Appunti di Analisi matematica 1

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  • Appunti di Analisi matematica 1

    Paolo Acquistapace

    28 febbraio 2018

  • Indice

    1 Numeri 11.1 Alfabeto greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Il sistema dei numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Assioma di completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Numeri naturali, interi, razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 La formula del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8 Radici n-sime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.9 Valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.10 La funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.11 Geometria nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.12 Numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    2 Successioni 972.1 Limiti di successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2 Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.3 Successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.4 Criteri di convergenza per le serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.5 Convergenza assoluta e non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.6 Successioni di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332.7 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352.8 Riordinamento dei termini di una serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482.9 Moltiplicazione di serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    3 Funzioni 1613.1 Spazi euclidei Rm e Cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.2 Funzioni reali di m variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.3 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.4 Proprieta delle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1933.5 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    4 Calcolo differenziale 2054.1 La derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2054.2 Differenziabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

    i

  • 4.3 Proprieta delle funzioni derivabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.4 Condizioni sufficienti per la differenziabilita . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.5 Differenziabilita di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.6 Derivate successive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2434.7 Confronto di infinitesimi e infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2484.8 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2554.9 Massimi e minimi relativi per funzioni di una variabile . . . . . . . . . . 2664.10 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2764.11 Massimi e minimi relativi per funzioni di piu variabili . . . . . . . . . . . 2814.12 Convessita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

    5 Calcolo integrale 2985.1 Lintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2985.2 Proprieta dellintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3075.3 Alcune classi di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3125.4 Il teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 3175.5 Metodi di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3225.6 Integrazione delle funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3315.7 Formula di Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3465.8 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

    6 Equazioni differenziali 3586.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3586.2 Alcuni tipi di equazioni del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3696.3 Analisi qualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3756.4 Equazioni lineari del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

    Indice analitico 395

    ii

  • Capitolo 1

    Numeri

    1.1 Alfabeto greco

    Un ingrediente indispensabile per lo studente che affronta un corso di analisi matematicae la conoscenza dellalfabeto greco, di cui verranno usate a vario titolo gran parte dellelettere (minuscole e maiuscole). Eccolo:

    alfa A iota I ro Pbeta B cappa K sigma gamma lambda tau Tdelta mu (mi) M iupsilon Yepsilon E nu (ni) N fi zeta Z csi chi Xeta H omicron o O psi teta pi omega

    Esercizi 1.1

    1. Scrivere il proprio nome e cognome in lettere greche.

    1.2 Insiemi

    Il concetto di insieme e un concetto primitivo, che quindi non puo essere definito senon ricorrendo a circoli viziosi; comunque in modo vago ma efficace possiamo dire cheun insieme e una collezione di elementi. Indicheremo gli insiemi con lettere maiuscoleA,B, . . . e gli elementi di un insieme con lettere minuscole a, b, x, t, . . . .Per evitare paradossi logici, e bene parlare di insiemi solo dopo aver fissato un insiemeuniverso X, che e lambiente dentro al quale lavoriamo, e considerarne i vari sottoin-siemi (cioe gli insiemi A contenuti in X). La scelta dellambiente X va fatta di volta involta e sara comunque chiara dal contesto.Come si descrive un insieme? Se esso e finito (ossia ha un numero finito di elementi),e questi elementi sono pochi, la descrizione puo avvenire semplicemente elencandoli;ma se linsieme ha molti elementi, o ne ha addirittura una quantita infinita (si dice

    1

  • allora che linsieme e infinito), esso si puo descrivere individuando una proprieta p(x)che gli elementi x delluniverso X possono possedere o no, e che caratterizza linsiemeche interessa. Per esempio, linsieme

    A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

    e altrettanto bene descritto dalla proprieta

    p(x) = x e divisore di 12,

    la quale, allinterno dei numeri naturali (che in questo caso costituiscono il nostro uni-verso), contraddistingue esattamente gli elementi dellinsieme A.

    Introduciamo alcuni simboli che useremo costantemente nel seguito.

    x A significa: x appartiene ad A, ovvero x e un elemento di A.

    A B, B A significano: A e contenuto in B, ovvero B contiene A, ovvero ognielemento di A e anche elemento di B, o anche A e sottoinsieme di B.

    A = B significa: A coincide con B, ovvero A e B hanno gli stessi elementi, ovveroA B e B A.

    A B, B A significano: A e strettamente contenuto in B, ovvero A e sottoin-sieme proprio di B, ovvero ogni elemento di A e elemento di B ma esiste almenoun elemento di B che non e elemento di A, ovvero A B ma A non coincide conB.

    Per negare le proprieta precedenti si mette una sbarretta sul simbolo corrispondente:ad esempio, x / A significa che x non appartiene allinsieme A, A 6= B significa che gliinsiemi A e B non hanno gli stessi elementi (e dunque vi e almeno un elemento che stain A ma non in B, oppure che sta in B ma non in A), eccetera.

    Sia X un insieme e siano A,B sottoinsiemi di X. Definiamo:

    A B = unione di A e B, ossia linsieme degli x X che appartengono ad Aoppure a B (oppure ad entrambi).

    A B = intersezione di A e B, ossia linsieme degli x X che appartengono siaad A che a B.

    A \B = differenza fra A e B, ossia linsieme degli x X che appartengono ad A,ma non a B.

    Ac = X \ A = complementare di A in X, ossia linsieme degli x X che nonappartengono ad A.

    = insieme vuoto, ossia lunico insieme privo di elementi.

    2

  • Si noti che AB = BA, AB = BA, ma in generale A\B 6= B \A. Se AB = ,gli insiemi A e B si dicono disgiunti.

    Vi sono altre importanti proprieta degli insiemi e delle operazioni su di essi, di cui nonci occupiamo qui: ne parleremo di volta in volta quando ci occorreranno. Introduciamoora alcuni insiemi importanti:

    N = insieme dei numeri naturali = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}.

    N+ = insieme dei numeri naturali diversi da 0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}.

    Z = insieme dei numeri interi = {0, 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, . . .}.

    Q = insieme dei numeri razionali, cioe di tutte le frazioni pq

    con p Z, q N+.

    R = insieme dei numeri reali: su questo insieme ci soffermeremo a lungo; essocontiene Q, ma anche numeri irrazionali come , e,

    2,

    3.

    C = insieme dei numeri complessi, cioe i numeri della forma a+ ib, con a, b R;la quantita i si chiama unita immaginaria e verifica luguaglianza i2 = 1: essanon e un numero reale. Anche su questo insieme avremo molto da dire.

    Notiamo che valgono le inclusioni proprie

    N+ N Z Q R C.

    Nelle nostre formule useremo alcuni altri simboli che sono delle vere e proprie abbrevia-zioni stenografiche, e che andiamo ad elencare.

    Il simbolo significa per ogni: dunque dire che x B x A equivale adichiarare che ogni elemento di A sta anche in B, cioe che A B.

    Il simbolo significa esiste almeno un: dunque affermare che x A taleche x B vuol dire che ce almeno un elemento di A che sta anche in B, ossia cheA B non e vuoto. i due simboli , vengono detti quantificatori esistenziali.

    Il simbolo ! significa esiste un unico: dunque la frase ! x A tale chex B indica che ce uno ed un solo elemento di A che sta in B, ossia che ABe costituito da un solo elemento.

    Il simbolo : significa ta