Appunti di Analisi Matematica Uno - alessio/.../franDallegati/AN1CA/   Prefazione

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Appunti di Analisi Matematica Uno

Francesca Alessio e Piero Montecchiari

Prefazione

Le seguenti note sono una raccolta degli appunti dei corsi di AnalisiMatematica 1 per i Corsi di Laurea in Ingegneria (Biomedica, Civileed Ambientale, Elettronica, Meccanica, Informatica e Telecomunica-zioni) e di Matematica per il Corso di Laurea in Scienze Biologichetenuti dagli autori negli ultimi anni presso lUniversita Politecnica del-le Marche. Essendo al momento una semplice bozza, saranno sicura-mente presenti errori che vi preghiamo volerci segnalare allindirizzoalessio@dipmat.univpm.it

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Indice

Prefazione 3

Capitolo 1. Numeri Reali 71. Assiomi dei numeri reali 72. Estremo superiore ed inferiore 153. Numeri Naturali e Numeri Razionali 194. Appendice: numeri complessi 23

Capitolo 2. Successioni numeriche 291. Limiti di successioni numeriche 292. Teoremi di confronto 373. Successioni monotone e Numero di Nepero 404. Criterio del rapporto ed infiniti di ordine crescente 495. Relazione di asintotico 526. Appendice: Sottosuccessioni e Teorema di Bolzano-

Weierstrass 557. Esercizi 60

Capitolo 3. Funzioni reali 631. Qualche richiamo 632. Limiti di funzioni 713. Relazione di asintotico e simboli di Landau 834. Ordine di infinitesimo 885. Ordine di infinito 916. Esercizi 93

Capitolo 4. Funzioni continue 971. Classificazione delle discontinuita 992. Immagine di una funzione continua 1013. Continuita della funzione inversa 1084. Appendice: Funzioni uniformemente continue e Teorema di

Heine-Cantor 1095. Esercizi 112

Capitolo 5. Funzioni derivabili 1131. Definizione di derivata 113

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6 INDICE

2. Regole di derivazione 1203. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale 1234. Funzioni convesse 1295. Applicazioni del calcolo differenziale 1336. Teorema di De lHopital 1397. Formula di Taylor 1458. Esercizi 158

Capitolo 6. Funzioni integrabili 1631. Integrale di Riemann 1632. Teorema fondamentale del calcolo integrale 1693. Integrali indefiniti 1724. Calcolo di integrali definiti: aree e lunghezze 1855. Esercizi 189

Capitolo 7. Integrali impropri 1911. Integrali impropri su intervalli limitati 1912. Integrali impropri su intervalli illimitati 1993. Esercizi 211

Capitolo 8. Serie numeriche 2151. Serie a termini non negativi 2162. Serie a termini di segno alterno 2223. Operazioni tra serie 2244. Esercizi 227

Capitolo 9. Serie di potenze 2291. Insieme di convergenza di una serie di potenze 2302. Derivata ed integrale di una serie di potenze 2343. Serie di Taylor 2384. Esercizi 247

Capitolo 10. Serie di Fourier 2491. Diseguaglianza di Bessel 2492. Convergenza puntuale della Serie di Fourier 251

Indice analitico 261

CAPITOLO 1

Numeri Reali

Iniziamo con il presentare linsieme dei numeri reali, denotato con R.Particolari e familiari numeri reali sono

numeri naturali, N: 1, 2, 3, ...numeri interi, Z: ...,3,2,1, 0, 1, 2, 3, ....numeri razionali, Q: p

qcon p Z e q N dove si considerano iden-

tificate nel medesimo numero razionale frazioni del tipo pq

e mpmq

con

m Z \ {0}.Valgono ovviamente le inclusioni N Z Q R. I numeri razionalinon esauriscono i numeri reali, ovvero linsieme R\Q = {x R |x 6 Q}e non vuoto ed i suoi elementi vengono chiamati numeri irrazionali. Nesono esempi

2, ed il numero di Nepero e, che definiremo nel seguito.

I numeri reali possono essere introdotti mediante un procedimento dicompletamento dellinsieme dei numeri razionali (a loro volta definiti apartire dai numeri naturali) ma tale costruzione necessita di sofisticaticoncetti dellanalisi matematica che esulerebbe dai nostri intenti. Inumeri reali possono invece essere introdotti in modo assiomatico nelseguente senso: postuliamo che esista un insieme ove siano definitedue operazioni binarie interne (somma e prodotto) ed una relazionedordine (minore o uguale) soddisfacente a delle stabilite proprieta, gliassiomi. Tale insieme verra chiamato insieme dei numeri reali.

1. Assiomi dei numeri reali

Linsieme dei numeri reali R e un insieme soddisfacente i seguentiassiomi:

(A) Assiomi algebrici: sono definite in R due operazioni binarie interne,somma a+ b e prodotto a b soddisfacenti le seguenti proprieta:

1. Proprieta commutativa di somma e prodotto:

a+ b = b+ a e a b = b a, a, b R2. Proprieta associativa di somma e prodotto:

(a+ b) + c = a+ (b+ c) e (a b) c = a (b c), a, b, c R

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8 1. NUMERI REALI

3. Proprieta distributiva della somma rispetto al prodotto:

a (b+ c) = a b+ b c, a, b, c R

4. Esistenza dellelemento neutro della somma o zero : esiste 0 R tale che a+ 0 = a per ogni a R.

5. Esistenza dellelemento neutro del prodotto o unita : esiste 1 R tale che a 1 = a per ogni a R.

6. Esistenza dellopposto: per ogni a R esiste a R tale chea+ (a) = 0.

7. Esistenza del reciproco: per ogni a R con a 6= 0 esiste 1a R

tale che a 1a

= 1.

Tali proprieta sono caratteristiche di un campo algebrico. Si usano leseguenti notazioni: a+ (b) = a b e a 1

b= a

b.

Utilizzando le precedenti proprieta si puo provare lunicita dellelemen-to neutro di somma e prodotto, cos come lunicita dellopposto e delreciproco di ciascun numero reale non nullo.

Dalle precedenti proprieta e inoltre possibile ottenere le usuali regoledellalgebra. Vediamone solo alcune:

Se a + b = c + b allora a = c. Infatti, dalla definizione diopposto e dalla proprieta associativa si ha:

a = a+ 0 = a+ (b b) = (a+ b) b= (c+ b) b = c+ (b b) = c+ 0 = c

Risulta a 0 = 0 per ogni a R. Infatti, essendo a 1 = a perogni a R, dalla proprieta distributiva e dalla definizione di0 si ottiene:

a+ a 0 = a 1 + a 0 = a (1 + 0) = a 1 = a = a+ 0

e dalla precedente proprieta segue che a 0 = 0. Risulta a (1) = a per ogni a R. Infatti, dalla definizione

di 1, utilizzando la proprieta distributiva si ha:

a+ a (1) = a 1 + a (1) = a (1 1) = a 0 = 0

e per lunicita dellopposto si ha che a (1) = a. Risulta 1

ab =1a 1b

ovvero che 1a 1b

e il reciproco di a b. Difatti,dalla proprieta commutativa e associativa del prodotto e dalladefinizione di reciproco e di elemento neutro risulta

(a b) (1a 1b

) = (a 1a

) (b 1b

) = 1 1 = 1

1. ASSIOMI DEI NUMERI REALI 9

(B) Assiomi dordine: e definita in R una relazione tra coppie di numerireali, denotata con e detta minore o uguale, soddisfacente alle seguentiproprieta:

1. Proprieta riflessiva: per ogni a R risulta a a.2. Proprieta antisimmetrica: se a b e b a allora a = b.3. Proprieta transitiva: se a b e b c allora a c.

Tali proprieta sono caratteristiche di una relazione dordine. Si richiedeinoltre che tale relazione sia totale ovvero che sia verificata la seguenteproprieta

4. Proprieta di dicotomia: per ogni a, b R si ha a b oppureb a.

Infine si richiede che in relazione alle operazioni algebriche siano veri-ficate

5. se a b e c R allora a+ c b+ c6. se a b e 0 c allora a c b c.

A partire dalla relazione minore o uguale vengono definite inoltre leseguenti relazioni:

< , minore: a < b se a b e a 6= b; , maggiore o uguale: a b se b a;> , maggiore: a > b se b a e a 6= b.I numeri a R tali che a > 0 si dicono positivi mentre quelli tali chea < 0 si dicono negativi. Si dicono inoltre non negativi (rispettivamentenon positivi) i numeri a R tali che a 0 (rispettivamente, a 0).

Dalle precedenti proprieta seguono direttamente le usuali regole. Ve-diamone alcune.

se a 0 allora a 0. Infatti, dallassioma B.5 si ha cheessendo a 0 risulta

0 = a+ (a) 0 + (a) = a. se a b e c 0 allora a c b c. Infatti, essendo per quanto

sopra, c 0 dallassioma B.6 si ha a (c) b (c) e quindidallassioma B.5

0 = a c+ a (c) a c+ b (c)da cui, sempre per B.5,

b c (a c+ b (c)) + b c = a c per ogni a R, a2 = a a 0. Infatti, se a 0 allora da B.5

si ha a2 = a a a 0 = 0. Se invece a 0, dalla precedenteproprieta si ha a2 = a a a 0 = 0.

10 1. NUMERI REALI

Le proprieta sopra elencate riguardano lalgebra e lordinamento del-linsieme dei numeri reali R ma non sono sufficienti a descrivere com-pletamente tale insieme (infatti risultano verificate anche dallinsiemedei numeri razionali Q). Quello che manca e una proprieta che ci efamiliare e che renda conto di una delle caratteristiche piu importantidei numeri reali: la completezza, la continuita, la possibilita di rappre-sentare i numeri reali mediante una retta. Tale proprieta distingue inumeri reali dai numeri razionali e rende linsieme dei numeri reali Rlinsieme piu adatto alle necessita dellanalisi matematica, ad esempioal concetto fondamentale di limite ma anche alla semplice operazione diestrazione della radice quadrata (ovvero alla risoluzione dellequazionex2 = 2). Tale proprieta puo essere formalizzata nel seguente modo:

(C) Assioma di completezza: per ogni coppia di insiemi non vuotiA,B R tali che a b per ogni a A e b B esiste c R,detto elemento separatore, tale che a c b per ogni a A e b B.

Un classico esempio di applicazione dellassioma di completezza e ladefinizione di

2. Denotato con a2 = aa per ogni a R, si considerino

gli insiemi

A = {a R | a > 0, a2 < 2} e B = {b R | b > 0, b2 > 2}.

Risulta a b per ogni a A e b B in quanto se fosse a > b perqualche a A e b B avremo, per gli assiomi dordine, 2 > a2 >a b > b2 > 2 che e impossibile. Dunque, per lassioma di completezza,avremo che esiste c R tale che a c b per