. In particolare
∀x ∈ (−R,R) s′(x) =
+∞∑n=1
n · an · xn−1 =
+∞∑n=0
(n+ 1) · an+1 · xn
•
∀x ∈ (−R,R)
∫ x
0
s(t) · dt =
+∞∑n=0
ann+ 1
· xn+1
Funzioni analitiche
Abbiamo detto che una serie di potenze converge, con x ∈ (−R,R), a una funzione f(x). Ora ci si chiedese partendo da f(x) si può otenere la serie di cui f(x) è la somma. Questo in alcuni, la maggiorparte, èpossibile.
19
Introduzione / Riepilogo Taylor (procedimenti affini ad Analisi Matematica I) Ora si defi-nisce
f(x) =
+∞∑n=0
an · xn = a0 + a1 · x+ . . . R > 0
si effettuano le derivate, fino ad arrivare alla derivata n-esima, calcolandole in 0.
f (0)(x) = f(x) f(0) = a0
f (1)(x) = f ′(x) =
+∞∑n=1
n · an · xn−1 = a1 + 2 · a2 · x+ . . . f ′(0) = a1
f (2)(x) = f ′′(x) =
+∞∑n=2
n · (n− 1) · an · xn−2 = 2 · a2 + 6 · a3 · x+ . . . f ′′(0) = a1
f (3)(x) = f ′′′(x) =
+∞∑n=3
n · (n− 1) · (n− 2) · an · xn−3 = 6 · a3 + 24 · a4 · x+ . . . f ′′(0) = 6 · a3
f (k)(x) =
+∞∑n=k
n!
(n− k)!· an · xn−k =
k!
0!· ak · xk−k +
(k + 1)!
1!· ak+1 · x+ . . . f (k) = k! · ak
Si ha, in generale, che
f (k)(0) = k! · ak ⇔ ak =f (k)(0)
k!
ak è detto coefficiente del polinomio di Taylor.
Definizione 8 (Serie di Taylor) Si definisce serie di Taylor la seguente serie
+∞∑n=0
f (n)(x0)
n!· (x− x0)n
Teorema 17 Sia f ∈ C∞(x0 − δ, x0 + δ) con δ > 0. Se esiste un indice, n0 ≥ 0, e una costante, M > 0tale che
∀n ≥ n0
∣∣∣f (n)(x)∣∣∣ ≤M · n!
δn∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)
allora f si dice sviluppabile in serie di Taylor, centrata il x0, e il raggio di convergenza di tale serie èR ≥ δ. In tale condizione f(x) si dice funzione analitica.
3.3 Serie di FourierSi cerca di approssimare una funzione attraverso una serie
f(x) =
+∞∑n=0
fn(x)
Fin’ora si sono usate le serie di Taylor, ma si osserva che riesca ad approssimare bene le funzioni intornoa un punto, ma se si vogliono approssimare funzioni periodiche in tutto il periodo si nota che non prendebene l’approssimazione, si definisce una nuova serie
f(x) = a0 +
+∞∑n=1
an · cos(n · x) + bn · sin(n · x)
i coefficienti an e bn si ottengono per mezzo di definizioni generali.
Definizione 9 (Prodotto Scalare) É una operaione che presi due elementi di uno spazio vettoriale, fe g, ha le seguenti proprietà
• (f, f) ≥ 0, (f, f) = 0 solo se f = 0
• (f, g) = (g, f)
• (α · f + β · g, h) = α · (f, h) + β · (g, h)
Si possono avere tante definizioni, ma quella trattata
(f, g) =
∫ π
−πf(x) · g(x) · dx
20
Si osserva che data f(x) =
0 x 6= π1 x = π
(f, f) =
∫ π
−πf2(x) · dx = 0
ma f non è identicamente nulla.Tutte le funzioni sempre nulle, tranne in un numero finito di punti,(g) hanno prodotto scalare (g, g) = 0.
Definizione 10 (Funzione continua a tratti) Una funzione periodica di periodo 2 ·π si dice continuaa tratti se è continua tranne al più in un numero finito di punti (in tali punti si ha discontinuità di primascecie o discontinuità eliminabile).
Definizione 11 (Funzione continua a tratti regolarizzata) Una funzione continua a tratti regola-rizzata è una funzione continua a tratti in cui nei punti di discontinuità la funzione vale il valor mediodei punti dei limiti destro e sinitro in quel punto.
Definizione 12 (Classe C2·π) Si definisce C2·π la classe di funzioni periodiche con periodo 2·π continuaa tratti e regolarizzata.
Definizione 13 (Norma quadratica) Si definisce norma quadratica
||f ||2 =√
(f, f) =
√∫ π
−π|f(x)|2 · dx
Definizione 14 (Distanza quadratica) Si definisce distanza quadratica la quantità
d2(f, g) = ||f − g||2 =
√∫ π
−π|f(x)− g(x)|2 · dx
Si osserva che
0 ≤ d22(fn, f) =
∫ π
−π|fn(x)− f(x)|2 · dx ≤ sup
x∈[−π,π[
|fn(x)− f(x)|2 ·∫ π
−πdx =
vale se f ∈ C2·π = maxx∈[−π,π[
|fn(x)− f(x)|2 · 2 · π
Si osserva quindi che laconvergenza uniforme implica la convergenza quadratica, non vale l’opposto.
Definizione 15 (Base ortonormale associata a C2·π) La base ortonormale associata a C2·π è
F =
1√2 · π
,1√x· cosx,
1√x· sinx 1√
x· cos 2 · x, 1√
x· sin 2 · x . . . ,
1√x· cosn · x, 1√
x· sinn · x
In base a tale definizione si ha che:
• a0 =1
2 · π
∫ π
−πf(x) · dx
• an =1
π
∫ π
−πf(x) · cos(n · x) · dx
• bn =1
π
∫ π
−πf(x) · sin(n · x) · dx
Teorema 18 La funzione f − Sn,f (ridotta n-esima a polinomi trigonometrici di f) è ortogonale a ognielemento di Pn (spazio dei polinomi) e Sn,f è l’unico elemento di Pn avente tale proprietà.
Teorema 19 La funzione f −Sn,f è l’elemento di Pn avente distanza minima da f rispetto alla distanzaquadrativa
||f − Sn,f ||2 = minP∈Pn
||f − P ||2
Sn,f ∈ Pn è il polinomio che meglio apprissima f in norma quadratica.
21
Teorema 20 La quantità ||f − Sn,f ||22 è detta scarto quadratico di Sn,f da f e vale
||f − Sn,f ||22 =
∫ π
−π|f(x)|2 · dx− 2 · π · a2
0 − π ·n∑k=1
(a2k + b2k)
Definizione 16 (Serie di Fourier) Sia f ∈ C2·π, la serie di Fourier associata è
f(x) ≈ a0 +
+∞∑n=1
(an · cos(n · x) + bn · sin(n · x))
Si dimostrerà in seguito che in media quadratica si elimina il segno di approssimazione con il segno diuguaglianza.
Teorema 21 (Eliminazione di an o bn) Se f ∈ C2·π:
• ed è una funzione pari2 allora ∀n ≥ 0, an = 0
• ed è una funzione dispari3 allora ∀n ≥ 1, bn = 0
Definizione 17 (Convergenza quadratica) Si ha convergenza quadratica se
limn→+∞
||f − sn,f ||2 = 0
Teorema 22 (Convergenza quadratica della serie di Fourier) Se f ∈ C2·π allora la serie di Fou-rier di f converge a f in norma quadratica
limn→+∞
||f − Sn,f ||2 = 0
Corollario 1 (Identità di Parseval) La serien∑k=1
(a2k + b2k) converge.
Dimostrazione 6 (Identità di Parseval) Dal teorema precedente si ha che||f − Sn,f ||22 =
∫ π
−π|f(x)|2 · dx− 2 · π · a2
0 − π ·n∑k=1
(a2k + b2k)
||f − Sn,f ||2 = 0
⇒
⇒∫ π
−π|f(x)|2 · dx = 2 · π · a2
0 + π ·n∑k=1
(a2k + b2k)
Poichè l’integrale converge a un numero e il primo addendo è un numero allora la serie converge.
Corollario 2 (Lemma di Reimann-Lebegue) Sia f ∈ C2·π allora
limn→+∞
an = limn→+∞
bn = 0
Definizione 18 (Funzione regolare a tratti) Si definisce funzione regolare a tratti in x ∈ [a, b] se
1. f è derivabile in tutti i punti in x ∈ [a, b] (tranne al più in un numero finito di punti)
2. f e f ′ sono continue a tratti
Definizione 19 (Funzione monotona a tratti) Si definisce funzione monotona a tratti su x ∈ [a, b]se è possibile suddividere [a, b] in un numero finito di insiemi nei quali f è monotona su ogni insieme.
Teorema 23 (Convergenza puntuale della serie di Fourier) Se f ∈ C2·π e vale almeno una delleseguenti proprietà
• f è regolare a tratti su x ∈ [−π, π]
• f è monotona a tratti su x ∈ [−π, π]
2∀x, f(x) = f(−x)3∀x, f(x) = −f(−x)
22
allora la serie di Fourier di f converge puntualmente a f su x ∈ [−π, π]
Definizione 20 (Funzione C1 a tratti) Una funzione f ∈ C2·π si dice di classe C1 a tratti se f ∈C0(R) ed è regolare a tratti in x ∈ [−π, π]
Teorema 24 (Convergenza uniforme della serie di Fourier) Se f ∈ C2·π e f ∈ C1 a tratti allorala serie di Fourier converge uniformemente a f su tutto R.Se si ha convergenza uniforme allora si ha anche convergenza quadratica e puntuale.
Teorema 25 (Convergenza uniforme della serie di Fourier, in intervalli) Se f ∈ Cdpi regolarea tratti allora la serie di Fourier di f converge uniformemente a f in ogni intervallo chiuso in cui f ècontinua.
23
24
Capitolo 4
Integrazione in più variabili
Gli integrali in più variabili, nel campo di Analisi II saranno trattati solo integrali doppi o tripli.La teoria di tali integrali si basa sull’integrazione di Riemann, che sfrutta le somme superiori e inferiori.Se la somma delle areaa inferiori è uguale alla somma delle aree superiori allora si calcola∫ b
a
f(x) · dx = area sottesa da f(x)
4.1 Integrali doppi
4.1.1 Funzioni in più variabili, ripassoLa teoria sugli integrali doppi tratta solo funzioni in più variabili (cioè presi punti dal piano vengonoriportati nello spazio)
f : D ⊆ R2 → R(x, y) ∈ D → f(x, y) ∈ R
Le definizioni di immagine, iniettività e altre definizioni sono state date nel corso di Analisi I supponendoinsiemi di partenza e arrivo generico, pertanto valgono anche in funzioni in più variabili.Il grafico di f è
Gf = (a, f(a)) : a ∈ dom(f) ⊆ A×B
Definizione 21 (Linee di livello) Le linee di livello sono un insieme di punti tali che si trovino tuttialla stessa quota.
Lk = (x, y) ∈ D : f(x, y) = kSi può osservare dalla definizione che linee di livello, ovviamente di livelli distinti, non si possono toccare.
Bisogna inoltre specificare che la distribuzione delle linee di livello è molto importante, in quanto duesuperfici potrebbero avere la stessa sezione ma a quote diverse, pertanto nella realizzazione di tale graficoè utile segnalare per ogni linea di livello la relativa quota.
Definizione 22 (Gradiente) Il gradiente è la derivata parziale della funzione rispetto a tutte le varia-bili, pertanto il gradiente è una funzione che restituisce un vettore.
In ogni punto il gradiente indica la massima crescenza (o minima decrescenza), pertanto il gradiente nonpuò mai avere la stessa direzione delle linee di livello.
Definizione 23 (Integrale doppio) Per il calcolo dell’integrale si sfrutta l’idea dell’integrazione di Rie-mann usando dei parallelepipedi a base quadrata con altezza massima (ma inferiore) alla funzione e pa-rallelepipedi a base quadrata con altezza minima (ma superiore) alla funzione.Se la somma dei volumi dei parallelepipedi inferiori è pari alla somma dei volumi dei parallelepipedisuperiori allora l’integrale∫∫
D
f(x, y) · dx · dy = Volume sotteso alla superficie s
s = f(x, y)
Tutti gli integrali doppi trattati possono essere scomposti in due integrali in una variabile. In generalequesto è possibile se D è fatto “ragionevolmente bene”.Tale scomposizione è possibile se D è verticalmente o orizzontalmente convesso.
25
Definizione 24 (Insieme verticalmente convesso) D è verticalmente convesso o semplice rispetto ay se
D =
(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)
con g1, g2 : [a, a]→ R continue
Definizione 25 (Insieme orizzontalmente convesso) D è orizzontalmente convesso o semplice ri-spetto a x se
D =
(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)
con h1, h2 : [c, d]→ R continue
Esempio 11 Nel calcolo dell’integrale su una corona circolare, D, è possibile scomporlo in una sommadi integrali su superfici verticalmente/orizzontalmente convessi (tutte le superfici sulle quali si integradevono essere la partizione1 di D).Tale calcolo può essere anche eseguito per differenza, cioè calcolando l’integrale sul cerchio definito dallacirconderenza esterna della corona e sottraendo l’integrale sul cerchio definito dalla circonferenza interna.
D = B \ A∫∫
D
f(x, y) · dx · dy =
∫∫B
f(x, y) · dx · dy −∫∫
A
f(x, y) · dx · dy
Come negli integrali in una variabile avere un numero finito di punti in cui la funzione ha un salto nonvaria il valore dell’integrale, anche negli integrali di superficie si ha una situazione analoga, cioè quandouna linea ha un salto.
Teorema 26 (di riduzione) Se f è continua (anche continua a tratti) in Ω ⊆ R2 allora
• se f è semplice rispetto a y ∫Ω
f =
∫ b
a
(∫ g2(x)
g1(x)
f(x, y) · dy
)· dx
• se f è semplice rispetto a x ∫Ω
f =
∫ d
c
(∫ h2(y)
h1(y)
f(x, y) · dx
)· dy
I valori di a, b, c, d, g1(x), g2(x), h1(y), h2(y) bisogna ricavarli dai vincoli imposti dal problema.
N. B. Bisogna prestare attenzione allo sviluppo dell’integrale “interno” in quanto si tratta di un integraleparamentrico (cioè si considere rispettivamente y e x come delle costanti).
Se la funzione integranda è una funzione costante
f(x, y) = k
allora il valore numerico dell’integrale doppio è pari all’area della superficie di integrazione moltiplicataper un fattore di proporzionalità, k.
Esempio 12 Calcolare l’integrale doppio di f su Ω.
f(x, y) = x · y + x2 · y
Ω è la superficie racchiusa dal triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Analiticamente si ha
Ω =
(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 1− x
L’integrale lo si risolve ipotizzando Ω verticalmente convesso
a = 0 b = 1 g1(x) = 0 g2(x) = 1− x
1la partizione di un insieme è l’unione di insiemi la cui intersezione è nulla e la loro unione è l’insieme di partenza
26
∫∫Ω
f(x, y) · dx · dy =
∫ 1
0
(∫ 1−x
0
x · y + x2 · y · dy)· dx =
=
∫ 1
0
[x · y2
2+x2 · y2
2
]1−x
0
· dx =
=
∫ 1
0
[x · (1− x)2
2+x2 · (1− x)2
2
]· dx =
=1
2·∫ 1
0
(x− 2 · x2 + x3 + x2 − 2 · x3 + x4
)· dx =
=1
2·∫ 1
0
(x4 − x3 − x2 + x
)· dx =
=1
2·[x5
5− x4
4− x3
3+x2
2
]1
0
=1
2·[
1
5− 1
4− 1
3+
1
2
]=
7
120
4.1.2 Propeità degli integrali doppi
Siano f e g sunzioni integrabili su un insieme misurabile Ω ⊆ R2
linearità∀α, β ∈ R
∫Ω
α · f + β · g = α ·∫
Ω
f + β ·∫
Ω
g
positività Se ∀(x, y) ∈ Ω, f(x, y) ≥ 0 ∫Ω
f ≥ 0
Inoltre se f è continua e Ω è misurabile con |Ω| > 0, vale l’uguaglianza solo se f è identicamentenulla.
confronto Se ∀(x, y) ∈ Ω, f(x, y) ≤ g(x, y) ∫Ω
f ≤∫
Ω
g
maggiorazione la funzione |f | è integrabile su Ω e si ha∣∣∣∣∫Ω
f
∣∣∣∣ ≤ ∫Ω
|f |
teorema della media se Ω è misurabile
m = inf(x,y)∈Ω
f(x, y) M = sup(x,y)∈Ω
f(x, y)
m ≤ 1
|Ω|·∫
Ω
f ≤ M
additività del dominio se Ω = Ω1 ∪Ω2 con Ω1 ∩Ω2 = ∅ (si ha una partizione), se f è integrabile su Ω∫Ω
f =
∫Ω1
f +
∫Ω2
f
integrale su Ω di misura nulla Se f = g tranne che in un sottoinsieme di Ω, Ω∗, di misura nulla allora∫Ω
f =
∫Ω
g
Se f è una funzione integrabile su un insieme misurabile, Ω, è definita la chiusura Ω di Ω, cioè Ω unitoalla frontiera. Allora f è integrabile su ogni sottoinsieme Ω che soddisfa la seguente condizione
Ω ⊆ Ω ⊆ Ω
Ω = punti interni di Ω
27
4.1.3 Teorema di sostituzione
Esempio 13 Calcolare l’integrale di
f(x, y) = x2 · y + x+ 1
suΩ =
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1
Si può risolvere l’integrale considerando Ω verticalmente convesso
x2 + y2 = 1⇒ y2 = 1− x2 ⇒ y = ±√
1− x2
∫Ω
f(x, y) · dx · dy =
∫ 1
−1
(∫ √1−x2
−√
1−x2
(x2 · y + x+ 1
)· dy
)· dx =
=
∫ 1
−1
[x2 · y2
2+ x · y + y
]√1−x2
−√
1−x2
· dx =
=
∫ 1
−1
[x2 · (1− x2)
2+ x ·
√1− x2 +
√1− x2 −
(x2 · (1− x2)
2− x ·
√1− x2 −
√1− x2
)]· dx =
=
∫ 1
−1
[2 ·√
1− x2 · (x+ 1)]· dx
Nell’esempio precedente si nota che anche con un insieme molto regolare, come un cerchio, può essereestremamente difficile calcolare l’integrale.Sarebbe possibile pensare a un cambio di variabile in modo da ricondurre l’integrale a una forma piùcomoda.
Teorema 27 (di sostituzione) Sia Φ : Ω′ → Ω con Ω′ e Ω misurabili in R2, un cambiamento divariabili in Ω significa porre
Θ :
x = ϕ(u, v)y = ψ(u, v)
quindi ∫Ω
f(x, y) · dx · dy =
∫Ω′f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) · |detJ(Θ)| · du · dv
Il teorema pone la base per un qualsiasi cambio di variabili. Si trattano comunque due cambiamenti divariabili “standard”.
Coordinate polari
La trasformazione in coordinate polari porta la trasformazione di un piano in una striscia, tale trasfor-mazione è estremamente utile in presenza di cerchio figure ad esso legate.
Θ :
x = ϕ(ρ, ϑ) = ρ · cos(ϑ)y = ψ(ρ, ϑ) = ρ · sin(ϑ)
ρ ∈ R+0 , ϑ ∈ [0, 2 · π[
J(Θ) =
dϕ(ρ, ϑ)
dρ
dϕ(ρ, ϑ)
dϑ
dψ(ρ, ϑ)
dρ
dψ(ρ, ϑ)
dϑ
=
d(ρ · cos(ϑ))
dρ
d(ρ · cos(ϑ))
dϑ
d(ρ · sin(ϑ))
dρ
d(ρ · sin(ϑ))
dϑ
=
cos(ϑ) −ρ · sin(ϑ)
sin(ϑ) ρ · cos(ϑ)
detJ(Θ) = det
cos(ϑ) −ρ · sin(ϑ)
sin(ϑ) ρ · cos(ϑ)
= ρ · cos2(ϑ) + ρ · sin2(ϑ) = ρ · [cos2(ϑ) + sin2(ϑ)] = ρ
28
Coordinate ellittiche
La trasformazione in coordinate ellittiche porta la trasformazione di un piano in una striscia, taletrasformazione è estremamente utile in presenza di ellissi o figure ad esso legate.
Θ :
x = a · ϕ(ρ, ϑ) = a · ρ · cos(ϑ)y = b · ψ(ρ, ϑ) = b · ρ · sin(ϑ)
ρ ∈ R+0 , ϑ ∈ [0, 2 · π[
J(Θ) =
dϕ(ρ, ϑ)
dρ
dϕ(ρ, ϑ)
dϑ
dψ(ρ, ϑ)
dρ
dψ(ρ, ϑ)
dϑ
=
d(a · ρ · cos(ϑ))
dρ
d(a · ρ · cos(ϑ))
dϑ
d(b · ρ · sin(ϑ))
dρ
d(b · ρ · sin(ϑ))
dϑ
=
a · cos(ϑ) −a · ρ · sin(ϑ)
b · sin(ϑ) b · ρ · cos(ϑ)
detJ(Θ) = det
a · cos(ϑ) −a · ρ · sin(ϑ)
b · sin(ϑ) b · ρ · cos(ϑ)
= a·b·ρ·cos2(ϑ)+a·b·ρ·sin2(ϑ) = a·b·ρ·[cos2(ϑ)+sin2(ϑ)] = a·b·ρ
Esercizio 1 Riprendendo l’esercizio precedente si ha
f(x, y) = x2 · y + x+ 1Ω =
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1
Θ :
x = ϕ(ρ, ϑ) = ρ · cos(ϑ)y = ψ(ρ, ϑ) = ρ · sin(ϑ)
ρ ∈ R+0 , ϑ ∈ [0, 2 · π[
x2 + y2 = ρ2 · cos2(ϑ) + ρ2 · sin2(ϑ) = ρ2 ≤ 1⇒ ρ ≤ 1
Ω′ =
(ρ, ϑ) ∈ R2 : ρ ≤ 1
g(ρ, ϑ) = ρ3 · cos2(ϑ) · sin(ϑ) + ρ · cos(ϑ) + 1
I =
∫Ω
f(x, y) · dx · dy =
∫Ω′g(ρ, ϑ) · |detJ(Θ)| · dρ · dϑ
I =
∫ 1
0
(∫ 2·π
0
(ρ3 · cos2(ϑ) · sin(ϑ) + ρ · cos(ϑ) + 1
)· ρ · dϑ
)· dρ =
=
∫ 1
0
(∫ 2·π
0
(ρ4 · cos2(ϑ) · sin(ϑ) + ρ2 · cos(ϑ) + ρ
)· dϑ
)· dρ =
=
∫ 1
0
[−ρ4 · cos3(ϑ)
3+ ρ2 · sin(ϑ) + ρ · ϑ
]2·π
0
· dρ =
∫ 1
0
2 · π · ρ · dρ =
= [ρ2 · π]10 = π ∫Ω
f(x, y) · dx · dy = π
4.1.4 Integrali impropriSono integrali nel quale all’interno del dominio di integrazione vi è un numero finito di punti con discon-tinuità non eliminabile (la funzione “va all’infinito”) oppure il dominio non è limitato.Per risolvere tale tipologia di integrali si risolvono una serie di integrali su domini invadenti, cioè ponendoil dominio dipendente da un valore per il quale si effettua il limite in modo da ottenere il dominio dipartenza.
Esercizio 2 Calcolare∫D
1
x2 + y2· dx · dy con
D =
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1
Da una semplicissima analisi si osserva che f(0, 0) non è definita, pertanto possiamo definire il dominioinvadente Dε nel seguente modo
Dε =
(x, y) ∈ R2 : ε ≤ x2 + y2 ≤ 1
29
Si osserva che in questo modo (0, 0) /∈ Dε se ε > 0∫D
1
x2 + y2· dx · dy = lim
ε→0+
∫Dε
1
x2 + y2· dx · dy
Dε(ρ,ϑ) =
(ρ, ϑ) :√ε ≤ ρ ≤ 1
∫Dε
1
x2 + y2·dx·dy =
∫Dε(ρ,ϑ)
1
ρ·dρ·dϑ =
∫ 1
ε
(∫ 2·π
0
1
ρ· dϑ
)·dρ =
∫ 1
ε
1
ρ·dρ·
∫ 2·π
0
dϑ = 2·π·(ln(1)− ln(ε)) = −2·π·ln(ε)
limε→0+
∫Dε(ρ,ϑ)
1
x2 + y2· dx · dy = lim
ε→0+−2 · π · ln(ε) = +∞
Si ha quindi che l’integrale improprio non converge.
Esercizio 3 Calcolare ∫D
1
x2 + y2· dx · dy
conD = R\ (0, 0)
Si ha che ∫D
1
x2 + y2· dx · dy =
∫Dε
1
x2 + y2· dx · dy +
∫DR
1
x2 + y2· dx · dy
ConDε =
(x, y) ∈ R2 : ε ≤ x2 + y2 ≤ 1
DR =
(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ R
poichè abbiamo dimostreto nell’esercizio precedente che
∫Dε
1
x2 + y2· dx · dy diverge allora
∫D
1
x2 + y2· dx · dy diverge
4.2 Integrali tripliDefinizione 26 (Dominio semplice rispetto all’asse z) Un insieme Ω ⊆ R3 si dice semplice (onormale) rispetto all’asse z se è della forma
Ω =
(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)
con D una regione misurabile e chiusa di R2 e g1, g2 : D → R funzioni continue.
Attraverso questa definizione si può ricondurre un integrale tripo a un “integrale doppio”, le funzioni g1
e g2 sono le superfici che limitano superiormente e inferiormente il solido.Come si può osservare si ha un ragionamento del tutto analogo a quello effettuato nello svolgimento degliintegrali doppi.Sfruttando la definizione sopra si ha∫∫∫
Ω
f(x, y, z)·dx·dy·dz =
∫∫D
(∫ g2(x,y)
g1(x,t)
f(x, y, z) · dz
)·dx·dy integrazione per fili rispetto a z
Ovviamente nel calcolo dell’integrale qualora fosse comodo ricavare le superfici g1, g2 non in funzione dix, y ma di un’altra coppia di variabili si può comunque usare tale definizione di integrazione (sostituendola variabile integranda nell’integrale interno con quella non presente nella coppia); oppure sostituendo levariabili in modo da ruotare il solido per avere una formulazione “comoda” (il valore numerico dell’integralenon varia in quanto non sono operate compressioni/dilatazioni del volume ma è applicato un semplicecambiamento di variabili).
Definizione 27 (Strato) Si definisce strato l’intersezione tra un piano posto ad altezza z = z0 e ilsolido.
Az0 =
(x, y) ∈ R2 : (x, y, z0) ∈ Ω
In seguito alla definizione di strato si ha che
Ω =
(x, y, z) ∈ R3 : z ∈ [α, β], (x, y) ∈ Az
=
(x, y, z) ∈ R3 : z ∈ [min z,max z], (x, y) ∈ Az
30
Ω è l’unione di tutti gli strati∫∫∫f(x, y, z) · dx · dy · dz =
∫ β
α
(∫Az
f(x, y, z) · dx · dy)· dz
Il calcolo di un integrale triplo consente il calcolo di un iper-volume.
L’integrazione ritorna la misura di un insieme di dimensione di 1 superiore all’insieme di integrazione; unintegrale in una variabile ritorna un’area, un integrale doppio ritorna un volume e un integrale triplo ritorna un
iper-volume.
4.2.1 Cambiamenti di base negli integrali tripliTeorema 28 (Cambiamenti di base, integrali tripli) Sia Ψ : Ω → Ω′ con Ω, Ω′ insiemi misurabiliin R3, un cambiamento di variabili in Ω; poniamo ~x = Ψ(~u).Se f è una funzione continua e limitata su Ω, vale la formula∫∫∫
Ω
f(~x) · dΩ =
∫∫∫Ω′f(Ψ(~u)) · |det J(Ψ(~u))| · dΩ′
Coordinate Cilindriche
Ψ(ρ, ϑ, ϕ) =
x = ρ · sin(ϕ) · cos(ϑ)y = ρ · sin(ϕ) · sin(ϑ)z = ρ · cos(ϕ)
|det J(~u)| =
∣∣∣∣∣∣det
cos(ϑ) · sin(ϕ) −ρ · sin(ϑ) · sin(ϕ) ρ · cos(ϑ) · cos(ϑ)sin(ϑ) · sin(ϕ) ρ · cos(ϑ) · sin(ϕ) ρ · sin(ϑ) · cos(ϕ)
cos(ϕ) 0 −ρ sin(ϕ)
∣∣∣∣∣∣ = ρ2 · sin(ϕ)
Coordinate Cilindriche
Ψ(ρ, ϑ, t) =
x = ρ · cos(ϑ)y = ρ · sin(ϑ)z = t
|det J(~u)| =
∣∣∣∣∣∣det
cos(ϑ) −ρ · sin(ϑ) 0sin(ϑ) ρ · cos(ϑ) 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ = ρ
Teorema 29 (Teorema di Guldino) Il volume di un solido di rotazione è uguale al prodotto dell’areadella sezione meridiana per la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro della sezione attornoall’asse di rotazione.
vol(Ω) = 2 · π · yB · area(T )
31
32
Parte II
Calcolo numerico
33
Capitolo 5
Aritmetica del calcolatore
Ci si interessa essenzialmente alla realizzazione di calcoli, mediante approssimazioni numeriche, che pos-sano essere eseguiti in tempi “ragionevoli” con risultati accurati. Si pone l’interesse a metodi numerici inquanto ad esempio per risolvere un sistema quadrato a n equazioni in n incognite con la regola di Cramersaranno effettuati n! operazioni, supponendo che ogni operazione impieghi 10−6s e che n si pari a 20 perla soluzione completa sarebbero necessari circa 105 anni.
5.1 Rappresentazione numerica
Definizione 28 (Floating-point) Nel calcolatore un numero reale è rappresentato mediante il floating-point.Un numero a è rappresentato nel seguente modo
a = p ·Nq
con N pari alla base di numerazione, p ∈ R e q ∈ Z
Dalla definizione fornita è chiaro che la rappresentazione floating-point non è univoca, infatti
a = 0.015 · 10−1 = 0.15 · 10−2 = 0.0015 · 100
Per evitare questo tipo di “problemi” si introduce una condizione aggiuntiva
N−1 ≤ |p| ≤ 1
cioè dopo la virgola vi è sempre una cifra diversa da 0.
Definizione 29 (Floating-point Normalizzato) Si parla di rappresentazione floating-point norma-lizzata se
a = p ·Nq con N−1 ≤ |p| ≤ 1
tale rappresentazione è univoca.
Definizione 30 (Mantissa) Si definisce mantissa l’elemento p della rappresentazione floating-pointnormalizzata di un numero a.
Definizione 31 (Esponente o Caratteristica) Si definisce esponente o caratteristica di un numerol’elemento q della rappresentazione floating-point normalizzata di un numero a.
Mediante semplici operazioni algebriche (shift a sinistra o a destra della “mantissa” con relativo decre-mento/incremento dell’esponente), si può normalizzare un qualsiasi floating-point.Nel calcolatore rappresenta in memoria il segno della mantissa, il modulo della mantissa e l’esponente (labase è inutile in quanto è data per nota); l’unica imposizione aggiuntiva posta è quella di limitatezza dellamemoria fornita nel calcolatore per la mantissa e l’esponente (si ha l’esponente minimo m e esponentemassimo M).Per evitare la memorizzazione di esponenti negativi si usa “l’esponente normalizzato” q∗ = q −m ≥ 0.
• Se q∗ = 0⇒ q = m si ha la codifica dello 0, in questa condizione p = 0
35
• Se q∗ = M−m si ha la codifica di “non numero” (NaN), come∞, 00 ,∞∞ e altri risultati di operazioni
illecite.
In un calcolatore, data la limitatezza dello spazio riservato, non tutti i numeri possono essere rappresentati.
Definizione 32 (Numeri di macchina) Si definisce numero di maccina un numero reale che puòessere rappresentato esattamente all’interno della memoria del calcolatore.
Esempio 14
m ≤ q ≤M |q| con t cifre m = −127 M = 128 t = 5
a = 1.58291 · 100 = 0.158291 · 101 date le limitazioni imposte a non è un numero di macchina, almenonon lo è nell’aritmetica fissata in quanto la mantissa ha più di t cifre.a = 0.00382451 · 100 = 0.38245 · 10−2 è un numero di macchina.a = 12.29 · 10128 = 0.1229 · 10130 non è un numero di macchina in quanto l’esponente non può essererappresentato.
Il calcolatore reagisce in modo distinto nel caso di inserimento di un numero che non è un numero dimacchina.
• Se q < m, il numero non è rappresentabile a causa di un problema di underflow, il calcolatoresegnalerà solo un warning e continua le sue operazioni
• Se q > M , il numero non è rappresentabile a causa di un problema di overflow, il calcolatorearresterà immediatamente l’esecuzione. É comprensibile che tale tipo di problema è bene cercaremetodi, se disponibili, per evitare tale tipo di errore.
Esempio 15 (Metodi per evitare overflow) Sia x =
(x1
x2
)si calcoli
||x||2 =√x1
2 + x22
Se m = −127, M = 128, x1 = 10100 e x2 = 1050 nel calcolo di x12 = 10200 che genera un errore di
overflow.Si può evitare tale errore mediante una manipolazione dell’espressione
||x||2 =√x1
2 + x22 =
√x1
2 ·(
1 +x2
2
x12
)= |x1| ·
√1 +
(x2
x1
)2
Mediante l’ultima espressione, equivalente alla prima, non si ha overflow in quanto x1 e x2 sonorappresentabili, l’unico problema possibile potrebbe essere il problema di underflow.
• Se |p| ha più di t cifre allora il numero non è rappresentabile, il calcolatore per rappresentare talenumero ricorre a due metodi di arrotondamento:
1. Tecnica di troncamento, si escludono tutte le cifre dopo la t-esima cifra
2. Tecnica di arrotondamento, si aggiunge al numero la quantità 12 ·N
−t e in seguito si effettuail troncamento (in questo modo si ha al limite una modificazione della t-esima cifra).
3. Rounding to even, metodo utilizzato in Matlab; tale metodo se il numero da rappresenta-re è posto al punto medio tra due numeri rappresentabili lo arrotonda al numero pari piùvicino, mentre se non è il punto medio tra due numeri rappresentabili applica la tecnica diarrotondamento.
Esempio 16 (Tecniche di arrotondamento) N = 10 t = 2
0.156 =
0.15 metodo 10.156 + 1
2 · 10−2 = 0.156 + 0.05 = 0.161 = 0.16 metodo 2
Definizione 33 (Errore) • Si definisce errore assoluto la quantità
ea = |a− a|
dove a non è un numero di macchina e a è il numero di macchina legato ad a.
36
• Si definisce errore relativo la quantità
er =|a− a||a|
si può osservare che l’errore relativo è legato all’ordine di grandezza di a
Esercizio 4 (Errori) Se a = 1000 e a = 999 allora
ea = 1 er =1
103
Se a = 1000000 e a = 999999 allora
ea = 1 er =1
106
Si osserva che l’errore assoluto è uguale, mentre l’errore relativo è di ordini di grandezza più piccolo nelsecondo caso.
Definizione 34 (Errore di arrotondamento) Si definisce errore di arrotondamento l’errore che sicommette quando si approssima a con a (numero di macchina).
Calcolando la stima dell’errore assoluto e relativo di arrotondamento si ha:preso a = p · Nq un numero floating-point normalizzato, supponendo che non ci siano problemi negliarrotondamenti a = p ·Nq, certamente p ∈ (p1, p2)
troncamento p2 − p1 = n−t, pertanto se si approssima con il troncamento si ha che
p = p1 ⇒ |p− p1| < N−t
arrotondamento p = p1 se p ∈(p1, p1 + 1
2 ·N−t)
p = p2 se p ∈[p1 + 1
2 ·N−t, p2
]Quindi |p− p| ≤ 1
2 ·N−t
Pertanto l’errore assoluto e relativo di una approssimazione soddisfa la seguente uguaglianza
|a− a| = |p− p| ·Nq =
< N−t metodo 1≤ 1
2 ·N−t metodo 2
poichè N−1 ≤ |p| ⇒ 1|p| ≤ N e di conseguenza
|a− a||a|
=|p− p| ·Nq
|p| ·Nq=|p− p||p|
=
< N1−t metodo 1≤ 1
2 ·N1−t metodo 2
Definizione 35 (Precisione di macchina) Si definisce la quantità
eps =
N1−t metodo 112 ·N
1−t metodo 2
la precisione di macchina oppure unità di round off.Tale valore è costante su un calcolatore in cui l’approssimazione è fissata e rappresenta la massimaprecisione di calcolo raggiungibile.
eps = a ∈ F : 1⊕ a > 1
con F l’insieme dei numeri floating-point rappresentabili (F ⊂ R).
5.2 Operazioni di macchinaIl risultato tra due numeri di macchina generalmente non è un numero di macchina, pertanto si effettual’operazione esatta e poi si approssima il risultato; questo tipo di operazioni sono note come equazioni dimacchina.
a1 ⊕ a2 = a1 + a2 = (a1 + a2) · (1 + ε⊕)
a1 a2 = a1 − a2 = (a1 − a2) · (1 + ε)
37
a1 ⊗ a2 = a1 × a2 = (a1 × a2) · (1 + ε⊗)
a1 a2 = a1 / a2 = (a1 / a2) · (1 + ε)
Con |ε| ≤ eps.Per le operazioni di macchina non è detto che le proprietà dell’aritmetica classica siano rispettate; si puòdedurre facilmente che la proprietà commutativa della somma e del prodotto.
a1 ⊕ (a2 ⊕ a3) 6= (a1 ⊕ a2)⊕ a3
Due espressioni equivalenti in aritmetica esatta non è detto che siano equivalenti nell’aritmetica delcalcolatore.
Definizione 36 (Espressione equivalente, aritmetica finita) Se
|e1 − e2||e1|
≈ eps
allora si può affermare che le espressioni e1 ed e2 sono equivalenti.
5.2.1 Cancellazione numericaDefinizione 37 (Cancellazione numerica) La cancellazione numerica è uno dei fenomeni più gravidovuti all’aritmetica con precisione finita. Essa consiste in una perdita di cifre della mantissa che siverifica quando si esegue ad esempio una sottrazione fra due numeri a1 = p1 · Nq1 e a2 = p2 · Nq2 conp1 6= p1 e/o p2 6= p2.
Si può osservare mediante esempi che se p1 e p2 hanno t cifre per la mantissa e che le prime s cifre sianocoincidenti allora
a1 a2 = (p1 p2) ·Nq = (p1 − p2) ·Nq = P ·Nq−s
Esempio 17 (Cancellazione numerica)
N = 10 t = 5 metodo di arrotondamento 2
a1 = 0.157824831
a2 = 0.157348212
a1 − a2 = 0.000476619 = 0.476619 · 10−3
mentre poichè a1, a2 non sono numeri di macchina
a1 = 0.15782
a2 = 0.15735
a1 a2 = 0.00047 = 0.47 · 10−3
Si osserva che i due risultati ottenuti sono molto diversi.Se entrambi i numeri non sono affetti da arrotondamento non si ha perdita di precisione.
Talvolta manipolando le espressioni si riesce ad evitare il verificarsi di tale fenomeno, se non è possibileeffettuare tale manipolazione si dice che la cancellazione è insita nel problema.
Esempio 18 (Manipolazione operazioni - Cancellazione numerica - I)
N = 10 t = 5 metodo di arrotondamento 2
y =√x+ δ −
√x x > 0
Se |δ| x il fenomeno di cancellazione si evita attraverso una razionalizzazione
y =(√
x+ δ −√x)·√x+ δ +
√x√
x+ δ +√x
=x+ δ − x√x+ δ +
√x
=δ√
x+ δ +√x
Si osserva che si è riusciti ad evitare il problema, bisogna osservare che x e −x sono stati elimiati“fisicamente” dall’espressione in quanto se non fossero stati elisi il calcolatore valuta comunque e quindinon si è eliminata la cancellazione numerica.Si osservi che se δ ≈ −x allora il problema di cancellazione numerica non è eliminabile.
38
Esempio 19 (Manipolazione operazioni - Cancellazione numerica - 2)
N = 10 t = 5 metodo di arrotondamento 2
y =1− cos(x)
x2x ≈ 0
Il fenomeno di cancellazione numerica si può eliminare in diversi modi:
• Sfruttando la seguente identità trigonometrice
1− cos(x) = 2 · sin2(x
2
)
y =1− cos(x)
x2=
2 · sin2(x2
)x2
=1
2·
(sin(x2
)x2
)2
• Sfruttando il polinomio di Taylor per il coseno (x ≈ 10−5) si ha
y =1−
(1− x2
2! + x4
4! −x6
6! + · · ·)
x2=
1− 1 + x2
2! −x4
4! + x6
6! − · · ·x2
=x2
2! −x4
4! + x6
6! − · · ·x2
=1
2!−x
2
4!+x4
6!−· · ·
Poichè si vuol rappresentare tale valore si prendono un numero di elementi tale per cui la rappre-sentazione numerica a precisione finita resti invariata.
x4 =(10−5
)4= 10−20 numero non rappresentabile
Si osserva quindi che è sufficiente prendere i primi due termini dello sviluppo
y =1
2− x2
24
Si noti che anche se nell’ultima formulazione è presente l’operazione di sottrazione si hanno ordinidi grandezza molto diversi e quindi non si hanno problemi di cancellazione numerica.
• Moltiplicando e dividendo per un fattore 1 + cos(x)
y =1− cos(x)
x2· 1 + cos(x)
1 + cos(x)=
1− cos2(x)
x2 · (1 + cos(x))=
sin2(x)
x2 · (1 + cos(x))
Esempio 20 (Manipolazione operazioni - Cancellazione numerica - 3)
N = 10 t = 5 metodo di arrotondamento 2
y =x− sin(x)
tan(x)x ≈ 0
Utilizzando lo sviluppo di Taylor si ha
y =x−
(x− x3
3! + x5
5! −x7
7! + · · ·)
tan(x)=
x3
3! + x5
5! −x7
7! + · · ·tan(x)
Poichè se x = 10−5 x5 = 10−25 non è rappresentabile allora si ha
y =x3
3! · tan(x)
5.3 Problema numerico
Definizione 38 (Problema numerico) Si definisce problema numerico la descrizione chiara e nonambigua della connessione funzionale presente tra input e output di un’operazione
xf−→ y x, y ∈ Rm,n
39
Il connessione funzionale può essere espressa in modo esplicita
y = f(x)
oppure in forma implicitaf(x, y) = 0
Esempio 21 (Problema numerici)
A · x = B y =
∫ b
a
f(x) · dx
sono problemi numerici
Se è noto l’input x e l’output y, con precisione “infinita”; si avrà che l’input sarà rappresentato nelcalcolatore con x è possibile supporre (nel caso si operi con aritmetica esatta su x) in determinati casiche y è la rappresentazione di y nel calcolatore.
Definizione 39 (Problema ben condizionato) Un problema si dice ben condizionato se
||y − y||||y||
≈ ||x− x||||x||
cioè se operando su x o su x si ottiene rispettivamente y e y con un errore molto simile all’errore presentetra x e x.
Per realizzare un algoritmo occorre verificare iinnanzitutto il buon condizionamento del problema; siotterrà una relazione del tipo
||f(x)− f(x)||||f(x)||
≈ K(f, x) · ||x− x||||x||
oppure||f(x)− f(x)||||f(x)||
≤ K(f, x) · ||x− x||||x||
Definizione 40 (Numero di condizionamento) Il termine K(f, x) è detto numero di condiziona-mento.Si possono avere i seguenti casi possibili:
• k ≈ 1, allora il problema è ben condizionato
• k 1, allora se si ha la relazione con ≈ il problema è mal condizionati; mentre se si ha la relazionecon ≤ allora il problema potrebbe essere mal condizionato.
Esempio 22 (Calcolo dei numeri di condizionamento) Si calcolino i numeri di condizionamentodel seguente problema numerico
y = x1 + x2 x1, x2 ∈ R
Si avrà chex1 = x1 · (1 + ε1) ε1 =
x1 − x1
x1
x2 = x2 · (1 + ε2) ε1 =x2 − x2
x2
É possibile affermare che |x1| e |x2| siano molto piccoli. Quindi si ha
|y − y||y|
=|x1 + x2 − (x1 + x2)|
|x1 + x2|=|x1 + x2 − x1 · (1 + ε1)− x2 · (1 + ε2)|
|x1 + x2|=
=| − x1 · ε1 − x2 · ε2|
|x1 + x2|≤∣∣∣∣− x1
x1 + x2· ε1 −
x2
x1 + x2· ε2
∣∣∣∣ = |−k1 · ε1 − k2 · ε2|
Il problema è ben condizionato nel caso in cui k1, k2 ≈ 1.Se x1 ≈ −x2 allora k1, k2 → +∞, pertanto il problema è mal condizionato.
40
Definizione 41 (Algoritmo) Si definisce algoritmo una sequenza finita di operazioni, aritmetiche enon, che consentono di ottenere l’output y∗ del problema y = f(x) a partire dall’output (non è detto chey∗ = y).
Definizione 42 (Algoritmo numericamente stabile) Un algoritmo si dice numericamente stabile se
|y − y∗||y|
≈ eps
Esempio 23N = 10 t = 4 matodo di arrotondamento 2
Si determini la precisione di macchina nella seguente aritmetica. Si supponga che un algoritmo per larisoluzione del problema ben condizionato
y = f(x)
fornisca in questa aritmetica una
y∗ :|y − y∗||y|
≈ 10−1
e si determini se l’algoritmo è stabile.
eps =1
2·N1−t =
1
2· 10−3
L’algoritmo non è stabile in quanto|y − y∗||y|
6≈ esp
41
42
Capitolo 6
Sistemi Lineari
6.1 Riepilogo vettori, matrici e normeDefinizione 43 (Norme di vettori) Sia x = (x1, x2, . . . xn)T . Sono definite essenzialmente tre normeper tale vettore:
norma euclidea, norma 2 ||x||2 =
√√√√ n∑i=1
xi2 =√xT · x
norm(x) o norm(x, 2)
norma infinito ||x||∞ = max1≤i≤n
|xi|norm(x, inf)
norma uno ||x||1 =
n∑i=1
|xi|
norm(x, 1)
Definizione 44 (Norme di matrici) Sia A ∈ Cm×n. Sono definite essenzialmente tre norme per talematrice:
norma spettrale definita come la radice del raggio spettrale della matrice AT ·A. Il raggio spettrale diB, ρ(B), è l’autovalore di massimo in modulo ρ(B) = maxi |λi|
||A||2 =√ρ(AT ·A) =
√maxi|λi|
max(abs(eig(B))) o norm(A) o norm(A, 2)
norma infinito ||A||∞ = max1≤i≤n
n∑j=1
|aij |
norm(A, inf)
norma uno ||A||1 = max1≤j≤n
n∑i=1
|aij | =∣∣∣∣AT ∣∣∣∣∞
norm(A, 1)
Definizione 45 (Proprietà delle norme) Per le norme definite valgono lle seguenti proprietà
• ||A ·B|| ≤ ||A|| · ||B||
• ||I|| = 1
• ||A · x|| ≤ ||A|| · ||x||
Nella trattazione si useranno lettere maiuscole per indicare matrici e lettere minuscole per indicare vettori.
Definizione 46 (Matrici di uso comune) Si definiscono una quantità di matrici di uso comune:A ∈ Cm×n
matrice diagonale aij = 0 se i 6= j
matrice tri-diagonale aij = 0 se |i− j| > 1
43
matrice tetra-diagonale aij = 0 se |i− j| > 2
matrice dominante (per righe) se ∀i ∈ [1, n] ∈ N, |aii| >n∑
j = 1j 6= i
|aij |
matrice dominante per colonne se ∀j ∈ [1, n] ∈ N, |ajj | >n∑
i = 1j 6= i
|aij |
matrice simmetrica definita positiva se la matrice A è simmetrica (AT = A) e ∀x 6= o, xT ·A ·x > 0(o è il vettore identicamente nullo).Un’altra definizione possibile è che A è una matrice simmetrica definita positiva se e solo se tutti isuoi autovalori sono reali e positivi.Partendo da una definizione è possibile dimostrare l’altra.
6.2 Risoluzione numerica di sistemi lineariPrima di analizzare i metodi numerici per la risoluzione dei sistemi lineari occorre valutare il condiziona-mento del problema
a11 · x1 + a12 · x2 + . . .+ a1n · xn = b1...an1 · x1 + an2 · x2 + . . .+ ann · xn = bn
⇒
a11 · · · a1n
.... . .
...an1 · · · ann
· x1
...xn
=
b1...bn
⇒ A · x = b
Si suppone che A sia sempre una matrice non singolare1 in modo da essere certi di avere una soluzioneunica.
6.2.1 CondizionamentoI dati del problema sono A e b, ma nel calcolatore verranno memorizzati i dati perturbati A e b.
A = A+ δA b = b+ δb
Lavorando di aritmetica esatta partendo da A e b si ottiene la soluzione x; mentre partendo da A e b siottiene la soluzione x
x = x+ δx
è necessario trovare la relazione tra
||x− x||||x||
∣∣∣∣A−A∣∣∣∣||A||
∣∣∣∣b− b∣∣∣∣||b||
poichè x− x = −δx si ha||x− x|| = ||δx||
Se ||δA|| <1
||A−1||(condizione non restrittiva se l’errore δA è una piccola perturbazione si ha che A+ δA
è una matrice non singolare||δx||||x||
≤M ·[||δA||||A||
+||δb||||b||
]ponendo K(A) = ||A|| ·
∣∣∣∣A−1∣∣∣∣ (in Matlab tale numero può essere calcolato con il seguente comando:
cond(A[, T]) dove T indica il tipo di norma
M =K(A)
1−K(A) · ||δA||||A||
se si effettua una ipotesi più restrittiva ||δA|| < 12·||A−1|| si ha che
||δx||||x||
≤ 2 ·K(A) ·[||δA||||A||
+||δb||||b||
]1una matrice non singolare è invertibile, cioè ha determinante non nullo
44
se K(A) è piccolo il problema è ben condizionati, mentre se K(A) è grande il problema potrebbe esseremal condizionato.Pertanto K(A) si dice numero di condizionamento del sistema A · x = b
K(A) = ||A|| ·∣∣∣∣A−1
∣∣∣∣ ≥ ∣∣∣∣A ·A−1∣∣∣∣ = ||I|| = 1
pertanto se K(A) ≈ 1 il sistema è ben condizionato, mentre se K(A) 1 il sistea potrebbe essere malcondizionato.Vi sono matrici “classiche” che danno vita a un sistema mal condizionato:
matrice di Hilbert
Hn =
1 12 · · · 1
n
12
14 · · · 1
n+1
......
. . ....
1n
1n+1 · · · 1
2·n−1
K2(Hn) ≈ 10n+1
hilb(n)
matrice di Vandermonde
Vn =
x1n−1 · · · 1...
. . ....
xnn−1 · · · 1
vender(x) dove x = (x1, x2, . . . , xn)
T
I metodi numerici per la risoluzione di un sistema lineari sono divisi essenzialmente in due categoriealgoritmi di tipo diretto e di tipo iterativo.
6.3 Tecniche numeriche di tipo diretto alla risoluzione di sistemilineari
6.3.1 Tecnica di sostituzione all’indietroTale tecnica è applicabile solo su sistemi con matrice associata A di tipo triangolare superiore
a11 · x1 + a12 · x2 + · · · + a1n · nx = b1
a22 · x2 + · · · + a2n · xn = b2. . .
......
......
ann · xn = bn
⇒
xn = bnann
xn−1 =bn−1 − an−1,1 · xn
an−1n−1...
x1 =
b1 −n∑i=2
a1j · xj
a11
generalizzando si ha
xn =bnann
xi =
bi −n∑
j=i+1
aij · xi
aiii ∈ [1, n− 1] ∈ N
Algoritmo Matlab L’algoritmo può essere implementato nel seguente modoA = [...; ...; ...];
2 b = [...; ...; ...]; %vettore dei termini noti , definito come vettore colonnan = lenght(b);
4 x = zeros(n, 1); %necessario per evitare che Matlab riallochi ogni volta il vettorefor i=n-1: -1:1
6 s=0;
45
for j=i+1:n8 s = s + A(i, j)*x(j);
end10 x(i) = (b(i)-s)/A(i, i);
end Listing 6.1: Non ottimizzato
Poichè Matlab è interpretato ogni volta legge l’istruzione, la interpreta e la esegue; se si usano operazioni“predefinite” di Matlab si ha una migliore efficienza (si hanno quelle funzioni compilate) e tra l’altroMatlab deve leggere molte istruzioni in meno.A = [...; ...; ...];
2 b = [...; ...; ...]; %vettore dei termini noti , definito come vettore colonnan = lenght(b);
4 x = zeros(n, 1); %è necessario per evitare di riallocare ad ogni passo il vettorefor i=n-1: -1:1
6 S = A(i, i+1:n)*x(i+1:n);x(i) = (b(i)-s)/A(i, i);
8 end Listing 6.2: Ottimizzato con i comandi base Matlab
6.3.2 Tecnica di sostituzione in avantiTale tecnica è applicabile solo su sistemi con matrice associata A di tipo triangolare inferiore
a11 · x1 = b1a21 · x1 + a22 · x2 = b2
......
.... . .
......
an1 · x1 + an2 · x2 + · · · + ann · xn = bn
⇒
x1 =b1a11
x2 =b2 − a21 · x1
a22...
xn =
bn −n−1∑j=1
anj · xj
ann
generalizzando si ha
x1 =b1a11
xi =
bi −n−1∑j=1
aij · xi
aiii ∈ [2, n] ∈ N
6.3.3 Metodo delle eliminazioni di GaussAssegnato un sistema lineare A · x = b di ordine n il metodo delle eliminazioni trasforma in n − 1 passiil sistema A · x = b in uno ad esso equivalente (cioè con la stessa soluzione) U · x = b, con U matricetriangolare superiore.Il metodo delle eliminazioni di Gauss utilizza le seguenti properietà dei sistemi lineari:
• la soluzione rimane invariata se si scambiano tra loro due equazioni del sistema
• la soluzione rimane invariata se si sostituisce ad una equazione una combinazione lineare dell’equa-zione stessa con un altra equazione del sistema (il coefficienti della combinazione lineare non puòessere nullo per la prima equazione)
Esempio 24 (Metodo delle eliminazioni di Gauss su un sistema di dimensione 4)
S :
a(1)11 a
(1)12 a
(1)13 a
(1)14
a(1)21 a
(1)22 a
(1)23 a
(1)24
a(1)31 a
(1)32 a
(1)33 a
(1)34
a(1)41 a
(1)42 a
(1)43 a
(1)44
·
x1
x2
x3
x4
=
b(1)1
b(1)2
b(1)3
b(1)4
46
Passo 1 Si suppone a11 6= 0 (se così non fosse si scambia la riga 1 con la k-esima riga tale che ak1 6= 0,è sicuro in quanto det(A) = 0; se una colonna è tutta nulla allora ha determinante nullo).Si elimina l’incognita x1 dalle equazioni 2, 3 e 4.A tale scopo si sostituisce l’i-esima equazione con l’equazione che si ottiene sommando all’i-esimaequazione la prima equazione moltiplicata per il moltiplicatore m1i = − a1i
a11
S ≡
a(1)11 a
(1)12 a
(1)13 a
(1)14
0 a(2)22 a
(2)23 a
(2)24
0 a(2)32 a
(2)33 a
(2)34
0 a(2)42 a
(2)43 a
(2)44
·
x1
x2
x3
x4
=
b(1)1
b(2)2
b(2)3
b(2)4
a
(2)ij = a
(1)ij + a
(1)1j ·m1i
b(2)j = b
(1)j + b
(1)j ·m1i
Passo 2 Si suppone a22 6= 0 (se così non fosse si scambia la riga 2 con la k-esima riga tale che ak2 6= 0,è sicuro in quanto det(A) = 0; se una colonna è tutta nulla allora ha determinante nullo).Si elimina l’incognita x2 dalle equazioni 3 e 4.A tale scopo si sostituisce l’i-esima equazione con l’equazione che si ottiene sommando all’i-esimaequazione la prima equazione moltiplicata per il moltiplicatore m2i = − a2i
a22
S ≡
a(1)11 a
(1)12 a
(1)13 a
(1)14
0 a(2)22 a
(2)23 a
(2)24
0 0 a(3)33 a
(3)34
0 0 a(3)43 a
(3)44
·
x1
x2
x3
x4
=
b(1)1
b(2)2
b(3)3
b(3)4
a
(3)ij = a
(2)ij + a
(2)1j ·m2i
b(3)j = b
(2)j + b
(2)j ·m2i
Passo 3 Si suppone a33 6= 0 (se così non fosse si scambia la riga 3 con la k-esima riga tale che ak3 6= 0,è sicuro in quanto det(A) = 0; se una colonna è tutta nulla allora ha determinante nullo).Si elimina l’incognita x3 dall’equazione 4.A tale scopo si sostituisce l’i-esima equazione con l’equazione che si ottiene sommando all’i-esimaequazione la prima equazione moltiplicata per il moltiplicatore m3i = − a3i
a33
S ≡
a(1)11 a
(1)12 a
(1)13 a
(1)14
0 a(2)22 a
(2)23 a
(2)24
0 0 a(3)33 a
(3)34
0 0 0 a(4)44
·
x1
x2
x3
x4
=
b(1)1
b(2)2
b(3)3
b(4)4
a
(4)ij = a
(3)ij + a
(3)1j ·m3i
b(4)j = b
(3)j + b
(3)j ·m3i
A questo punto si può operare la tecnica di sostituzione all’indietro per ottenere la risoluzione del sistema.
N. B. è possibile che si verifichi cancellazione numerica, ma in questo caso non si può evitare.
Riepilogo
∀k ∈ [1, n− 1] ∈ N, ∀i ∈ [k + 1, n] ∈ N
mik = −a(k)ik
a(k)kk
a(k+1)ij = a
(k)ij +mik · a(k)
kj j ∈ [k + 1, n] ∈ N
b(k+1)i = b
(k)i +mij · b(k)
i
Si può osservare che in termini di operazioni aritmetiche il processo ha un costo computazionale O(n3)
47
Si osservera che sarà necessario salvare tutti i moltiplicatori usati, quindi al posto di usare nuove locazionidi memoria si sfruttano le locazioni della matrice che dovrebbero essere settate a 0 (che non le si settanoper evitare sprechi di tempo).
∀k ∈ [1, n− 1] ∈ N, ∀i ∈ [k + 1, n] ∈ N
aik = −a(k)ik
a(k)kk
a(k+1)ij = a
(k)ij + aik · a(k)
kj j ∈ [k + 1, n] ∈ N
b(k+1)i = b
(k)i + aij · b(k)
i
Esempio 25 (Esempio numerico)2 −1 1 −20 2 0 −11 0 −2 10 2 1 1
·
x1
x2
x3
x4
=
0104
2 −1 1 −20 2 0 −1− 1
212 − 5
2 20 2 1 1
·
x1
x2
x3
x4
=
0104
2 −1 1 −20 2 0 −1− 1
2 − 14 − 5
294
0 −1 1 2
·
x1
x2
x3
x4
=
01− 1
43
2 −1 1 −20 2 0 −1− 1
2 − 14 − 5
294
0 −1 25
2910
·
x1
x2
x3
x4
=
01− 1
42910
x4 =
29102910
= 1
x3 =− 1
4 −94
− 52
= 1
x2 =1− (−1)
2= 1
x1 = −−2 + 1− 1
2= 1
Algoritmo Matlab L’algoritmo può essere implementato nel seguente modoA = [...; ...; ...];
2 b = [...; ...; ...]; %vettore dei termini noti , definito come vettore colonnan = lenght(b);
4 for k=1:n-1%sarebbe necessario controllare che A(k, k)!=0
6 for i=k+1:nA(i, k) = -A(i, k)/A(k, k);
8 for j=k+1: nA(i, j) = A(i, j) + A(i, j)*A(k, j);
10 endb(i) = b(i) + A(i, k)*b(k);
12 endend
Listing 6.3: Metodo delle eliminazioni di Gauss non ottimizzato
É possibile ottimizzare l’algoritmo presentato in quantofor j=k+1:n
2 A(i, j) = A(i, j)*A(i, k)*A(k, j);end è equivalente a
48
A(i, k+1:n) = A(i, k+1:n)+A(i, k)*A(k, k+1:n); anche tutti i moltiplicatori possono essere generati tutti insieme e questo vale anche per i termini noti;pertanto l’algoritmo ottimizzato èA = [...; ...; ...];
2 b = [...; ...; ...]; %vettore dei termini noti , definito come vettore colonnan = lenght(b);
4 for k=1:n-1%sarebbe necessario controllare che A(k, k)!=0
6 A(k+1:n, k) = -A(k+1:n, k)/A(k, k); %per il calcolo dei moltiplicatoriA(k+1:n, k+1:n) = A(k+1:n, k+1:n) + A(k+1:n, k)*A(k, k+1:n); %per l’aggornamento degli elementi
della matrice8 b(k+1:n) = b(k+1:n) + A(k+1:n, k)*b(k); %per l’aggiornamento dei termini noti
end Listing 6.4: Metodo delle eliminazioni di Gauss ottimizzato
Nel metodo di Gauss la condizione a(k)kk 6= 0 è necessaria se si buole procedere con le successive eliminazioni.
Tale condizione è garantita se A soddisfa una delle seguenti proprietà:
• ∀k ∈ [1, n] ∈ N,det(Ak) 6= 0 con Ak matrice di ordine k la sottomatrice principale di ordine kA(1:k, 1:k)
• se A è diagonale dominante2
• se A è diagonale dominante per colonne
• se A è simmetrica definita positiva
Per garantire maggiore stabilità numerica dell’algoritmo di Gauss contiene scambiare anche quando∣∣∣a(k)kk
∣∣∣è piccolo. Precisamente ad ogni passo conviene individuare l’indice di riga per il quale risulta∣∣∣a(k)
rk
∣∣∣ = maxk≤i≤n
∣∣∣a(k)ik
∣∣∣Questa strategia è nota come pivoting parziale; tale stategia è usata da Matlab con il comando x = A \ b
Il pivoting parziale è superfluo se:
• A è diagonale dominante per colonne (|akk| = max |aki|)
• A è sunnetruca a diagonale dominante
• A è simmetrica definita positiva
6.3.4 Fattorizzazioni di matrici
Fattorizzazione di Gauss
Il metodo delle eliminazioni di Gauss, con pivoting parziale, può essere interpretato come una successionefinita di trasformazioni sulla matrice dei coefficienti, A, e sul vettore dei termini noti, b.Al passo k si ha, per effetto del pivoting parziale, lo scambio tra l’equazione k e l’equazione r tale scambioè realizzabile nel seguente modo
Pk ·A(k) = Pk · b(k)
inoltre si ha la una combinazione lineare tra l’equazione i (con i ∈ [k + 1, n] ∈ N) e l’equazione kmoltiplicata per un corretto moltiplicatore, mik; tale trasformazione la si realizza nel seguente modo
Mk · Pk ·A(k) = Mk · Pk · b(k)
Attraverso la definizione di queste trasformazioni il metodo delle eliminazioni di Gauss può essere ridefinitointeramente nel seguente modo
Mn−1 · Pn−1 · . . . ·M1 · P1 ·A · x = Mn−1 · Pn−1 · . . . ·M1 · P1 · b⇒n−1∏k=1
(Mk · Pk) ·A · x =
n−1∏k=1
(Mk · Pk) · b
2se non è espresso il tipo di diagonale dominante è inteso diagonale dominante per righe
49
Definizione 47 (Fattorizzazione di Gauss) Definendo G =
n−1∏k=1
(Mk · Pk) si ha
G ·A · x = G · b⇒ U · x = b
pertanto U · x = b prende il nome di fattorizzazione di Gauss.
Riordinando adeguatamente i fattori si ha che
Mn−1 · Pn−1 · . . . ·M1 · P1 = Mn−1 · . . . ·M1 · Pn−1 · . . . · P1 = M · P =⇒M · P ·A = U
Definizione 48 (Matrice di permutazione) Si definisce matrice di permutazione P =
n−1∏k=1
Pk
Le matrici Mk e Mk sono matrici dello stesso tipo, cioè matrici triangolari inferiori con tutti gli ele-menti sottodiagonali nulli tranne quelli della k-esima colonna. Si definisce L = M
−1, attraverso queste
definizioni la fattorizzazione di Gauss può essere riscritta nel seguente modo
P ·A = L · U
In Matlab tale fattorizzazione si ottiene utilizzando il comando [L, U, P] = lu(A).Poichè la fattorizzazione della matrice si ottiene mediante l’eliminazioni di Gauss ha un costo computa-zionale O
(n3
3
).
Le modifiche da apportare all’algoritmo delle eliminazioni sono estremamente limitate.La matrice P si definisce attraverso il vettore (contenente n− 1 interi)
pivot(k) =
k se non vi sono scambir se l’equazione k è scambiata dalla riga r
Esempio 26 (Calcolo della matrice P ) Se
pivot =
134
Si ha
P1 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
P2 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
P3 =
1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0
P = P3 · P2 · P1 =
1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0
· P2 =
1 0 0 00 0 1 00 0 0 10 1 0 0
%devo finire di sistemarlo bene!
2 function [L, U] = lu(A, n)for k=1:n-1
4 A(k+1:n, k) = A(k+1:n, k)/A(k, k);A(k+1:n, k+1:n) = A(k+1:n, k+1:n) - A(k+1:n, k)*A(k, k+1:n);
6 endL = tril(A) + eye(n);
8 U = triu(A);end
Listing 6.5: Algoritmo di fattorizzazione di una matrice
50
Applicazioni della fattorizzazione di Gauss
• Risoluzione del sistema lineare A · x = b
P ·A · x = P · b
L · U · x = P · b⇒ L · y = P · b⇒ U · x = y
L · y = P · b tecnica di sostituzione in avantiU · x = y tecnica di sostituzione all’indietro
Se è nota la fattorizzazione la risoluzione del sistema ha un costo O(n2)
• Calcolo del determinante di A
det(A) = (−1)s ·n∏i=1
Uii s = numero totale degli scambi
• Calcolo della matrice inversa di A
(P ·A)−1 = (L · U)−1 ⇒ A−1 · P−1 = U−1 · L−1 ⇒ A−1 = U−1 · L−1 · P
Questo metodo ha un costo computazionale O(n3)
• Risoluzione di p sistemi lineari con la stessa matrice dei coefficientise è nota la fattorizzazione di A significa risolvere p sistemi lineari pertanto si ha un costo computa-zionale O(p ·n2); se non è nota la fattorizzazione allora si può comunque affermare che è convenienteprima fattorizzare il problema si ha un costo O
(n3
3 + p · n2); risolvendo i sistemi lineari considerati
individualmente si ha un costo O(p · n
3
3
).
• Risoluzione di un sistema lineare del tipo Ap · x = b.Risolvendo il sistema lineare con le eliminazioni di Gauss si ha un costo computazionale per ilcalcolo di Ap di O
(n3
3
)isolando le varia potenze si ha la seguente soluzione
A · xp−1 = bA · xp−2 = xp−1
. . .A · x1 = x2
Si osserva che è necessario risolvere p sistemi lineari con la stessa matrice dei coefficienti, si ha uncosto computazionale O
(n3
3 + p · n2).
Fattorizzazione di Choleski
Nel caso in cui A sia una matrice simmetrica definita positiva si ha che
P ·A = L · U ⇒ I ·A = L · U ⇒ A = L · U
Si può dimostrare che L e U sono legate tra loro.
Definizione 49 (Fattorizzazione di Choleski)
A = L1 · L1T
con L1 matrice triangolare inferiore con elementi positivi sulla diagonale principale.Il calcolo di L1 ha un costo computazionale pari a O
(n3
6
); il comando Matlab per ottenere tale valore
è R = chol(A) dove R = L1T
Applicazione della fattorizzazione di Choleski
• Risoluzione del sistema lineare A · x = b
A · x = b⇒ L1 · L1T · x = b⇒
L1 · y = b
L1T · x = y
Si ha un costo computazionale complessivo pari a O(n2) se è nota la fattorizzazione.
• Calcolo della matrice inversa di A
A−1 =(L1 · L1
T)−1
= L1T−1 · L1
−1 = L1−1T · L1
−1
Ha un costo computazionale pari a O(
23 · n
3)51
6.3.5 Riepilogo metodi direttiI medoti diretti operano in un numero finito di passi n− 1 (se l’ordine della matrice è n); modificano lamatrice dei coefficienti, A, e dei termini noti, b; x in aritmentica con precisione finita ha un’imprecisioneindipendente dalle richieste dell’utente; sono applicabili con buoni risultati in caso di matrici dense e dipiccole/medie dimensioni.
Esempio 27 (Risoluzione di un sistema lineare con pivoting-parziale, e fattorizzazione di A)
A =
1 2 00 1 −12 0 −1
b =
301
Si scambia, per via del pivoting parziale, la prima equazione con la terza equazione pivot(1) = 3
A :
1 2 00 1 −12 0 −1
→ 2 0 −1
0 1 −11 2 0
→ 2 0 −1
0 1 −1− 1
2 2 12
b :
301
→ 1
03
→ 1
052
si scambia la seconda riga con la terza pivot(2) = 3
A :
2 0 −10 1 −1− 1
2 2 12
→ 2 0 −1
0 2 12
− 12 1 −1
→
2 0 −1
0 2 12
− 12 − 1
2 − 54
b :
1052
→
1
52
− 54
Attraverso la sostituzione all’indietro si ha
x3 =− 5
4
− 54
= 1
x2 =52 −
12
2= 1
x1 =1 + x4
2= 1
Per ottenere la fattorizzazione P · A = L · U basterebbe cambiare i segni ai moltiplicatori e nella fase discambio occorre scambiare completamente la riga.pivot(1) = 3
A :
1 2 00 1 −12 0 −1
→ 2 0 −1
0 1 −11 2 0
→ 2 0 −1
0 1 −112 2 1
2
pivot(2) = 3
A :
2 0 −10 1 −112 2 1
2
→ 2 0 −1
12 2 1
20 1 −1
→
2 0 −1
12 2 1
2
0 12 − 5
4
U = triu(A) =
2 0 −1
0 21
2
0 0 −5
4
L = In + tril(A) =
1 0 0
12 1 0
01
21
P1 =
0 0 10 1 01 0 0
P2 =
1 0 00 0 10 1 0
⇒ P =
0 0 11 0 00 1 0
52
6.4 Metodi risolutivi di tipo iterativo alla risoluzione di sistemilineari
Considerando il sistema
A · x = b⇔
a11 · x1 + a12 · x2 + . . .+ a1n · xn = b1a21 · x1 + a22 · x2 + . . .+ a2n · xn = b2
......
...an1 · x1 + an2 · x2 + . . .+ ann · xn = bn
considerando ∀i ∈ [1, n] ∈ N, aii 6= 0 (nel caso sia nullo è necessario scambiare le righe in modo daverificare tale condizione).Partendo da un vettore arbitrario x(0) iniziale, mediante l’uso di un metodo iterativo si derermina unasequenza di vettori x(k) che sotto opportune ipoteri converge alla soluzione corretta.
x(0) ⇒ x(1) ⇒ x(2) ⇒ . . .⇒ x(k) limk→+∞
x(k) − x = o
6.4.1 Metodo di Jacobi, Gauss-Seidel
Dato il sistema A · x = b, si può ricavare dall’i-esima equazione la variabile xi pertanto
xi =
bi −i−1∑j=1
aij · xj −n∑
j=i+1
aij · xj
aiiaii 6= 0
pertanto si genera una sequenza di vettori
Definizione 50 (Metodo di Jacobi)
xi(k+1) =
bi −i−1∑j=1
aij · xj(k) −n∑
j=i+1
aij · xj(k)
aiik ∈ N+
0
Definizione 51 (Metodo di Gauss-Seidel)
xi(k+1) =
bi −i−1∑j=1
aij · xj(k+1) −n∑
j=i+1
aij · xj(k)
aiik ∈ N+
0
Esempio 28 Partendo dal sistema
3 · x1 − x2 = 2x1 + 2 · x2 = 3
⇒
x1 =
x2 + 2
3
x2 =3− x1
2
⇒
x1
(k+1) =x2
(k) + 2
3
x2(k+1) =
3− x1(k)
2
con soluzione nota x = (1, 1)T
Con il metodo di Jacobi la successione è:
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6)
02
3
7
6
19
18
35
36
107
108
217
216
03
2
7
6
11
18
35
36
73
72
217
216
∣∣∣∣x− x(6)∣∣∣∣
||x||≈ 5 · 10−3
53
Con il metodo di Gauss-Seidel la successione è:
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6)
02
3
19
18
107
108
649
648
3887
3888
23329
23328
07
6
35
36
217
216
1295
1296
7777
7776
46655
46656
∣∣∣∣x− x(6)∣∣∣∣
||x||≈ 3 · 10−5
6.4.2 Convergenza dei metodi iterativiI metodi di Jacobi e Gauss-Seidel appartengono a una classe di procedimenti iterativi più ampi
A · x = b⇒ (C +D) · x = b⇒ D · x = b− C · x⇒ D(k+1) · x = b− C(k) · x k ∈ N+0
É quindi necessario che D sia una matrice non singolare, per garantire l’unucità della soluzione, di formasemplice (come triangolare) tale da garantire la convergenza alla soluzione esatta.Nel metodo di Jacobi si ha
D =
a11 0 · · · 00 a22 · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · ann
C = A−D
nentre nel metodo di Gauss-Seidel si ha
D =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
C = A−D
Si può definire e(k) = x − x(k) sottraendo membro a membro le equazioni D · x = b − C · x e D · x(k) =b− C · x(k−1)
D · x−D · x(k) = b− C · x− b+ C · x(k) ⇒ D · e(k) = −C · e(k−1)
Definendo B = D−1 · C = −D−1 · (A−D) = I −D−1 ·A, matrice di iterazione, si ha
e(k) = B · e(k−1)
Poichè l’uguglianza vale per ogni k si ha
e(k) = B · e(k−1) = B2 · e(k−2) = · · · = Bk · e(0)
da cui deduciamo chelim
k→+∞e(k) = o ⇒ ∀x(0) lim
k→+∞Bk = 0
Poichè è possibile dimostrare che limk→+∞Bk = 0 se e solo se B ha raggio spettrale strettamente minoredi 1
limk→+∞
Bk = 0⇔ ρ(B) < 1 ≡ ρ(B) = maxi|λi| < 1
pertantolim
k→+∞e(k) = 0⇔ ρ(I −D−1 ·A) < 1
un metodo applicativo più rapido consiste nel valutare una proprietà delle norme
ρ(A) ≤ ||A||
pertanto se ||A|| < 1 allora il metodo converge.Si può dimostrare che se:
• A è diagonale dominante allora∣∣∣∣I −D−1 ·A
∣∣∣∣∞ < 1
54
• A è diagonale dominante per colonne allora∣∣∣∣I −D−1 ·A
∣∣∣∣1< 1
pertanto se A è diagonale dominante per righe/colonne i metodi iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel con-vergono se applicati ad A · x = b.Inoltre se A è una matrice simmetrica definita positiva il metodo di Gauss-Seidel converge (la convergenzadi Gauss-Seidel non implica la convergenza del metodo di Jacobi e viceversa).La rapidità della convergenza di un metodo iterativo dipende dal raggio spettrale.Nelle implementazioni dei metodi iterativi è sempre necessario definire delle condizioni di arresto:
• Si definisce un numero massimo di iterazioni da compiere
• Verificando la bontà dell’approssimazione ottenuta come risultato, poichè x non è noto si valutal’espressione ∣∣∣∣∣∣x(k+1) − x(k)
∣∣∣∣∣∣ ≤ tolleranzaÉ possibile farlo in quanto se il metodo converge si ha sempre x ≤ x(k+1) ≤ x(k)
Implementazioni dei metodi iterativi proposti Gli algoritmi possono essere implementati nelseguente modofunction [x, k] = jacobi(A, b, itermax , toll , x0)
2 D = diag(diag(A));C = A-D;
4 for k=1: itermaxx = D\(b-C*x0);
6 if norm(x-x0) <=tollbreak
8 endx0 = x;
10 endend
Listing 6.6: Metodo di Jacobifunction [x, k] = jacobi(A, b, itermax , toll , x0)
2 D = tril(A);C = A-D;
4 for k=1: itermaxx = D\(b-C*x0);
6 if norm(x-x0, inf)<=toll*norm(x, inf)break
8 endx0 = x;
10 endend
Listing 6.7: Metodo di Gauss-Seidel
6.4.3 Riepilogo metodi iterativiI metodi iterativi per la risoluzione del sistema lineare A · x = b godono delle seguenti proprietà:
• x è determinato come limite di una successione convergente di vettori
• x, in aritmetica esatta, è determinato in maniera approssimata; mentre in aritmetica con precisionefinita la solzione è determinabile con una precisione scelta dall’utente.
• i metodi iterativi non modificano i coefficienti della matrice A e sono molto efficienti in caso dimatrici sparse e di grandi dimensioni
55
56
Capitolo 7
Approssimazione di dati e funzioni
Esempio 29 f(x) = 1x può essere approssimata attraverso lo sviluppo di Taylor, ma si osserva che in
alcuni casi tale tipo di approssimazione (se la funzione ha una “forma” diversa) può non avvicinarsiabbastanza alla funzione.
Dall’analisi I è noto che è possibile approssimare una funzione attraverso i polinomi di Taylor ma per faseciò è necessario calcolare le derivate della funzione e questo calcolo può risultare estremamente laborioso.
Definizione 52 (Approssimazione di funzioni) Approssimare una funzione f significa sostituire fcon una funzione f che sia, in qualche senso, “vicina” ad f e che abbia una forma più semplice (di tipopolinomiale ad esempio).
Un’applicazione di tale operazione si opera per esempio sul seguente f ≈ f ⇒∫ b
a
f ≈∫ b
a
f
Definizione 53 (Approssimazione di dati) Approssimare un insieme di dati (xi, yi) (per esempioyi = f(xi) con f ignota) significa determinare f che abbia un andamento analogo a quello dellafunzione che ha generato i suddetti dati (ad esempio con il metodo dei minimi quadrati).
Nell’approssimazione di una funzione (o di un fenomeno) f occorre:
• individuare la classe di funzioni approssimante idonea (polinomi algebrici, trigonometrici, esponen-ziale e spline)
• adottare un criterio per la scelta di un particolare elemento di f (determinando i fattori ak, bk)
• valutare la bontà di f
7.1 Classi di funzioni approssimanti standardPolinomi algebrici di grado n
f = pn(x) =
n∑k=0
ak · xk
danno una buona approssimazione di funzioni in intervalli chiusi e limitati
Polinomi trigonometrici
f = tn(x) = a0 +
+∞∑k=1
[ak · cos(ω · t) + bk · sin(ω · t)]
danno una buona approssimazione di funzioni periodiche con periodo T =2 · πω
Polinomi esponenziali
f(x) = en(x) =
n∑k=0
ak · ek·x
danno una buona approssimazione di funzioni che hanno crescita e decrescita esponenziale.
57
Funzioni spline di ordine n, ovvero funzioni polinomiali a tratti doteta di derivate continue fino al-l’ordine n − 1 buona per l’approssimazione di quelle funzioni che per avere la tolleranza richesteprevedono polinomi di grado eccessivo oppure sono eccessivamente oscillanti.
Si osserva che tutte le forme approssimanti trattate sono espresse come combinazioni lineari, la selezionedei coefficienti della combinazione lineare determina la scelta di una particolare f .Per individuare una perticolare f si adottano i seguenti criteri:
• criterio dell’interpolazione, si fa in modo che f passi per i punti dell’interpolazione.
• criterio dei minimi quadrati, si fa in modo che f sia la funzione più vicina possibile all’insieme deidati.
Nel caso dell’approssimazione di una funzione f con una tolleranza piccola a piacere occorre individuareuna successione di sottospazi Fn di dimensione finita n+ 1 per la quale, scelta fn(x) in Fn si ha
limn→+∞
||f − fn|| = 0
Quando questa condizione è verificata si dice che fn converge in norma ad f ; nel caso in cui si usa lanorma infinita si dice che si ha convergenza uniforme.
7.2 Interpolazione polinomiale
7.2.1 Rappresentazione di Vandermonde
Si considerano n dati (xi, yi) si vuol determinare f(x) in modo che
∀i ∈ [1, n] ∩ N, fi = yi
in questo modo si ottengono n condizionic1 · x1
n−1 + c2 · x1n−2 + . . . + cn = y1
c1 · x2n−1 + c2 · x2
n−2 + . . . + cn = y2
......
......
. . ....
......
...c1 · xnn−1 + c2 · xnn−2 + . . . + cn = yn
⇒
x1n−1 x1
n−2 . . . 1x2n−1 x2
n−2 . . . 1...
.... . .
...xn
n−1 xnn−2 . . . 1
·
c1c2...cn
=
y1
y2
...yn
Poichè ci si riduce a risolvere un sistema nella quale A è una matrice mal condizionata non è convenienteottenere il polinomio interpolante in questo modo.Poichè tutti gli xi sono distinti è chiaro che det(A) 6= 0 pertanto ∃!c : A · c = y.In Matlab per avere l’interpolazione si usa il comando polyfit(a, b, c) dove a e b sono vettori contenetixi e yi e c indica il grado massimo del polinomio interpolante; per valutare il polinomio interpolante intutti i punti di z si fa p = polyval(c, z) (salva in p i valori f(x))
Esempio 30 Calcolare e rappresentare graficamente il polinomio interpolante dei dati
(0, 1) (1,−1) (2, 1)
(1
2, 2
)x = [0, 1, 2, 1/2];
2 y = [1, -1, 1, 2];n = length(x);
4 c = polyfit(x, y, n);z = linspace(min(x), max(x));
6 p = polyval(c, z);plot(x, y, ’ro’, z, p, ’b’); IMMAGINE
Esempio 31 Calcolare i coefficienti del polinomio interpolante la funzione (funzione di Rouge)
f(x) =1
1 + x2
in 13 punto equispaziati nell’intervallo x ∈ [0, 1]
58
n=13;
2 x = linspace(0, 1, n);f = inline(’1./(1+x.^2)’);
4 y = f(x);c = polyfit(x, y, n-1);
6 figureX = linspace(0, 1);
8 Y = polyval(c, X);plot(x, y, ’ro’, X, Y, ’b’) IMMAGINE Per utilità pratica si chiama la rappresentazione precedente rappresentazione di Vander-monde
7.2.2 Rappresentazione di Lagrange
Tale tipo di rappresentazione consiste nell’effettuare una serie di considerazioni
(x1, 1) (x2, 0) . . . (xn, 0) → l1(x1, 0) (x2, 1) . . . (xn, 0) → l2
......
. . . . . ....
...
. . . . . . (xj , 1) . . ....
......
.... . . . . .
......
(x1, 0) (x2, 0) . . . (xn, 2) → ln
L’interpolazione per ogni serie di punti è unica
lj(xi) =
0 i 6= j1 i = j
pertanto si ha che
lj(x) = c · (x− x1) · . . . · (x− xj−1) · (x− xj+1) · . . . · (x− xn)
lj è un polinomio di grado, al massimo, n − 1; c è posto poichè non è oblicatorio che xn−1 abbia ilcoefficiente unitario.Imponendo che lj(xj) = 1 si ricava che
c =1
(xj − x1) . . . · (xj − xj−1) · (xj − xj+1) · . . . · (xj − xn)
pertanto
Definizione 54 (Rappresentazione di Lagrange)
lj(x) =(x− x1) · . . . · (x− xj−1) · (x− xj+1) · . . . · (x− xn)
(xj − x1) . . . · (xj − xj−1) · (xj − xj+1) · . . . · (xj − xn)
Si definisce lj il polinomio fondamentale di Lagrange, inoltre lj(x) è il polinomio interpolante ed è uni-vocamente determinato; tale polinomio è solo una riscrittura della rappresentazione di Vandermonde. Sipuò verificare facilmente che Pn−1(x) interpoli i punti assegnati, infatti
Pn−1(xi) =
n∑j=1
lj(xi) · f(xj) = li(xi) · f(xi) = f(xi)
Esempio 32 Si richiede di interpolare i punti
(0, 1) (1,−1) (2, 1)
(1
2, 2
)attraverso la rappresentazione di Lagrange.Si definiscono inizialmente i polinomi fondamentali di Lagrange
l1(x) =(x− 1) · (x− 2) ·
(x− 1
2
)(0− 1) · (0− 2) ·
(0− 1
2
)59
l2(x) =(x− 0) · (x− 2) ·
(x− 1
2
)(1− 0) · (1− 2) ·
(1− 1
2
)l3(x) =
(x− 0) · (x− 1) ·(x− 1
2
)(2− 0) · (2− 1) ·
(2− 1
2
)l4(x) =
(x− 0) · (x− 1) · (x− 2)(12 − 0
)·(
12 − 1
)·(
12 − 2
)Si definisce
P3(x) = 1 · l1(x)− 1 · l2(x) + 1 · l3(x) + 2 · l4(x)
Si osserva, nell’esempio precedente, che i polinomi lj(x) sono dipendenti dall’insieme completo dei nodi,pertanto se si vuol aggiungere n punto all’interpolaione (xn+1, yn+1) è necessario ricalcolare tutti i poli-nomi fondamentali di Lagrange.Per tale ragione questo tipo di rappresentazione ha solo utiliza teorita.
7.2.3 Rappresentazione di Newton
É la rappresentazione che è di fatto usata nell’interpolazione.Per tale rappresentazione è necessario definire
Definizione 55 (Differenze divise)
f [x1, x2] =f(x2)− f(x1)
x2 − x1differenza finita di ordine 1
f [x1, x2, x3] =f [x2, x3]− f [x1, x2]
x3 − x1differenza finita di ordine 2
f [x1, x2, . . . , xn] =f [x2, . . . , xn]− f [x1, . . . , nn−1]
xn − x1differenza finita di ordine n
É possibile dimostrare che le differenze divise di ordine qualsiasi sono invarianti rispetto alla permutazionedegli argomenti.
Definizione 56 (Rappresentazione di Newton)
Pn−1(x) = f(x1)+f [x1, x2]·(x−x1)+f [x1, x2, x3]·(x−x1)·(x−x2)+. . .+f [x1, x2, . . . , xn]·(x−x1)·(x−x2)·. . .·(x−xn−1)
Definizione 57 (Polinomi fondamentali di Newton) I polinomi
1 (x− x1) (x− x1) · (x− x2) . . .
n−1∏i=1
(x− xi)
sono detti polinomi fondamentali di Newton.
Si può verificare facilmente che Pn−1(x) interpoli i punti, infatti
Pn−1(x1) = f(x1) tutti gli addendi contengono (x− x1)
Pn−1(x2) = f(x1)+f [x1, x2]·(x2−x1) = f(x1)+f(x2)− f(x1)
x2 − x1·(x2−x1) = f(x2) tutti gli addendi contengono (x−x2)
Si può continuare la verifica per via induttiva, pertanto si dimostra che interpola tutti i punti.Mediante questa rappresentazione, della funzione approssimante, l’aggiunta di un punto da interpolareimplica l’aggiunta di un solo termine alla rappresentazione.
Esempio 33
(x1, f(x1)) P0(x) = f(x1)(x1, f(x1)) (x2, f(x2)) P1(x) = f(x1) + f [x1, x2] · (x− x1)(x1, f(x1)) (x2, f(x2)) (x3, f(x3)) P2(x) = f(x1) + f [x1, x2] · (x− x1) + f [x1, x2, x3] · (x− x1) · (x− x2)n⋃i=1
(xi, f(xi)) Pn−1(x) = Pn−2(x) + f [x1, x2, . . . , xn] ·n−1∏i=1
(x− xi)
60
Pertanto la rappresentazione di Newton può essere sintetizzata nel seguente modo (attraverso una descri-zione ricorsiva)
Pn(x) =
f(x1) n = 0
Pn−1(x) + f [x1, . . . , xn+1] ·n∏i=1
(x− xi) n 6= 0
Il calcolo delle differenze divise può sembrare estremamente lungo e laborioso ma operando con un sempliceschema logico si riesce facilmente a determinare tutte le deffirenze divise necessarie.
Esempio 34 (Differenze divise nel caso di 4 punti) Incolonnando le xi e le yi si ha
xi yix1 f(x1)
x2 f(x2) → f [x1, x2] = f(x2)−f(x1)x2−x1
x3 f(x3) → f [x2, x3] = f(x3)−f(x2)x3−x2
→ f [x1, x2, x3] = f [x2,x3]−f [x1,x2]x3−x1
x4 f(x4) → f [x3, x4] = f(x4)−f(x3)x4−x3
→ f [x2, x3, x4] = f [x3,x4]−f [x2,x3]x4−x2
→ f [x1, x2, x3, x4] = f [x1,x2,x3]−f [x2,x3,x4]x4−x1
Prendendo gli elementi sulla diagonali si hanno le differenze divise necessarie.Passando ad un esempio numerico si chiede di ricavare il polinomio interpolante con la rappresentazionedi Newton dei punti
(0, 1) (1,−1) (2, 1)
(1
2, 2
)xi y1
0 11 −1 → −1−1
1−0 = −2
2 1 → 1−(−1)2−1 = 2 → 2−(−2)
2−0 = 212 2 → 2−1
12−2
= − 23 → − 2
3−212−1
= 163 →
163 −212−0
= 203
Pertanto il polinomio interpolante i punti è
P3(x) = 1− 2 · (x− 0) · (x− 1) + 2 · (x− 0) · (x− 1) +20
3· (x− 0) · (x− 1) · (x− 2)
Definizione 58 (Algoritmo di Horner) É possibile calcolare in modo più efficiente (dal punto di vistacomputazionale) il calcolo delle differenze finite riorganizzando i vari termini, in tale modo è possibiledimezzare il numero delle moltiplicazioni effettuate.
P = a4
P = P · (x− x3) + a3
P = P · (x− x2) + a2
P = P · (x− x1) + a1
⇒P = anP = P · (x− xk) + ak k ∈ [1, n− 1] ∩ N
Esempio 35 (Applicazione dell’algoritmo di Horner) Nel caso di un polinomio del terzo ordine siha
P3(x) = a1 + a2 · (x− x1) + a3 · (x− x1) · (x− x2) + a4 · (x− x1) · (x− x2) · (x− x3) =a1 + a2 + [a3 + a4 · (x− x3)] · (x− x2) · (x− x1)
function a = diffdiv(x, y)2 n = length(x);
for i=1:n-14 for j=n:-1:i+1
y(j) = (y(j)-y(j-1))/(x(j)-x(j-i));6 end
end8 a = y; %tale assegnazione è necessaria perchè la y utilizzata all ’interno della funzione è una
variabile localeend
Listing 7.1: Function per il calcolo delle differenze divisefunction p = interpNewton(x, a, z)
2 n = length(x);p = a(n) * ones(1, length(z));
4 for k = n-1: -1:1p = p.*(z-x(k))+a(k);
6 endend
Listing 7.2: Function simile a poliyval per la rappresentazione di Newton
61
62
Parte III
Esercizi di Analisi Matematica
63
Capitolo 8
Successioni e Serie
1.+∞∑n=1
n · en
n!= e+ e2 +
e3
2+e4
3+ . . .
Utilizzando il criterio del rapporto (per la presenza del fattoriale) si ha:
(n+ 1) · en+1
(n+ 1) · n!· n!
n · en∼ e
n∼ 0 = l < 1 n→ +∞
Si osserva che la serie converge.N. B. Nel criterio del rapporto e della radice se il limite esiste allora tendono alla stessa costante.
2.+∞∑n=1
n2·n ·[1− cos
(1
n
)]nPoichè si osserva che la serie è a termini positivi (∀n, an ≥ 0) è possibile utilizzare il criterio delrapporto.
limn→+∞
n
√n2·n ·
[1− cos
(1
n
)]n= limn→+∞
n2 ·[1− cos
(1
n
)]= limn→+∞
n2 · 1
2 · n2=
1
2= l < 1
poichè l < 1 allora la serie converge.
3.+∞∑n=1
cos(n) · ln2(n2)
1 + ln2(n)
poichè non è detto che an sia sempre positivo, bisogna usare la convergenza assoluta.
an = cos(n) · 4 · ln2(n)
1 + ln2(n)= 4 · cos(n) · ln2(n)
1 + ln2(n)∼ 4 · cos(n) n→ +∞
6∃ limn→+∞
4 · cos(n)
poichè il limite non esiste allora la serie non converge.
4. Si determini S con una precisione di almeno 1100
S =
+∞∑n=1
1
n3
f(x) =1
x3F (x) = − 1
2 · x2+ c∫ +∞
n
1
x3dx = F (+∞)︸ ︷︷ ︸
sarebbe corretto il limite
−F (n) = [F (x)− F (n)]+∞n
F (+∞)→ 0
65
−F (n) = −(− 1
2 · n2
)=
1
2 · n2∫ +∞
n
1
x3dx =
1
2 · n2+ c∫ +∞
n+1
1
x3dx =
1
2 · (n+ 1)2+ c
1
2 · (n+ 1)2≤ S − Sn ≤ rn ≤
1
2 · n2<
1
100
1
n2<
1
50; n2 > 50; n >
√50⇒ n ' 7.07 = 8 ∈ N
La risposta corretta è:
S8 = 1 +1
23+
1
33+
1
43+
1
43+
1
63+
1
73+
1
83' 1.19
5. Osservazione della convergenza assoluta.
La serie,+∞∑n=1
(−1)n · 1
nconverge per Leibniz, mentra per il criterio di convergenza assoluta si ha:
+∞∑n=1
∣∣∣∣(−1)n · 1
n
∣∣∣∣ =
+∞∑n=1
1
n
Ma la serie+∞∑n=1
1
nè una armonica generalizzata del primo ordine, quindi diverge.
6.+∞∑n=1
1
n · (n+ 1)=
1
2+
1
6+
1
12
La serie in esame è detta serie di Mengoli e attraverso il criterio asintotico si vede che converge.Ma è anche possibile procedere utilizzando una serie telescopica ad essa associata, divicendo cioè iltermine generale in modo che i termini si eliminino con i successivi. (I valori di A e B si ricavanocon il metodo dei fratti semplici)
an =1
n · (n+ 1)=A
n+
B
n+ 1=n ·A+A+ n ·B
n · (n+ 1)=
1
n− 1
n+ 1
Sk =
k∑n=1
1
n− 1
n+ 1=
(1− 1
2
)+
(1
2− 1
3
)+
(1
3− 1
4
)+ . . . = 1− 1
k + 1
Si è riusciti quindi ad avere il valore della ridotta per un qualsiasi valore di k, si effettua quindi illimite
limk→+∞
Sk = limk→+∞
1− 1
k + 1= 1 = S
7.+∞∑n=1
2
n · (n+ 2)=
+∞∑n=1
1
n− 1
n+ 2
sn =
(1− 1
3
)+
(1
2− 1
4
)+
(1
3− 1
5
)+ . . . = 1 +
1
2− 1
n+ 1− 1
n+ 2
S = limn→+∞
1 +1
2− 1
n+ 1− 1
n+ 2=
3
2
8.+∞∑n=1
ln
(1 +
1
n
)Per il criterio asintotico si vede che poichè ln
(1 + 1
x
)∼ 1
x e∑+∞n=1
1n diverge allora la serie presa in
esame diverge. Si può comunque provare a spezzare il termine generale
an = ln
(1 +
1
n
)= ln
(n+ 1
n
)= ln(n+ 1)− ln(n)
66
sn = ln(2)− ln(1) + ln(3)− ln(2) + ln(4)− ln(3) + . . . = − ln(1) + ln(n+ 1)
limn→+∞
ln(n+ 1) = +∞
9. Determinare la convergenza della serie al variare del parametro α ∈ R+0
+∞∑n=0
(n2 + 1) · αn
Poichè (n2 + 1) · αn ∼ αn n → +∞, la serie si comporta in modo simile a quello di una seriegeometrica, quindi
limn→+∞
an =
0 α ∈ [0, 1[ la serie potrebbe convergere+∞ α ∈ [1,+∞[ la serie diverge
Utilizzando il criterio della radice si ha:
n√
(n2 + 1) · αn = (n2 + 1)1n · α = e
1n ·ln(n2+1) · α
1
n· ln(n2 + 1) ∼ 0→ e
1n ·ln(n2+1) ∼ 1→ α · e 1
n ·ln(n2+1) ∼ α
La serie converge con α ∈ [0, 1[.
10. Determinare la convergenza della serie al variare del parametro α ∈ R−
+∞∑n=1
(n2 + 1) · αn
Si può provare ad utilizzare il criterio di Leibniz ma bisogna controllare che bk sia decrescente,quindi è conveniente controllare prima la convergenza assoluta.
+∞∑n=1
∣∣(n2 + 1) · αn∣∣ =
+∞∑n=1
(n2 + 1) · |α|n
Poichè lo svolgimento è esattamente identico a quello precedente si può concludere che la serieassolutamente converge, quindi convergente, se |α| ∈]0, 1[.
11.+∞∑n=1
(−1)n
n2 + ln(n)
Si procede alla verifica della convergenza asintotica quindi:
+∞∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n
n2 + ln(n)
∣∣∣∣ =
+∞∑n=1
1
n2 + ln(n)
Poichè1
n2 + ln(n)∼ 1
n2e poichè
+∞∑n=1
1
n2converge allora
+∞∑n=1
(−1)n
n2 + ln(n)converge assolutamente,
quindi converge. Per utilizzare il criterio di Leibniz avrei docuto duimostrare che
bn+1 ≤ bn;1
(n+ 1)2 + ln(n+ 1)≤ 1
n2 + ln(n)
poichè n2 e ln(n) sono entrambi crescenti, se poste al denominatore rendono la funzione decrescente,quindi 1
n2+ln(n) decresce.
12.+∞∑n=1
(−1)n
n2 · sin(
1n
)poichè sin
(1n
)con n ∈ [1,+∞[ è sempre positiva si può affermare che
bk =1
n2 ·(
1n
) > 0
67
Non è consigliabile utilizzare la convergenza assoluta in quanto
1
n2 ·(
1n
) ∼ 1
n
e la∑
1n non converge.
Si prova pertando ad usare il criterio di Leibniz
bk → 0 n→ +∞
bn+1 ≤ bn;1
(n+ 1)2 ·(
1n+1
) ≤ 1
n2 ·(
1n
)per verificare l’ultima disequazione si procede, se possibile, con l’estenzione f(x) = 1
x2·sin( 1x )
, in
quanto dimostrando che f è decrescente si dimostra che bk è decrescente.
g(x) = f(x)−1 = x2 · sin(
1
x
)
g′(x) = 2 · x · sin(
1
x
)+ x2 · cos
(1
x
)·(− 1
x2
)= 2 · x · sin
(1
x
)− cos
(1
x
)lim
x→+∞g′(x) = 1
quindi da un certo punto in poi g è crescente, ciò implica che f è decrescente e quindi anche bk.Poichè le ipotesi del criterio di Leibniz sono verificate allora la serie converge.
13.+∞∑n=1
sin(n)
n ·√n
poichè n→ +∞→ an → 0 ma non è a termini positivi si prova la convergenza assoluta
+∞∑n=1
∣∣∣∣ sin(n)
n ·√n
∣∣∣∣ =
+∞∑n=1
| sin(n)|n
32
utilizzando il criterio del confronto si riesce a maggiorare
0 ≤ | sin(n)|n
32
≤ 1
n32
e poichè+∞∑n=1
1
n32
converge allora la serie converge assolutamente e quindi converge.
68
Capitolo 9
Successioni e Serie di funzioni
1. Determinare il limite puntuale di
fn(x) = n · x · e−n·x x ∈ [0,+∞[
f1(x) = x · e−xf2(x) = 2 · x · e−2·x
limn→+∞
fn(x) = limn→+∞
n · x · e−n·x =
0 x ∈]0, 1]0,∀n x = 0
Si ha quindi che fn → f(x) = 0 puntualmente su A = [0,+∞[.Se provassimo a ricercare i punti di massimo dovremmo innanzitutto derivare fn
f ′n(x) = n·e−n·x+n2·x·e−n·x = n·e−n·x·(1− n · x)→ n·e−n·x·(1− n · x) = 0 se 1−n·x = 0 ≡ x =1
n
Il valore massimo della funzione è:
fn
(1
n
)= n · 1
n· e−n· 1n =
1
e
Si osserva che la funzione converge puntualmente alla funzione identicamente nulla (f(x) = 0), madall’analisi effettuata si osserva che vi sono dei problemi intorno al valore di 1
n poichè vi è sempreun massimo 1
e 6= 0. Occorre quindi ricercare una convergenza più forte. Provando a ricercare unaeventuale convergenza uniforme si osserva che:
d (fn, f) =1
e∀n
Poichè d (fn, f) 6→ 0 non vi è convergenza uniforme sull’intervallo x ∈ [0, 1].É possibile però ridurre l’intervallo per cercare eventuali convergenze uniformi.Dall’analisi dei punti di massimo è evidente che fn con x ≥ 1 è sempre decrescente, quindi:
limn→+∞
supx∈[1,+∞[
∣∣n · x · e−n·x − 0∣∣ = lim
n→+∞sup
x∈[1,+∞[
n · e−n = 0
poichè il limite converge a 0 allora nell’intervallo x ∈ [1,+infty[ vi è convergenza uniforme.Ora si cerca di espandere l’intervallo il più possibile operando sull’intervallo x ∈ [a,+∞[,∀a ∈ R+.
supx∈[a,+∞[
∣∣n · x · e−n·x − 0∣∣ =
1e n < 1
a
n · a · e−n·a n ≥ 1a
poichè n→ +∞ si ha che si ha convergenza uniforme nell’intervallo x ∈ [a,+∞[.
limn→+∞
supx∈[a,+∞[
n · a · e−n·a = 0
2. Determinare la convergenza difn(x) = xn x ∈ [0, 1]
limn→+∞
xn =
0 x 6= 11x = 1
= f(x)
69
Quindi fn → f puntualmente su x ∈ [0, 1]. Ricerchiamo ora la convergenza uniforme
limn→+∞
supx∈[0,1)
|fn(x)− f(x)| = supx∈[0,1)
|xn − 0| = 1 6= 0
quindi fn non converge uniformemente a f con x ∈ [0, 1). Poichè il problema si ha nell’intorno di1 proviamo a ridurre l’intervallo a x ∈ [0, a],∀a < 1.
limn→+∞
supx∈[0,a]
|xn − 0| = 0
Quindi fn → f(x) = 0 uniformemente in x ∈ [0, a],∀a < 1.
3. Studiare la convergenza difn(x) = sin(n · x) · e−n·x
2
f1(x) = sin(x) · e−x2
f2(x) = sin(2 · x) · e−2·x2
limn→+∞
sin(n · x) · e−n·x2
= 0
Quindi fn → f(x) = 0 puntualmente su x ∈ R.Non dovrebbero essere presenti problemi per la convergenza uniforme1
supx∈R|fn(x)− f(x)| = sup
x∈R
∣∣∣sin(n · x · e−n·x2
− 0∣∣∣ ≤Mn
Poichè sin(n · x) è limitata da 1 si pone Mn = e−n·x2
limn→+∞
supx∈R
∣∣∣sin(n · x) · e−n·x2∣∣∣ ≤ lim
n→+∞supx∈R
∣∣∣e−n·x2∣∣∣ = 1
La soluzione trovata non ci soddisfa, in quanto il risultato del limite tende a 1, si potrebbe pro-cedere pertanto a una minorazione, per dimostrare che la funzione minorante non è convergenteuniformemente e quindi la funzione che sta sopra non converge. (Potrebbe anche essere che si èmaggiorato un po’ troppo).
4. Si determini la convergenza della seguente serie di funzioni:
fn(x) =
√n 0 < x < 1
n1√x
1n ≤ x ≤ 1
Si osserva dalla definizione che con n → +∞ il primo intervallo diventa infinitesimo, quindi fn →f = 1√
xpuntualmente in x ∈ (0, 1].
Resta ora da provare la convergenza uniforme
limn→+∞
supx∈(0,1]
|fn(x)− f(x)| = +∞
Si ha quindi una distanza infinita, tale distanza si ha in 0, pertanto si cerca di ridurre l’intervalloescludendo lo 0 (x ∈ [a, 1],∀a > 0).
supx∈[a,0]
|fn(x)− f(x)| =
∣∣∣ 1√a−√n∣∣∣ 1
n > a
0 1n < a
limn→+∞
supx∈[a,0]
|fn(x)− f(x)| = 0
Quindi fn → f uniformemente in x ∈ [a, 1],∀0 < a < 1.
5.+∞∑n=1
xn√n
converge puntualmente per x ∈ A, occorre studiare
sn(x) = x+x2
√2
+ . . .+xn√n
1si consiglia di non cercare i punti di massimo (in quanto spesso è molto difficile) ma di cercare di maggiorare la funzionecon una Mn → 0 oppure se non si riesce a trovare Mn provare a minorare la funzione con mn 6→ 0
70
ma lo studio della ridotta n-esima è estremamente difficile
+∞∑n=1
xn√n
=
convergente x = 0
limn→+∞
xn√n
= 0 |x| < 1
limn→+∞
=
+∞6∃ |x| ≥ 1
Pertanto la serie può solo convergere in x ∈ A =]− 1, 1[.Se |x| < 1 allora
+∞∑n=1
∣∣∣∣ xn√n∣∣∣∣ =
+∞∑n=1
|x|n√n
e tale serie per questione di ordini converge assolutamente, pertanto converge assolutamente su A.
6.+∞∑n=1
xn
n · 2n
converge puntualmente su A = [−2, 2), converge assolutamente su B = (−2, 2)
limn→+∞
xn
n · 2n= 0 x ∈ [−2, 2]
Se x = 2+∞∑n=1
xn
n · 2n=
+∞∑n=1
1
ndiverge
Se x = −2+∞∑n=1
xn
n · 2n=
+∞∑n=1
(−1)n
nconverge per Leibniz
Quindi A = [−2, 2). Cercando la convergenza assoluta si sfrutta il criterio di Weiestrass, si cercaquindi il maggiorante Mn. ∣∣∣∣ xn
n · 2n
∣∣∣∣ ≤Mn x ∈ (−2, 2)
Poichè n è costante allora n · 2n è costante, quindi si ha il massio con x = 2, quindi
Mn =1
n∣∣∣∣ xn
n · 2n
∣∣∣∣ ≤ 1
n
Ma la serie+∞∑n=0
1
n
diverge, quindi la maggiorazione non era buona (comunque non si può concludere che+∞∑n=0
xn
n · 2nnon
converge). Poichè si osserva che il problema è proprio quando cerchiamo di maggiorare nell’intornodi 2 proviamo a restringere l’intervallo in x ∈ [−1, 2]
|fn(1)| =∣∣∣∣ xn
n · 2n
∣∣∣∣ ≤ 1
n · 2n= Mn
Ma+∞∑n=1
Mn =+∞∑n=1
1
n · 2nconverge
Ora è da vedere se l’intervallo si può estendere, si prova a vedere se converge in x ∈ [−a, a] cona ∈ (0, 2)
|fn(a)| =∣∣∣∣ an
n · 2n
∣∣∣∣ ≤ 1
n·(a
2
)n= Mn
71
converge in quanto per questioni di ordine 1n = o(
(a2
)n) perchè ha ordine esponenziale.
Poichè+∞∑n=0
(a2
)n) converge
allora+∞∑n=0
xn
n · 2nconverge puntualmente con x ∈ [−a, a] ∀a ∈ (0, 2)
7.+∞∑n=0
n+ 1
n2 + 1· 2−n·x
2
sn(x) = 1 + 2−x2
+3
5· x−2·x2
+4
10· 2−3·x2
+ . . .+n+ 1
n2 + 1· 2−n·x
2
limn→+∞
n+ 1
n2 + 1· 2−n·x
2
=
0 x 6= 0 con ordine esponenziale0 x = 0 con ordine 1
Se x = 0+∞∑n=0
n+ 1
n2 + 1· 2−n·x
2
=
+∞∑n=0
n+ 1
n2 + 1
n+ 1
n2 + 1∼ 1
nnon converge
Se volessi avere la convergenza uniforme con x ∈ R\0 è necessario trovare l’estremo superiore alvariare di x, quindi è necessario trovare i punti di massimo di fn(x).
(fn(x))′
=
(n+ 1
x2 + 1· 2−n·x
2
)′=
n+ 1
n2 + 1·(e
ln(
2−n·x2))′
=n+ 1
n2 + 1· eln
(2−n·x
2)· (−2) · x · n · ln2(2)
poichè tutti gli elementi tranne −2 · x sono positivi, quindi
(fn(x))′> 0 con x > 0
Si ha quindi che ∣∣∣∣ n+ 1
n2 + 1· 2−n·x
2
∣∣∣∣ ≤ n+ 1
n2 + 1= Mn
Ma+∞∑n=0
n+ 1
n2 + 1non converge, quindi la serie non converge uniformemente in R\0, si prova quindi
a restringere l’intervallo dato che i problemi li si hanno in 0.Si restringe l’intervallo a x ∈ A = (−∞,−a) ∩ (a,+∞), ∀a ∈ R+∣∣∣∣ n+ 1
n2 + 1· 2−n·x
2
∣∣∣∣ ≤ n+ 1
n2 + 1· 2−n·a
2
= maxx∈A
∣∣∣∣ n+ 1
n2 + 1· 2−n·x
2
∣∣∣∣la serie
+∞∑n=0
n+ 1
n2 + 1· 2−n·a
2
converge con ordine esponenziale, quindi+∞∑n=0
n+ 1
n2 + 1· 2−n·x
2
converge uniformemente con x ∈
(−∞,−a] ∩ [a,+∞)
9.1 Serie di potenze1. Calcolare i domini di convergenza, utilizzando il criterio del rapporto
+∞∑n=0
xn
∀k, ak = 1
limk→+∞
∣∣∣∣ak+1
ak
∣∣∣∣ = limk→+∞
1 = 1 = l
72
Il raggio di convergenza della serie è R = 1l = 1. Si calcola ora la convergenza della serie
+∞∑n=0
xn
con:
• x = 1+∞∑n=0
xn =
+∞∑n=0
1n diverge
• x = 1+∞∑n=0
xn =
+∞∑n=0
(−1)n non converge
Quiondi la serie+∞∑n=0
xn
converge assolutamente con x ∈ (−1, 1) e converge uniformemente con x ∈ [a, b],∀a, b ∈ (−1, 1) :a < b.
2.+∞∑n=0
2n
n!· x2·n = 1 + 2 · x2 + 2 · x4 +
4
3· x6 +
2
3· x8 + . . .
Si noti bene che per poter utilizzare il criterio del rapporto è necessario che an 6= 0, ma nel casospecifico, in base alla definizione di serie di potenze
an 6=2n
n!
Calcolare an spesso è molto difficile, infatti non si chiede mai di calcolarlo, pertanto per poterrisolvere l’esercizio si effettua un cambio di variabile t = x2.
+∞∑n=0
2n
n!· x2·n =
+∞∑n=0
2n
n!· tn
a questo punto an = 2n
n! .
limk→+∞
∣∣∣∣ak+1
ak
∣∣∣∣ = limk→+∞
2 · 2k
(k + 1)2 + 1· k
2 + 1
2k= limk→+∞
2 · k2 + 1
(k + 1)2 + 1= 2 = l
Il raggio di convergenza della serie in t è
Rt =1
l=
1
2
Quindi+∞∑n=0
2n
n!· tk
converge puntualmente con |t| < 12 e sostituendo x2 = t si ha che
+∞∑n=0
2n
n!· x2·k
converge puntualmente con |x2| < 12 → |x| <
1√2Si prova ora a vedere la convergenza sugli estremi
x = 1√2
+∞∑n=0
2n
n2 + 1·(
1√2
)2·n
=
+∞∑n=0
1
n2 + 1converge
x = − 1√2
+∞∑n=0
2n
n2 + 1·(− 1√
2
)2·n
=
+∞∑n=0
(−1)n
n2 + 1converge
Per il teorema di Abel allora si ha che+∞∑n=0
2n
n!· x2·n converge uniformemente in x ∈
[− 1√
2, 1√
2
]73
3. Scrivere una serie di potenze che converga puntualmente in:
• x ∈ (−2, 2)
• x ∈ [−2, 2)
• x ∈ (−2, 2]
• x ∈ [−2, 2]
Mi occorre una serie di potenze con R = 2, pertanto si prende
+∞∑n=0
1
2n· xn
tale serie rispetta la prima richiesta, ora se voglio che in x = −2 sia convergente occorre dividerela funzione per n in modo tale che in |x| = 2 abbia una situazione simile ad 1
n , nei negativi perLeibniz converge, mentre nei positivi no, quindi
+∞∑n=0
1
n · 2n· xn
rispetta la seconda richiesta, se volessi che converga anche in x = 2 occorre che il termine aggiuntivosia assolutamente convergente, quindi si divide ancora per n
+∞∑n=0
1
n2 · 2n· xn
rispetta la quarta richiesta, infine per la terza richiesta basta cambiare il segno di x all’interno dellaseconda richiesta
+∞∑n=0
1
n · 2n· (−x)n =
+∞∑n=0
(−1)n
n · 2n· xn
4. Calcolare il raggio di convergenza delle serie Σ2 e Σ3.
Σ1 =
+∞∑n=0
xn
Σ2 =
+∞∑n=0
(1
2n− 1
)· xn
Σ3 = Σ1 + Σ2 =
+∞∑n=0
(1 +
1
2n− 1
)· xn =
+∞∑n=0
1
2n· xn
Per Σ2 si ha che il termine an = 1−2n
2n e utilizzando il criterio del rapporto si ha
limk→+∞
1− 2k+1
2k+1· 2k
1− 2k=
1− 2k+1
2− 2k+1= 1
Quindi il raggio di convergenza è R2 = 1.
Per Σ3 si ha che il termine an =1
2ne utilizzando il criterio del rapporto si ha immediatamente che
R3 = 2.Questo è un esempio evidente che se R1 e R2 sono uguali la loro somma può avere raggio diconvergenza anche superiore.
5. Calcolare il valore di+∞∑n=1
n · xn−1+∞∑n=1
n · xn+∞∑n=2
n · (n− 1) · xn−2+∞∑n=1
n2 · xn−1
n · xn−1 è la derivata di xn, serie geometrica, di cui si conosce anche il valore della serie, pertantoutilizzando il teorema di derivazione per serie di potenze si ha che
+∞∑n=1
n · xn−1 =
+∞∑n=0
(xn)′
=
(1
1− x
)′=((1− x)−1
)′= −(1− x)−2 · (−1) =
1
(1− x)2
74
+∞∑n=1
n · xn = x ·+∞∑n=1
n · xn−1 =x
(1− x)2
n · (n− 1) · xn−2 è la derivata di n · xn−1, serie di cui si conosce anche il valore della serie, pertantoutilizzando il teorema di derivazione per serie di potenze si ha che
+∞∑n=2
n · (n− 1) · xn−2 =
+∞∑n=1
(n · xn−1
)′=
(1
(1− x)2
)′= −2 · (1− x)−3 · (−1) =
2
(1− x)3
n2 · xn−1 = (n · xn)′ quindi per il teorema si ha che
+∞∑n=1
n2 · xn−1 =
+∞∑n=1
(n · xn)′
=
(x
(1− x)3
)′=
=(1− x)2 + 2x · (1− x)
(1− x)4=
1 + x2 − 2 · x+ 2 · x− 2 · x2
(1− x)4=
1− x2
(1− x)4=
1 + x
(1− x)3
Come si può notare negli esercizi appena svolti a volte è stato necesario spostare l’indice inizialedella serie, tale traslazione è necessaria in quanto la derivata di una costante è nulla e quindi nonsi considera, altrimenti si richia di dire che la derivata di una costante è n · xn−1 e con n = 0 si ha0 · x−1 che non ha senso.
6. Calcolare+∞∑n=0
∫xn · dx
+∞∑n=0
∫xn · dx =
+∞∑n=0
1
n+ 1· xn+1
Poichè+∞∑n=0
xn =1
1− x= f(x) allora, sfruttanto il teorema di integrazione per serie si ha che
+∞∑n=0
∫xn · dx =
∫ (+∞∑n=0
xn
)· dx =
∫1
1− x· dx = − ln(1− x) + c = F (x)
Occorre ora che la primitiva in 0 sia nulla,
F (0) = − ln(1− 0) + c = 0⇒ c = 0⇒ F (x) = − ln(1− x)
+∞∑n=0
1
n+ 1· xn+1 = − ln(1− x)
7. Calcolare la 132-esima derivata in 0 della funzione f(x) = ln(1− x).Poichè
ln(1− x) = −+∞∑n=0
1
n+ 1· xn+1
la serie è necessariamente la serie di Taylor, per definizione, quindi poichè la serie di taylor è+∞∑n=0
f (n)(0)
n!· xn si ha che
an =f (n)(0)
n!⇒ f (n)(0) = an · n!
an =1
n
f (132)(0) =1
132· 132! = 131!
75
8. Calcolare la 732-esima e la 731-esima derivata in 0 della funzione f(x) =
+∞∑n=0
2k
k2 + 1· x2k+1. Si
osserva subito che la funzione è somma di sole potenze dispari, quindi tutte le derivate pari sononulle
∀n ≥ 0, f (2·n)(0) = 0
f (731)(0) = a731 · 731!
Ma a731 è il coefficiente della x731, occorre quindi verificare per quale n
2 · n+ 1 = 731⇒ n =731− 1
2= 365
f (731)(0) =2365
3652 + 1· 731!
9. Calcolare la 231-esima e la 232-esima derivata in 0 della funzione f(x) =
+∞∑n=0
2n
n· x4·n+1.
Si osserva che si possono avere sole potenze dispari, quindi si può subito concludere che f (232)(0) = 0,mentre bisogna controlare se è presente nella somma la potenza 231.
231 = 4 · n+ 1⇒ n =231− 1
4=
115
2/∈ N
Poichè la potenza 231 non si può esprimere con un n ∈ N allora anche f (231)(0) = 0.
10. Ricavare lo sviluppo in serie di f(x) = sin(x).Si osserva che sin(x) ∈ C∞(R) a che
f (4·k+0)(x) = sin(x) f (4·k+0)(0) = 0f (4·k+1)(x) = cos(x) f (4·k+1)(0) = 1f (4·k+2)(x) = − sin(x) f (4·k+2)(0) = 0f (4·k+3)(x) = − cos(x) f (4·k+3)(0) = −1
sin(x)?=
+∞∑n=0
(−1)n · x2·n+1
(2 · k + 1)!
Occorre verificare che la condizione del teorema sia rispettata, cioè∣∣∣f (n)(x)∣∣∣ ≤M · n!
δnδ > 0
Poichè la condizione è sempre verificata, n!δn → +∞ e f (n)(x) ≤ 1, si può affermare che
sin(x) =
+∞∑n=0
(−1)n · x2·n+1
(2 · k + 1)!
9.2 Serie di TaylorDeterminare la serie di Taylor in 0, serie di McLaurin, di
1.f(x) = ex
Poichè f (k)(x) = ex,∀k allora
serie0f (n)(0)
n!· xn =
+∞∑n=0
xn
n!
L’ultima serie ottenuta è la serie associata ad f(x), ma per esesere certi che sia la serie di Taylor ènecessario verificare l’ipotesi del teorema, cioè∣∣∣f (n)
∣∣∣ ≤M · n!
δn
poichè tale condizione è verificata ∀δ allora il raggio di convergenza è R = +∞.
76
Se una serie ha raggio di convergenza infinito, qualsiasi modifica non varia il raggio
2.f(x) = 3 · x · e−2·x2
poichè si nota la presenza di un esponenziale si può provare a ricondurre lo sviluppo richiesto allo
sviluppo noto ex =
+∞∑n=0
xn
n!operando un cambio di variabile.
e−2·x2
=
+∞∑n=0
(−2 · x2)n
n!=
+∞∑n=0
(−1)n · 2n
n!· x2·n
3 · e−2·x2
= 3 ·+∞∑n=0
(−1)n · 2n
n!· x2·n
poichè la costante 3 · x moltiplica la serie la si può inserire all’interno (occorre ricordare che x vapenasato come un x.
3 · e−2·x2
=
+∞∑n=0
(−1)n · 3 · 2n
n!· x2·n+1 R = +∞
É molto utile portare sempre tutto all’interno della serie, costanti segni . . . , in quanto in questomodo resta evidente il valore di an.Può capitare che portare tutto all’interno venga “obligato”, ad esempio chiedendo di calcolare laf (202)(0) o la f (37)(0).f (202)(0) = 0 perchè vi sono solo potenze dispari nella serie
an =f (n)(x0)
n!=⇒ f (n)(x0) = an · n!⇒ f (37)(0) = a37 · 37!
poichè bisogna ricavere il giusto an bisogna ricavare correttamente n in base alla potenza della x.
37 = 2 · n+ 1⇒ n =37− 1
2= 18
f (37)(0) = an=18 · 37! = (−1)18 · 3 · 218
18!· 37! =
(37
20
)· 3 · 218
3.f(x) = (1− x2) · e−2·x2
e−2·x2
=
+∞∑n=0
(−1)n · 2n
n!· x2·n
(1− x2) · e−2·x2
= (1− x2) ·+∞∑n=0
(−1)n · 2n
n!· x2·n =
+∞∑n=0
(−1)n · 2n
n!· x2·n +
+∞∑n=0
(−1)n+1 · 2n
n!· x2·n+2
A questo punto è necessario sommare le due serie, pertanto si prova a capire (operando manualmentecon la serie) quali termini non si riesce a introdurre nella serie somma.
+∞∑n=0
(−1)n · 2n
n!· x2·n = 1− 2 · x2 + 2 · x4 + . . .
+∞∑n=0
(−1)n+1 · 2n
n!· x2·n+2 = −x2 + 2 · x4 + . . .
Si osserva che il termine costante 1 della prima serie non si riesce a metterlo facilmente in relazione,pertanto lo si “estrae” dalla serie.
+∞∑n=0
(−1)n · 2n
n!· x2·n = 1 +
+∞∑n=1
(−1)n · 2n
n!
pertanto ora si deve provare a operare sulla seconda serie per renderle molto simili (rendere gliesponenti delle x nelle due serie uguali).
+∞∑n=0
(−1)n+1 · 2n
n!· x2·n+2 =
+∞∑n=1
(−1)n · 2n−1
(n− 1)!· x2·n
77
ora è possibile sommare le due serie
1 +
+∞∑n=1
(−1)n · 2n
n!+
+∞∑n=1
(−1)n · 2n−1
(n− 1)!· x2·n = 1 +
+∞∑n=1
(−1)n ·(
2n
n!+
2n−1
(n− 1)!
)· x2·n =
= 1 +
+∞∑n=1
(−1)n · 2n−1
(n− 1)!
(2
n+ 1
)· x2·n
Calcolare f (137)(0) e f (82)(0).f (137)(0) = 0 perchè ha solo potenze pari
f (82)(0) = a82 · 82!
a82 = a2·n=82 = an=41 = −240
40!·(
2
41+ 1
)f (82)(0) = −240
40!·(
2
41+ 1
)· 82! = −240 ·
(2
41+ 1
)·(
82
40
)4.
f(x) =(1− x2) · e−2·x2 − 1
xQuesta funzione non la si può sviluppare perchè non è continua in 0, ma si possono procedere duestrade alternative
• usando h(x) che è la funzione prolungata per continuità• sviluppandola meccanicamente, escludendo lo 0 dal dominio della funzione sviluppata.
Poichè eccetto un fattore moltiplicativo 1x la funzione è stata già sviluppata ci avvaliamo dei risultati
ricavati nell’esercizio precesente.
f(x) = 1 +
+∞∑n=1
(−1)n · 2n−1
(n− 1)!
(2
n+ 1
)· x2·n−1
5.f(x) = (x+ 1) · ln(1− 2 · x)
Si sfutta lo sviluppo noto:
ln(1 + x) =
+∞∑n=1
(−1)n+1xn
n
Si effettua una sostituzione x→ −2 · x
ln(1− 2 · x) =
+∞∑n=1
(−1)n+1 (−2 · x)n
n=
+∞∑n=1
(−1)2·n+1 2n
n· xn =
+∞∑n=1
−2n
n· xn
2 · n+ 1 è una funzione con valori sempre dispari, per cui ∀n, (−1)2·n+1 = −1.
f(x) = (x+ 1) · ln(1− 2 · x) = (x+ 1) ·+∞∑n=1
−2n
n· xn =
+∞∑n=1
−2n
n· xn+1 +
+∞∑n=1
−2n
n· xn
Operando come negli esercizi precedenti si osserva che il termine di primo grado in x si può ottenerresolo dalla seconda serie, pertanto lo si estrae.
f(x) = −2 · x+
+∞∑n=1
−2n
n· xn+1 +
+∞∑n=2
−2n
n· xn = −2 · x+
+∞∑n=2
−(
2n−1
n− 1+
2n
n
)· xn
Per calcolare il raggio di convergenza ci si può basare sui teoremi del rapporto o della radice, oppuresi può fare osservando la sostituzione effettuata.
prima: |x| < 1
dopo: | − 2 · x| < 1⇒ |x| < 1
2
Pertanto la serie è convergente puntualmente con x ∈(− 1
2 ,12
), per il comportamento negli estremi
la sostituzione potrebbe variare il comportamento quindi bisogna analizzare esplicitamente la nuovaserie ottenuta, analizzando due serie numeriche.
78
6. Determinare il valore di+∞∑n=0
e−n·x
Non è una serie di potenze, ne tantomeno una serie di Taylor, ma osservando l’argomento dellaserie si può osservare che e−n·x = (e−x)
n. Definendo t = e−x si ha una serie di potenze (seriegeometrica).
+∞∑n=0
tn =1
1− t=
1
1− e−x
|t| < Rt = 1⇒ |e−x| < 1⇒ x > 0
In generale+∞∑n=0
an · f(x)n è risolubile in modo “semplice” ponendo t = f(x), risolvendo tutto in t
calcolando anche |t| < Rt ⇒ |f(x)| < Rt
7. Determinare il dominio di convergenza
+∞∑n=1
(1− x2)n
n
t = (1− x2)
+∞∑n=1
tn
n=
1
1− t
|t| < Rt = 1⇒ |1− x2| < 1⇒ −1 < 1− x2 < 1
−1 < 1− x2 ≡ 2 > x2 ⇒ −√
2 < x <√
2
1− x2 < 1 ≡ x2 > 0⇒ x 6= 0
Pertanto il dominio di convergenza è x ∈ (−√
2, 0) ∪ (0,√
2)
8. Determinare il raggio di convergenza
+∞∑n=0
ex2·x2
=
+∞∑n=0
(ex
2)n2
La serie ottenuta è una serie di potenze, ma non nel tipo tradizonale quindi i teoremi non valgonosu tale serie. Si osserva però che è molto simile alla serie geometrica (salta tutte le potenze che nonsono quadrati perfetti), pertanto avrà raggio di convergenza sicuramente di almeno 1. Poichè sepongo ex
2
= 1 la serie non converge, allora R = 1
9. Determina lo sviluppo di McLaurinf(x) =
x
1− 3 · x2
Per sostituzione si ha che
1
1− 3 · x2=
+∞∑n=0
(2 · x2)n =
+∞∑n=0
3n · x2·n
x
1− 3 · x2= x ·
+∞∑n=0
3n · x2·n =
+∞∑n=0
3n · x2·n+1
Poichè il raggio di convergenza di 11−x è 1 allora |3 · x2| < 1⇒ |x| < 1√
3
10. Determinare la serie di McLaurinf(x) =
1
(1− x2)2
Si può procedere integrando, ma poichè spesso si commettono errori si osserva che è molto simile,fatta eccezione di qualche x che potrebbe esserci in fase di derivazione, a una funzione “nota”.(
1
(1− x2)2
)′= −(1− x2)−2 · (−2 · x) =
2 · x(1− x2)2
79
Poichè1
1− x2=
+∞∑n=0
x2·n
allora2 · x
(1− x2)2=
+∞∑n=0
2 · n · x2·n−1
1
(1− x2)2=
2 · x(1− x2)2
· 1
2 · x=
1
2 · x·
+∞∑n=0
2 · n · x2·n−1 =
+∞∑n=0
n · x2·n−2
Provando l’ipotesi del teorema si può dimostrare che f(x) è sviluppabile con Taylor.
11.f(x) = arctan(x)
F (x)
∫arctan(x) · dx =
1
1 + x2=
+∞∑n=0
(−1)n · x2·n
pertanto
arctan(x) = F ′(x) =
+∞∑n=0
[(−1)n · x2·n]′ =
+∞∑n=0
(−1)n · 2 · n · x2·n
9.3 Serie di Fourier
1.
f(x) =
1 x ∈ [2 · k · π, (2 · k + 1) · π]−1 x ∈](2 · k + 1) · π, 2 · k · π[
Si osserva che f è periodica e continua a tratti, ma non è regolarizzata, quindi si considera f , poichèf ∈ C2·π allora la serie di Fourier di f converge uniformemente a f .Poichè f e f hanno lo stesso integrale (differiscono in infiniti punti, ma isolati) allora la serie diFourier di f converge uniformemente a f . Per poter verificare la convergenza puntuale occorreverificare se f è regolare o monotona a tratti.(
f)′
=
0 x 6= k · π6 ∃ x = k · π
Si osserva che f è regolare a tratti, pertanto la serie di Fourier di f converge puntualmente a f .Poichè f e f differiscono per un numero finito di punti allora la serie di Fourier di f convergepuntualmente a f ∀x : f(x) = f(x)⇒ ∀x ∈ R\k · πSi ha anche che f è continua a tratti in
∀[a, b] ⊂ (k · π, (k + 1) · π)
Quindi si ha convergenza uniforme in ∀[a, b] ⊂ (k · π, (k + 1) · π)Non si può avere convergenza uniforme su tutto R in quanto f è discontinua e dato che la serie diFourier è continua (composizione di funzioni continue, sin cos) ma se si avesse convergenza uniformeallora f deve essere continua (ma f non è continua).
2. Data f(x), estesa per periodicità, calcolare la serie di Fourier di f e determinare il tipo di conver-genza.
f(x) =
−1 −π < x < 00 x = 0 e x = ±π1 0 < x < π
poichè si osserva, magari tracciandone il grafico di f , che f è dispari allora ∀k ≥ 0, ak e
bk =1
k·∫ π
−πf(x) · sin(k · x) · dx =
2
π·∫ π
0
sin(k · x) · dx =2
k · π· (1− cos(k · x))
=
0 k dispari
4
k · πk pari
80
poichè nella trascrizione della serie sarebbe comodo averla scritta in funzione di k in modo esplicitoallora
f(x) ≈+∞∑n=1
2
n · π·(1−cos(n·x))·sin(n·x) =
+∞∑k = 1
k dispari
4
n · π·sin(n·x) =
+∞∑n=0
4
(n+ 1) · π·sin((2·n+1)·x)
Sempre attraverso l’osservazione del grafico si osserva che f è regolare a tratti, cioè ha anche f ′continua a tratti, pertanto si ha che la serie di Fourier di f converge puntualmente a f .
f(x) =
+∞∑n=0
4
(n+ 1) · π· sin((2 · n+ 1) · x)
La serie di Fourier di f converge uniformemente a f in tutti gli intervalli che non contengono puntidi discontinuità, ∀[a, b] ⊂ (k · π, (k + 1) · π)
3. Calcolare la serie di fourier della funzione dente di sega così definita
f(x) = x x ∈ (−π, π) estesa per periodicità su R
si può dimostrare che
f(x) ≈+∞∑n=1
(−1)k+1 · 2
n· sin(n · x)
Poichè f è continua a tratti, allora si ha convergenza uniforme in ogni intervallo che non contieneun salto.
Dimostrazione che+∞∑n=0
1
k2=π2
6Usando il teorema di Parseval si ha che
∫ 2π
0
|f(x)|2 · dx = 2 · π · a02 + π ·
+∞∑n=1
(an
2 + bn2)
poichè ak = 0 allora ∫ 2π
0
|f(x)|2 · dx = π ·+∞∑n=1
(bn
2)
∫ π
−π|f(x)|2 · dx =
∫ π
−π|x|2 · dx = 2 ·
∫ π
0
x2 · dx = 2 ·[x3
3
]π0
=2 · π3
3
bn2 =
((−1)k+1 · 2
n
)2
=4
n2
⇒ 2 · π3
3= π ·
+∞∑n=1
4
n2⇒ 2 · π3
3= 4 · π ·
+∞∑n=1
1
n2
+∞∑n=1
1
n2=π2
6
81
82
Capitolo 10
Integrali multipli
10.1 Integrali doppi
Svolgi i seguenti integrali doppi, eventualmente passando a coordinate polari
1. ∫Ω
x · y · dx · dy
Ω =
(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, x2 < y <√x
Si calcola l’integrare per verticali∫Ω
x · y · dx · dy =
∫ 1
0
(∫ √xx2
x · y · dy
)· dx =
∫ 1
0
[x · y2
2
]√xx2
· dx =
=
∫ 1
0
(x2
2− x5
2
)· dx =
[x3
6− x6
12
]1
0
=1
6− 1
12=
1
12
2. ∫Ω
ln
(x
y2
)· dx · dy
Ω =
(x, y) ∈ R2 :
1
4< y2 < x, 1 < x · y < 2
Per la prima relazione si ha il vincolo implicito di x > 0, mentre il secondo vincolo può essereriscritto nel seguente modo (per x > 0)
1
x< y <
2
x
Pertanto occorre ricavare i punti di intersezione tra le quattro funzioni coinvolte.
(a)√x =
1
x⇒ x
32 = 1⇒ x = 1
(y =
1
x= 1
)
(b)
√x
2=
1
x⇒ x
32 = 2⇒ x = 2
23
(y =
1
x= 2−
23
)
(c)
√x
2=
2
x⇒ x
32 = 4⇒ x = 4
23
(y =
2
x= 2
23
)(d)
√x =
2
x⇒ x
32 = 2⇒ x = 2
23
(y =
2
x= 2
13
)Osservando la rappresentazione grafica del dominio di integrazione si osserva che può essere comodointegrare la funzione per verticali
∫Ω
ln
(x
y2
)· dx · dy =
∫ 223
1
(∫ √x1x
ln
(x
y2
)· dy
)· dx+
∫ 423
223
(∫ 2x
√x2
ln
(x
y2
)· dy
)· dx
83
poichè in Ω x, y > 0 allora è lecito effettuare le seguenti operazioni
ln
(x
y2
)= ln(x)− ln
(y2)
= ln(x)− 2 · ln(y)
∫(ln(x)− 2 · ln(y)) · dy = y · ln(x)− 2 · y · ln(y) + 2 · y
∫ √x1x
ln
(x
y2
)· dy = [y · ln(x)− 2 · y · ln(y) + 2 · y]
√x
1x
= − ln(x)
x+
2 · ln(
1x
)x
+ 2 ·√x− 2
x
∫ 2x
√x2
ln
(x
y2
)· dy = [y · ln(x)− 2 · y · ln(y) + 2 · y]
2x√x2
=2
12 · ln
(x2
2
)√x
+2
32
√x−√x · ln(2)−
√x
Mediante i passaggi sopra occorre continuare l’esercizio svolgendo l’integrale esterno nella variabilex (corso di Analisi Matematica I).
3. ∫Ω
sin(y2)
y· dx · dy
Ω =
(x, y) ∈ R2 : 0 < x < y2,√π < y <
√2 · π
Disegnando il dominio, Ω, si osserva che è un integrale immediato se svolto per orizzontali, ciònon vieta di svolgerlo per verticali ma molto probabilmente i passaggi risolutivi risulteranno piùcomplessi.∫
Ω
sin(y2)
y· dx · dy =
∫ √2·π
√π
(∫ y2
0
sin(y2)
y· dx
)· dy =
1
2·∫ √2·π
√π
(2 · y · sin
(y2))· dy =
= −1
2·[cos(y2)]√2·π√π
= −1
2· [cos(2 · π)− cos(π)] = −1
2· (1 + 1) = −1
4. ∫Ω
x · y · dx · dy
Ω =
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1, x2 + y2 < 2 · x, y < 0
Si osserva che la seconda condizione di Ω è sostanzialmente l’area di un cerchio con centro in (1, 0),intersecando tutte le aree possibili si ha un dominio su cui calcolare l’integrale per verticali.∫
Ω
x · y · dx · dy =
∫ 12
0
(∫ √1−(x−1)2
0
x · y · dy
)· dx+
∫ 1
12
(∫ √1−x2
0
x · y · dy
)· dx =
=
∫ 12
0
[x · y2
2
]√1−(x−1)2
0
· dx+
∫ 1
12
[x · y2
2
]√1−x2
0
· dx =
=1
2·
[∫ 12
0
(x3 − 2 · x2
)· dx+
∫ 1
12
(x2 − x3
)· dx
]=
=1
2·
[(x4
4− 2 · x
3
3
) 12
0
+
(x3
3− x4
4
)1
12
]=
1
2·(
1
64− 1
12+
1
3− 1
4− 1
24+
1
64
)= − 1
96
Tale integrale era possibile svolgerlo anche in coordinate polari, ma data la semplicità dei calcoliottenuti non vale la pena effettuare la sostituzione.
Ω′ =
(ρ, ϑ) : ρ2 · cos2(ϑ) + ρ2 · sin2(ϑ) < 1, ρ2 · cos2(ϑ) + ρ2 · sin2(ϑ) < 2 · ρ · cos(ϑ), ρ · sin(ϑ) > 0
== (ρ, ϑ) : ρ < 1, ρ < 2 · cos(ϑ), 0 < ϑ < π
Si osserva che il dominio contiene comunque delle funzioni “strane” e dato che come già detto nonsi ha un grande vantaggio nella sostituzione. Ovviamente la convenienza varia di caso in caso.
84
5. ∫Ω
(x+ y2
)· dx · dy
Ω =
(x, y) : 1 < x2 + y2 < 4, x > 0, y > 0
Passando in coordinate polari allora
Ω′ =
(ρ, ϑ) : 1 < ρ < 2, 0 < ϑ <π
2
∫
Ω
(x+ y2
)· dx · dy =
∫ 2
1
(∫ π2
0
ρ2 · cos(ϑ) + ρ3 · sin2(ϑ) · dϑ
)· dρ =
=
∫ 2
1
[−ρ3 · sin(ϑ) · cos(ϑ)
2+ ρ2 · sin(ϑ) +
ϑ · ρ3
2
]π2
0
· dρ =
=
∫ 2
1
(π4· ρ3 + ρ2
)· dρ =
[π
16· ρ4 +
ρ3
3
]2
1
=15
16· π +
7
3
6. ∫Ω
x · y · dx · dy
Ω =
(x, y) ∈ R2 : x2 + 2 · y2 < 1
Si osserva che il dominio imposto è un ellisse, pertanto passando a coordinate ellittiche si avràsicuramente una grande semplificazione calcolativa.
Φ :
x = ρ · cos(ϑ)y = ρ√
2· sin(ϑ)
x2 + 2 · y2 < 1 ≡ ρ2 · cos2(ϑ) + 2 · ρ2
2· sin2(ϑ) = ρ2 < 1⇒ ρ < 1
Ω′ = (ρ, ϑ), ρ < 1
Si osserva che la superficie di integrazione è semplicemente un rettangolo∫Ω
x · y · dx · dy =
∫ 1
0
(∫ 2·π
0
1√2· ρ2 · sin(ϑ) · cos(ϑ) · ρ√
2· dϑ
)· dρ =
=
(∫ 1
0
ρ3
2· dρ)·(∫ 2·π
0
sin(ϑ) · cos(ϑ) · dϑ)
=
([ρ4
8
]1
0
)·
([sin2(ϑ)
2
]2·π
0
)=
=
(1
8− 0
8
)· (0− 0) =
1
8· 0 = 0
7. Sia T il sottoinsieme del piano definito da
T =
(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, x− 2 ≤ y ≤√x
e sia f continua in T . Si rappresenti graficamente T , calcolare l’integrale per verticali e perorizzontali. IMMAGINE∫
T
f(x, y) · dx · dy =
∫ 2
0
(∫ √xx−2
f(x, y) · dy
)· dx
integrando per orizzontali occorre dividere l’integrale nella somma di due integrali∫T
f(x, y) · dx · dy =
∫ 0
−2
(∫ 0
y+2
f(x, y) · dx)· dy +
∫ √2
0
(∫ √2
y2f(x, y) · dx
)· dy
85
8. Sia T il sottoinsieme del piano definito da
T =
(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 2− x ≤ y ≤√x
e sia f continua in T . Si rappresenti graficamente T , calcolare l’integrale per verticali e perorizzontali. IMMAGINE∫
T
f(x, y) · dx · dy =
∫ 2
1
(∫ √x2−x
f(x, y) · dy
)· dx
integrando per orizzontali occorre dividere l’integrale nella somma di due integrali∫T
f(x, y) · dx · dy =
∫ 1
0
(∫ 2
2−yf(x, y) · dx
)· dy +
∫ 2
1
(∫ 2
y2f(x, y) · dx
)· dy
9. Calcolare l’integrale∫D
x
x2 + y2· dx · dy con D =
(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, y ≥ x
IMMAGINE Osservando la funzione e il dominio si nota subito che il passaggio alle coordinatepolari semplifica enormemente il calcolo.
D(ρ,ϑ) = (ρ, ϑ) : 1 ≤ ρ ≤ 2, sin(ϑ) ≥ cos(ϑ)
sin(ϑ) ≥ cos(ϑ) può essere risolto in modo analitico oppure attraverso una semplice osservazione diD
π
4≤ ϑ ≤ 5
4· π
∫D
xx2+y2 · dx · dy =
∫ 2
1
(∫ 54 ·π
π4
ρ · sin(ϑ)
ρ2· ρ · dϑ
)· dρ =
∫ 2
1
(∫ 54 ·π
π4
sin(ϑ) · dϑ
)· dρ =
=
∫ 2
1
dρ ·∫ 5
4 ·π
π4
sin(ϑ) · dϑ = [ρ]21 · [− cos(ϑ)]
54 ·ππ4
=
= 1 ·(− cos
(5
4· π)
+ cos(π
4
))=
√2
2+
√2
2=√
2
10. Determinare il baricentro e calcolare il momento di inerzia rispetto all’origine degli assi della laminapiana di densità unitaria, la lamina è
C =
(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0
Il baricentro è il punto matematico posto nel punto “medio” del volume
xB =
∫C
x · dx · dy∫C
dx · dyyB =
∫C
y · dx · dy∫C
dx · dy
Il centro di massa è il punto “medio” riguardante la massa, pertanto occorre porre la densità delmateriale.
xCM =
∫C
x · ρ(x, y) · dx · dy∫C
ρ(x, y) · dx · dyyCM =
∫C
y · ρ(x, y) · dx · dy∫C
ρ(x, y) · dx · dy
IMMAGINE Data la forma del problema si risolve passando alle coordinate polari.
C(ρ,ϑ) =
(ρ, ϑ) : 1 ≤ ρ ≤ 3, 0 ≤ ϑ ≤ π
2
xB =
∫C
x · dx · dy∫C
dx · dy=
∫ 3
1
(∫ π2
0
ρ2 · sin(ϑ) · dϑ
)· dρ
∫ 3
1
(∫ π2
0
ρ · dϑ
)· dρ
=
∫ 3
1
ρ2 · dρ ·∫ π
2
0
sin(ϑ) · dϑ∫ 3
1
ρ · dρ ·∫ π
2
0
dϑ
=
=
[ρ3
3
]31· [− cos(ϑ)]
π20[
ρ2
2
]31· [ϑ]
π20
=
(3− 1
3
)·(− cos
(π2
)+ cos(0)
)(92 −
12
)·(π2 − 0
) =263 · 1π2 · 4
=13
3 · π
86
Per ragione di simmetria si ha che il baricentro si trova sulla bisettrice pertanto yB = xB
yB =
∫C
y · dx · dy∫C
dx · dy=
∫ 3
1
(∫ π2
0
ρ2 · cos(ϑ) · dϑ
)· dρ
∫ 3
1
(∫ π2
0
ρ · dϑ
)· dρ
=
∫ 3
1
ρ2 · dρ ·∫ π
2
0
cos(ϑ) · dϑ∫ 3
1
ρ · dρ ·∫ π
2
0
dϑ
=
=
[ρ3
3
]31· [sin(ϑ)]
π20[
ρ2
2
]31· [ϑ]
π20
=
(3− 1
3
)·(sin(π2
)− sin(0)
)(92 −
12
)·(π2 − 0
) =263 · 1π2 · 4
=13
3 · π
Il momento di inersia è definito nel seguente modo
I(x0,y0) =
∫C
d2 ((x, y), (x0, y0)) · ρ(x, y) · dx · dy ≥ 0
d ((x, y), (x0, y0)) =√
(x− x0)2 + (y − y0)2
I(0,0) =
∫C
(x2 + y2) · dx · dy =
∫ 3
1
(∫ π2
0
ρ3 · dϑ
)· dρ =
π
2·[ρ4
4
]3
1
=π
2·(
81
4− 1
4
)=π
2· 20 = 10 ·π
11. Calcolare∫D
1
(x2 + y2)12
· dx · dy su D =
(x, y) : x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
IMMAGINE Data la
geometria del problema si passa alle coordinate polari, pertanto
D(ρ,ϑ) =
(ρ, ϑ) : ρ < 1, 0 ≤ ϑ ≤ π
4
poichè si ha un problema nell’origine si realizza un dominio invadente
Dε(ρ,ϑ) =
(ρ, ϑ) : ε < ρ < 1, 0 ≤ ϑ ≤ π
4
∫D
1
(x2 + y2)12
·dx·dy = limε→0+
∫Dε(ρ,ϑ)
dρ·dϑ = limε→0+
∫ 1
ε
(∫ π4
0
dϑ
)·dρ = lim
ε→0+
π
4·[ρ]
1ε =
π
4·(1−ε) =
π
4
10.2 Integrali tripli1. Calcolare il volume, il momento di inerzia, rispetto all’asse z, e il baricentro del solido definito da
Ω.Ω =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ z2, z > 0
V =
∫∫∫Ω
1 · dx · dy · dz
Per il calcolo del momento di inerzia occorre calcolare la distanza del generico punto (x, y, z) dall’assez
Iz =
∫∫∫Ω
d2(P, assez) · dx · dy · dz =
∫∫∫Ω
(x2 + y2
)· dx · dy · dz
per il calcolo del baricentro si può esservare che per ragioni di simmetria si ha che xB = yB = 0
zB =
∫∫∫Ω
z · dx · dy · dz∫∫∫Ω
dx · dy · dz=
∫∫∫Ω
z · dx · dy · dz
V
Poichè si osserva facilmente che tutte le sezioni del solido sono circolari allora può essere convenienteintegrare per strati.Poichè l’insieme Ω è l’intersezione tra i punti interni di un cono e i punti interni di una sfera si haanaliticamente che la curva di intersezione tra i due solidi si ha ad altezza z =
√2
2 . x2 + y2 + z2 = 1
x2 + y2 = z2=
2 · z2 = 1
x2 + y2 = z2=
z = ±√
22
x2 + y2 = 12
87
Ωz =
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ z2
z ≥ 0
Poichè deve valere l’intersezione si può dimostrare che
Ωz =
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ z2
0 ≤ z ≤√
22
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 + z2 ≤ 1 √
22 ≤ z ≤ 1
=
=
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ z2
0 ≤ z ≤√
22
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1− z2 √
22 ≤ z ≤ 1
Nel primo caso la sezione circolare ha raggio z, mentre nel secondo caso la sezione circolare haraggio
√1− z2.
V =
∫∫∫Ω
dx · dy · dz =
∫∫∫ √2
2
0
m(Ωz) · dz +
∫∫∫ 1
√2
2
m(Ωz) · dz
Il calcolo della misura dell’insieme si effettua calcolando l’integrale oppure utilizzando un minimodi nozioni geometriche, in questo caso dato che le sezioni sono circolari si ha
V =
∫∫∫ √2
2
0
π · z2 · dz +
∫∫∫ 1
√2
2
π · (1− z2) · dz = π ·
[z3
3
]√22
0
+
[z − z3
3
]1
√2
2
=
= π ·
(√2
12+ 1− 1
3−√
2
2+
√2
12
)= π ·
(2
3−√
2
3
)=
2
3· π ·
(1−√
2
2
)
∫∫∫Ω
z · dx · dy · dz =
∫∫∫ √2
2
0
π · z3 · dz +
∫∫∫ 1
√2
2
π · (z − z3) · dz = π ·
[z4
4
]√22
0
+
[z2
2− z4
4
]1
√2
2
=
= π ·(
1
16+
1
2− 1
4− 1
4+
1
16
)=π
8
zB =π8
π · 23 · (1−
√2
2 )=
3
16 · (1−√
22 )⇒ ~rB =
(0, 0,
3
16− 8 ·√
2
)≈ (0, 0, 0.64)
Iz =
∫ √2
2
0
[∫ z
0
(∫ 2·π
0
ρ3dϑ
)· dρ]· dz +
∫ 1
√2
2
[∫ √1−z2
0
(∫ 2·π
0
ρ3dϑ
)· dρ
]· dz =
=
∫ √2
2
0
[2 · π ·
∫ z
0
ρ3 · dρ]· dz +
∫ 1
√2
2
[2 · π ·
∫ √1−z2
0
ρ3 · dρ
]· dz =
= 2 · π ·
(∫ √2
2
0
[ρ4
4
]z0
· dz +
∫ 1
√2
2
[ρ4
4
]√1−z2
0
· dz
)=π
2·
(∫ √2
2
0
z4 · dz +
∫ 1
√2
2
(1− z2)2 · dz
)=
=π
2·
(∫ √2
2
0
z4 · dz +
∫ 1
√2
2
(1− 2 · z2 + z4) · dz
)=
=π
2·
[z5
5
]√22
0
+
[z − 2 · z3
3+z5
5
]1
√2
2
=π
2·
(√2
40+ 1− 2
3+
1
5−√
2
2+
√2
6−√
2
40
)=
= π ·
(4
15−√
2
6
)=π
3·
(4
5−√
2
3
)≈ 0.0973
88
Parte IV
Laboratorio di Calcolo Numerico
89
Capitolo 11
Laboratorio 1
Si tratterà un’introduzione all’ambiente Matlab, sostanzialmente Matlabè una “calcolatrice” moltoevoluta che riesce a trattare con estrema rapidità anche su matrici e numeri complessi.
11.1 Definizione comandiclc svuota la videata di Matlab, non ne elimina le variabili.
clear [nome_variabile] elimina la variabile nome_variabile e la lista deelle variabili, nel caso in cui clear all oclear si ha la cancellazione di tutte le variabili dell’ambiente di lavoro.
who mostra la lista di tutte le variabili allocate nell’ambiente di lavoro.
whos mostra la lista di tutte le variabili allocate nell’ambiente di lavoro con tutte le informazioni suogniuna di esse.
format [parametri] modifica il formato di visualizzazione delle variabili, in caso di assenza di parametri siimposta il tipo di default cioè visualizza il numero con il formato short cioè con 4 cifre decimali, altriformati possibili sono long (15 cifre decimali) e rat (numero frazionario), e oltre a questi parametriè possibile porre anche e che mostra i risultati in formato esponenziale.
sqrt(nome_variabile) restituisce la radice quadrata della variabile nome_variabile
exp(nome_variabile) restituisce l’esponenziale della variabile nome_variabile
sin(nome_variabile) restituisce il seno della variabile nome_variabile
cos(nome_variabile) restituisce il cos della variabile nome_variabile
11.2 Definizione variabili scalariSi definiscono le variabili scalari attraverso la semplice assegnazione di un valore numerico (anche risultatodi un’operazione) a una variabile identificata dal suo nome (il nome deve essere composto da caratterialfanumerici e da undersore). nel caso no vi sia l’assegnazione di un valore a una variabile essa vieneassegnata a una variabile predefinita di Matlab la variabile ans.Vi sono altre variabili scalari predefinite come pi (valore di π), realmax (massimo valore reale rappre-sentabile), eps (valore minimo in precisione macchina), i, j (unità immaginaria), . . . ; anche se variabilipredefinite in Matlab esse potrebbero essere modificate ottenendo valori inattesi nell’esecuzione di uncodice Matlab.
11.3 Definizione variabili vettorialiLe variabili vettoriali sono praticamente vettori riga o vettori colonna, per definirli occorre racchiuderele componenti tra parentesi quadre e separare le colonne attraverso uno spazio o una virgola e le righeattraverso il punto e virgola o un invio.vettore riga: x = [c1, c2, c3] ≡ x = [c1 c2 c3]
vettore colonna: x = [c1
c2 ≡ x = [c1; c2; c3]
c3]
91
nome_vettore’ resistuisce il trasposto del vettore nome_vettore
nome_vettore(indice) resistuisce la componente di indice indice del vettore, nel caso in cui indice fosse an-chesso un vettore restituisce un vettore contenente gli elementi posti negli indici di cui è compostoil vettore indice, se indice è end ritorna l’ultima componente del vettore.Nel caso in cui si vogliano sostituire le componenti di un vettore è sufficiente estrerle e effettuareuna essegnazione su di esse, x([1, 2])= [10, 20]; pertanto è anche possibile scambiare due componen-ti nel seguente modo x([a, b])= x([b, a]); inoltre è possibile eliminare una componente del vettoresostituendola con un vettore nullo, cioè x(a) = []
lenght(nome_vettore) restituisce il numero delle componenti di nome_vettore.
size(nome_vettore) restituisce un vettore contenente il numero righe e delle colonne di nome_vettore.
sort(nome_vettore[, parametri]) restituisce un vettore contenente le componenti del vettore nome_vettore ordi-nate in modo decrescente, in caso in cui parametri sia impostato allora si può modificare il tipo diordinamento.
min(nome_vettore) restituisce la componente minima di nome_vettore.
max(nome_vettore) restituisce la componente massima di nome_vettore.
:, tale operatore è necessario per la realizzazione di un vettore equispaziato. Con [a : passo : b] si ottieneun vettore così composto [a, a+h, a+h+h, ... a+m*h] con a+m · h ≤ bSi potrebbe scrivere anche [a : b] si ottiene un vettore equispaziato il cui passo è impostato di defaulta 1.
linespace(a, b [, n]) restituisce un vettore con primo elemento posto ad a, ultimo elemento posto a b ecomposto complessivamente da n elementi equispaziati, sarà Matlab a calcolarsi la distanza tradue valori consecutivi. Nel caso in cui n non è settato è posto di default a 100.
abs(nome_vettore) ritorna un vettore nelle quali tutte le componenti sono il valore assoluto delle componentidi nome_vettore.
sin(nome_vettore) ritorna un vettore nelle quali tutte le componenti sono il seno delle componenti dinome_vettore.
11.4 Definizione variabili matricialiUna matrice si definisce seguendo le stesse regole di introduzione di un vettore, considerando una matricecome un vettore colonna nel quale la componente è un vettore riga (tutte le righe devono avere la stessadimensione). A = [c1, c2, c3; c4, c5, c6]
size(nome_matrice) ritorna il numero di righe e di colonna della matrice nome_matrice
matrici predefinite vi sono in Matlab dei metodi per definire matrici predefinite
eye(nr[, nc]) ritorna la matrice identità con nr e nc, se nc non è impostato allora è preso di defaultpari a nr.
zeros(nr[, nc]) ritorna la matrice nulla con nr e nc, se nc non è impostato allora è preso di defaultpari a nr.
ones(nr[, nc]) ritorna la matrice composta da tutti 1 con nr e nc, se nc non è impostato allora è presodi default pari a nr.
sum(nome_matrice) ritorna un vettore riga contenente la somma di ogni colonna, sum(nome_matrice’) ritorna unvettore riga contenente la somma di ogni riga
tril(nome_matrice) ritorna una matrice delle stesse dimensioni di nome_matrice ma con i soli emeneti posti aldi sotto e sulla diagonale principale.
tris(nome_matrice) ritorna una matrice delle stesse dimensioni di nome_matrice ma con i soli emeneti posti aldi sopra e sulla diagonale principale.
diag(nome_matrice) ritorna vettore riga contenente la diagonale principale di nome_matrice.
diag(nome_matrice[, n]) ritorna vettore riga contenente la n-esima diagonale posta sopra la principale dinome_matrice (se n<0 ovviamnente si prende la diagonale sotto).
92
nome_matrice(a, b) ritorna la componente di riga a e colonna b della matrice nome_matrice.
nome_matrice([a, b], [c, d]) ritorna l’intersezione tra le righe [a, b] e le colonne [c, d] della matrice nome_matrice
. Per scambiare due lementi della matrice si può operare nel seguente modo nome_matrice(a, b)=
nome_matrice(c, d), mentre per scambiare due righe si esegue nome_matrice([a, b], :)= nome_matrice([b, a], :),mentre per scambiare due colonne si esegue nome_matrice(:, [a, b])= nome_matrice(:, [b, a])
det(nome_matrice) ritorna il determinante della matrice nome_matrice se questo è calcolabile, altrimenti si haun errore in Matlab.
int(nome_matrice) ritorna la matrice inversa della matrice nome_matrice se questa esiste, altrimenti si ha unerrore in Matlab.
eig(nome_matrice) ritorna gli autovalori della matrice nome_matrice.
operazioni sono definite come per gli scalari attraverso gli operatori classici, inoltre vi sono gli operatoripuntuali che non lavorano tra matrici ma lavorano eseguendo l’operazione su ogni componente dellamatrice.
93
94
Capitolo 12
Laboratorio 2
1. Definire il vettore x=[1:-0.1:0]e comprendere il significato dei seguenti comandi Matlab:
(a) x([1 4 3])
(b) x([1:2:7 10])=zeros(1,5)
(c) x([1 2 5])=[0.5*ones(1,2)-0.3]
(d) y=x(end:-1:1)
(a) visualizza in ordine la 1a, 4a e 3a del vettore equispaziato x
(b) visualizza le componenti 1, 3, 5, 7 e 10 del vettore x
(c) il comando è impossibile in quanto si vuol sostituirela componente 1, 2 e 5 del vettore x condue componenti
(d) pone in y il vettore di x preso dall’ultima componente alla 1a
2. Definire la matrice
A =
1 2 3 45 5 7 89 10 11 12
e comprendere il signficato dei seguenti comandi Matlab:
(a) size(A)
(b) B=A.*A
(c) B=A*A
(d) B=A’*A
(e) B=A*A’
(f) A(1:2,4), A(:,3), A(1:2,:), A(:,[2 4]), A([2 3 3],:)
(g) A(3,2)=A(1,1)
(h) A(1:2,4)=zeros(2,1)
(i) A(2,:)=A(2,:)-A(2,1)/A(1,1)*A(1,:)
A = [1:4; 5:8; 9:12]
(a) size(A) ritorna un vettore riga nella quale la prima componente indica il numero di righe e laseconda il numero di colonne
(b) moltiplica le singole componenti per se stesse, aii = aii2
(c) operazione di moltiplicazione matriciale, tale operazione è impossibile per via delle dimensionidella matrice
(d) moltiplica la matrice AT per A, operazione possibile
(e) moltiplica la matrice A per AT , operazione possibile
(f) restituiscono rispettivamente
• intersezione tra prima e seconda riga e quarta colonna (elementi a14 e a24)• tutta la terza colonna• prima e seconda riga
95
• colonne due e quattro• matrice con seconda, terza e terza riga e tutte le colonne
(g) pone a32 = a11
(h) pone a14 = 0 e a24 = 0
(i) pone la seconda riga alla seconda riga sottratta alla prima riga moltiplicata per a21a11
3. Definire la matrice tridiagonale B di dimensione 10 × 10, i cui elementi della diagonale principalesono tutti uguali a 5 e quelli delle codiagonali inferiore e superiore sono rispettivamente uguali a−1 e a 3.Quindi porre uguale a 2 gli elementi delle colonne 6 e 9 e delle righe 5 e 8.clc
2 clear alld = 5*ones(10, 1);
4 cs = 3*ones(9, 1);ci = -1*ones(9, 1);
6 B = diag(d) + diag(cs , 1) + diag(ci , -1);B(:, [6, 9]) = 2;
8 B([5, 8], :) = 2;B
Listing 12.1: Esercizio 2.3
4. Definire la matrice
A =
1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 7
Successivamente generare le matrici
P1 =
1 0 0 00 λ 0 00 0 1 00 0 0 1
P2 =
1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
P3 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 λ 0 1
con λ = 10, e calcolare i prodotti
(a) L1 = P1 ·A R1 = A · P1
(b) L2 = P2 ·A R2 = A · P1
(c) L3 = P3 ·A R3 = A · P1lambda = 10;
2 A = [1:4;2:5;3:6;4:7];P1 = eye(4);
4 P1(2, 2) = lambda;L1 = P1*A
6 R1 = A*P1P2 = eye(4);
8 P2([2, 4], :) = P2([4, 2],:);L2 = P2*A
10 R2 = A*P2P3 = eye(4);
12 P3(4, 2) = lambda;L3 = P3*A
14 R3 = A*P3 Listing 12.2: Esercizio 2.4
(a) L1 è la matrice A a cui è stata moltiplicata la riga 2 per λ, R1 è la matrice A a cui è statamoltiplicata la colonna 2 per λ
(b) L2 è la matrice A con righe 2 e 4 spostate, R2 è la matrice A con colonne 2 e 4 spostate
(c) una spiegazione testuale potrebbe essere poso esaustiva, pertanto si preferisce rappresentareentrambe le matrici
R3 =
1 2 3 42 3 4 53 4 5 624 35 46 57
R3 =
1 42 3 42 53 4 53 64 5 64 75 6 7
96
5. Utilizzare il comando Matlabpiù appropriato per rappresentare graficamente le seguenti funzioni:
(a) f1(x) = tan(x), x ∈[0, π4
](b) f2(x) = tan(x), x ∈
[π4 ,
π2
)(c) f3(x) =
√100 · (1− 0.01 · x2)2 + 0.02 · x2
(1− x2)2 + 0.12, x ∈ [0.1, 100]
x1 = linspace(0, pi/4, 100);
2 y1 = tan(x1);plot(x1 , y1)
4 x2 = linspace(pi/4, pi/2, 100);x2(size(x2)) = [];
6 y2 = tan(x2);figure
8 semilogy(x2 , y2)x3 = linspace (0.1, 100, 10000);
10 y3 = sqrt ((100*(1 -0.01* x3.^2) .^2+0.02* x3.^2) ./((1-x3.^2) .^2+0.1* x3.^2));figure
12 plot(x3 , y3)figure
14 semilogx(x3, y3)figure
16 loglog(x3, y3) Listing 12.3: Esercizio 2.5
6. Utilizzare il comando Matlab più appropriato per rappresentare graficamente un’elica circolare,la cui equazione parametrica è
x = a · cos(t); y = a · sin(t); z = b · t
dove a è il raggio del cerchio dell’elica e b è una costante che determina la “densità dei passi”dell’elica.Si scelga i) t ∈ [0; 10 · π], a = 1, b = −0.1; ii) t ∈ [0; 20 · π], a = 1; b = 0.1.t = [0:0.001:10* pi];
2 a = 1;b = -0.1;
4 x = a * cos(t);y = a * sin(t);
6 z = b * t;plot3(x, y, t);
8 t = [0:0.001:20* pi];a = 1;
10 b = 0.1;x = a * cos(t);
12 y = a * sin(t);z = b * t;
14 figureplot3(x, y, t);
Listing 12.4: Esercizio 2.6
7. Utilizzare i comandi mesh e surf per il grafico delle funzioni
f1(x, y) = x · (x− 1) · y · (y − 1)
f2(x, y) = x · (x− 1) · sin(8 · x) · y · (y − 1) · cos(8 · y)
sul quadrato Q = [0, 1]× [0, 1].[x, y] = meshgrid (0:0.001:1);
2 z = x*(x - 1)*y*(y - 1);mesh(x, y, z);
4 figuresurf(x, y, z);
6 z = x*(x - 1)*sin(8*x)*y*(y - 1)*cos(8*x);figure
8 mesh(x, y, z);figure
10 surf(x, y, z); Listing 12.5: Esercizio 2.7
97
8. I seguenti numeri vengono introdotti in un calcolatore nel quale i numeri vengono rappresenta-ti in aritmetica floating-point, con base N = 10 e t = 5 cifre riservate alla mantissa (tecnicadiarrotondamento (ii)):
a = 1.483593 b = 1.484111
Utilizzare il comando chop di Matlab per determinare il risultato s = a b, ove x denota il numerodi macchina corrispondente ad x e denota l’operazione di macchina corrispondente all’operazionearitmetica della sottrazione. Confrontare s con c = a−b e calcolare l’errore relativo corrispondente.a = 1.483593;
2 b = 1.484111;t = 5;
4 fa = chop(a, t);fb = chop(b, t);
6 c = a-bs = chop(fa-fb , t)
8 errore_relativo = abs((c-s)/c) Listing 12.6: Esercizio 2.8
9. Valutare le espressioni
f1(x) =1− cos(x)
x2
f2(x) =1− ex
x
f3(x) = 1−√
1− x2
f4(x) =(x+ 1)2 − 1
x
in x = 10−n per n = 1, 2, . . . , 16.Successivamente riformulare le funzioni assegnate al fine di evitare il fenomeno della cancellazionenumerica e, assumendo come valori esatti quelli che si ottengono mediante la riformulazione propo-sta, calcolare i corrispondenti errori relativi e confrontarli con la precisione di macchina.Stampare e rappresentare graficamente per ogni valore di x l’errore relativo corrispondente.
f1(x) ≡ 1
2·
(sin(x2
)x2
)2
f2(x) =1− ex
x=
1− 1− x− x2
2! −x3
3! + . . .− xk
k!
x= −
(1 +
x
2!+x2
3!+ . . .+
xk−1
k!
)poichè la precisione di macchina eps in Matlab vale circa 2·10−16 si pone k = 17 (ipotesi largamenteestensiva)
f3(x) = 1−√
1− x2 =(
1−√
1− x2)· 1 +
√1 + x2
1 +√
1 + x2=
1− 1 + x2
1 +√
1 + x2=
x2
1 +√
1 + x2
f4(x) =(x+ 1)2 − 1
x=x2 + 2 · x+ 1− 1
x= x+ 2
n = [1:16];2 x = 10.^(-n);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%4 f1 = (1-cos(x))./(x.^2);
f1equiv =1/2*( sin(x/2)./(x/2)).^2;6 errrore_relativo1 = abs((f1equiv -f1)/( f1equiv));
plot(n, errrore_relativo1);8 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
f2 = (1 - exp(x))./x;10 f2equiv = -(1 + x./2 + x.^2./6 + x.^3./24);
errrore_relativo2 = abs(( f2equiv -f2)/( f2equiv))12 plot(n, errrore_relativo2);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%14 f3 = 1-sqrt(1-x.^2);
f3equiv = x.^2./(1+ sqrt(1-x.^2));16 errrore_relativo3 = abs(( f3equiv -f3)/( f3equiv))
plot(n, errrore_relativo3);18 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
f4 = (x+1) .^2-1;20 f4equiv = x+2;
errrore_relativo4 = abs(( f4equiv -f4)/( f4equiv))22 plot(n, errrore_relativo4);
Listing 12.7: Esercizio 2.9
98
Capitolo 13
Laboratorio 3
1. Selezionare il formato di output format long e e risolvere i sistemi lineari A ·x = b con A matrice diHilbert di ordine n = 5, 10, 15 e b defnito in modo tale il corrispondente vettore soluzione x coincidacon il vettore unitario.Per ciascun valore di n, calcolare l’errore relativo della soluzione in norma euclidea e il numero dicondizionamento. Commentare i risultati.clear all
2 format long efor n = [5: 5: 15]
4 clcA = hilb(n);
6 b = sum(A, 2);x = A\b
8 K2 = cond(A)er = norm(ones(n, 1)-x, 2)/norm(ones(n, 1), 2)
10 pauseend
Listing 13.1: Esercizio 3.1
Si può osservare che all’aumentare dell’ordine della matrice si ha una costante di condizionamentoestremamente crescente.
2. Generare la seguente matrice 11 2 3 40 8 2 30 0 4 01 0 0 5
Determinare le matrici P , L e U della fattorizzazione P · A = L · U della matrice A mediante lafunction lu di Matlab. Successivamente utilizzare i suddetti fattori per risolvere il sistema lineareA · x = b, con b defnito in modo tale che la corrispondente soluzione x coincida con il vettoreunitario.clc
2 clear allformat
4 A = [11, 2, 3, 4; 0, 8, 2, 3; 0, 0, 4, 0; 1, 0, 0, 5];b = sum(A, 2);
6 [L, U, P] = lu(A);y = L \ (P*b);
8 x = U \ y Listing 13.2: Esercizio 3.2
3. Generare una matrice A di numeri pseudo-casuali, non singolare e di ordine 3, e determinare lematrici P,LeU della fattorizzazione P · A = L · U della matrice A mediante la function lu diMatlab. Successivamente utilizzare i suddetti fattori per invertire la matrice A. Utilizzare lafunction inv di Matlab per verifcare la correttezza del risultato.clc
2 clear allformat
4 n = 3;A = rand(n);
6 while det(A)==0A = rand(n);
8 end
99
A10 [L, U, P] = lu(A);
P12 A_inv = inv(U)*inv(L)*P
A_inv_function = inv(A) Listing 13.3: Esercizio 3.3
4. Generare una matrice B di numeri pseudo-casuali, non singolare e di ordine 5. Verifcare che lamatrice A = BT · B è simmetrica e defnita positiva ed utilizzare la function chol di Matlab perdeterminare la decomposizione di Choleski A = RT ·R.Successivamente utilizzare la suddetta decomposizione per calcolare la matrice inversa di A e perrisolvere il sistema lineare A · x = b, con b defnito in modo tale che la corrispondente soluzione xcoincida con il vettore unitario.clc
2 clear allformat
4 n = 5;B = rand(n);
6 while det(B)==0B = rand(n);
8 endB
10 A = B’*B;%A’
12 %eig(A)b = sum(A, 2);
14 %A = R’*R, R’*y = b; R*x = yR = chol(A)
16 y = R’\b;x = R\y
18 R_inv = inv(R);A_inv = R_inv*R_inv ’
Listing 13.4: Esercizio 3.4
5. Risolvere in modo efficiente, minimizzando il numero di operazioni aritmetiche, i seguenti sistemiA · x1 = b1A · x2 = b2A · x3 = b3A · x4 = b4
aventi tutti la stessa matrice dei coefficienti A, non singolare, di ordine 6 e costituita da numeripseudo-casuali; inoltre il termine noto b1 è defnito in modo tale che la corrispondente soluzione xcoincida con il vettore unitario e bi = bi−1
i con i ∈ [1, 4] ∩ Nclc
2 clear allformat
4 n = 6;k = 4;
6 A = rand(n);while det(A)==0
8 A = rand(n);end
10 B = zeros(n, k);B(:, 1) = sum(A, 2);
12 for i=2:kB(:, i) = B(:, i-1)/i;
14 endB
16 [L, U, P] = lu(A);for i=1:k
18 fprintf(’x%d\n’, i)x = U\(L\(P*B(:, i)))
20 end Listing 13.5: Esercizio 3.5
6. Risolvere in modo efficiente il sistema A4 · z = b dove A è non singolare, di ordine 5 e costituita danumeri pseudo-casuali e b è definito in modo tale che la corrispondente soluzione z coincida con ilvettore unitario.clc
2 clear allformat
4 n = 6;
100
k = 4;6 A = rand(n);
while det(A)==08 A = rand(n);
end10 B = zeros(n, k);
B(:, 1) = sum(A, 2);12 for i=2:k
B(:, i) = B(:, i-1)/i;14 end
B16 [L, U, P] = lu(A);
for i=1:k18 fprintf(’x%d\n’, i)
x = U\(L\(P*B(:, i)))20 end
Listing 13.6: Esercizio 3.6
7. Implementare in due m-file di tipo function, denominati jacobi.m e gaussseidel.m, i metodi iteratividi Jacobi e di Gauss-Seidel rispettivamente, per la risoluzione di un sistema lineare A · x = b.Strutturare le function jacobi e gaussseidel in modo tale che, ricevendo in input la matrice deicoefficienti A, il termine noto b, un numero massimo di iterazioni itermax, una tolleranza relativatoll ed un vettore colonna iniziale x(0), restituiscano in output il vettore soluzione x = x(k) taleche
∣∣∣∣x(k) − x(k−1)∣∣∣∣∞ ≤ toll ·
∣∣∣∣x(k−1)∣∣∣∣ e il numero di iterazioni iter eseguite per raggiungere la
tolleranza richiesta. Costruire gli algoritmi utilizzando la formula iterativa dei suddetti metodi informa matriciale. Infine, dopo aver selezionato il formato di output format long e, confrontare isuddetti metodi nella risoluzione dei sistemi Ai · x = bi con i ∈ [1, 4] ∈ N
A1 =
1 −2 22 2 2−1 −1 2
A2 =
4 02
5
0 52
5
5
22 1
A3 =
2 −1 12 2 2−1 −1 2
A4 =
3 −1 0 0 0 −1−1 3 −1 0 −1 0
0 −1 3 −1 0 00 0 −1 3 −1 00 −1 0 −1 3 −1−1 0 0 0 −1 3
e bi definito in modo tale che la corrispondente soluzione x coincida con il vettore unitario. Perciascuno di essi richiedere la tolleranza relativa toll = 1.0e−7, un numero massimo di iterazioniitermax = 100 e fornire il vettore nullo come vettore iniziale x(0). Infine, calcolare e stamparein ciascuna function il raggio spettrale della corrispondente matrice di iterazione e commentare irisultati.function [x, k] = jacobi(A, b, itermax , toll , x0)
2 n = length(b);D = diag(diag(A));
4 C = A-D;rho = max(abs(eig(eye(n)-D\A)))
6 for k=1: itermaxx = D\(b-C*x0);
8 if norm(x-x0, inf)<=toll*norm(x, inf)break
10 endx0 = x;
12 endend
Listing 13.7: Esercizio 3.7 - Metodo iterativo Jacobifunction [x, k] = jacobi(A, b, itermax , toll , x0)
2 n = length(b);D = tril(A);
4 C = A-D;rho = max(abs(eig(eye(n)-D\A)))
6 for k=1: itermaxx = D\(b-C*x0);
8 if norm(x-x0) <=tollbreak
101
10 endx0 = x;
12 endend
Listing 13.8: Esercizio 3.7 - Metodo iterativo GaussSeidelclc
2 clear allitermax = 100;
4 toll = 1.0e-7;A1 = [1 -2 2; -1 1 -1; -2 -2 1];
6 b1 = sum(A1, 2);x0 = zeros(length(b1), 1);
8 A1, b1fprintf(’Jacobi ’);
10 [x, k]= jacobi(A1, b1, itermax , toll , x0)fprintf(’Gauss -Seidel ’);
12 [x, k]= gauss_seidel(A1 , b1 , itermax , toll , x0)pause
14 disp(’aa’)clc
16 A2 = [4 0 2/5; 0 5 2/5; 5/2 2 1];b2 = sum(A2, 2);
18 x0 = zeros(length(b2), 1);[A2 , b2]
20 fprintf(’Jacobi ’);[x, k]= jacobi(A2, b2, itermax , toll , x0)
22 fprintf(’Gauss -Seidel ’);[x, k]= gauss_seidel(A2 , b2 , itermax , toll , x0)
24 pauseclc
26 A3 = [2 -1 1; 2 2 2; -1 -1 2];b3 = sum(A3, 2);
28 x0 = zeros(length(b3), 1);[A3 , b3]
30 fprintf(’Jacobi ’);[x, k]= jacobi(A3, b3, itermax , toll , x0)
32 fprintf(’Gauss -Seidel ’);[x, k]= gauss_seidel(A3 , b3 , itermax , toll , x0)
34 pauseclc
36 tA = diag (3* ones(3, 1)) + diag(-1*ones(2, 1), 1) + diag(-1*ones(2, 1), -1);tB = fliplr(-eye(3));
38 A4 = [tA , tB; tB , tA];clear tA tB
40 b4 = sum(A4, 2);x0 = zeros(length(b4), 1);
42 [A4 , b4]fprintf(’Jacobi ’);
44 [x, k]= jacobi(A4, b4, itermax , toll , x0)fprintf(’Gauss -Seidel ’);
46 [x, k]= gauss_seidel(A4 , b4 , itermax , toll , x0) Listing 13.9: Esercizio 3.7
Dai risultati dell’esecuzione del codice sopra si può osservare che nel caso di:
• A1 converge solo il metodo di Jacobi
• A2 convergono entrambi i metodi convergono ma il metodo di Gauss-Seidel converge piùvelocemente, in quanto ha il raggio spettrale della matrice di iterazione minore rispetto aquello della matrice di iterazione del metodo di Jacobi
• A3 converge solo il metodo di Gauss-Seidel, il metodo di Jacobi non converge in quanto haρ > 1
• A4 convergono entrambi i metodi convergono ma il metodo di Gauss-Seidel converge piùvelocemente, in quanto ha il raggio spettrale della matrice di iterazione minore rispetto aquello della matrice di iterazione del metodo di Jacobi
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Capitolo 14
Labotatorio 4
1. Determinare i polinomi di grado 5, 9 e 13 che interpolano la funzione di Runge
f(x) =1
(1 + x2
in nodi equidistanti nell’intervallo x ∈ [−5, 5] e, per ciascuno dei tre casi, riportare su un grafco lafunzione di Runge, il polinomio e i nodi di interpolazione.Ripetere l’esercizio utilizzando i nodi di Chebyshev
ti = − cos
(2 · i− 1
n· π
2
)i ∈ [1, n] ∩ N
definiti sull’intervallo x ∈ [−1, 1], appropriatamente modificati sull’intervallo di interessa x ∈ [a, b]mediante la trasformazione
xi =b− a
2· ti +
b+ a
2
2. Approssimare con un polinomio interpolante di grado 9 le funzioni
f(x) = ln(1 + x2
)f(x) = sin(x)
negli intervalli x ∈ [−5, 5] e x ∈ [0, π], rispettivamente. Utilizzare sia i nodi equispaziati che i nodidi Chebyshev.Successivamente, rappresentare grafcamente gli errori commessi nelle due interpolazioni in 100punti equidistanti dei rispettivi intervalli di interpolazione e dire quale dei due polinomi fornisceun’approssimazione migliore.
3. Disegnare la spline cubica soddisfacente la condizione “not a knot” ed interpolante la funzione
f(x) =1
1 + x2
su 6, 10, 14 nodi equidistanti nell’intervallo x ∈ [−5, 5]. Confrontare i grafci ottenuti con quellidell’esercizio 1 e commentare i risultati.
4. Utilizzare la function polyfit di Matlab per determinare i coeffcienti della somma esponenziale diordine 3
f(x =
3∑k=0
ak · ek·x
passante per i punti (0, 1), (1, 4), (2, 8), (3, 16). Successivamente rappresentare graficamente lafunzione f e i punti di interpolazione.
5. Utilizzare la function spline di Matlab per costruire le spline cubiche, S3(x) soddisfacente lacondizione“not a knot” e S3(x) soddisfacente le condizioni
S′3(x0) = f ′(x0) S
′3(xn) = f ′(xn)
interpolanti la funzione f(x) =(1− x2
) 52 nei nodi
xi = −1 +2 · in
con i ∈ [0, n] ∩ N n = 2k; k ∈ 2, 3, 4, 5
Rappresentare grafcamente gli errori commessi nelle due approssimazioni in 100 punti equidistantidell’intervallo di interpolazione x ∈ [−1, 1] e dire quale delle due approssimazioni è più accurata.Stampare per ogni valore di k il massimo errore assoluto commesso e commentare i risultati.
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6. Supporre di aver effettuato le seguenti misurazioni
xi yi0 11 22 44 84 165 32
Utilizzare la function polyfit di Matlab per determinare con il metodo dei minimi quadrati icoefficienti della retta di regressione y = a ·x+ b e della parabola y = a ·x2 + b ·x+ c approssimantenel senso dei minimi quadrati i suddetti dati.Rappresentare graficamente le misurazionie ettuate e le curve approssimanti.Successivamente determinare i coefficienti della somma esponenziale di ordine 2
f(x) =
2∑k=0
ak · ek·x
che meglio approssima nel senso dei minimi quadrati i dati assegnati. Quale delle tre approssimazionideterminate genera un residuo minore?
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