Appunti Analisi II -

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    Analisi II

    Appunti Prof. Sergio LancelottiA.A. 2011-2012

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    INDICE

    Cap1 Richiami Funzioni in pi variabili pag.1

    Cap2 Integrali multipli pag.11

    Cap3 Integrali curvilinei pag.63

    Cap4 Integrali di superficie pag.81

    Cap5 Campi conservativi pag.113

    Cap6 Serie numeriche pag.133

    Cap7 Successioni di funzioni pag.167

    CAp8 Serie di funzioni pag.177

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    Capitolo 1

    Brevi richiami di topologia e

    calcolo differenziale in piu

    variabili

    Premessa fondamentale

    Siano A e B due insiemi. Con la scrittura f : A B si intende una funzione che associaad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Quindi A e il dominio di f e B

    e il codominio di f. Talvolta il dominio si indica con il simbolo dom (f). Quindi se

    f : A B e una funzione, allora dom (f) = A.

    1 Brevi richiami di topologia di Rn

    Nel seguito considereremo n

    N, n

    1. Denotiamo con Rn il prodotto cartesiano di R

    per se stesso n volte, cioe

    Rn = R R n volte

    =

    (x1, x2, . . . , xn) : x1, x2, . . . , xn R

    .

    E uno spazio vettoriale su R di dimensione n. Per ogni i = 1, . . . , n denotiamo con ei

    il vettore di Rn avente la componente i-esima uguale a 1 e tutte le altre nulle. E detto

    il vettore i-esimo della base canonica di Rn. La base (e1, . . . , en) e detta base

    canonica di Rn. Se v = (v1, . . . , vn) Rn, allora si ha che

    v = (v1, . . . , vn) = (v1, 0, . . . , 0) + + (0, . . . , 0, vn) == v1 (1, 0, . . . , 0)

    e1

    + + vn (0, . . . , 0, 1) en

    = v1e1 + + vnen.

    In Rn sono definiti un prodotto scalare

    x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) : xy = (x1, . . . , xn)(y1, . . . , yn) = x1y1+ +xnyn,

    1

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    2 S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

    e una norma, detta anche modulo,

    x = (x1, . . . , xn) : x =

    x x =

    x21 + + x2n.

    Introduciamo alcuni concetti di topologia dello spazio Rn.

    (1.1) Definizione Siano x0 Rn e r > 0.Si chiama intorno (sferico) aperto di centro x0 e raggio r (o anche palla

    aperta di centro x0 e raggio r) linsieme

    Br (x0) =

    x Rn : x x0 < r

    .

    Questo intorno contiene tutti e soli i punti di Rn aventi distanza da x0 minore di

    r.

    Si chiama intorno (sferico) chiuso di centro x0 e raggio r (o anche pallachiusa di centro x0 e raggio r) linsieme

    Br (x0) =

    x Rn : x x0 r

    .

    Per n = 1 si ha che

    Br (x0) = {x R : |x x0| < r} = (x0 r, x0 + r),

    Br (x0) = {x R : |x x0| r} = [x0 r, x0 + r].

    Per n = 2 si ha che

    Br (x0, y0) =

    (x, y) R2 : (x, y) (x0, y0) < r

    =

    =

    (x, y) R2 : (x x0)2 + (y y0)2 < r2

    che e linsieme dei punti interni alla circonferenza di centro (x0, y0) e raggio r, mentre

    Br (x0, y0) =

    (x, y) R2 : (x, y) (x0, y0) r ==

    (x, y) R2 : (x x0)2 + (y y0)2 r2

    che e linsieme dei punti della circonferenza di centro (x0, y0) e raggio r e di quelli interni

    ad essa.

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    1 Brevi richiami di topologia diRn 3

    O x

    y

    y0

    x0

    r

    Br (x0, y0)

    Per n = 3 si ha che

    Br (x0, y0, z0) =

    (x,y,z) R3 : (x,y,z) (x0, y0, z0) < r

    =

    =

    (x,y,z) R3 : (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 < r2

    che e linsieme dei punti interni alla sfera di centro (x0, y0, z0) e raggio r, mentre

    Br (x0, y0, z0) =

    (x,y,z) R3 : (x,y,z) (x0, y0, z0) r

    =

    =

    (x,y,z) R3 : (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 r2

    che e linsieme dei punti della sfera di centro (x0, y0, z0) e raggio r e di quelli interni ad

    essa.

    O

    z

    y

    x

    y0

    z0

    x0

    Br (x0, y0, z0)

    r

    Se n 2 non si introducono le nozioni di intorno destro e sinistro e non siintroducono le nozioni di intorno di + e .

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    4 S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

    (1.2) Definizione Siano Rn e x0 Rn.Diciamo che x0 e un punto interno ad se esiste r > 0 tale che Br (x0) .In particolare x0 . Si chiama parte interna di linsieme dei punti internidi . Si denota con int().

    Diciamo che x0 e un punto isolato per se esiste r > 0 tale che Br (x0) ={x0}. In particolare x0 .Diciamo che x0 e un punto di accumulazione per se per ogni r > 0 si ha che

    Br (x0)

    \ {x0} = ,

    cioe se ogni intorno di x0 contiene punti di diversi da x0. In tal caso non e detto

    che x0 appartenga ad .

    Diciamo che x0 e un punto di frontiera per se per ogni r > 0 si ha che

    Br (x0) = e C Br (x0) = , dove C e il complementare di . In tal casonon e detto che x0 appartenga ad .

    Si chiama frontiera di (talvolta detta anche bordo di ) linsieme dei punti

    di frontiera di . Si denota con Fr(A) oppure . Evidentemente = C.Si chiama chiusura di linsieme = .

    Il termine punti di frontiera sembra indicare quei punti che separano un insieme

    da un altro, che in questo caso e il complementare. In molte situazioni in effetti si tratta

    proprio di punti che delineano un confine fra i due insiemi.

    x

    y

    O

    Esistono pero casi particolari ai quali mal si applica la dicitura di punti di sepa-

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    1 Brevi richiami di topologia diRn 5

    razione. Nel caso dellinsieme

    =

    (x, y) R2 : x, y Q

    ,

    si ha che il suo complementare e

    C() = (x, y) R2 : x y Qmentre il bordo e = R2 che contiene sia che C().

    (1.3) Definizione Sia Rn.Diciamo che e aperto se ogni punto di e interno ad , cioe se int() = .

    Diciamo che e chiuso se C e aperto.Diciamo che e limitato se esiste r > 0 tale che Br (0).Diciamo che e compatto se e chiuso e limitato.

    Per convenzione e Rn sono contemporaneamente aperti e chiusi.Si osserva che e chiuso se e solo se . Ne segue che e aperto se e solo se

    = . Inoltre se e chiuso, allora = .Richiamiamo alcune semplici proprieta degli insiemi aperti e chiusi.

    (1.4) Proposizione Valgono i seguenti fatti:

    a) lunione di insiemi aperti e un insieme aperto;

    b) lintersezione di un numero finito di insiemi aperti e un insieme aperto;

    c) lunione di un numero finito di insiemi chiusi e un insieme chiuso;

    d) lintersezione di insiemi chiusi e un insieme chiuso.

    (1.5) Proposizione Siano Rn non vuoto, f :

    R una funzione continua

    e A R. Allora valgono i seguenti fatti:

    a) se A e aperto, allora f1(A) e aperto;

    b) se A e chiuso, allora f1(A) e chiuso.

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    6 S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II

    Si rammenta che f1(A) e la preimmagine (o controimmagine) di A tramite f

    definita da

    f1(A) = {x : f(x) A}.

    (1.6) Esempio

    1) Linsieme =

    (x, y) R2 : x2 + y2 = 1 e chiuso.Infatti, posto A = {1} e f(x, y) = x2 + y2, si ha che = f1(A). Poiche A echiuso e f e continua, per la Proposizione (1.5) si ha che e chiuso. Inoltre si

    osserva che int() = e = .

    2) Linsieme =

    (x, y) R2 : 2x2 + 3y2 < 4

    e aperto.

    Infatti, posto A = (, 4) e f(x, y) = 2x2 + 3y2, si ha che = f1(A). Poiche Ae aperto e f e continua, per la Proposizione (1.5) si ha che e aperto.

    3) Linsieme =

    (x, y) R2 : 2 x2 + y2 3

    e chiuso.

    Infatti, posto A = [2, +), B = (, 3] e f(x, y) = x2 + y2, si ha che =f1(A)f1(B). Poiche A e B sono chiusi e f e continua, per le Prop osizioni (1.4)e (1.5) si ha che e chiuso.

    4) Linsieme =

    (x,y,z) R3 : 1 < x2 + y2 + z2 < 4

    e aperto.

    Infatti, posto A = (1, +), B = (, 4) e f(x , y , z) = x2 + y2 + z2, si ha che =f1(A)

    f1(B). Poiche A e B sono aperti e f e continua, per le Proposizioni (1.4)

    e (1.5) si ha che e aperto.

    5) Linsieme =

    (x, y) R2 : 1 x2 + y2 < 4

    non e ne aperto ne chiuso.

    La dimostrazione viene lasciata per esercizio.

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    2 Brevi richiami di calcolo differenziale in piu variabili 7

    2 Brevi richiami di calcolo differenziale in piu variabili

    Nel seguito n e m indicano numeri naturali maggiori o uguali a 1.

    (2.1) Definizione Siano Rn aperto non vuoto, x0 , v Rn e f : Rm

    una funzione.Diciamo che f e derivabile in x0 rispetto a v se esiste in R

    m il limite

    limt0

    f(x0 + tv) f(x0)t

    ,

    che in tal caso si denota con il simbolo fv

    (x0) ed e detto derivata direzionale

    di f in x0 rispetto a v.

    In particolare se v = ei, i-esimo vettore della base canonica di Rn, allora questa

    derivata e anche detta derivata parziale di f rispetto a xi in x0 e si denota

    con il simbolof

    xi (x0).

    Si osserva che il limite

    limt0

    f(x0 + tv) f(x0)t

    e nella sola variabile reale t. Quindi e il limite di una funzione in una variabile, piu

    precisamente fissati x0 e v e il limite della funzione

    t f(x0+tv)f(x0)t

    .

    (2.2) Definizione Siano Rn aperto non vuoto, x0

    e f :

    Rm una

    funzione.

    Diciamo che f e differenziabile in x0 se esiste una funzione lineare (e continua)

    L : Rn Rm tale che

    limxx0

    f(x) f(x0) L(x x0)x x0 = 0.

    In tal caso denotiamo questa funzi